應(yīng)用與創(chuàng)新

應(yīng)用創(chuàng)新篇

應(yīng)用創(chuàng)新0數(shù)學(xué)與實(shí)際生活第一■題是測(cè)量海島的圖.如圖，點(diǎn)E,H,G在水

平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且

解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)

等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”?,EG稱為

模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)

“表距”?,GC和EH都稱為“表目距”，GC與

言,找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)

的差稱為“表目距的差貝悔島的高48=?

系近似化,形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再化為常

規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.

1.解答應(yīng)用題的基本思想

從熟悉的生活、生產(chǎn)和其他學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題

出發(fā)，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括

和必要的邏輯推理,得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，通表高x表距表高X表距

A.+表高表目距的差一衣同

過(guò)構(gòu)造出一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型而使問(wèn)題清晰表目距的差

化、具體化,找到有效的解題途徑——構(gòu)建數(shù)表高X表距表高X表距一表距.

C.+表距

表目距的差表目距的差

學(xué)模型，將實(shí)際生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題.用

信息提取

框圖表不如下：

?由四個(gè)選項(xiàng)結(jié)構(gòu)形式可知，將所求的海島高

度用已知的線段長(zhǎng)表示出來(lái)，由圖可知此題使

分析、聯(lián)想、用解三角形知識(shí)解決，重新讀題，在題中尋找

轉(zhuǎn)化、抽象

包含這些量的三角形；

在分析聯(lián)想的基

礎(chǔ)上，腐化為數(shù)?“海島的高48="意思是將海島的高48放

學(xué)問(wèn)題，抽豪樹I

涯一個(gè)或幾個(gè)數(shù)I在可解的三角形中，在△48,或中雖有

學(xué)模型來(lái)求解

A8,但由選項(xiàng)可知，這兩個(gè)三角形中均未有給

‘建立數(shù)學(xué)模型）

出的量“表高”“表距”“表目距”“表目距的

2.解決實(shí)際問(wèn)題的步驟差”，故應(yīng)通過(guò)作輔助線,將所給的各量包含在

1）審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量所作的三角形中；

關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型；?“==表高”為兩個(gè)直角三角形的直角

2）建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字邊長(zhǎng)；

語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立?“GC與EH”的差稱為“表目距的差”即表目

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；距的差=CC-E〃；

3）解模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論；?線段EG的長(zhǎng)度稱為“表距”.

4）還原:將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.［解題導(dǎo)引］題目的實(shí)際背景為《海島算經(jīng)》中測(cè)

例1】（2021全國(guó)乙，9,5分）魏晉時(shí)期劉徽撰海島的高的方法.讀題時(shí)要抓住本題中的三個(gè)

寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中關(guān)鍵詞——“表高”“表距”“表目距的差”，由

選項(xiàng)可知，將海島的高用給出的這幾個(gè)量表示2.理解新定義的概念、法則，對(duì)新定義所提取的

出.明確考查的內(nèi)容與解三角形相關(guān)后，再確定信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時(shí)可以尋求

要解的三角形是哪幾個(gè)，則需尋找這些量間的相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

關(guān)系.從實(shí)際背景的描述中通過(guò)添加輔助線構(gòu)3.對(duì)新定義中提取的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效的輸

造出含有已知量的三角形，通過(guò)求解這幾個(gè)三出，其中對(duì)新定義信息的提取和化歸是解題

角形，把島高表示出來(lái)即可，最后還原回用給的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn).如果是新定義的運(yùn)

定的這幾個(gè)量表示.算、法則，直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可；如果

＞解析連接FD并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)M,則48=是新定義的性質(zhì)，一般就要判斷性質(zhì)的適用

AM+BM,MF//AC.設(shè)乙BDM=a,ZBFM=。，則性,能否利用定義的外延，有時(shí)也用特值排除

MBMB尸r…r八GF等方法解決.

-=MF-MD=DF.又tan。=丁，tana

tanBtanaGC圓冷(多選)(2020新高考I,12,5分)信息

ED…MBMB(1

——，所以----------=MB\-----一\=MB嫡是信息論中的一個(gè)重要概念設(shè)隨機(jī)變量X

EHtan[3tana(tan萬(wàn)tana)

所有可能的取值為1,2,…且P(X=i)=p,

在=皿所以tf-ff

,因?yàn)椤?(，=1,2,…，九)，。小=產(chǎn),定義〉的信息

i=1

GC-EH介~MBMBGC-EH

------，所以----------=MB---------炳"(X)=-￡pjog2P()

EDtan萬(wàn)tanaED

i=1

ED-DFED-EGA.若n=1,貝ljH(X)=0

又易知DF二EG,所以MB=

GC-EH~GC-EH

B.若n=2,貝U〃(X)隨著小的增大而增大

表高X表距表高x表距

所以海島的高48=C.若P,=^(i=l,2,…，")，則”(X)隨著鼠的

表目距的差表目距的差

n

+表高(注意將各線段用專用的術(shù)語(yǔ)表示出增大而增大

來(lái))，故選A.

