第七章平行線的證明7.4平行線的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1．掌握平行線的性質(zhì)定理，會(huì)證明“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）”；了解平行于同一條直線的兩條直線平行．2．了解性質(zhì)定理與判定定理的聯(lián)系，初步感受互逆的思維過(guò)程．3．進(jìn)一步理解證明的步驟、格式和方法，發(fā)展演繹推理能力．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并掌握平行線的性質(zhì)公理和定理．難點(diǎn)：能熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理證明．三、教學(xué)用具多媒體課件，三角板、直尺。四、相關(guān)資源《平行線的性質(zhì)》動(dòng)畫(huà)，《∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角》圖片，∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3截出的內(nèi)錯(cuò)角》圖片，∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3截出的同旁?xún)?nèi)角》圖片，課本圖片．五、教學(xué)過(guò)程【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】我們學(xué)習(xí)過(guò)的平行線的性質(zhì)定理都有哪些？下面我們來(lái)證明它們.【合作探究】1.定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)述為：兩直線平行，同位角相等.已知：如圖，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB、CD被直線EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.證明：假設(shè)∠1≠∠2，那么我們可以過(guò)點(diǎn)M作直線GH，使∠EMH=∠2.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD.又因?yàn)锳B∥CD，這樣經(jīng)過(guò)點(diǎn)M存在兩條直線AB與GH都與直線CD平行.這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說(shuō)明∠1≠∠2的假設(shè)不成立，所以∠1=∠2.利用說(shuō)明的定理，我們來(lái)進(jìn)一步證明下面的定理.2.定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)述為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.已知：如圖，直線l1∥l2，∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證：∠1=∠2.證明：∵l1∥l2（已知）.∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等）.又∵∠2=∠3對(duì)頂角相等）.∴∠1=∠2（等量代換）.3.定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)述為：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).已知：如圖，直線l1∥l2，∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3截出的同旁?xún)?nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.證明：∵l1∥l2（已知）.∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等）.又∵∠2+∠3=180°（平角的定義）.∴∠1+∠2=180°（等量代換）.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)呈現(xiàn)的定理證明過(guò)程，為下面定理的證明作好鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行比較，進(jìn)而建立其二者之間的聯(lián)系，初步感受互逆的思維過(guò)程.議一議：完成一個(gè)命題的證明，需要哪些主要環(huán)節(jié)？與同伴進(jìn)行交流.參考答案：（1）理解題意；（2）根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形；（3）根據(jù)題意寫(xiě)出“已知”和“求證”；（4）分析題意，探索證明的思路；（5）依據(jù)尋求的思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)音，有條理、清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程；（6）檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧證明過(guò)程，梳理證明活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)，以提升學(xué)生的證明能力.【典例精析】例已知：如圖，直線b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直線a、b、c被直線d截出的同位角.求證：b∥c.證明：∵a∥b（已知）.∴∠2=∠1（兩直線平行，同位角相等）.∵c∥a（已知）.∴∠3=∠1（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠3（等量代換）.∴b∥c（同位角相等，兩直線平行）.得到定理：平行于同一條直線的兩條直線平行.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)平行線性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用，引出下面的定理.【課堂練習(xí)】1.下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是()D2.如圖,若AB∥DE,AC∥DF，請(qǐng)說(shuō)出∠A和∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.PFCEBAPFCEBAD∵AB∥DE()∴∠A=_______()∵AC∥DF()∴∠D=______()∴∠A=∠D()答案：已知，∠CPE，兩直線平行,同位角相等，已知，∠CPE，兩直線平行,同位角相等，等量代換.3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC上的點(diǎn)，DE∥AC且DF∥AB.求證：∠BED＝∠CFD.解析：由DE∥AC可知∠BED＝∠A，由DF∥AB可知∠CFD＝∠A，從而可得∠BED＝∠CFD.證明：∵DE∥AC(已知)，∴∠BED＝∠A(兩直線平行，同位角相等)．∵DF∥AB(已知)，∴∠CFD＝∠A(兩直線平行，同位角相等)．∴∠BED＝∠CFD(等量代換)．方法總結(jié)：在已知兩直線平行的前提下，若要求證的兩角不是平行線被第三條直線所截得的角，就要借助一個(gè)中間量，將兩者聯(lián)系起來(lái)．4.如圖，已知∠B＝∠C，AE∥BC，說(shuō)明AE平分∠CAD.解析：要說(shuō)明AE平分∠CAD，即∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)定理1和性質(zhì)定理2可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.由∠B＝∠C即可得證．解：∵AE∥BC(已知)，∴∠DAE＝∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠EAC＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠EAC(等量代換)，∴AE平分∠CAD.方法總結(jié)：?jiǎn)为?dú)考平行線某一性質(zhì)的題很少，通常都是平行線的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用．5.如圖所示，AB∥CD.求證：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.解析：證明本題的關(guān)鍵是如何使平行線與要證的角發(fā)生聯(lián)系，顯然需作出輔助線，溝通已知和結(jié)論．已知AB∥CD，但沒(méi)有一條直線既與AB相交，又與CD相交，所以需要作輔助線構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角，但是又要保證原有條件和結(jié)論的完整性，所以需要過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線．證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠B＋∠BEF＝180°(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥CD(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，∴∠FED＋∠D＝180°(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))．∴∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝180°＋180°(等式的性質(zhì))，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.方法總結(jié)：過(guò)一點(diǎn)作一條直線或線段的平行線是我們常作的輔助線．設(shè)計(jì)意圖：從簡(jiǎn)單的幾何證明(平行線的判定與性質(zhì))入手，逐步形成一個(gè)更為清晰的證明思路，進(jìn)一步理解和總結(jié)證明的步驟、格式、方法．了解兩定理在條件和結(jié)構(gòu)上的區(qū)別，體會(huì)正逆的思維過(guò)程.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．六、課堂小結(jié)今天這節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？1．兩直線平行的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（3）兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)2．平行于同一條直線的兩直線平行3．證明的一般思路及步驟（1）理解題意；（2）根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形；（3）根據(jù)題意寫(xiě)出“已知”和“求證”；（4）分析題意，探索證明的思路；（5）依據(jù)尋求的思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)音，有條理、清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程；（6）檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善.設(shè)計(jì)意圖