2023-2024學(xué)年河南省潢HI高二上冊期末考試數(shù)學(xué)(理)

模擬試題

一、單選題

1.在空間直角坐標系中，點”(2,0,2)、8(3,1,4),則I加口()

A.76B.14C.^62D.4

【正確答案】A

【分析】求出4方:(1,1,2),利用向量模長公式求出答案.

【詳解】方:(3,1,4)-(2,0,2)=(1,1,2),故百=卡.

故選：A

2.己知直線/的傾斜角為120。，則直線/的斜率為()

A.BB.一立C.--D.-73

332

【正確答案】D

【分析】根據(jù)斜率的定義求出直線/的斜率.

【詳解】設(shè)直線/的斜率為k,則k=1211120。=一6.

故選：D

3.已知雙曲線：￡-4=1(“>0,6>0)的漸近線方程為：y=±2x,則該雙曲線的離心率為()

a~b

A.y/5B.手c.2D.V2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)漸近線方程求出2=2,從而根據(jù)￡=4]^求出離心率.

aa\a

【詳解】4-4=1(?>0,/>>0)的漸近線方程為夕=+-x,

a~ba

故"=2,故雙曲線的離心率為￡=Ji+g=JE=?.

aa\a"

故選：A

4.在平行六面體48co中，AD]4。=。，記向量晶二￡DC=brD6：=Z,

則向量CO=()

Xx1>

B.a+b+—c

2

X1x1>

C.三江D.a+—b+—c

22

【正確答案】c

【分析】先得到。是4。的中點，利用空間向量基本定理求出答案.

【詳解】因為平行六面體/8CQ—鐘，4"AtD=O,

所以O(shè)是力，的中點，

]XX['

AiCO=CD+DO=-DC+-DA+-DD,=-a-b+-c.

22,22

故選：C

5.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，&=84,則()

A.22B.10C.8D.4

【正確答案】D

【分析】利用等差數(shù)列求和公式和下標和性質(zhì)可直接求得結(jié)果.

【詳解】｛?！埃堑炔顢?shù)列，..%=21(。；0)=2%=84,解得：??=4.

故選：D.

6.已知平面a的法向量3=(-1,2,0),且點Zea,方二(12,1,-4),則點尸到平面a的距離

為()

A.乖B.2由C.—D.4正

4

【正確答案】B

【分析】由向量法求點面距離.

【詳解】由題意得，點P到平面a的距離為與“=上*4=2岔.

故選：B

7.已知點。在直線/：工+2歹-3=0上，點尸(3,5),且則點。的坐標為()

A.(-1,2)B.(1,1)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意可設(shè)。(-2%+3,為)，然后結(jié)合垂直公式和斜率公式即可求解

【詳解】由點。在直線，：x+2y-3=0上，故可設(shè)。(-2%+3,%),

因為尸Q_L/,P(3,5),

%-5

所以號><?,號=解得%=1，

-2y0+3-3

所以。(1,1)

故選：B

8.已知直線x-y-1=0與圓f+(夕_1)2=4相交于力、B兩點，貝!||48|=()

A.41B.2也C.2D.2&

【正確答案】D

【分析】用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離，進而利用垂徑定理求出弦長.

|-2|「

【詳解】圓》2+(夕一1)2=4的圓心(0,1)到直線x-y-l=0距離"==亞，

V1+1

所以|4川=244-/=2/.

故選：D

9.如圖，在長方體/8CO-48CQ中，ZD=2,DC=4,DD}=3,AE=-AAt,AF=-AB,

則異面直線GE與c尸所成的角為()

C.60°D.90°

【正確答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，求出各點坐標，進而求出異面直線6瓦3的方向向量，利

用異面直線夾角的向量公式，即得解

【詳解】由題意以。為原點，所在直線分別為x/，z軸建立如圖空間直角坐標

則G(0,4,3),E(2,0,1),C(0,4,0),尺2,2,9,

.??GE=(2,-4,-2),3=(2,-2,0),

設(shè)異面直線CXE,CF所成的角為。(0。<0<90°),

弦過12出

則cos6=

|C￡|.|C用一后.而-2

所以0=30。，所求異面直線的夾角為30。.

