2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習專題11.3二項式定

理

練基礎

1.（2021?河北?藁城新冀明中學高二月考）已知（l+x）"=a°+aix+a2x2+...+a“xn,若

。0+。1+。2+...+麗16,貝IJ自然數(shù)"等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2021?福建寧德?高三期中）對任意實數(shù)X,有

4234

x=aQ+ax-（x-2）+?（x-2）+-（x-2）+a4-（x—2）,則4=（）

A.6B.7

C.8D.10

3.（2017?全國高考真題（理））（x+y）（2x-y”的展開式中力丁3的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

4.（2021?上海?閔行中學高三期中）（奴+：］展開式的常數(shù)項為20,則實數(shù)〃=

5.（2021?上海?曹楊二中高三期中）在（/+：）的展開式中，二項式系數(shù)之和為256,則展

開式中X4項的系數(shù)為.

6.（2021?廣東福田?高三月考）已知多項式（工+1丫+（工一1）4=/+〃/+%/+為x+a4，則4=

7.（2021?浙江?模擬預測）已知/=%（2x+l），+%（2x+l）4++q（2x+l）+%,貝lj4=

8.（2021?浙江?模擬預測）已知。+1）8=%+幷+-?+小/，/的系數(shù)為；系數(shù)最大的

項是第項.

9.（2020?上海市浦東中學高三月考）在（a+二-）"的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為

2x

256,則常數(shù)項等于.

10.（2021?山東師范大學附中高三月考）在二項式卜-1）的展開式中恰好第3項的二項式

系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是.

練提升

1.（2021.河北.唐山市第十中學高三期中）若

3450122012

(1+x)+(l+x)+(l+x)++(1+x)''=a0+axx+a2x++a2012x,則如等于()

2.【多選題】（2021?貴州遵義?高二期末（理））將楊輝三角中的每一個數(shù)C；都換成分數(shù)

1

1）c7,可得到如圖所示的分數(shù)三角形，成為"萊布尼茨三角形"，從萊布尼茨三角形可

111

以看出，存在X使得/+=77^~，則X的值是（）.

+（n+l）C?nC?_1

25

￡丄丄

363

丄111

412124

]_111]_

52030205

]_11丄丄1

6306060306

A.rB.r—\C.r+1D.r+2

3.【多選題】（2021?湖北武漢?高三期中）已知二項式（or-A），則下列說法正確的是（）

A.若a=2,則展開式的常數(shù)為60

B.展開式中有理項的個數(shù)為3

C.若展開式中各項系數(shù)之和為64,則〃=3

D.展開式中二項式系數(shù)最大為第4項

4.（2021?全國?模擬預測）（3-d，x-的展開式中，/項的系數(shù)是.（用數(shù)

字作答）

5.（2021?浙江?學軍中學高三期中）在6-的展開式中，所有項的系數(shù)和為64,則"=

.常數(shù)項的系數(shù)為.

6.（2021?河南?高三月考（理））若卜+￡|（2x-J）的展開式中各項系數(shù)的和為0,則該展

開式的常數(shù)項為.

7.（2021?全國?高二課時練習）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第行會出

現(xiàn)三個相鄰的數(shù)的比為3:4:5.

1

11

121

1331

14641

15101051

8.（202L浙江,模擬預測）二項式（6+：］的展開式中，常數(shù)項為,系數(shù)最大

的項為.

9.（2021,全國?高二課時練習）求（5|+吉-2）的展開式中的常數(shù)項.

10.（2021?全國?咼二課時練習）求（1+X），+（1+x）'+（1+X）'++（1+A：）込+（1+］尸）的展開式

中含V的項.

練真題

一—丿

1.（2019?全國高考真題（理））（1+2/）（1+x）4的展開式中V的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

2.（2020?北京高考真題）在（五-2）5的展開式中，/的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

2

3.（2020?全國高考真題（理））（x+2-）（x+y）5的展開式中W的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

4.（2021.北京高考真題）（V-丄戸展開式中常數(shù)項為.