D.若九=2加，隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,

2,…，且P(Y=j)=Pj+p2m+H(j=1,2,???,

機(jī))，則Y)

信息提取

“設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…，

屋意味著題目給出一個(gè)隨機(jī)變量可以取到的

0數(shù)學(xué)中的新定義問(wèn)題

應(yīng)用創(chuàng)新值，形式上是一個(gè)概率問(wèn)題；

新定義問(wèn)題是相對(duì)于高中教材而言的,指n

「"P(X=i)=Pj〉0(i=1,2,…，鼠)，2p,=l"

在高中教材中不曾出現(xiàn)過(guò)的概念、定義、定理i=1

意思是隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率,這實(shí)際

以及性質(zhì).它的一般形式是由命題者先給出一

上是給出了一個(gè)分布列；

個(gè)新的概念，新的運(yùn)算法則或者給出一個(gè)抽象

函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種“新定義”?“定義X的信息嫡H(x)=-￡P(guān),log2P」是

i=1

去解決相關(guān)的問(wèn)題.一個(gè)用求和符號(hào)給出的新定義,可以依據(jù)求和

新定義問(wèn)題的解題步驟：

符號(hào)的意義，將其展開為〃(X)=-火

1.對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱i=1

和符號(hào).log也=-(Pl.log必+P2.log2P2+…+P1T'

log2P“T+P”TogzP”)，通過(guò)展開式找到H(X)與對(duì)于C,由pt='(1=1,2,…，幾)可知，"(X)=

H(y)之間的聯(lián)系.n

<￡]]

解題導(dǎo)引題目的實(shí)際背景雖然為概率問(wèn)題，

-2Pi^2Pi=~2—1。&一=1空2〃，

i=i,=1〃n

但實(shí)際上是給出一個(gè)新定義“信息嫡”.由所給

H(X)隨著"的增大而增大，C正確.

出的四個(gè)選項(xiàng)可知，本題實(shí)質(zhì)上考查對(duì)數(shù)的運(yùn)

對(duì)于D,解法一(特例法)：不妨設(shè)m=l,n=2,

算、對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)式的大小比較

2

等內(nèi)容，四個(gè)選項(xiàng)引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，層層深則H(X)=-2pj0gM=-(pj0g2Pj+p210g2P2),

i=\

入考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及轉(zhuǎn)化思想；其中B選項(xiàng)需

由于Pi+P2=1,不妨設(shè)Pi=Pz=；，則H(X)=

要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而進(jìn)行選擇，對(duì)于D選項(xiàng)，需明確

-fylog2y+ylog2=log22=1,H(K)=-lxlog2l

給出的式子“P(y=/)=P/+P2m+"'的含義，由特

殊到一般的思想歸納出其意義，從而得到=0,故H(X)>H(y),D不正確.

