專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)-【二級(jí)結(jié)論速解】

備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突破技巧

專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)

一、結(jié)論

①已知函數(shù),/'（X）是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對(duì)任意的xe。，都有/（X）+/（-X）=0.

②特別地，若奇函數(shù)/（X）在D上有最值,則/（X）max+/（x）min=0；

③若0G。，則有/（O）=o.（若/（X）是奇函數(shù)，且0€。=>/（0）=0,特別提醒反之不成立）

二、典型例題（高考真題+高考模擬）

例題1.（2023?新疆?高一烏魯木齊市第70中?？迹┮阎瘮?shù)/（x）=《^二+8（。>0,。二1）在區(qū)間［。力］

上的最小值為-10,則函數(shù)"X）在區(qū)間卜瓦-可上的最大值為（）

A.10B.26C.-10D.與。有關(guān)

例題2.（2023?河南洛陽?高一孟津縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)

%）=5一+發(fā)：；丁門+.在12022,2022］上的最大值為M,最小值N,且M+N=2022,則實(shí)數(shù)f的

值是（）

A.674B.1011C.2022D.4044

例題3.（2023?山西運(yùn)城?高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)=?是奇函數(shù)，則。=.

例題4.（2023?上海閔行?高一校考）已知函數(shù)/（x）=l-一一是定義在R上的奇函數(shù).

a+a

（1）求實(shí)數(shù)“的值；

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023?云南西雙版納?高一西雙版納州第一中學(xué)校考）設(shè)函數(shù)/（工）=》5+2》3+3工+1在區(qū)間卜2021,2021］

的最大值是最小值為5，則M+m=（）

A.0B.2C.1D.3

2.（2023?新疆烏魯木齊?高一烏市八中?？迹┤羝婧瘮?shù)/（x）在區(qū)間［-3,-1］上單調(diào)遞減，且最小值為5,則

/(X)在區(qū)間［1，3］上()

A.單調(diào)遞增且有最大值-5B.單調(diào)遞增且有最小值-5

C.單調(diào)遞減且有最大值-5D.單調(diào)遞減且有最小值-5

3.(2023?云南楚雄?高三統(tǒng)考)已知奇函數(shù)在［-1,1］上的最大值為則。=()

A.；或3B.g或2C.2D.3

4.(2023?山東淄博?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)"(心0)與函數(shù)gal；—，的圖象交于不同的

S3-x

兩點(diǎn)A,8.若點(diǎn)。(，",")滿足=2,則切+”的最大值是()

A.72B.2V2C.舊D.2G

5.(2022秋?廣東珠海?高一珠海市第一中學(xué)校考期中)己知/(x)=一7+2(常數(shù)MwO)在(0,+e)上有最

ax+b

大值A(chǔ)/=3,若/(x)的最小值為N,則M+N=()

A.0B.3C.4D.5

6.(2022?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/8)7+儂&717)-5(》4-2016,2016］)的最大值為跖

最小值為加，則〃+加=()

A.-10B.10C.5D.-5

7.(2022秋?北京?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(&77-x)-5,x€［-2020,2020］的最大值為"，

最小值為加，則Af+/n=()

A.-5B.-10C.5D.10

8.(2022秋?山東臨沂?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1\+l在［-2022,2022］上的最大值和最小值

分別為M，N,則A/+N=()

A.-2B.-1C.0D.2

9.(2022秋?河北石家莊?高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí))若函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且

函數(shù)尸(x)=qf(x)+bx+5在(0,+8)上有最大值12,則函數(shù)y=P(x)在(-。,0)上有()

A.最小值-12B.最大值-12C.最小值-3D.最小值-2

二、填空題

10.(2022秋?河南周口?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，

f(x)=2'+2x+m,則/(-1)=.

三、解答題

11.（2022秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一呼市二中?？计谀┘褐瘮?shù)〃;0=二V~-'a是奇函數(shù).

⑴求。的值，判斷/（X）的單調(diào)性并說明理由；

12.（2022秋?云南西雙版納?高一西雙版納州第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)/（x）是定義在卜2,2］上的奇函

數(shù)，滿足當(dāng)-24x40時(shí)，有/（x）=￡1.

⑴求。，6的值；

2

13.（2022秋?廣東茂名?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)

⑴是否存在實(shí)數(shù)。使函數(shù)〃x）為奇函數(shù)；

14.（2022秋?河北唐山?高一灤南縣第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)/（萬人事?是奇函數(shù)

⑴求實(shí)數(shù)。的值:

專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)

一、結(jié)論

①已知函數(shù),/'(X)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對(duì)任意的xe。，都有/(X)+./(-X)=0.