X

5.（2021?浙江高考真題）已知多項式（X—1）3+（X+1）4=/+。雜3+出廠+Cl^x+。4，則4=

,%+%+%=?

6.（2019?浙江高考真題）在二項式（亞+"）9的展開式中，常數(shù)項是_______；系數(shù)為有

理數(shù)的項的個數(shù)是.專題11.3二項式定理

練基礎

1.（2021?河北,藁城新冀明中學高二月考）已知（1+工）"二的+0這+02%2+..+0叱，若

00+。1+。2+...+。產16,貝IJ自然數(shù)"等于（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】c

【分析】

利用賦值法，令x=l即可求解.

【詳解】

解：因為(1+x)”=ao+aix+02x2+...+aH,且ao+ai+a2+...+an=16,

令x=l,則(1+1)"=2"-oo+oi+02+...+an=16,

所以〃=4,

故選：C.

2.(2021?福建寧德?高三期中)對任意實數(shù)X,有

X」=4+4,(x―2)+a,,(x-2)~+名,(x—2)。+%■(x-2)4,貝lj%=()

A.6B.7

C.8D.10

【答案】C

【分析】

運用二項式定理進行求解即可.

【詳解】

x4=(2+x-2)4=[2+(x-2)]4,因此4=C，2"3=4x2=8,

故選：C

3.(2017?全國高考真題(理))(x+y)(2X-y)5的展開式中％3丁3的系數(shù)為(

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【解析】

(x+y)(2x-4=x(2x-?+y(2x-y)’,

r

由(2x-4展開式的通項公式Tr+l=C；(2x)*(-y)可得：

當r=3時，x(2x—y)s展開式中的系數(shù)為C；X22X(—爐=-40；

當r=2時，y(2x—4展開式中丁V的系數(shù)為c；x23x(—1)2=80,

則dy3的系數(shù)為80-40=40.

4.(2021?上海?閔行中學高三期中)(依+：)展開式的常數(shù)項為20,則實數(shù)。=

【答案】

【分析】

由二項展開式通項公式寫出常數(shù)項，從而可求得參數(shù)。.

【詳解】

展開式通項公式為7；M=C；(ar)6-'(2)=2ra6-rQx6-2r,6-2r=0,r=3,

所以2%3燒=20,a=~,

故答案為：;.

5.(2021?上海?曹楊二中高三期中)在的展開式中，二項式系數(shù)之和為256,則展

開式中犬項的系數(shù)為.

【答案】1120

【分析】

根據(jù)二項式展開式的二項式系數(shù)和為2"=256,求出n的值,再寫出二項式的通項公式為

&=C；，產(2)=2JC19田,當16-3r=4時，即可求出x4的系數(shù)

【詳解】

(d+展開式的二項式系數(shù)之和為C：+C：+d+...+C；=2"=256n〃=8

12+|J展開式的通項公式=禺,戶0=2,?C；?*”

當16-3r=4時,r=4,即7；=24(：-/=1120/

則展開式中x4的系數(shù)為1120

故答案為：1120

6.(2021?廣東福田?高三月考)已知多項式(_￥+1)3+(%-1)4=/+4戸+限2+。3》+4,則4=

【答案】-3

【分析】

由題意，卬為V的系數(shù)，*+1)3和(X-1)4的展開式中都包含/項，利用二項式展開的通項

公式，即得解

【詳解】

由題意，4為X啲系數(shù)，(X+1Y和(X-1)"的展開式中都包含V項

故qx3=Cfx3+C>3x(-1)=-3x3

故4=-3

故答案為：-3

7.（2021?浙江?模擬預測）已知x5=%（2x+l）'+%（2工+1）4++4（2X+1）+%,則%=

【答案】弓

【分析】

由X5=\［（2X+1）-1F，應用二項式定理求展開式通項，結合題設確定為對應的「值，即可

求久.

