山東省臨沂市蘭山區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，水平地面上有一面積為30萬cn?的灰色扇形OAB,其中OA=6cm,且OA垂直于地面.將這個(gè)扇形向右滾動(dòng)

（無滑動(dòng)）至點(diǎn)B剛好接觸地面為止，則在這個(gè)滾動(dòng)過程中，點(diǎn)O移動(dòng)的距離是（）

A.-3和5B.-4和5C.-4和-3D.-1和5

3.如圖，OC過原點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn).已知N0BA=30°,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）,則。C半徑是（）

4.“黃金分割”是一條舉世公認(rèn)的美學(xué)定律.例如在攝影中，人們常依據(jù)黃金分割進(jìn)行構(gòu)圖，使畫面整體和諧.目前,

照相機(jī)和手機(jī)自帶的九宮格就是黃金分割的簡化版.要拍攝草坪上的小狗，按照黃金分割的原則，應(yīng)該使小狗置于畫

面中的位置（）

B.②D.④

5.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑。3=10,水面寬AB=12,則截面圓心。到水面的距離。。是

A.3B.4C.373D.8

6.下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天一定有霧霾

B.國家隊(duì)射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，成績?yōu)?0環(huán)

C.13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同

D.購買一張彩票，中獎(jiǎng)

7.一個(gè)袋內(nèi)裝有標(biāo)號分別為1、2、3、4的四個(gè)球，這些球除顏色外都相同.從袋內(nèi)隨機(jī)摸出一個(gè)球，讓其標(biāo)號為一

個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字，放回?fù)u勻后，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，讓其標(biāo)號為這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)是偶

數(shù)的概率為（）

1135

A.—B.-C.-D.—

24816

BM4

8.如圖，在RtZkABC中，NAC8=90。，AC=6,BC=S,點(diǎn)M是A5上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是C8上的一點(diǎn)，——=一,

CN3

當(dāng)NCAN與△CM3中的一個(gè)角相等時(shí)，則的值為（）

C.|或6

D.4或6

9.如圖，AB1.BD,CDLBD,垂足分別為8、D,AC和80相交于點(diǎn)E,E/丄80垂足為尸.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

)

10.如圖所示，拋物線y=o?+云+c（awO）的對稱軸為直線x=l,與）'軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）,其部分圖象如

圖所示，下列結(jié)論：

②4?+c>0；

2

③方程ax+bx+c-3的兩個(gè)根是-V1=0,x2=2■

④方程辦2+歷c+c=0有一個(gè)實(shí)根大于2；

⑤當(dāng)x<0時(shí)，丁隨x增大而增大.

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.在RtAABC中，NC=90。，AB=4,BC=3,貝UsinA的值是.

12.如圖，在半徑為2的OO中，弦48丄直徑垂足為E,ZACD=30°,點(diǎn)尸為OO上一動(dòng)點(diǎn)，CT丄AP于點(diǎn)F.

①弦AB的長度為；

②點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)的過程中，線段。廠長度的最小值為.

——a2a—2h亠亠=

13.已知：-=則——的值是_______.

b3a+2b

14.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面不是.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0A8C的面積為12,點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)產(chǎn)&的圖象上，則A

的值為.

16.用反證法證明命題“若。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離為d,且d>r,則點(diǎn)尸在。。的外部”，首先應(yīng)假設(shè)P

在__________.

17.如圖，拋物線,=翻2+法+。（a,b,c,是常數(shù)，。。0）,與x軸交于A,8兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，〃,〃），給出下

311

列四個(gè)結(jié)論：?a+b>0；②若（一5，另），（一5，%），（^,為）在拋物線上，則,>%>%；③若關(guān)于x的方程

以2+陵+左=0有實(shí)數(shù)根，則左2。一〃；④2a+c>0,其中正確的結(jié)論是.（填序號）

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAOAiBi的斜邊04=2,且在x軸的正半軸上，點(diǎn)為落在第一象限內(nèi).將

口△。4山1繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到Rt4O42&,再將RtZ\（M232繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,又得到

RtAOA3B3,……，依此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到RtZ\Q42oi982oi9,則點(diǎn)B2019的坐標(biāo)為.

三、解答題(共66分)

19.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(每個(gè)小方格都是邊長為一個(gè)單位長度的正

方形).

