2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）用放大鏡將圖形放大，應(yīng)該屬于（）A．平移變換 B．相似變換 C．對(duì)稱變換 D．旋轉(zhuǎn)變換2．（4分）在比例尺是1：38000的南京交通瀏覽圖上，玄武隧道長(zhǎng)約7cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km3．（4分）在△ABC中，tanA＝1，，那么△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形4．（4分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．5．（4分）下列命題中，正確的是（）A．如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線一定平行于三角形的第三邊 B．不同向量的單位向量的長(zhǎng)度都相等，方向也都相同 C．一般來說，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè) D．相似三角形的中線的比等于相似比6．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝a，∠ACB＝θ，那么下面各式正確的是（）A．AB＝a?sinθ B．AB＝a?cosθ C．AB＝a?tanθ D．AB＝a?cotθ．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如圖，直線AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝4，那么EF的值是．8．（4分）在一個(gè)陡坡上前進(jìn)5米，水平高度升高了3米，則坡度i＝．9．（4分）拋物線y＝x2﹣1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式是．10．（4分）請(qǐng)寫出一個(gè)以直線x＝﹣2為對(duì)稱軸，且在對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的拋物線的表達(dá)式，這條拋物線的表達(dá)式可以是．11．（4分）如果E、F是△ABC的邊AB和AC的中點(diǎn)，＝，＝，那么＝．12．（4分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有點(diǎn)P、A、B、C，則圖中所形成的三角形中，相似的三角形是．13．（4分）已知α為一銳角，且cosα＝sin60°，則α＝度．14．（4分）已知α為一銳角，化簡(jiǎn)：+sinα＝．15．（4分）如果直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12，那么它的重心與外心之間的距離為．16．（4分）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），并且經(jīng)過平移后能與拋物線y＝﹣2x2重合，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是．17．（4分）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)均滿足方程x2﹣6x+8＝0，則此三角形的周長(zhǎng)為．18．（4分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝15，CD＝13，AD＝8，∠B是銳角，∠B的正弦值為，那么BC的長(zhǎng)為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）求值：20．（10分）已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，且AD：DC＝2：1．（1）設(shè)＝，＝，先化簡(jiǎn)，再求作：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）用x+y（x、y為實(shí)數(shù)）的形式表示．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＝∠APC＝135°．（1）求證：△CPA∽△APB；（2）試求tan∠PCB的值．22．（10分）如圖，浦西對(duì)岸的高樓AB，在C處測(cè)得樓頂A的仰角為30°，向高樓前進(jìn)100米到達(dá)D處，在D處測(cè)得A的仰角為45°，求高樓AB的高．23．（12分）如圖，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分線，E是AC上的一點(diǎn)，且CD2＝BC?CE，AD＝6，AE＝4．（1）求證：△BCD∽△DCE；（2）求證：△ADE∽△ACD；（3）求CE的長(zhǎng)．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣），且與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若tan∠ACO＝．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），∠MPQ＝45°，射線PQ與線段BM交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)P是邊BC上的任意一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分線CF上一點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF交邊CD于點(diǎn)G．（1）求證：AP＝PF；（2）設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為x，線段DG的長(zhǎng)為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，那么（2）式中y與x的函數(shù)關(guān)系式保持不變嗎？如改變，試直接寫出函數(shù)關(guān)系式．

2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）用放大鏡將圖形放大，應(yīng)該屬于（）A．平移變換 B．相似變換 C．對(duì)稱變換 D．旋轉(zhuǎn)變換【考點(diǎn)】RA：幾何變換的類型．【分析】根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．2．（4分）在比例尺是1：38000的南京交通瀏覽圖上，玄武隧道長(zhǎng)約7cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km【考點(diǎn)】S2：比例線段．【專題】12：應(yīng)用題．【分析】比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．按題目要求列出比例式計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)：比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．得它的實(shí)際長(zhǎng)度約為7×38000＝266000（cm）＝2.66（km）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】理解比例尺的概念，正確進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．3．（4分）在△ABC中，tanA＝1，，那么△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】2B：探究型．【分析】先根據(jù)△ABC中，tanA＝1，cotB＝求出∠A及∠B的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，進(jìn)而可判斷出三角形的形狀．【解答】解：∵△ABC中，tanA＝1，cotB＝，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴△ABC是鈍角三角形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，先特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．