【詳解】

戸qg+D-if,則展開式通項為乙=、G（2x+i產（TA,

Elr=l時，%=看。；*（-1）=-\

故答案為：-二

32

8.（2022浙江,模擬預測）已知（x+l）8=a°+qx+…+為/，/的系數(shù)為；系數(shù)最大的

項是第項.

【答案】285

【分析】

先求出二項式展開式的通項公式，然后令X的次數(shù)為2,求出乙從而可求出，?，利用二項

式的性質可求得系數(shù)最大的項

【詳解】

*+庁展開式的通項公式為畫+1=品f-"令8-廠=2,得r=6,

所以爐的系數(shù)為C；=28,

因為（x+l）s的展開式有9項，所以由二項式的性質可知系數(shù)最大的項是第5項，

故答案為：28,5

9.（2020?上海市浦東中學高三月考）在（扳+亠）"的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為

2x

256,則常數(shù)項等于.

【答案】7

【分析】

先通過2"=256求出“，再通過二項展開式的通項公式，令x的次數(shù)為。即可求出常數(shù)項.

【詳解】

由己知得2"=256,解得"=8

必+身的展開式的通項公式為J=C；即廣售J=禺6J3，

故常數(shù)項為4==7.

故答案為：7.

10.(2021?山東師范大學附中髙三月考)在二項式卜-g1的展開式中恰好第3項的二項式

系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是.

【答案】6

【分析】

由已知，根據(jù)二項式定理可得”=4,再利用二項展開式的通項公式即可求解

【詳解】

由已知，展開式中恰好第3項的二項式系數(shù)最大可知，〃=4.

根據(jù)二項式定理設第r+1項是常數(shù)項，

則：Tz=C；a“P=c；j=C；(-l)r(xp,

令4-2r=0,解得r=2,所以常數(shù)項是1=C：(T)2=6

故答案為：6

練提升

■沙

I.(2021.河北.唐山市第十中學高三期中)若

345222

(1+x)+(1+x)+(1+^)++(l+x)'"'=aH+atx+a2x++。232*°巴則旳等于()

A.C；oi2B.GonC.C；()|3D.ejog

【答案】C

【分析】

由已知條件可知的為展開式中/的系數(shù)，利用二項式定理及組合數(shù)的性質即可得出答案.

【詳解】

解：由已知條件可知如為展開式中V的系數(shù)，

則%=c；+c：+C++C気

=C,+c：+G++c；?2

=c：+

=C：012+C；012~C；013?

故選：c.

2.【多選題】（2021?貴州遵義?髙二期末（理））將楊輝三角中的每一個數(shù)C；都換成分數(shù)

1

所后,可得到如圖所示的分數(shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形"，從萊布尼茨三角形可

111

以看出，存在x使得，，丄=77^~，則》的值是（）.

丄丄

~2~2

1丄丄

363

1111

412124

]_111丄

52030205

丄1111丄

6306060306

A.rB.r-\C.r+1D.r+2

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意由志-咼后品河可知是第〃行的第'個數(shù)減去下一行的第'個數(shù),等

于下一行即第"+1行的第X個數(shù)，結合數(shù)圖進行舉例即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意可得志-鬲冠=鬲方,

即是第"行的第，?個數(shù)減去下一行的第r個數(shù),

等于下一行即第〃+1行的第X個數(shù)，

其中”=1,2,3,?,r=0,l,2,,n-\.

當"=2/=0時，為:一:=」,

236

當〃=3,r=l時，為:—等等.

01212

由圖知（〃+；）c；是與同一行的右邊一個數(shù)'

所以是第"行的第r+1個數(shù),故％=r+1.