(1)請畫出AA6C關(guān)于原點(diǎn)對稱的AAIBIG；

(1)請畫出A45c繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的AAiBiG.

20.(6分)如圖所示，線段43=5,4)=4,NA=90°,DPAB,點(diǎn)C為射線OP上一點(diǎn)，3E平分NA8C交

線段AD于點(diǎn)￡(不與端點(diǎn)A,。重合).

(1)當(dāng)NABC為銳角，且tanZ45c=2時(shí)，求四邊形ABC。的面積；

(2)當(dāng)AABE與AfiCE相似時(shí)，求線段。。的長；

(3)設(shè)CO=x,DE=y,求》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

21.(6分)如圖①，在平行四邊形QMC中，以。為圓心，Q4為半徑的圓與8C相切于點(diǎn)8,與OC相交于點(diǎn)。.

圖②

(1)求厶OC的度數(shù).

(2)如圖②，點(diǎn)E在。上，連結(jié)CE與。交于點(diǎn)尸，若EF=AB,求NOCE的度數(shù).

22.(8分)如圖，CO為一。的直徑，AB、為。。上的兩條弦，且8丄于點(diǎn)尸，AOVBC,交A。延長

線于點(diǎn)E,04=1.

(1)求NOCB的度數(shù);

(2)求陰影部分的面積

23.(8分)如圖，已知A,3,。均在上，請用無刻度的直尺作圖.

(1)如圖1,若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，試畫出￡)8的平分線;

(2)如圖2,若BO//AC.試畫出NA8C的平分線.

l,x/24_Jg

24.（8分）計(jì)算或解方程：（1）（2-V3）2++2sin30°xtan60°

v2

⑵2X2+%-6=0

25.(10分)如圖，ZiABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別位于直線AC的兩側(cè)，且AD=AC,聯(lián)結(jié)BD、

CD,BD交直線AC于點(diǎn)E.

D

(1)當(dāng)NCAD=90。時(shí)，求線段AE的長.

(2)過點(diǎn)A作AH丄CD,垂足為點(diǎn)H,直線AH交BD于點(diǎn)F,

①當(dāng)NCADU20。時(shí)，設(shè)=y(其中S叱五表示^BCE的面積，S.女「表示4AEF的面積)，求y關(guān)于

\AEF

X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍；

②當(dāng)簪L=7時(shí)，請直接寫出線段AE的長.

26.(10分)定義：連結(jié)菱形的一邊中點(diǎn)與對邊的兩端點(diǎn)的線段把它分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，

那么稱這樣的菱形為自相似菱形.

(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形ABCD是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為8c中點(diǎn)，則在△A8E,△AE。，△EOC中，相

似的三角形只有△A5E與△AE0.

(2)如圖2,菱形A8CZ)是自相似菱形，NABC是銳角，邊長為4,E為8c中點(diǎn).

①求AE,OE的長；

②AC,BO交于點(diǎn)O,求tanNO3c的值.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1,A

【解析】如下圖，在灰色扇形OAB向右無滑動(dòng)滾動(dòng)過程中，點(diǎn)O移動(dòng)的距離等于線段AiBi的長度，而AiBi的長度

等于灰色扇形OAB中弧的長度/,

,**S/xOA—30^,OA=6,

22

."=10乃（cm）,即點(diǎn)O移動(dòng)的距離等于：10乃cm.

故選A.

點(diǎn)睛：在扇形沿直線無滑動(dòng)滾動(dòng)的過程中，由于圓心到圓上各點(diǎn)的距離都等于半徑，所以此時(shí)圓心作的是平移運(yùn)動(dòng),

其平移的距離就等于扇形沿直線滾動(dòng)的路程.

2、B

【解析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-l,然后根據(jù)二次函數(shù)開口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=(x+D24

對稱軸是：x=-l

Va=-l>0,

時(shí)，y隨x的增大而增大，xV-1時(shí)，y隨x的增大而減小，

由圖象可知：在-2WxW2內(nèi)，x=2時(shí)，y有最大值，y=(2+1)2-4=5,

x=-l時(shí)y有最小值，是-4,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考査了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，結(jié)合圖象可得函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】連接AD

VZA0D=90°,；.AD是圓的直徑.

在直角三角形AOD中，ND=NB=30°,0D=2,

.?.AD=_22_=遞，則圓的半徑是厶5.

cos30033

故選B.