4．（4分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)題意判斷出二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，再令x＝0求出y的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x﹣3（a＜0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝＜0，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二或三象限，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴拋物線一定經(jīng)過第四象限，∴此函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程是解答此題的關(guān)鍵．5．（4分）下列命題中，正確的是（）A．如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線一定平行于三角形的第三邊 B．不同向量的單位向量的長(zhǎng)度都相等，方向也都相同 C．一般來說，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè) D．相似三角形的中線的比等于相似比【考點(diǎn)】LM：*平面向量；O1：命題與定理．【專題】16：壓軸題．【分析】定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；不同向量的單位向量的長(zhǎng)度不一定相等，方向也不一定相同；一般來說，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)；相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．【解答】解：A、如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、不同向量的單位向量的長(zhǎng)度不一定相等，方向也不一定相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、一般來說，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，正確．D、相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查真假命題的概念關(guān)鍵是了解黃金分割點(diǎn)，相似比，向量等知識(shí)．6．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝a，∠ACB＝θ，那么下面各式正確的是（）A．AB＝a?sinθ B．AB＝a?cosθ C．AB＝a?tanθ D．AB＝a?cotθ．【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切、余切定義可得sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝，cotθ＝，再變形可得答案．【解答】解：A、sinθ＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、cosθ＝＝，則CB＝a?cosθ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、tanθ＝＝，則AB＝a?tanθ，故此選項(xiàng)正確；D、cotθ＝，則AB＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握正弦、余弦、正切、余切定義．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如圖，直線AD∥BE∥CF，BC＝AC，DE＝4，那么EF的值是2．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)BC＝AC可得＝，再根據(jù)條件AD∥BE∥CF，可得＝，再把DE＝4代入可得EF的值．【解答】解：∵BC＝AC，∴＝，∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝4，∴＝2，∴EF＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．8．（4分）在一個(gè)陡坡上前進(jìn)5米，水平高度升高了3米，則坡度i＝．【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【分析】先求出水平方向上前進(jìn)的距離，然后根據(jù)山坡的坡度＝豎直方向上升的距離：水平方向前進(jìn)的距離，即可解題．【解答】解：如圖所示：AC＝5米，BC＝3米，則AB＝＝＝4（米），則坡度i＝＝．故答案為：3：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度的概念，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比．9．（4分）拋物線y＝x2﹣1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式是y＝﹣x2+1．【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)x坐標(biāo)相同，y坐標(biāo)互為相反數(shù)即可得出【解答】解：根據(jù)題意，﹣y＝x2﹣1，化簡(jiǎn)得：y＝﹣x2+1，故拋物線y＝x2﹣1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為：y＝﹣x2+1．故答案為：y＝﹣x2+1．故答案為：y＝﹣x2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．10．（4分）請(qǐng)寫出一個(gè)以直線x＝﹣2為對(duì)稱軸，且在對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的拋物線的表達(dá)式，這條拋物線的表達(dá)式可以是y＝﹣（x+2）2等．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】26：開放型．【分析】在對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的拋物線必然開口向下，即a＜0，直線x＝﹣2為對(duì)稱軸可直接利用配方法的形式寫出一個(gè)二次函數(shù)的解析式．【解答】解：根據(jù)題意得：y＝﹣（x+2）2．（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】配方法：將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x＝h．二次函數(shù)當(dāng)a＞0，函數(shù)開口向上，當(dāng)a＜0，函數(shù)開口向下．11．（4分）如果E、F是△ABC的邊AB和AC的中點(diǎn)，＝，＝，那么＝．【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理；LM：*平面向量．【專題】17：推理填空題．【分析】先根據(jù)向量的三角形法則得出+＝，故＝﹣，即＝﹣，再由三角形中位線定理可知，＝，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：∵+＝，∴＝﹣，即＝﹣，∵＝，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是向量的三角形法則，即首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)．規(guī)定：零向量與向量的和等于．12．（4分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有點(diǎn)P、A、B、C，則圖中所形成的三角形中，相似的三角形是△APB∽△CPA．【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定．【專題】24：網(wǎng)格型．