故選：A

10.已知數(shù)列｛4“｝滿足：％=1,S“=a"+|(aGN"),則。2023=()

A.22020B.22021D.22023

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合與工之間的關(guān)系整理可得S川=25"，根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項

公式求得S“=2"T,即可得結(jié)果.

【詳解】VS?=a?+l=S?+l-5?,則S向=2S”,

.?.數(shù)列｛S,｝是以首項，=%=1，公比？=2的等比數(shù)列,則S.=lx2i=2"T,

故。2。23=邑。23-$2。22=2?⑼-2?以=2202'

故選：B.

11.已知點W(x,y)滿足方程：X2+|J/|=2|X|,記點M的軌跡為曲線C,

①曲線。經(jīng)過原點；

②曲線C上的點的橫坐標X的范圍是[-2,2]：

③曲線C既有對稱軸又有對稱中心；

④曲線C上的點的縱坐標V的范圍是R

則以上四個結(jié)論中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】對于①,將原點代入即可;對于③，假設(shè)P（x,y）滿足/+3=2|x|,可得耳（fy）,

也在曲線上，即可判斷；對于②④，去掉絕對值進行討論即可

【詳解】對于①，由于原點（0,0）滿足方程x2+|y|=2|x|,故①正確；

對于③，假設(shè)P（x,y）滿足V+3=2|x|,易得也滿足x?+3=2|x|,故曲線C有

對稱軸x=0；

同樣可得下（-匕-#也滿足/+|川=2|劉,故曲線C有對稱中心（0,0）,故③正確

對于②④，由4+3=2|x|可得3=7?+2|x|,

當(dāng)yN0,x20時，方程為y=-f+2x=-（x-iy+120,解得04x42,此時ye[0/；

當(dāng)y20,x<0時，方程為丫=-/-2y=-（》+1）2+120,m-2<x<0,此時ye[0,l]；

當(dāng)y<0,x20時，方程為y=/_2x=（x-l）2-l<0,解得0<x<2,止匕時yw[-l,0）；

當(dāng)y<0,x<0時，方程為y=f+2x=（x+l）-—1<0,解得—2<x<0,此時L。）；

綜上所述，x的范圍是[-2,2],夕的范圍是[-1,1],故②正確，④錯誤；

故選：C

12.已知橢圓C:￡+且=1（a>3）的左頂點為A,過原點的直線/與橢圓C相交于P、。兩

9

點，且女4?左0/=—!，貝（）

4

D.8

【正確答案】B

【分析】設(shè)尸卜。，幾），則。（-X。,-%）,利用斜率公式和橢圓方程即可得到答案

22

【詳解】由橢圓C章+/=1（°>3）可得左頂點

設(shè)尸（x。/。），則。（一天,一汽），則其+甚=1,

a9

9片g

k卡,%f二一九一=__2」，

PAQA22

xQ+a+QQJX；a-x^a4

所以“2=36，即a=6

故選：B

二、填空題

13.已知向量JN（X,2,1）,6=（2,-l,4-x）,aLb,則工=.

【正確答案】-2

【分析】根據(jù)向量垂直得到向量數(shù)量積為0,從而列出方程，求出x=-2.

【詳解】由題意得：a'b=2x-2+4-x=0'解得.x=-2

故-2

14.已知等比數(shù)列{〃,},%=1，%=16,則&=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出答案.

【詳解】設(shè)公比為4，%=1,%=16,

??%=。4g，16=q,

=4

..綜—a?q-=lx4=4.

故4.

15.已知4(1,6)、8(2,10)、C(3,16)、。(4,21)中的三個點在直線/：y=kx+m±.,則

km=.