點(diǎn)睛：連接AD.根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得AD是直徑，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得ND=NB=30°,

運(yùn)用解直角三角形的知識即可求解.

4、B

【解析】黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為

0.618,觀察圖中的位置可知應(yīng)該使小狗置于畫面中②的位置，

故選B.

5、D

【分析】根據(jù)垂徑定理，OC丄AB,故OC平分AB,由AB=12,得出BC=6,再結(jié)合已知條件和勾股定理，求出OC

即可.

【詳解】解:VOC±AB,AB=12

二BC=6

,??03=10

OC=do片一BC?=7102-62=8

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，能夠熟悉定理以及準(zhǔn)確的運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

6,C

【分析】必然事件是一定發(fā)生的事情，據(jù)此判斷即可.

【詳解】A.明天有霧霾是隨機(jī)事件，不符合題意；

B.國家隊(duì)射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，成績?yōu)?0環(huán)是隨機(jī)事件，不符合題意；

C.總共12個(gè)生肖，13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同是必然事件，符合題意；

D.購買一張彩票，中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了必然事件與隨機(jī)事件，必然事件是一定發(fā)生的的時(shí)間，隨機(jī)事件是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，熟記

概念是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出所成的兩位數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

1231

1234123412341234

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所成的兩位數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為8,

所以成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率.

162

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果〃，再從中選出符合事件A或5的結(jié)果

數(shù)目，”，然后利用概率公式求事件A或8的概率.

8、D

【分析】分兩種情形：當(dāng)=時(shí)，ACAN^ACBA,設(shè)CV=3Z,BM=4k,可得空=金二，解出左值即可；

ACCB

當(dāng)NC4iV=NMC5時(shí)，過點(diǎn)A7作丄CB,可得ACATVSMAC,得出BH*k,則C”=8-與Z,

證明AAaVs^sM,得出方程求解即可.

【詳解】解：在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=8,

:.NCMB>ZCAB>/CAN，AB=10,

,\ZCAN^ZCAB9

沒CN=3k,BM=4k,

①當(dāng)N0W=NB時(shí)，可得△CATVSACBA,

CNAC

/.——=——,

ACCB

3k6

68

,3

..K——,

2

..BM=6.

②當(dāng)NC4N=NMCB時(shí)，如圖2中，過點(diǎn)M作丄可得

.或_MHBH

一~W~~6~~~T9

:.MH=—k,BH=—k,

55

:.CH=8--k

59

,ZMCB=ZCAN,ZCHM=ZACN=90°9

:2CNS/SCHM,

CNMH

/.——=--------,

ACCH

A

3k5K

**T=r^67,

o-----K

5

綜上所述，80=4或1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三

角形解決問題.

9、A

【解析】利用平行線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解："：ABA.BD,CDLBD,EF±BD,

C.AB//CD//EF

：.AABE<^/\DCE,

：,,故選項(xiàng)B正確，

—?=—

IDCD

VEF//AB,

tf840BZ

—=——=—>

▲aDSBf

/故選項(xiàng)c,。正確,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

考査平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

10、A

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：二?拋物線開口方向向下

Aa<0

又?.,對稱軸x=l

2a

Ab=-2a>0

又???當(dāng)x=0時(shí)，可得c=3

Aabc<0,故①正確；

Vb=-2a>0,

:.y=ax2-2ax+c

當(dāng)x=?Ly<0

a+2a+c<0,即3a+c<0

又「aVO

/.4a+c<0,故②錯(cuò)誤；

Vax1+Z?x+c=3，c=3

：?ax2+foc=0

.\x(ax-b)=0

又,:b=-2a

=

：?X1=0,x22,即③正確;

:對稱軸x=l,與X軸的左交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0

???函數(shù)圖像與x軸的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2

二av2+bx+c=0的另一解大于2,故④正確;

由函數(shù)圖像可得，當(dāng)x<o時(shí)，>隨x增大而增大，故⑤正確；

故答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的基本知識和正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

II、之

4

【分析】畫出圖形，直接利用正弦函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖：

cA|

在RtAABC中：sinA=——

vAB=4,BC=3

故本題答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的定義，注意正弦，余弦，正切定義記清楚.

12、273.>/3-1

【分析】①在RtZkAOE中，解直角三角形求出AE即可解決問題.

②取AC的中點(diǎn)H,連接OH,OF,HF,求出OH,FH,根據(jù)OF2FH-OH,即0/勺這一1,由此即可解決問題.