②特別地，若奇函數(shù)/(X)在D上有最值,則/(X)max+/(X)min=。；

③若Ow。，則有/(O)=o.(若/(X)是奇函數(shù)，且06。=>/(0)=0,特別提醒反之不成立)

二、典型例題(高考真題+高考模擬)

例題1.(2023?新疆?高一烏魯木齊市第70中?？?已知函數(shù)/(外=宅匚+8(〃>0,。工1)在區(qū)間［。力］

上的最小值為-10,則函數(shù)/(x)在區(qū)間卜瓦-可上的最大值為()

A.10B.26C.-10D.與。有關(guān)

【答案】B

【詳解】Vf{x}=a—^-+8(a>0,a^l),y=優(yōu)與y=-。一、單調(diào)性相同，

???/(X)在區(qū)間［。,可，區(qū)間［-6,一同上均為單調(diào)函數(shù)，

又8。)='三一(a>0,aXl)，滿足g(r)=-g(x)，即g(x)為奇函數(shù),

/(x)="*_a、+8(a>0,aR1)在區(qū)間［凡可上的最小值為-10,

g(x)=°(a>0,ax1)在區(qū)間”上的最小值為-10-8=-18，

???8(冷在區(qū)間［-4-4］上的最大值為18,

???函數(shù)/(x)在區(qū)間［-6,-可上的最大值為18+8=26.

故選：B

【反思】本題中/。)=吐+8(。>0,awl)的奇偶性未知，但是通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，可以進(jìn)行構(gòu)造函

數(shù)，即構(gòu)造g(x)=/(x)-8,這樣，g(x)為奇函數(shù),從而可以得到g(x)3x+g(x)mM=0,將g(x)=f(x)-8

代入奇函數(shù)性質(zhì)，得到/(X)m,x-8+/(x)min-8=0,進(jìn)而將/'(X)=^y^+8(?>0,4W1)的最小值為70

代入，得到/(X)max-8-10-8=0=/(》)_=26.

例題2.(2023?河南洛陽?高一孟津縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的函數(shù)

/(x)=5一+二：：廣”+二在12022,2022］上的最大值為池,最小值N,且M+N=2022,則實(shí)數(shù)f的

值是()

A.674B.1011C.2022D.4044

【答案】B

【詳解】〃X)=5/+>+3x+sinx+產(chǎn)=，，+/)+5x3+3x+sinx=？+5x、3x+sinx,xe[_2022,2022],

v7x2+rx2+tx2^t

...令g(x)#"+：x+sinx,xe卜2022,2022],則/(x)=g(x)+f,

g(X)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(-x)=-；■sg)=-5x：：[nx=_g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，

???g(xLu+g(xL=°(奇函數(shù)的性質(zhì))，

X+2022

:?M+N=/(x)1rax+/(x)min=g(x)g+，+^()min，=，

??2=2022,即f=1011.

故選：B

【反思】本題中/(x)的奇偶性未知，需要對(duì)函數(shù)〃x)="+七：1sinx+：進(jìn)行化簡(jiǎn),通過化簡(jiǎn)f(x)

為：/(x)=,+生土牡皿，從而發(fā)現(xiàn)/(x)是非奇非偶函數(shù)，但是通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，可以進(jìn)行構(gòu)造

X+1

函數(shù)，即構(gòu)造g(x)=〃x)-f,這樣，g(x)為奇函數(shù)，從而可以得到gOOg+gOOmin：。，將

g(X)=〃X)T代入奇函數(shù)性質(zhì)，得到/(。叱一+/(4松T=0,進(jìn)而將河+N=2022代入，得到

2Q22=M+N=2t,從而得到f=

例題3.(2023?山西運(yùn)城?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=丁二是奇函數(shù)，則。=.

e+tz-e

【答案】-1

【詳解】因?yàn)椤╔)=,1r，故〃-x)=j.，

7e+tz-e'ex+a-ex

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，

故7?(x)+〃-x)=77、7+77M

=e'+ae+e'+y=(a+/e'+ef)=0

一(e*+q?e-)(e-+a?e")一(e'+a-)(e^+4e')一'

即S+D(e-'+e，)=0,故a=_L

故答案為：-L

【反思】在本例中，由于/(X)是奇函數(shù)，但定義域未知，也就無法確定定義域中是否含0,所以無法直接

利用奇函數(shù)性質(zhì)/(0)=0求解，這樣可能造成錯(cuò)解，所以本題需利用奇函數(shù)性質(zhì)/(x)+/(-x)=O來求解.