故選：C

3.【多選題】（2021?湖北武漢?高三期中）已知二項式（or-9］，則下列說法正確的是（）

A.若a=2,則展開式的常數(shù)為60

B.展開式中有理項的個數(shù)為3

C.若展開式中各項系數(shù)之和為64,則a=3

D.展開式中二項式系數(shù)最大為第4項

【答案】AD

【分析】

寫出二項式展開式的通項公式，對4個選項進行分析

【詳解】

（_丄丫6_3

A選項：當a=2時，小=C；（2X）6-’--=（-l）'C；26-%下，其中/"為整數(shù)，且04r46,

\/

3

令6-丁=0,解得：r=4,此時（-l）'G26T=15x4=60,故常數(shù)項為60；A正確；

/1\r3

B選項：&=禺3廣__=（_iyc"-"r,其中/?為整數(shù)，jao<r<6,

\7

當r=0時，6-39=6,當廠=2時，6-3=r=3,,當r=4時，6-3=r=0,,當/'=6時，

222

6-|r=-3,滿足有理項要求，故有4項，故B錯誤；

C選項：令中的x=l得：（a-l）''=64,所以“=3或a=T,故C錯誤；

D選項：展開式共有7項，最中間一項二項式系數(shù)最大，而最中間為第4項，所以展開式中

二項式系數(shù)最大為第4項，D正確

故選：AD

4.（2021?全國?模擬預測）（3-x2）（x-gj6的展開式中，一項的系數(shù)是.（用數(shù)

字作答）

【答案】65

【分析】

先寫出卜-gj的展開式的通項，令3與展開式的Y項相乘，--與展開式的常數(shù)項相乘，

相加即為*2項，計算系數(shù)即可

【詳解】

由題意，1的展開式的通項加=晨尸卜=晨(-1)‘尸"

令6—27=2,得r=2,得。=或(―:爐=15%2；

令6-2/?=(),得i=3,得7；=《(-1)，。=_20.

故(3-巧.1_￡|的展開式中，/項的系數(shù)為3xl5+(-1)x(-20)=65.

故答案為：65

5.(2021?浙江?學軍中學高三期中)在卜-子)的展開式中，所有項的系數(shù)和為64,則"=

.常數(shù)項的系數(shù)為.

【答案】61215

【分析】

令x=l,即可得到展開式所有項的系數(shù)和，從而求出〃，再寫出展開式的通項，即可求出展

開式中的常數(shù)項；

【詳解】

解：令x=l,則(1-3)"=64,即(一2)"=64,解得〃=6；

即口一協(xié))展開式的通項為配產卜京)=或丿予(一3)"令6-9=0,即，=*

故展開式中常數(shù)項為7；=C：x°(-3y=1215

故答案為：6,1215；

6.(2021?河南?高三月考(理))若卜+￡|(2x-￡|的展開式中各項系數(shù)的和為0,則該展

開式的常數(shù)項為.

【答案】-120

【分析】

根據(jù)，+EI2X-/J的展開式中各項系數(shù)的和為0,令x=l求得a,再利用通項公式求解.

【詳解】

5

因為卜:+外儼-丿的展開式中各項系數(shù)的和為0,

令K=1得1+。=0,

解得。=-1,

所以（X-J（2X-》5的常數(shù)項為'或（2x）21/|［：C；（2X）［-：J=T20.

故答案為：-120

7.（2021?全國?高二課時練習）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第行會出

現(xiàn)三個相鄰的數(shù)的比為3:4:5.

1

11

121

1331

14641

15101051

【答案】63

【分析】

設第〃行第％+1/+2?+3個數(shù)的比是3:4:5,列方程求解可得.

【詳解】

根據(jù)題意，設所求的行數(shù)為〃（〃€N“），則存在自然數(shù)使得渴=；且需■=（，化簡得

GT4C“_］>

八13k424

且」^=3,解得*=26，〃=63.故第63行會出現(xiàn)滿足條件的三個相鄰的

n-k-\4n-k-25

數(shù).

故答案為：63.

