彎曲的強度和剛度計算

橫力彎曲時，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，因而在橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力。由剪應(yīng)力互等定理可知，在平行于中性層的縱向平面內(nèi)，也有剪應(yīng)力存在。如果剪應(yīng)力的數(shù)值過大，而梁的材料抗剪強度不足，也會發(fā)生剪切破壞。本節(jié)主要討論矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力的計算公式，對其他截面梁彎曲剪應(yīng)力只作簡要介紹。一、矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力(一)橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)(1)橫截面上各點處的剪應(yīng)力方向都平行于剪力Ｑ。(2)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即離中性軸等距離的各點處的剪應(yīng)力相等。

梁橫截面上的剪應(yīng)力彎曲的強度和剛度計算(二)剪應(yīng)力計算公式τ＝ＱＳｚ/Ｉｚｂ(6-2)式中，Ｑ為所求剪應(yīng)力的點所在橫截面上的剪力；ｂ為所求剪應(yīng)力的點處的截面寬度；Ｉｚ為整個截面對中性軸的慣性矩；Ｓｚ為所求剪應(yīng)力的點處橫線以下(或以上)的面積Ａ對中性軸的靜矩。式(6-2)就是矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力的計算公式。下面討論剪應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律。如圖6-9所示，面積Ａ*對中性軸的靜矩為將上式及Ｉｚ＝ｂｈ3／12代入式(6-2)，可得τ＝6Ｑ/ｂｈ3(ｈ2/4－ｙ2)上式表明：剪應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化。當ｙ＝±ｈ／2時，τ＝0，

即截面上下邊緣處的剪應(yīng)力為零。當ｙ＝0時，τ＝τmax，即中性軸上剪應(yīng)力最大，其值為τmax＝6Ｑ/ｂｈ3·ｈ2/4＝1.5Ｑ/Ａ(6-3)

即矩形截面上的最大剪應(yīng)力為截面上平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其他截面梁的剪應(yīng)力(一)工字形截面及Ｔ形截面工字形截面由腹板和上、下翼緣板組成，如圖6

10(ａ)所示，橫截面上的剪力Ｑ的絕大部分為腹板所承擔(dān)。在上、下翼緣板上，也有平行于Ｑ的剪應(yīng)力分量，但分布情況比較復(fù)雜，且數(shù)值較小，通常并不進行計算。工字形截面腹板為一狹長的矩形，關(guān)于矩形截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律的兩個假設(shè)仍然適用，所以腹板上的剪應(yīng)力可用式(6-2)計算，即

彎曲的強度和剛度計算

即截面上下邊緣處的剪應(yīng)力為零。當ｙ＝0時，τ＝τmax，即中性軸上剪應(yīng)力最大，其值為τmax＝6Ｑ/ｂｈ3·ｈ2/4＝1.5Ｑ/Ａ(6-3)

即矩形截面上的最大剪應(yīng)力為截面上平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其他截面梁的剪應(yīng)力(一)工字形截面及Ｔ形截面工字形截面由腹板和上、下翼緣板組成，如圖6

10(ａ)所示，橫截面上的剪力Ｑ的絕大部分為腹板所承擔(dān)。在上、下翼緣板上，也有平行于Ｑ的剪應(yīng)力分量，但分布情況比較復(fù)雜，且數(shù)值較小，通常并不進行計算。工字形截面腹板為一狹長的矩形，關(guān)于矩形截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律的兩個假設(shè)仍然適用，所以腹板上的剪應(yīng)力可用式(6-2)計算，即

＝ＱＳｚ/Ｉｚｄ(6-4)式中，ｄ為腹板的寬度；Ｑ為截面上的剪力；Ｉｚ為工字形截面對中性軸的慣性矩；Ｓｚ為過欲求應(yīng)力點的水平線與截面邊緣間的面積Ａ對中性軸的靜矩。剪應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖6-10(ｂ)所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在截面的中性軸上，且腹板上的最大剪應(yīng)力與最小剪應(yīng)力相差不大。特別是當腹板的厚度比較小時，二者相差

就更小。因此，當腹板的厚度很小時，常將橫截面上的剪力Ｑ除以腹板面積，近似地作為工字形截面梁的最大剪應(yīng)力，即τ≈Ｑ/ｈｄ(6-5)工程中還會遇到Ｔ形截面，如圖6-11所示。Ｔ形截面是由兩個矩形組成的。下面的窄長矩形仍可用矩形截面的剪應(yīng)力公式計算，最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在截面的中性軸上。(二)圓形及圓環(huán)形截面對于圓形截面和圓環(huán)形截面，彎曲時最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上(圖612)，且沿中性軸均勻分布，其值為圓形截面τmax＝4Q/3A(6-6)圓環(huán)形截面τmax＝2Ｑ/Ａ(6-7)式中，Ｑ為截面上的剪力；Ａ為圓形或圓環(huán)形截面的面積?！纠?-2】工字鋼梁如圖6-13所示，工字鋼型號為56ａ。試求該梁的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力值以及所在的位置，并求最大剪力截面上腹板與翼緣交界處ｂ點的剪應(yīng)力值。截面尺寸單位為mm。

解：(1)確定最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力的位置。作梁的彎矩、剪力圖，由剪力圖可知梁端處橫截面上剪力最大，Ｑmax＝60ｋＮ，故最大剪應(yīng)力發(fā)生在該兩橫截面的中性軸上。最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的跨中橫截面的上、下邊緣處。(2)計算最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。查型鋼表得56ａ工字鋼的Ｓzmax＝1368.8×103ｍｍ3，Ｉｚ＝65576×104ｍｍ4，ｄ＝12.5ｍｍ。截面上最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力分別為σmax＝Ｍmaxｙmax/Ｉｚ＝90×106×280/65576×104＝38.43(ＭＰａ)τmax＝ＱmaxＳzmax/ｄＩｚ＝60×103×1368.8×103/12.5×65576×104＝10.02(ＭＰａ)(3)計算ｂ點處的剪應(yīng)力τｂ。τｂ＝ＱmaxＳｚｂ/ｄＩｚ式中，Ｓｚｂ為過ｂ點