6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

t

1.（2021四川內(nèi)江二模,6）記S“為數(shù)列四J的前n項(xiàng)和，若a1=l,a2=2,且an,2-a=1+（-1）"*j則

SHM的值為（）

Λ.5050B.2600C.2550D.2450

答案B

2.（2022屆河南期中聯(lián)考,8）設(shè)數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,Trl,已知數(shù)列｛bn｝是等差

數(shù)列,且上衛(wèi),a3=3,b,+b5=l1,則S,,+T,,≈（）

?

A.n2-2nB.2n2-nC.2n'+nD.n2+2n

答案D

3.（2021江西上饒二模,9）函數(shù)f（x）=2sinχ-χ（x>0）的所有極大值點(diǎn)從小到大排成數(shù)列｛aj,

設(shè)$“是數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和，貝IJCOSS皿=（）

A.1B,C.-D.0

22

答案B

4.（2020河南濮陽一模,8）已知數(shù)列｛aj滿足an+am=?n（m,n∈N*）且a產(chǎn)1,若［x］表示不超過X

的最大整數(shù),則數(shù)列｛［誓］｝的前10項(xiàng)和為（）

A.12B.言11QC.24D.40

5

答案C

5.（2022屆山西長治第二中學(xué)月考,10）已知數(shù)列｛an｝、｛bj的前n項(xiàng)和分別為An、B”,記

cn=anBn+bIIAn-anbn（n21）?則數(shù)列｛cn｝的前10項(xiàng)和為（）

A.A10+B,0B.^C.Al0B10D.√?‰

答案C

6.（2022屆安徽安慶懷寧中學(xué)模擬一,9）公元前4世紀(jì),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行

了研究.他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù),稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.圖

為五角形數(shù)的前4個(gè),現(xiàn)有如下說法：

①第9個(gè)五角形數(shù)比第8個(gè)五角形數(shù)多25;

②前8個(gè)五角形數(shù)之和為288;

③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列｛aj,則｛—｝的前20項(xiàng)和為610.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

答案C

7.(2021河南新鄉(xiāng)測(cè)試，11)已知數(shù)歹l∣｛aj滿足a2n-aMτ=3"T,a2B+a*,=3"+5(n∈N*),貝IJ數(shù)歹∣J｛aJ

的前40項(xiàng)和S?。=()

答案A

8.(2020長春三模，10)已知數(shù)列｛a“｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和S,,滿足4S,l=?+2a,,(n∈N?),

n

設(shè)b=(-l)?anaT.為數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和，則T20=()

A.110B.220C.440D.880

答案D

,

9.(2022屆安徽淮南一中月考三，16)若數(shù)列｛an｝對(duì)任意正整數(shù)n,有a””=a“q(其中m∈N,q為

常數(shù),qW0,q≠l),則稱數(shù)列｛aj是以m為周期，以q為周期公比的“類周期性等比數(shù)列”.若

“類周期性等比數(shù)列”的前4項(xiàng)為1,1,2,3,周期為4,周期公比為3,則數(shù)列｛aj前21項(xiàng)的和

為-

答案1090

10.(2017課標(biāo)II,15,5分)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=3,S,1=10,則Σ白_.

A=I5〃

答案3

/7+1

11.(2020課標(biāo)IH,17,12分)設(shè)數(shù)列缸｝滿足a,=3,ant,=3an-4n.

⑴計(jì)算a2,a3,猜想缸｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2"a,,｝的前n項(xiàng)和S,,.

解析(l)a2=5,a3=7.猜想a,,=2n+l.由已知可得

antl-(2n+3)=3[an-(2n+l)],

2

a,,-(2n+l)=3[a?.-(2n-l)],

--

a25=3(al3).

因?yàn)閍1=3,所以a=2n+l.