【詳解】解：①如圖，連接OA.

D

VOA=OC=2,

.,,ZOCA=ZOAC=30°,

二ZAOE=ZOAC+ZACO=60°,

.,.AE=OA?sin60°=73?

VOE±AB,

;.AE=EB=G，

.,.AB=2AE=26,

故答案為2G.

②取AC的中點(diǎn)H,連接OH,OF,HF,

VOA=OC,AH=HC,

.,.OH丄AC,

.?.ZAHO=90°,

VZCOH=30°,

.,.OH=^OC=1,HC=6,AC=25

VCF±AP,

.*.ZAFC=90o,

.,.HF=；AC=5

/.OF>FH-OH,即OFW6-1,

.?.OF的最小值為豆-1.

故答案為G-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查軌跡，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

1

13、——

2

【分析】根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【詳解】解：由a亠=—2,可設(shè)a=2k,b=3k,(kr0),

b3

“a-2h2Z—2x32-4k1

故：------=-----------=----=—，

b+2b2k+2x3k8k2

故答案：一”.

2

【點(diǎn)睛】

此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.

14、48n

【分析】首先利用圓的面積公式即可求得側(cè)面積，利用弧長公式求得圓錐的底面半徑，得到底面面積，據(jù)此即可求得

圓錐的全面積.

【詳解】解：側(cè)面積是：/戸=底4><82=327，

底面圓半徑為：至二十2萬=4,

2

底面積=4x4?=16乃，

故圓錐的全面積是：327+16%=48萬，

故答案為：487r

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長

是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

15、-6

【解析】因?yàn)樗倪呅蜲ABC是菱形，所以對角線互相垂直平分，則點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)C在反比例函數(shù)上，設(shè)點(diǎn)

kk2k2K

C的坐標(biāo)為(芻一),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一芻一),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,—)，因此AC=-2x,OB=p,根據(jù)菱形的面積等于對角線

xxxX

乘積的一半得：

12k

S菱形OABC=5x(-2%)x—=12，解得k=-6.

16、。。上或。。內(nèi)

【分析】直接利用反證法的基本步驟得出答案.

【詳解】解：用反證法證明命題”若。O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d,且d>r,則點(diǎn)P在。O的外部”，

首先應(yīng)假設(shè)：若。。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d,且d>r,則點(diǎn)P在。O上或。。內(nèi).

故答案為：在。O上或。O內(nèi).

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的解題方法是解題關(guān)鍵.

17、0（2）@

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】①???-3<!，a>0

2a2

/.a>-b,即a+0>0,故①正確；

311

②由圖象可知，若（一2，凹），（一5，%），（5，%）在拋物線上，則%>%>為，故②正確；

③?.,拋物線y=o?+公+c與直線y=r有交點(diǎn)時(shí)，即a?+bx+c-r=0有解時(shí)，要求72〃

所以若關(guān)于x的方程以2+法+左=。有實(shí)數(shù)根，則攵=c-f4c一〃，故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)％=-1時(shí)，y=a-b+c>0

Va>-b,

/?2a+oa-b+c>0>故④正確.

故答案為①②④

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18、（-1,1）

【分析】觀察圖象可知，點(diǎn)&旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，利用這個(gè)規(guī)律解決問題即可.

【詳解】解：觀察圖象可知，點(diǎn)用旋轉(zhuǎn)8次一個(gè)循環(huán)，

?.，2018+8=252余數(shù)為2,

.,.點(diǎn)心019的坐標(biāo)與Bi（-1,1）相同，

...點(diǎn)〃2019的坐標(biāo)為（-1>1）.

故答案為（-1,1）.

【點(diǎn)睛】

本題考査坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

三、解答題（共66分）

19、（1）見解析；（1）見解析

【分析】（1）利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出A”Bi,Ci,然后描點(diǎn)即可；

（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、C的對應(yīng)點(diǎn)Ai、Ci即可.

【詳解】解：(1)如圖，AAiBiG為所作;

(1)如圖，AAiBiG為所作.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在

角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

20、(1)16；(2)2或士；(3)二-以(0<%<4.1)

5yjx2-10x+41-x+5

【分析】(1)過C作CH丄AB與H,在RtABCH中，求出CH、BH,再求出CD即可解決問題；

(2)分兩種情形①NBCE=NBAE=90。，由BE=BE,得△BEC纟Z\BEA；②NBEC=NBAE=90。，延長CE交BA延

長線于T,得ABEC纟△BET；分別求解即可；

DEDM

(3)根據(jù)DM〃AB,得匸=丁，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；

EAAB

【詳解】解：(1)如圖，過C作C“丄A8于”，

???NA=90°,DP//AB,

四邊形AOCH為矩形.