例題4.(2023?上海閔行?高一校考)已知函數(shù)〃x)=l-一一是定義在R上的奇函數(shù).

Q+Q

(1)求實(shí)數(shù)“的值；

【答案】⑴3

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)=是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0，

a+a

即1—=0,解得：。=3,此時(shí)〃X)=1-需二=1一右二，

a+a3+33X+1

7?2

故對(duì)于任意的xeR,有〃x)+/(r)=2-

3+13+13+13+1

即函數(shù)〃x)是R上的奇函數(shù)，所以實(shí)數(shù)。的值為3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函數(shù)，并且定義域?yàn)榛?，所以可以直接利用奇函?shù)性質(zhì)/(0)=0求解

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.(2023?云南西雙版納?高一西雙版納州第一中學(xué)?？?設(shè)函數(shù)/(》)=/+2》3+3》+1在區(qū)間卜2021,2021］

的最大值是加，最小值為切，則M+m=()

A.0B.2C.1D.3

【答案】B

【詳解】^g(x)=/(x)-l=x5+2x3+3x,則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

??g(x)在區(qū)間［-2021,2021］上的最大值與最小值之和為0,

即M-1+機(jī)一1=0,

A/+帆=2.

故選：B.

2.(2023?新疆烏魯木齊?高一烏市八中校考)若奇函數(shù)/(》)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且最小值為5,則

/(x)在區(qū)間［1，3］上()

A.單調(diào)遞增且有最大值-5B.單調(diào)遞增且有最小值-5

C.單調(diào)遞減且有最大值-5D.單調(diào)遞減且有最小值-5

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［-3,-1］上單調(diào)遞減，且最小值為5,

所以〃-1)=5,

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，

所以/(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，

所以/(x)在［1,3］上的最大值為/。)=-〃-1)=-5,

故選：c

3.(2023?云南楚雄?高三統(tǒng)考)已知奇函數(shù)/(x)=。'+6"-'在［-1,1］上的最大值為則。=()

A.，或3B.5或2C.2D.3

32

【答案】B

【詳解】由已知可得，/(-1)=「+從優(yōu),

因?yàn)?(X)是奇函數(shù),所以f(-x)=_/(x),所以/(-x)+/(x)=0,

即他+D(a'+a-，)=0,解得b=-l,BPf［x}=ax-ax.

當(dāng)a>l時(shí)，則0<：<1,所以函數(shù)歹=就在［-1』上單調(diào)遞增，函數(shù)在［-1』上單調(diào)遞減，所

以函數(shù)y=-尸在［-1』上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(，=優(yōu)-「在［-1,1］上單調(diào)遞增.所以在

11

X=1處有最大值，所以整理可得2/-3°-2=0,解得。=2或。=一］(舍去)，所以。=2；

同理，當(dāng)0<°<1時(shí)，函數(shù)/(x)=a'-a7在上單調(diào)遞減，所以/(》)=就-。-'在x=—1處有最大值，所

以/(-l)="T-a=］,整理可得2/+3a-2=0,解得。=耳或。=-2(舍去)，所以

綜上所述，。=2或“=

2

故選：B.

4.(2023?山東淄博?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)C。)=kx(kW0)與函數(shù)g(.=鑿'的圖象交于不同的

S3-x

兩點(diǎn)A,8.若點(diǎn)。(，",")滿足陀+詞=2,則加+”的最大值是()

A.41B.2五C.叢D.2G

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(x)=Ax(*wO)是一次函數(shù)，且函數(shù)圖象過原點(diǎn)，所以/(力=&(左=0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

為奇函數(shù)，

,」、八_cos2x+3

函數(shù)只町二工1王"的定義域?yàn)?-3,O)U(O,3),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

卜3r

/\cos(-2x)+3cos2x+3cos2x+3/\

b—183-》—_1(3+x『一一-Ig3+x—g㈤,所以函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù),函數(shù)N=g(x)的圖

3+xg\3-x/3-x

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

乂因?yàn)楹瘮?shù)/")二區(qū)(ZwO)與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A和3,

83-工

所以A和B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)/(%,%),貝”(一飛,一比),

因?yàn)椤?加/),所以￡>4=(%DB=(-x0-m,-y0-n),

所以刀+麗=(-2加,-2〃)，

因?yàn)閨方+而卜2,所以，(-2加)+(-2〃)2=2,即加+/=1,

因?yàn)?加+〃)=加2+〃2+2mn=1+2tnn<I+/?2+A?2=2,所以4亞,

當(dāng)且僅當(dāng)加="=也時(shí)等號(hào)成立.