8.（2021?浙江?模擬預測）二項式（石+（］的展開式中，常數(shù)項為,系數(shù)最大

的項為.

【答案】1520x2

【分析】

先求得（4+丄）6展開式的通項，令X的次數(shù)為0求常數(shù)項；設系數(shù)最大的項為項，由

X

求解

【詳解】

（五+丄F展開式的通項為&=c：（6）F與=,

XX

3

令3-》=0,解得廠=2,

所以厶=*=15,即常數(shù)項為15,

設系數(shù)最大的項為項,

------：——>

r!(6-r)!"

6!、

r!(6-r)!-(r+l)!(5-r)!

解得r=3,

所以系數(shù)最大的項為n=2o『3.

；

故答案為：1520X4

9.(2021?全國?高二課時練習)求(|x|+三一2)的展開式中的常數(shù)項.

【答案】-20

【分析】

0回+《］-"=(府-矗)，，寫出通項，令》的指數(shù)為0,即可求得展開式中的常數(shù)項?

【詳解】

:(1x1+±-2)=(加一意)6,

則I”=熹)，=，

y/\x\

令6-2「=0,則r=3,

.?.5=(-1)3.屋=-20.

所以常數(shù)項為-20.

10.(2021?全國?高二課時練習)求(l+x)3+(l+x)4+(l+x)5++(l+x)'9+(l+x)2。的展開式

中含V的項.

【答案】5985*3

【分析】

根據(jù)二項展開式的形式，以及組合數(shù)的性質，即可求解.

【詳解】

由(1+X)，+(1+X)'+(1+x)'++(1+X)"+(1+X)”,

3333

可得展開式中含V的項為：c>++C1x+.+C^ox=(Cl+C^+C^+..+C^0)x

=?+C；+C；++C；。"=(C；+C；++點"=.=C；「x3=5985*3.

練真題

1.(2019?全國高考真題(理))(1+27)(1+x)'的展開式中/的系數(shù)為()

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

由題意得d的系數(shù)為C：+2C：=4+8=12,故選A.

2.(2020?北京高考真題)在(厶-2)5的展開式中，爐的系數(shù)為().

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

(4-2/展開式的通項公式為：加=G(6廠(-2)'=(-2)'中方，

5—r1

令j-=2可得：r=1，則爐的系數(shù)為：(―2)C；=(—2)x5=TO.

故選：C.

2

3.(2020?全國高考真題(理))5+二)(x+y)5的展開式中A34的系數(shù)為()

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

(x+y)5展開式的通項公式為=G/Ty，(rwN且r<5)

所以x+q)的各項與(x+y)5展開式的通項的乘積可表示為：

22

xTr+}=XC；產了=黑產了和匕&?=二=Q/y+2

XX'

在無［M=C#6-，y中，令r=3,可得：x%=C；xR,該項中％3y3的系數(shù)為10，

22

在上_心=c#1y+2中，令r=l，可得：乙7；=。13y3,該項中無3y3的系數(shù)為5

X'X

所以Vy3的系數(shù)為10+5=15

故選：c

4.（2021.北京髙考真題）（V-丄/展開式中常數(shù)項為

x

【答案】-4

【詳解】

試題分析：V的展開式的通項（+1令r=3

得常數(shù)項為7；=（-1）3?=-4.

5.（2021?浙江咼考真題）已知多項式（X—1）3+（X+I）4=/++的廠+ClyX+。4，則q=

,a2+a3+a4=.

【答案】5;10.

【解析】

根據(jù)二項展開式定理，分別求出（x-l）3,（x+4）4的展開式，即可得出結論.

【詳解】

（x-1）3=/_3x~+3x—1,

（x+1）4=x4+4x3+6x2+4x+1,

所以4=1+4=5,〃2=—3+6=3,

%=3+4=7,%=—1+1=0,

所以。2+。3+。4二1°.

故答案為：5,10.