⑵由⑴得2"an=(2n+l)2",

23

所以Sn=3×2+5×2+7×2+—+(2n+l)X2".①

234

2Sn=3×2+5×2+7×2+???+(2n+l)X22②

=3×2+2×22+2×23+???+2'X2n-(2n+l)X2"".所以S=(2n-l)2nt'+2.

12.(2021陜西榆林模擬，17)已知S”為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,數(shù)列｛Sj是等差數(shù)列,且

S5=9,S9=I7.

(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；

n

(2)求數(shù)列｛an?2-S,,｝的前n項(xiàng)和T,,.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛SJ的公差為d,?.?S5=9,S9=17,Λd=^=2,S=S5+(n-5)×2=2n-l.當(dāng)

9-0

n》2吐an=Sn-Sn-l=2,當(dāng)n=l時(shí)，a∣=S∣=l,

⑵當(dāng)

,3n∕T÷2

n》2I?,T,r2-l+23-3+24-5+???+2"+'-(2n-l)=2+23+2/l+???+2ntl-(l+3+5+???+2n-l)=2+—-

1-2

吟a=2"2-nJ6,

nt22

當(dāng)n=l時(shí),T1=I,也滿足上式,所以T=2-n-6.

13.(2021新高考I,17,10分)已知數(shù)列｛a“｝滿足a,=l,4.產(chǎn)[“>"為

la.+2,n為偶數(shù).

⑴記b=a2ll,寫出b,,b2,并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛an｝的前20項(xiàng)和.

解析⑴由題意得a2nH=a2n+2,a2n.2=a2,ltl+l,所以a2,,t2=a2,,+3,即b.”=b“+3,且b1=a2=a,+l=2,所以

數(shù)列｛bj是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列，所以b,=2,b2=5,b,l=2+(n-l)×3=3n-l.

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=an.1-l.

設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”

貝!|S20=al+a2+???+a20

=(aι+a3+???+aιg)+(a2+a,l+???+?)

3

=[(a2-l)+(a4-l)+???+(a20-l)]÷(a2+a4+???+a20)

=2(a2+a4+???+a20)-10,由(1)可知a2+a4+???+a20=b1+b2+???+b10=10×2+-^-^×3=155,?

S20=2×155-10=300,

即瓜｝的前20項(xiàng)和為300.

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一錯(cuò)位相減法求和

1.(2022屆河南名校聯(lián)盟11月月考，11)定義[x]表示不超過X的最大整數(shù),如

4095

[-0.5]=-l,[2.3]=2.若數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a=[log2n](n∈N*),則Σaπ=()

/7=1

A.10×2l2+2B.9×2"+2

C.2'0-2D.78

答案A

2.(2022屆云南大理統(tǒng)測(cè)，16)已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj滿足a∣=2且番tj2給a,,an,∣=0,令b“=(n+2)a”,

則數(shù)列｛bn｝的前8項(xiàng)的和等于.

答案4606

3.(2020課標(biāo)I,17,12分)設(shè)｛aj是公比不為1的等比數(shù)列,a∣為也,加的等差中項(xiàng).

⑴求缸｝的公比；

(2)若a∣=l,求數(shù)列｛naj的前n項(xiàng)和.

22

解析⑴設(shè)｛%｝的公比為q,由題設(shè)得2a,=a2+a3,即2a,=alq+a,q.所以q+q-2=0,解得q∣=l(舍

去)1產(chǎn)-2.故｛aj的公比為-2.

n

⑵易得aπ=(-2)-.記Sn為｛nan｝的前n項(xiàng)和.則

2n

Sn=l+2×(-2)+???+n×(-2)"'',-2S,r-2+2×(-2)+???+(n-l)×(-2)"^'+n×(-2).所以

3S=l+(-2)+(-2)2+???+(-2)"-l-n×(-2)n--?γl"-n×(-2)".所以3個(gè)弋,”

n

4.(2021浙江,20,15分)已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,冉=一,且4Sn*∣=3S,,-9(n∈N*).