2

故選：A.

5.(2022秋?廣東珠海?高一珠海市第一中學(xué)?？计谥?已知/(x)=—S+2(常數(shù)m#0)在(0,+8)上有最

ax+b

大值”=3,若/(x)的最小值為N,則M+N=()

A.0B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】令g(x)=〃x)-2=Ty(xeR),g(0)=〃0)-2=0,

ax-\-b

所以g(-x)=/(-x)-2=總了=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)?(X)在(o,+8)上有最大值M=3,所以g(x)在(0,+8)上有最大值1,

所以g(x)在(-8,0)上有最小值T,即/(力-2在(-8,0)上有最小值T,

所以/(X)在(-8,0)上有最小值1,即N=l,則M+N=4.

故選：C.

6.(2022?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)己知函數(shù)/(x)=x+ln(>/?IT-x)-5(xe[-2016,2016])的最大值為

最小值為加，則〃+加=()

A.-10B.10C.5D.-5

【答案】A

【詳解】設(shè)g(x)=/'(x)+5=x+ln(Jx2+1-x),則

g(x)+g(-x)=x+-x)-x+\n(4x^+l+x)

=In[(J/+i_x)(\lx2+1+%)]=In1=0

???g(T)=-g(X)，g(X)是奇函數(shù),因此g(X)min+g(》)max=°，

又g(X)min=/('*in+5=加+5，g(X)max=/(X)max+5=M+5,

???ga)min+ga)max="+5+加+5=0,"+加=—10.

故選：A.

7.(2022秋?北京?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(丫)=111(&777)-5/4-2020,2020］的最大值為收，

最小值為m,則Af+機(jī)=()

A.-5B.-10C.5D.10

【答案】B

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)+5=ln(而，-x),

則

g(x)+g(-%)=In^Vl+x2-xj+In\J\+x2+x)=ln(Jl+x。+x，+x)］=Ini=0,

???g(-x)=-g(x),g(x)是奇函數(shù)，

又g(x)mi?=/(xL,+5=機(jī)+5,g(x)M=/(X)m"+5=M+5，

???g(x)mM+g(x)max=A/+5+〃7+5=O，M+W=-10.

故選：B.

8.(2022秋?山東臨沂?高一校考階段練習(xí))已知函數(shù)/卜)=扁+1在［-2022,2022］上的最大值和最小值

分別為M,N,則A/+N=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【詳解】/(X)=-A7+1,則/(力一1=一.

X+1X+1

令g(X)=/(X)-1=扁，定義域?yàn)椋?2022,2022］,

則g(一力=+］=-pTT="(x)，故g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)g+g(x)min=°，

即+Jl=。，故M+N=2.

故選：D

9.(2022秋?河北石家莊?高一石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí))若函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且

函數(shù)/(x)=4(x)+bx+5在(0,+巧上有最大值12,則函數(shù)y=F(x)在(-8,0)上有()

A.最小值-12B.最大值-12C.最小值-3D.最小值-2

【答案】D

【詳解】〃x)為奇函數(shù)，則F(x)-5=q〃x)+6x也為奇函數(shù)，

*x)在(0,+司上有最大值12,則外力-5="&)+近在(0,+8)上有最大值7,

"（x）-5在（-8,0）匕有最小值-7,

可得F（x）在（-嗎0）上有最小值-2.

故選：D.

二、填空題

10.（2022秋?河南周口?高三校考階段練習(xí)）設(shè)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X20時(shí)，

/（x）=2'+2x+加，貝=.

【答案】-3

【詳解】因?yàn)椤癤）為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/（0）=0,

又當(dāng)x20時(shí)，/（^）=2'+2x+m,所以/（0）=1+機(jī)=0,則,”=-1；

則=⑴=-（2+2-1）=-3.

故答案為：-3.

三、解答題

11.（2022秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一呼市二中校考期末）己知函數(shù)/&）=宗V吟-Z7是奇函數(shù).

⑴求a的值，判斷/（x）的單調(diào)性并說明理由；

【答案】（l）a=l,〃x）是R上的遞增函數(shù)，證明見解析；

【詳解】（1）函數(shù)〃外=與二