6.（2019?浙江高考真題）在二項式（、伝+x）9的展開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有

理數(shù)的項的個數(shù)是

【答案】16發(fā)5

【解析】

（夜+x）9的通項為J=G（3）9-"?=0,l,29）

可得常數(shù)項為7；=《（0）9=11傷，

因系數(shù)為有理數(shù),「=1,3,5,7,9,有豈,豈,看,豆,幾共5個項

專題11.4隨機事件的概率與古典概型

練基礎

1.（2021?全國?高一課時練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3

次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

2.（2021?全國?高一課時練習）已知4與8是互斥事件，且P（A）=0.3,P（8）=0.1,則P（A+8）

等于（）

A.0.1B.0.3C.0.4D,0.8

3.（2019?全國高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相

鄰的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

6432

4.（2021?廣東順德?高二期中）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中

率為80%,第二場投籃30次的命中率為70%,則該同學這兩場投籃的命中率為（）

A.72%B.74%C.75%D.76%

5.（2021?廣東?佛山市南海區(qū)九江中學高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8,

兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是（）

A.0.2B.0.3C.（）.5D.0.8

6.【多選題】（2021?廣東?仲元中學高二開學考試）下列說法錯誤的是（）

A.隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率

B.某種福利彩票的中獎概率為焉，買1000張這種彩票一定能中獎

C.連續(xù)100次擲一枚硬幣，結果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為読

D.某市氣象臺預報"明天本市降水概率為70%”,指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為

明天會降水，30%認為明天不會降水

7.（2021?全國?高一課時練習）從某自動包裝機包裝的食品中，隨機抽取20袋，測得各袋

的質量（單位：g）分別為：492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,

501,502,504,496,492,496,500,501,499.根據(jù)抽測結果估計該自動包裝機包裝的袋

裝食品質量在497.5-501.5g之間的概率為.

8.（2021?全國?高一課時練習）從一批乒乓球產品中任取一個，若其質量小于2.45g的概率

為0.22,質量不小于2.50g的概率為0.20,則質量在2.45?2.50g范圍內的概率為.

9.（2021?全國?高一課時練習）操作1：將1000粒黑芝麻與1000粒白芝麻放入一個容器中，

并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.操作2：將1500粒黑芝麻

與500粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝

麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發(fā)現(xiàn)？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，

你用什么方法估計其中黑芝麻所占的百分比？

10.（2021?北京豐臺?高二期中）從兩個黑球（記為用和層）、兩個紅球（記為K和&）從

中有放回地任意抽取兩球.

（1）用集合的形式寫出試驗的樣本空間；

（2）求抽到的兩個球都是黑球的概率.

練提升

J」

1.（2021?北京豐臺?髙二期中）袋子中有4個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，1個

黃球，從中隨機抽取2個球，則抽取出的2個球恰好是1個紅球1個黃球的概率是（）

1?2

A.-B.-C.-D.1

323

2.（2021?北京市第八中學怡海分校高二期中）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事

件"只有一次中靶”互斥而不對立的是（）

A.至少一次中靶B.至多一次中靶

C.至多兩次中靶D.兩次都中靶

3.（2021?全國?高三月考（文））2019年版高中數(shù)學人教A版教材一共有5本.分別是《必修

第一冊》《必修第二冊》《選擇性必修第一冊》《選擇性必修第二冊》《選擇性必修第三冊》，

在一次數(shù)學新教材培訓會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現(xiàn)從中隨機抽出了3本送

給在場的培訓學員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為（）

3311

A.-B.—C.-D.一

51035

4.（2021?廣西南寧?高三月考（文））哥尼斯堡"七橋問題”是著名的古典數(shù)學問題，它描述的

是:在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來（如圖1）.