【分析】△APB∽△CPA，可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)度即可解題．【解答】解：△APB∽△CPA，理由如下：由題意可知：AP＝＝，PB＝1，PC＝5，∴，，∵∠APB＝∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案為：△APB∽△CPA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算三角形的三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．13．（4分）已知α為一銳角，且cosα＝sin60°，則α＝30度．【考點(diǎn)】T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)∠A，∠B均為銳角，若sinA＝cosB，那么∠A+∠B＝90°即可得到結(jié)論．【解答】解：∵sin60°＝cos（90°﹣60°），∴cosα＝cos（90°﹣60°）＝cos30°，即銳角α＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，牢記互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵．14．（4分）已知α為一銳角，化簡(jiǎn)：+sinα＝1．【考點(diǎn)】73：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)α是銳角得出sinα＜1，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵α是銳角，∴sinα＜1，∴原式＝1﹣sinα+sinα＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．15．（4分）如果直角三角形的斜邊長(zhǎng)為12，那么它的重心與外心之間的距離為2．【考點(diǎn)】K5：三角形的重心；MA：三角形的外接圓與外心．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，以及重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．即可得出答案．【解答】解：∵直角三角形斜邊長(zhǎng)為12，∴斜邊上的中線AM長(zhǎng)為6，∵重心O到頂點(diǎn)A的距離與重心O到外心M的距離之比為2：1，∴三角形的重心與外心之間的距離OM為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，利用重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解決問題的關(guān)鍵．16．（4分）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），并且經(jīng)過平移后能與拋物線y＝﹣2x2重合，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y＝﹣2（x+2）2+3．【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先設(shè)原拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k，再根據(jù)經(jīng)過平移后能與拋物線y＝﹣2x2重合可知a＝﹣2，再由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）即可得出結(jié)論．【解答】解：先設(shè)原拋物線的解析式為y＝a（x+h）2+k，∵經(jīng)過平移后能與拋物線y＝﹣2x2重合，∴a＝﹣2，∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y＝﹣2（x+2）2+3．故答案為：y＝﹣2（x+2）2+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．（4分）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)均滿足方程x2﹣6x+8＝0，則此三角形的周長(zhǎng)為6，10，12．【考點(diǎn)】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三邊關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】求△ABC的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)．首先求出方程的根，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得x1＝4，x2＝2；當(dāng)4為腰，2為底時(shí)，4﹣2＜4＜4+2，能構(gòu)成等腰三角形，周長(zhǎng)為4+2+4＝10；當(dāng)2為腰，4為底時(shí)4﹣2＝2＜4+2不能構(gòu)成三角形，當(dāng)?shù)妊切蔚娜叿謩e都為4，或者都為2時(shí)，構(gòu)成等邊三角形，周長(zhǎng)分別為6，12，故△ABC的周長(zhǎng)是6或10或12．【點(diǎn)評(píng)】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．18．（4分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝15，CD＝13，AD＝8，∠B是銳角，∠B的正弦值為，那么BC的長(zhǎng)為22或12．【考點(diǎn)】LH：梯形；T7：解直角三角形．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，易得四邊形AEFD是矩形，然后由AB＝15，∠B的正弦值為，求得AE與BE的長(zhǎng)，再由勾股定理求得CF的長(zhǎng)，繼而可求得答案．【解答】解：如圖①，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝8，AE＝DF，∵AB＝15，∠B的正弦值為，∴AE＝AB?sin∠B＝15×＝12，∴BE＝＝9，∴DF＝AE＝12，∴CF＝＝＝5，∴BC＝BE+EF+CF＝9+8+5＝22．如圖②，BC＝BE+EF﹣CF＝9+8﹣5＝12．故答案為：22或12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了梯形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）求值：【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】11：計(jì)算題．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：＝＝﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．20．（10分）已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，且AD：DC＝2：1．（1）設(shè)＝，＝，先化簡(jiǎn)，再求作：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）用x+y（x、y為實(shí)數(shù)）的形式表示．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）首先化簡(jiǎn)：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣），可得原式＝+，然后根據(jù)三角形法則求解，即可作出：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）首先根據(jù)三角形法則求得，然后由AD：DC＝2：1，求得，繼而求得答案．【解答】解：（1）（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）＝﹣2﹣+3+＝+；如圖①，作BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)E，則＝＝，如圖②，＝＝，＝＝，則即為所求；（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵AD：DC＝2：1，∴＝＝（﹣）＝﹣，∴＝+＝+（﹣）＝+．