【正確答案】5

【分析】由3c=頷?？傻迷谕粭l直線上，利用點斜式可求得該直線，然后檢驗8不

在該直線上，即可得到直線/,即可求得答案

【詳解】由題意可得左傳=合=5,3若'=5,且直線有公共點A,

所以4C,。在同一條直線上，

所以該直線為V-6=5（x-l）即y=5x+l

由于8（2,10）不滿足＞=5》+1,故直線/為y=5x+l,

所以左=5,加=1,所以％叫=5

故5

16.已知拋物線/=8》，過焦點尸的直線與拋物線相交于48兩點，且|/尸|=2忸尸|,則

朋=____

【正確答案】9

【分析】求出拋物線的焦點坐標，由直線方程的點斜式寫出直線/的方程，和拋物線方程聯(lián)

立后利用弦長公式得答案.

【詳解】由拋物線V=8》焦點坐標為尸（2,0）,

設(shè)點/（士,乂）,8（馬,乃），過焦點F的直線方程為x=〃9+2,

由拋物線的定義有|4用=芭+y=Jf）+2,\BF\-X2+-^--X2+2

由|/尸|=2忸日，得西+2=2&+2）,即即+4=2（映+4）.

所以有皿%-2%)=4①,

Ix=my+2、

又由《2。得：y~~^>my_16=0,

[y=8x1

所以4=64加2+64>0,%+%=8機，乂.刈=-16②

由①②聯(lián)立解得./=:

8

又|481=|AF|+|BF|=司+%+4=+my2+E

=機(%+8)+8=8.+8=9

故9

三、解答題

17.已知等差數(shù)列｛/｝的前〃項和為S,,,$2=45,邑=63

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)當(dāng)〃為何值時，S“最大,最大值為多少？

【正確答案】(1)%=27-3〃

(2)當(dāng)"=8或"=9時，S,,取得最大值108

【分析】(1)由$2=45,$3=63,列出關(guān)于《、1的方程組，可得數(shù)列｛”“｝的通項公式;

(2)求出S,,的表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)5,取得最大時，〃的值.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛勺｝的公差為d,

[S=2a,+J=45(a.=24

由題意可2得;1解得;

[S3=3q+3d=63[d=-3

所以｛叫的通項公式為?！?24-3(〃-1)=27-3〃

J17丫867

(2)n(n-V)cl.3〃(〃-1)—3ti+51〃(2J4?

S?=na.H--------=24n---------=----------=—-------------

w12222

因為〃eN*,所以當(dāng)〃=8或"=9時，S”取得最大值生W2q=108.

2

18.已知圓C經(jīng)過點/。,2)、5(-3,4),且圓心C在直線47-1上.

(1)求圓C的方程；

(2)若直線I過點P(0,-3)與圓C相切，求直線/的方程.

【正確答案】(l)(x+2)2+。-1)2=10

_$_3或y=3x-3

(2)^=

【分析】(1)求出圓心坐標和半徑后可得圓標準方程；

(2)分類討論，斜率不存在的直線不是圓的切線，斜率存在時，設(shè)出直線方程，由圓心到

直線的距離等于半徑求得參數(shù)后得直線方程.

【詳解】(1)由題意，設(shè)圓心坐標為,則

7(/n-l)2+(-m-l-2)2=^/n+3)2+(-m-I-4)2,解得m=-2,

所以圓心為C(-2,1),半徑為廠=J(_2-廳+(1-2)2,

圓C方程為(x+2y+(y—l)2=10：

(2)過20,-3)且斜率不存在的直線為x=0,易得不與圓C相切,

故切線的斜率存在，設(shè)其方程為》=米-3即丘-y-3=0,

則”3

解得/=或3,

則直線方程為y=-*3或―，

綜上，切線方程為y=_*3或―

19.已知橢圓C：m+《=l(a>6>0),左焦點斗T,0),右焦點心。,0),且點夕卜,"在橢

aby

圓c上，直線PG與橢圓c相交于另外一點。.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求線段PQ的長度.