(D求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列I｛bj滿足3b“+(n-4)an=0(n∈N*),記｛bn｝的前n項(xiàng)和為T”若T“Wλb“對(duì)任意n∈N*

恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

4

Q

解析(1)由4Sn+l=3Sn-9,得4Sn=3Sn.1-9(π^2),則4an+1=3aπ(n^2),又4(a1+a2)=3a1-9,a1=--,

所以4a2=3al,所以｛aj是以'為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)歹∣J,所以a=-3X0)".

(2)由題意得b,,=(n-4x(9”.則

T=(-3)'子(-2)XGy+…+(n-4)x(L=(-3)x(1+(-2)X(，+…+(n-4)X。"‘，兩

+2+3,，rl

式相減,得3=(-3)×7Oβ)+???+(∣)-(n-4)×(9.所以Tn=-4n×g)"",由題意得

-4n×θ)n"≤λ(n-4)XGy恒成立,所以(入+3)n-4人20,記f(n)=(λ+3)n-4λ(n∈N*),所

以［K瑟"解得gWL

考法二裂項(xiàng)相消法求和

1.(2021江西九江二模,9)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的

理論研究,他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙粒或小石子,并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研究.形

數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點(diǎn)陣所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù),是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.

如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個(gè)數(shù),若三角形數(shù)組成數(shù)列｛aj,四邊形數(shù)組成數(shù)列｛bj,

記c廠廠」,則數(shù)列｛cn｝的前10項(xiàng)和為()

OΛ就瓜。Z儂翻

.9,10廠9「20

A.-rB.-C.-D.-

1011511

答案D

2.(2021皖江名校聯(lián)盟考試，16)已知Sn是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列｛”,｝的前n項(xiàng)和，且

S2∏-ι=?(n∈N*),若存在n∈N*,使不等式一二+—L_+_^+…-!-----+?n)λ成立，貝IJ

ala2a3a2a3^1a3a4a5anan^?ar^2\42/

實(shí)數(shù)λ的最大值是

答案?

3.(2022屆湖南名校10月聯(lián)考，16)已知正項(xiàng)數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為Snl且2S=?+an.若

b,r(-D?則數(shù)列｛bn｝的前2021項(xiàng)和為.

ΛΛ?e?t2023

口案2022

4.(2022屆新疆克拉瑪依模擬三，17)已知數(shù)列｛an｝是遞增的等差數(shù)列,a3=7,且a,是a∣與aκl

的等比中項(xiàng).

5

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式;

⑵①為=3=;②b?=an+2";③b?=a1..2".

√?+√?

從上面三個(gè)條件中任選一個(gè),求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Tn.

解析⑴?.?｛aj是遞增的等差數(shù)列，.?.數(shù)列｛a,,｝的公差d>0,由已V'得

(羯-丁的3,

(+1加解得3,..3+2(n-l)=2n+l?

((的+3d)/二為?(為+12d),｛d-2,

⑵選①時(shí),an+尸2(n+l)+l=2n+3.

biL」」L時(shí)存?-，

n√?+√?√2^T+√2^322，

β--

T1=b1+b2+??+bn=?^?［(?/?-?∕5)+(Λ∕5Λ∕7)+???+(y∕2n+l~^2n+3)］一&，［：

nn23n

②時(shí)，bn=al+2=(2n+l)+2,ΛTn=b1+b2+b3+-+bn=(3+5+7+???+2n+l)+(2'+2+2+???+2)-"給7)+

n

2d-2)2+22∏÷l,2

1-2

選③時(shí),bl,=a,l?2"=(2n+l)-2",

23

Tn=b,+b2+b3+???+b=3×2'+5×2+7X2+???+(2n+l)-2",則

234

2Tn=3×2+5×2+7×2+???+(2n+l)?2"：

兩式作差得

l2sHnnl

-Tn=3×2+2×2+2×2+???+2?2"-(2n+l)?2"=6+--?'"')-(2n+l)?2*'=(-2n+l)?2*-2,Λ

1-2

T=(2n-1)?2n*'+2.