問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點?瑞士數(shù)學家歐

拉于1736年研究并解決了此問題，他把該問題歸結為如圖2所示的“一筆畫”問題，并證明

了上述走法是不可能的.假設在圖2所示七條線中隨機選取兩條不同的線，則這兩條線都與厶

直接相連的概率為（）

圖1圖2

5.（2021?廣東?廣州市協(xié)和中學高二期中）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽.

比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概

率都為：，且各局比賽的勝負互不影響，在甲已經先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為

)

6.（2021?廣東?仲元中學高一期末）數(shù)學多選題A,B,C,D四個選項，在給出的選項中，

有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯的得0分.已知某道數(shù)學

多選題正確答案為BCD,小明同學不會做這道題目，他隨機地填涂了1個，或2個，或3

個選項，則他能得分的概率為（）

1722

A."B.—C.-D.一

21655

7.（2021?上海市松江二中高二月考）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的

概率為.

8.（2021?北京市第八中學怡海分校高二期中）1.一個袋子中有大小和質地相同的4個球，

其中有2個紅色球（標號為1和2）,2個綠色球（標號為3和4）,從袋子中依次不放回地

摸出2個球.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）求摸出的2個球顏色相同的概率.

9.（2021?浙江?臺州市路橋區(qū)東方理想學校高二月考）從編號為4B、C、。的4名男生和

編號為m、"的2名女生中任選3人參加演講比賽.

（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；

（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；

（3）求所選3人中至少有一名女生的概率

10.（2021?陜西?西安中學高二月考（理））福州某中學高一（10）班男同學有45名，女同

學有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個由4人組成的課外學習興趣小組.

（1）求課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；

（2）經過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定從該組內選出2名同學分別做某項試驗,

求選出的2名同學中恰有1名女同學的概率；

（3）試驗結束后，同學A得到的試驗數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74；同學8得到的試驗數(shù)據(jù)

為69,70,70,72,74；請問哪位同學的試驗更穩(wěn)定？并說明理由.

練真題

1.（2021?山東?高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、

孔府這兩處景點中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點的概率是（）

2211

A.-B.—C.—D.-

9342

2.（2020?海南省高考真題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球

或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生

數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（)

A.62%B.56%

C.46%D.42%

3.（2020?全國高考真題（文））設。為正方形4死9的中心，在。A,B,C,〃中任取3

點，則取到的3點共線的概率為（）

4.（2019?江蘇高考真題）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則

選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是____.

5.（2020?江蘇省高考真題）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，

則點數(shù)和為5的概率是_____.

6.（2017?山東高考真題（文））某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家4,A2,4和3個歐洲

國家區(qū)，區(qū)，區(qū)中選擇2個國家去旅游.

（1）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

（2）若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括4,但不包括5的概率.專

題11.4隨機事件的概率與古典概型

練基礎

1.（2021?全國?高一課時練習）某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3

次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

【答案】D

【分析】

直接利用頻率的公式求解.

【詳解】

由題得這個人中靶的次數(shù)為2+3+4=9,

所以此人中靶的頻率是訐0.9.

故選：D

2.（2021?全國?高一課時練習）已知A與B是互斥事件，且尸（由=0.3,［（5）=0全,則P（A+B）

等于（）

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】

根據(jù)互斥事件概率的加法關系即可求解.

【詳解】

由題：厶，8是互斥事件，

所以尸（A+B）=P（4）+P（B）,

K/＞（A）=1-P（A）=1-0.3=0.7,,

則P（A+8）=產（A）+P（8）=0.8.

故選：D

3.（2019?全國高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相

鄰的概率是（）

1?1?11

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【解析】

兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排

丄

法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是萬.故選D.

4.（2021?廣東順德?高二期中）某同學做立定投籃訓練，共兩場，第一場投籃20次的命中

率為80%,第二場投籃30次的命中率為70%,則該同學這兩場投籃的命中率為（）

A.72%B.74%C.75%D.76%

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可直接計算.

【詳解】

該同學這兩場投籃的命中率為-----赤荷------=74%.