在A5C“中，C”=AD=4,ZBHC=90°,tanZCBH^2,

：.HB=CH+2=2,

二CD=AH=5-2=3,

則四邊形ABC。的面積=：（A8+CD>A￡>=；x（3+5）x4=16.

（2）???BE平分NA3C,

二ZABE=NEBC,

當(dāng)AA3E與AEBC相似時(shí)，

①NBCE=NBAE=90。,

,:BE=BE,

」ABEC纟ABEA,

二BC=BA=5,

在ABC"中，BH=yjBC2-CH2=A/52-42=3?

ACD=AH=5-3=2.

②NBEC=NBAE=90°,

延長CE交84延長線于T,

■:ZABE=NEBC,BE=BE，NBEC=4BET=第。,

：.ABEC^Afi￡T（ASA）,

ABC=BT,CE=TE,

'：CD//AT,

：.AT=CD.

令CD-x,

則在A5C"中，BC=BT=5+x,BH=5—x,ZBHC=90°,

.-.（5+x）2=（5-X）2+42,

4

解得x=g.

4

綜上，當(dāng)AABE與A￡8C相似時(shí)，線段CD的長為2或1.

（3）延長3E交CO延長線于M,

???AB//CD,

：.ZM=ZABE=NCBM,

：.CM^CB.

在NBCH中，BC=4BH2+CH-=7（5-^）2+42=Vx2-10x+41.

則DM=CM-CD=Jx2-10x+41-x，

又DM//AB,

DEDM

.■------------f

EAAB

-lOx+41-x

即

4-y5

53JC?-1Ox+41-4x/八4i\

解得y=/--------(0<x<4.1).

A/%2-10x+41-x+5

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)

造相似三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵.

21、(1)ZAOC=135°；(2)NOCE=30。.

【分析】(1)根據(jù)題意連接OB,利用圓的切線定理和平行四邊形性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)進(jìn)行綜合分析求解；

(2)根據(jù)題意連接OE,OF,過點(diǎn)O作OH丄EC于點(diǎn)H,證明△￡■(?尸是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)值進(jìn)

行分析求解即可.

【詳解】解：(1)連接。B,如下圖，

BC是圓的切線，

：.OBtBC,NQBC=90°,

?；四邊形Q48c是平行四邊形，

：.OA//BC,ZAOC=ZABC,

：.OBLOA,又OA上OB,

AQB是等腰直角三角形，

二Z4BO=45°,

二ZABC=ZABO+ZOBC=450+90°=135°,

ZAOC=135。；

(2)連接OE,OF,過點(diǎn)O作OH丄EC于點(diǎn)H,如下圖，

,:EF=AB,

.../EOF=ZAOB=90°,

'：OE=OF,

...也是等腰直角三角形，

,：0HA.EC,

:.HE=HF，

：.OH=-EF=-AB=-OC,

222

.._OH_1

**sinN/OnCrEr==一，

OC2

，NOCE=30。.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的綜合問題，熟練掌握切線和平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22、（1）NDCB=30;（2）

34

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)可以NDCB的度數(shù)；

（2）用扇形AOD的面積減去三角形OAF的面積乘2,得陰影部分面積.

【詳解】（1）證明：8為的直徑，AB為：。的弦，且8丄AB,,?.AZ>=8D,.?.NAOD=2NOC3,

■,ZAOD=/COE,

:"COE=2/DCB,

AO1BC,交A0延長線于點(diǎn)E,

ZCEO=90，

NCOE+NDCB=90,/.3ZDCB=30，

:，NDCB=30

(2)NAOE=2NOCB=2x30=60,C￡>丄AB,

ZOAF=30,且NAQO=ZAOF=60,

/.OF=—OA=—x1=—,

222

..*=胸一0產(chǎn)=1—百考

_60X乃x1211V31V3

9

3點(diǎn)形acc=----------=-SCAF=-A尸?OF=-xX—=

扇形*83606OAF22228

陰影部分的面積為：2(S扇形AQD—So")=2x[k---j=y.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用分割法求陰影部分

面積.