解法二：由，加),

"(F)=一](Pl+P2m)?10g2(Pl+P2m)+(P2+P2"T)P(Y=j)=Pj+p2nl+“(j=1,2,…

得p(y=i)=p[+p2nl,P(1=2)=0+。2時(shí)1,,

?log2(p2+p2m_1)+???+(/>?,+pm+i)*log2(7?m+

(

PM+1)]”H(X)=-(Pl?log必+P2T0g2P2+…+P(Y=m)=Pm+p…:.H(y)=-[Pi+p2m),

(

。2“-1.log2P+P2m。bg2P2m),然后再比較“l(fā)og2Pi+p2a)+(P2+P2m-1),log2(p2+p2m—1)++

(X)、H(Y)的大小(也可用特例法).(Pm+Pm+l)10g2(P0,+P“+l)],

2m

?■解析對(duì)于若九=則

A,1,P]=1,;.H(X)=由"=2〃z,得H(X)=-2pjogzp,=-(pJog2Pl

-1xlogl=0,A正確./=1

2+p210g2P2+…+P2mbg2P2m)，不妨設(shè)0<fl<l,0<6<

對(duì)于B,若九=2,貝UPi+p=1,

21,JL0<a+b01,

2

H(X)=-2pJog2Pi=-(Pjog2Pl+則log2Q<log2(Q+6),alog2a<alog2(a+fe)，同理，

i=1

61og6<61og(a+b),aloga+61og6<(a+6),

P210g2P2),：P1+P2=1,六P2=l-Pi,Pie(0,1),2222

log(a+6),

H(X)=-[pJog2Pi+(l-/h)log2(l-Pi)」,2

???PJog2Pl+〃2nJog2P2m<(P1+02加)log2(Pl+「2zn),

令/(Pl)=一由1%「1+(1-小)1臉(>Pl)]，

P210g2P2+P2時(shí)1kg2P2時(shí)1<(P2+P2時(shí)1)l(>g2(P2+

l

"Pi-------——+log2p1+(l-p1)?

Lpi-In2Plm-l)，

-1]

1----;~~T^T°g2(1-。1)=-[log2PiTog2(l-

?In2」+

Pm^Pm+Pm+110g2Pnz+l<(Pm+Pm+1)l0g2(Pm

1—PiPm+1)，

Pl)]=log------，

2P\2mm

+

2Pj0g2P,<2(PjP2m+l-；)(Pj+

i=1j=I

令/'(P1)>O,得0<Pi<q；令/'(P1)<O,得萬(wàn)<

p21n+「,)，.?.”(X)〉H(Y),D不正確.

Pi<l.>答案AC

y=/(Pi)在[0,；]上為增函數(shù)，在性上為

應(yīng)用創(chuàng)新目數(shù)學(xué)文化

減函數(shù),”(X)隨著pi的增大先增大后減小，高考對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查主要有三個(gè)方面:

B不正確.一是利用古代數(shù)學(xué)文化為背景命制與核心考

點(diǎn)相結(jié)合的題目；二是利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)直接設(shè)s”為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、

解答古代數(shù)學(xué)問(wèn)題;三是利用古代數(shù)學(xué)成果解第三層的塊數(shù)分別為S*,S2n-Sn,S3f（用等

決實(shí)際問(wèn)題.解決的關(guān)鍵是從中提取出數(shù)學(xué)問(wèn)差數(shù)列的前n項(xiàng)和表示出“上、中、下”三層的

題,利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解.每層石板總數(shù)），

倒&（2020課標(biāo)n理,4,5分）北京天壇的圜因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層巴上所以S-“+729,

3鼠（9+27兀）2^（9+18,?）_2?“9+18限）

層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天即m----------------------------=---------------

222

心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)°,向外每

九（9；9九M729,即9九2=729,解得=9,

環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的n

最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊?

所以S?=S=27X（9；9X27）=3402故選c

已知每層環(huán)數(shù)相同°,且下層比中層多729327

塊，則三層共有扇面形石板寅不含天心石）

?＞答案C

（）

應(yīng)用創(chuàng)新⑦跨學(xué)科交匯

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),

高度的抽象性、結(jié)論的確定性和廣泛的應(yīng)用性

A.3699塊B.3474塊是數(shù)學(xué)的特點(diǎn).目前在高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)越

C.3402塊D.3339塊來(lái)越多的跨學(xué)科融合試題，更多的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

信息提取在其他學(xué)科中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在平面向量、

?從題中體會(huì)“層”與“環(huán)”的區(qū)別與聯(lián)系；導(dǎo)數(shù)與物理學(xué)的應(yīng)用,立體幾何在化學(xué)物質(zhì)結(jié)

?結(jié)合圖形，明確“三層且每層的環(huán)數(shù)相同”的構(gòu)的應(yīng)用,排列組合在生物學(xué)中的應(yīng)用等.

實(shí)際意義；（2021新高考n,4,5分）衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

自上而下的各環(huán)的石板數(shù)下一環(huán)均比上一中,地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤

環(huán)多9塊,意味著這道題使用等差數(shù)列的知識(shí)道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度

解決,且等差數(shù)列的公差為9；指衛(wèi)星到地球表面的最短距離），把地球看成

?等差數(shù)列的首項(xiàng)為9；一個(gè)球心為。，半徑r為6400劭km的球，其上

若設(shè)第n環(huán)扇面形石板塊數(shù)為冊(cè)，第一層共點(diǎn)4的緯度是指與赤道所在平面?所成角

有九環(huán)，第二層為第九+1環(huán)至第2九環(huán),第三層的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜

為第2九+1環(huán)至第3鼠環(huán),并且設(shè)S.為|a,J的止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為