【正確答案】⑴卷+卷=1

瑞

【分析】（1）先利用焦點求出c=l,再利用橢圓的定義求出2人6,最后利用62=/_。2=8

即可求出橢圓方程;

（2）先求出直線P。的方程，與橢圓進行聯(lián)立可得到。的坐標，即可求解

【詳解】（1）因為橢圓的左焦點耳（-1,0）,右焦點用（L0）,所以橢圓的半焦距c=l,

因為尸（1,目在橢圓上，所以2a=|P4|+|吶=小+￡+后=6,

所以從=/-。2=8,所以橢圓C的標準方程卷+《=1

8

（2）由題意可得,”一；），4“,所以直線尸。為y=：4（x+l）

20.如圖，在四棱錐P-48CD中，P/_L平面/8CZ）,PA=6,底面是邊長為4的

菱形，且/54。=120。

（1）求證：BD1PC；

（2）求平面RIC與平面PC。夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵卓

4

【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理得到8。工平面P/C,再利用線面垂直的性質(zhì)定理

即可求證；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求得平面R4C與平面尸8的法向量，即可求得

面與面夾角的余弦值

【詳解】（1）由尸/J_平面/BCD,8￡>u平面/8CD,所以P4J.BD

又因為底面為菱形，所以AC，BD,

又因為尸//C=/，且尸4力。含于平面R4C,所以8。1平面R4C；

又PCu平面P/C,所以8OLPC

（2）設(shè)8Q,4C交于0,

根據(jù)題意可得，以。點為坐標原點，分別以O(shè)&OC所在直線為x軸、>軸，過。點作z軸垂

直于底面，建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為底面/8C。是邊長為4的菱形，且48/。=120。，

所以4BC=60。，/8C是等邊三角形，所以。。=2,。8=20,

則C(0,2,0),D(-2y[3,0,0),尸(0,-2,6)；

則CD=(-2行,-2,0),尸￡>=(-2/2,-6),

設(shè)平面PCD的一個法向量為"=(x,y,z),

,\nCD=-2y/3x-2y=0廣,rrr

得<,令Z=2A/I可得，x=-3,y=3ji,即〃=(-3,3。,275)；

[n-PD=-2>/3x+2y-6z=0

易知，〃；:(1,0,0)是平面P/C的一個法向量，

設(shè)平面R1C與平面尸8的夾角為0,

則cos0二

所以，平面P48與平面尸8。夾角的余弦值為正

4

,，

21.已知數(shù)列｛對｝滿足：《=-2,a?=an.1-2"-(w>2,?eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記b?=nan,求數(shù)列也｝的前〃項和T?

【正確答案】(1)勺=-2"

(2)7；=-2+(1-")2川

【分析1(1)由已知得。,,-a“T=-2"T〃22/?eN*,利用累加法求通項公式可得答案；

(2)寫出，，利用錯位相減法求和可得答案.

【詳解】(1)a,,-a“T=-2"T〃N2〃eN*

...a“=q+(%-q)+(/-%)+H4"-a”J=2-24_々-I

_22(T”')_-

1-2

當(dāng)"=1時滿足上式，

二?！?-2"；

(2)bn=n-an=-nx2",

23

Tn=bx+b2++b?=-1X2-2X2-3X2--〃x2",

234+I

2Tn=-1X2-2X2-3X2--?X2",

兩式相減可得=-2-22-23--2"+nx2"+,=_2(；；)+“x2"”=2+(?-l)2n+l>

所以7；=-2+(1-〃)2"".

22.已知拋物線C:/=2px(p>0),焦點為尸，點〃(4,打)(%>0)在拋物線。上，且

\MF\=5.

（1）求拋物線。的方程；

（2）若力（網(wǎng),必）、8（%,力）在拋物線C上，點A/,42中任意兩點不重合，且加力.八四=0，判

斷直線4