5.(2021江西宜春六校聯(lián)考，17)已知數(shù)列｛a,,｝中，a∣=l,a向上警(n∈N*).

n^2an

(1)求證:｛￡｝是等差數(shù)列；

⑵若c=ana?H,且數(shù)列b?,-?,數(shù)歹!∣｛b.cj的前n項(xiàng)和為T,,,求T,,的取值范圍.

3〃?n

解析(1)證明：?.?a11.E&(n∈N*),

"2a“

.j?=〃+2?〃+1_”2

an*-lanan斯+1an

又二1,.?∕4是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴可得an?,所以ClI―,所以b￡飛黑黑-焉而，所以

τ=1―!—+—!------!_?+???+-----!-------——!——-1-——!——因?yàn)?/p>

n3X33X332×53n~i(2n-l)3π(2n÷l)3π(2n+l/

6

所以｛1J是遞增數(shù)列，工，的最小值為TW又因?yàn)?/p>

T<l,Λ?T<l.

nyn

6.(2020天津，19,15分)已知｛aj為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)

--

列，a??b,-l,as=5(a4a3),bs=4(b4b3).

(1)求｛aj和｛b,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,求證:SS,2〈*](n∈N*);

Y3y2)"n為奇數(shù),

(3)對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)Cn=Ia咿"2求數(shù)歹U｛cn｝的前2n項(xiàng)和.

k，n為偶數(shù).

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,等比數(shù)列此｝的公比為q.由a,=l,a5≈5(a4-a3),可得d=l,

從而｛aj的通項(xiàng)公式為a,,=n.由bl=l,b5=4(b1-b3),Jlq≠0,可得q'-4q+4=0,?,.q=2,從而｛bj的

n

通項(xiàng)公式為bn=2".

(2)證明：由(1)可得S.」喂,故SnSn.24∏(n+1)(n+2)(n+3),弓(n+1)2(n+2)；從而

S"S"-*]=W(n+D(n+2)<0,所以SnSn.2<^tl?

⑶當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),黑以巨工色言-匕;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),c“W.對(duì)任意的正整數(shù)n,

anaij￥2"02)"2nb,^↑2"

?Z22*22"、22".

由①偌￡。*右攝+…考嗡■?②

由①-②得精C2k=?…普科抖篝從而得配=l??

4

因此，康=K產(chǎn)第?嘿法所以，數(shù)列?｝的前2n項(xiàng)和為券喂祥

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用構(gòu)建數(shù)列模型解決實(shí)際問題

1.(2017課標(biāo)II,3,5分I數(shù)學(xué)文化與等比數(shù)列)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問

題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是:一座

7層塔共掛了381盞燈一,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈

()

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

7

答案B

2.（2020河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,8I數(shù)學(xué)文化與等比數(shù)列）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》

中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)，

要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第

二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地.則第二天比第四天多

走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

答案B

3.（2020沈陽東北育才中學(xué)模擬，11I生活實(shí)踐情境）一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付

將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始,每年到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期,若年利率為r保

持不變,且每年到期時(shí)存款（含利息、）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，

將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢（單位:元）的總數(shù)為（）

A.a（l+r）17B.-［（l+r）l7-（l+r）］

Γ

C.a（l+r）,δD.-［（l+r）l8-（l+r）］

Γ

答案D

4.（2022屆湖南名校10月聯(lián)考,6I實(shí)際生活與等比數(shù)列）2021年小林大學(xué)畢業(yè)后,9月1日

開始工作,他決定給自己開一張儲(chǔ)蓄銀行卡,每月的10號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次

日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多一倍,則他這張

銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬元的時(shí)間為（）

A.2022年12月11日

B.2022年B月2日

C2022年10月11日

D.2022年9月11日

答案C

5.（多選）（2021湖南、河北聯(lián)考，11