23、(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意連接OD并延長交圓上一點(diǎn)E,連接BE即可；

(2)根據(jù)題意連接AD與BC交與一點(diǎn)，連接此點(diǎn)和O,并延長交圓上一點(diǎn)E,連接BE即可.

【詳解】(1)如圖：BE即為所求；

(2)如圖：BE即為所求;

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)雜作圖、圓周角定理、垂徑定理以及切線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握平分弦(不是直

徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

L3

24、(1)5-J3；(2)Xi=-2,x=-

22

【分析】(1)利用完全平方差公式以及化簡二次根式和代入特殊三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)由題意觀察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解.

【詳解】(D計(jì)算：(2-6)2+'24二J8+2sin3。。乂tan60。

V2

解：原式=7-46+癥一"+2x；x百

=7-4^+273-2+73

=5—\/3.

(2)2X2+X-6^0

解法一：(2x-3)(x+2)=0

2x—3=0或x+2=0,

3

Xl=-2,X2=—?

2

解法二：a=2,b=l,c=—6,

△=b2-4ac=l2-4x2x(-6)=49,

_-1±V49-1±7

X——'9

2x24

3

Xl=-2,X2=—.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用因式分解法解一元二次方程以及實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算，涉及的知識點(diǎn)有特殊角的三角形函數(shù)值、完全平方

差公式以及二次根式的分母有理化等.

f——2x+42

25、(1)4一2百(2)y=--------——(0<x<2)；(3)厶￡=一或A￡=l

x23

【分析】(1)過點(diǎn)￡作EG丄8C,垂足為點(diǎn)G.AE=x,則EC=2-x.根據(jù)3G=EG構(gòu)建方程求出x即可解決

問題.

CRF2

(2)①證明可得心造=,由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題.

SMEF厶爐

②分兩種情形：當(dāng)NC4D<120。時(shí)，當(dāng)120°<NC4Z)<180°時(shí)，分別求解即可解決問題.

【詳解】解：(1)AABC是等邊三角形，

:.AB^BC-AC^2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°.

■：AD^AC,

：.AD=AB9

:,ZABD=ZADB,

ZABD+ZADB+ABAC+ACAD=180°,ZC4D=90°,ZABD=15°,

.-.ZEBC=45°.

過點(diǎn)E作EG丄8C,垂足為點(diǎn)G.

設(shè)AE=x,則EC=2-x.

在RtACGE中，ZACB=60°,

八1

???EG=EC-sinZACB=-(2-x),CG=ECcosZACB=l--x

22>

BG=2-CG=l+-x,

2

在RtABGE中，ZESC=45°,

?.?1.+—ix=——5(、2-x、),

22

解得x=4-2\/3.

所以線段AE的長是4-2#.

(2)①設(shè)=則/3ZM=a,ZDAC=ZfiAD-ABAC=120°-2?.

AD^AC,AHLCD,

：.ZCAF=-ZDAC=60。一a,

2

又NAE尸=60°+a,

ZAFE=6Q°,

:.ZAFE=ZACB,

又ZAEF=/BEC,

/.tsAEFs.EC，

.°qABCE_0RF心2

一\EF二宿’

由（1）得在RtACGE中，BG=1+丄x,EG=4（2一x）.

2

BE2=BG2+EG2=X2-2X+4,

.無2—2x+4

??y=------；------（0<x<2）.

x

②當(dāng)NC40V12O。時(shí)，

整理得3f+>2=0,

2

解得X=］或一1（舍棄）,

x~+2x+4

當(dāng)1200<NC4Q<180。時(shí)，同法可得），

、“rn-L—X。++4

當(dāng)y=7時(shí)，7=------5——，

整理得3d-x-2=0，

2

解得x=-§（舍棄）或1,

2

綜上所述：當(dāng)NCAD<120。時(shí)，AE=-i當(dāng)120o〈NCAD<180。時(shí)，AE=\.

3

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

26、（1）見解析；（2）①AE=2Q,DE=4y[2；②tanNO8C=咅.

【分析】（D①證明A48E纟/XOCE（SAS）,得出△A5Es/\OCE即可；

②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論；

③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

ADBEAE

（2）①由（1）③得AABEsADEA,得出一=一=一，求出AE=20,￡>E=40即可；