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＝∠APC＝135°．（1）求證：△CPA∽△APB；（2）試求tan∠PCB的值．【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】（1）結(jié)合題意，易得∠BAC＝45°，從而可得出∠PAC+∠PAB＝45°，又在△APB中，∠APB＝135°，以及∠APB＝∠APC，即可得出△CPA∽△APB；（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之間的關(guān)系，利用（1）的條件，，在△BCP中，∠BPC＝90°，易得出tan∠PCB的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝45°，即∠PAC+∠PAB＝45°，又在△APB中，∠APB＝135°，∴∠PBA+∠PAB＝45°，∴∠PAC＝∠PBA，又∠APB＝∠APC，∴△CPA∽△APB．（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴，又∵△CPA∽△APB，∴，令CP＝k，則，又在△BCP中，∠BPC＝360°﹣∠APC﹣∠APB＝90°，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，熟練三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．22．（10分）如圖，浦西對(duì)岸的高樓AB，在C處測(cè)得樓頂A的仰角為30°，向高樓前進(jìn)100米到達(dá)D處，在D處測(cè)得A的仰角為45°，求高樓AB的高．【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】首先AB＝x，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x，在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，可得BC＝＝x，繼而可得方程：x﹣x＝100，解此方程即可求得答案．【解答】解：由題意可知：AB⊥CD，設(shè)AB＝x，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝x，在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，∴BC＝＝x．∵CD＝CB﹣BD，∴x﹣x＝100，解得：x＝50+50（m）．答：高樓AB的高為（50+50）m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，還考查了三角函數(shù)的定義，一個(gè)角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊．23．（12分）如圖，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分線，E是AC上的一點(diǎn)，且CD2＝BC?CE，AD＝6，AE＝4．（1）求證：△BCD∽△DCE；（2）求證：△ADE∽△ACD；（3）求CE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案；（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案；（3）根據(jù)兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，可得答案．【解答】（1）證明：CD是△ABC中∠ACB的角平分線，∴∠BCD＝∠DCE．∵CD2＝BC?CE，∴，∴△BCD∽△DCE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）；（2）證明：∵△BCD∽△DCE，∴∠EDC＝∠DBC（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．∵∠ADC＝∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠ADE＝∠ACD．∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）；（3）解：∵△ADE∽△ACD，∴，AC＝9，CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣），且與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若tan∠ACO＝．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），∠MPQ＝45°，射線PQ與線段BM交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2﹣2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣），求出b＝﹣，再根據(jù)tan∠ACO＝，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入y＝ax2﹣2ax﹣即可得出此拋物線的解析式；（2）①過點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥MB，垂足為點(diǎn)Q，先求出PB＝PM＝2，再根據(jù)∠PMQ＝45°，得出∠MPQ＝45°，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②當(dāng)∠MPQ＝45°，PM＝PQ時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則BP＝3﹣m，根據(jù)△MPQ∽△MBP，得出MB＝BP，2＝3﹣m，求出m的值即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，得出不合題意，舍去；③當(dāng)∠MPQ＝45°，PM＝QM時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，得出不合題意，舍去．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣），∴b＝﹣，∴OC＝，∵tan∠ACO＝，∴OA＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是：（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣得；a＝，∴此拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣，（2）①過點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥MB，垂足為點(diǎn)Q，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，﹣2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，0），∴PB＝PM＝2，∴∠PMQ＝45°，∴∠MPQ＝45°，∴PQ＝MQ，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；②當(dāng)∠MPQ＝45°，PM＝PQ時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則BP＝3﹣m，∵∠M＝∠M，∠MPQ＝∠MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴＝，∵PM＝PQ，∴MB＝BP，∵M(jìn)B＝＝2，∴2＝3﹣m，∴m＝3﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣2，0）；③當(dāng)∠MPQ＝45°，PM＝QM時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，（當(dāng)PM＝QM時(shí)，∠MPQ＝∠MQP＝45°，所以∠M＝90°，又因?yàn)椤螧＝45°，所以△MBP是等腰直角三角形，所以，點(diǎn)M在線段