故選：B.

5.（2021?廣東?佛山市南海區(qū)九江中學高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8,

兩人下成平局的概率是0.5,則甲勝的概率是（）

A.0.2B.0.3C.（）.5D.0.8

【答案】B

【分析】

甲不輸分為甲勝乙和甲乙下成平局兩種情況，其中甲勝乙和甲乙下成平局是互斥事件，根據(jù)

互斥事件的概率加法公式進行求解即可.

【詳解】

甲不輸棋的設為事件厶，甲勝乙設為事件B,甲乙下成平局設為事件C,

則事件4是事件B與事件C的和,顯然8、C互斥，所以P（A）=P（3）+P（C）,而P（A）=0.8,

P（C）=0.5,所以P（B）=尸（A）—P（C）=0.3,所以甲勝的概率是0.3

故選:B

6.【多選題】（2021?廣東?仲元中學高二開學考試）下列說法錯誤的是（）

A.隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事件發(fā)生的概率

B.某種福利彩票的中獎概率為焉，買1000張這種彩票一定能中獎

C.連續(xù)100次擲一枚硬幣，結果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為益

D.某市氣象臺預報"明天本市降水概率為70%",指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為

明天會降水，30%認為明天不會降水

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)概率的定義和生活中的概率判斷各選項的對錯.

【詳解】

由頻率和概率的關系可知隨著試驗次數(shù)的增大，隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機事

件發(fā)生的概率，A正確，

某種福利彩票的中獎概率為焉，買1000張這種彩票不一定能中獎，B錯誤，

擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為C錯誤，

某市氣象臺預報"明天本市降水概率為70%”,指的是明天有70%的可能會降水，D錯誤，

故選：BCD.

7.（2021?全國?高一課時練習）從某自動包裝機包裝的食品中，隨機抽取20袋，測得各袋

的質量（單位：g）分別為：492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,

501,502,504,496,492,496,500,501,499.根據(jù)抽測結果估計該自動包裝機包裝的袋

裝食品質量在497.5?501.5g之間的概率為.

【答案】0.25

【分析】

找到質量在497.5-501.5g之間的袋數(shù)由頻率可得答案.

【詳解】

質量在497.5?501.5g之間的有498,501,500,501,499共5袋，

所以其頻率為三=0.25,由此我們可以估計質量在497.5-501.5g之間的概率為0.25.

故答案為：0.25.

8.（2021?全國?高一課時練習）從一批乒乓球產品中任取一個，若其質量小于2.45g的概率

為0.22,質量不小于2.50g的概率為0.20,則質量在2.45?2.50g范圍內的概率為.

【答案】0.58^

【分析】

利用概率的性質計算出所求概率.

【詳解】

依題意質量在2.45?2.50g范圍內的概率為1-0.22—0.2=0.58.

故答案為：0.58

9.（2021?全國?高一課時練習）操作1：將1000粒黑芝麻與1000粒白芝麻放入一個容器中，

并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝麻的頻率.操作2：將1500粒黑芝麻

與500粒白芝麻放入一個容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計算黑芝

麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發(fā)現(xiàn)？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，

你用什么方法估計其中黑芝麻所占的百分比？

【答案】答案見解析

【分析】

利用頻率估計概率的思想可得出結論.

【詳解】

通過兩次操作，我們會有所發(fā)現(xiàn)，比如：

操作】中，黑芝麻的頻率為誌樂4

操作2中,黑芝麻的頻率為就鵰T

在攪拌均勻的前提下，由此可想到可將這袋芝麻攪拌均勻后從中取出一杯，

將此杯中黑芝麻的頻率作為黑芝麻所占的百分比的估計.

10.（2021?北京豐臺?髙二期中）從兩個黑球（記為用和層）、兩個紅球（記為耳和&）從

中有放回地任意抽取兩球.

（1）用集合的形式寫出試驗的樣本空間；

（2）求抽