福建省部分地區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末試題匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、單選題1．（23-24高一上·福建三明·期末）“函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則函數(shù)與在內(nèi)的交點個數(shù)為（

）A．196 B．198 C．199 D．2002．（23-24高一上·福建龍巖·期末）若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·福建南平·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù)恰有三個零點,則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

二、填空題7．（23-24高一上·福建泉州·期末）對于任意且，函數(shù)的圖象恒過定點.若的圖象也過點，則.8．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為.9．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是.10．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則函數(shù)的最大值為；若，則的取值范圍為．11．（23-24高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，.12．（23-24高一上·福建寧德·期末），函數(shù)同時滿足：①，②，寫出函數(shù)的一個解析式.三、解答題13．（23-24高一上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，總存在使得，求實數(shù)b的取值范圍．14．（23-24高一上·福建南平·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)的最大值為1，求實數(shù)的值；(3)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．15．（23-24高一上·福建漳州·期末）設(shè)函數(shù)，其中.(1)若命題“，”為假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.16．（23-24高一上·福建福州·期末）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)存在區(qū)間，求的最大值．17．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最大值.參考答案：1．B【分析】由題意首先得，進一步，通過數(shù)形結(jié)合找規(guī)律即可得解.【詳解】由題意，在中，不妨令，得，所以，經(jīng)檢驗滿足題意，所以所以，如圖所示：由于與都是奇函數(shù)，先考慮時的交點個數(shù)，由圖可知時，與的交點分布在這49個區(qū)間內(nèi)，且每個區(qū)間內(nèi)都有2個交點，同理時，與的交點分布在這50個區(qū)間內(nèi)，且每個區(qū)間內(nèi)都有2個交點，綜上所述，函數(shù)與在內(nèi)的交點個數(shù)為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：在由求參數(shù)時，可先通過令特殊的值代入表達式得到關(guān)于的方程組，進一步解之并檢驗，由此即可順利得解.2．B【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計算規(guī)則得到，解得即可.【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域為，值域為，且，對于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B3．C【分析】由題意列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.4．B【分析】確定，，得到，當(dāng)時，，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；當(dāng)時，，，.函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得；同理可得：當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，解得；綜上所述：.故選：B.5．B【分析】因為,對進行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得到結(jié)果.【詳解】因為,①當(dāng)時,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時函數(shù)只有兩個零點,不滿足題意;②當(dāng)時,,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時函數(shù)恰有三個零點,滿足題意;③當(dāng)時,因為在有兩個零點,且當(dāng)時兩段拋物線的函數(shù)值相等,若要滿足題意,則兩段拋物線的圖像應(yīng)該如圖:

此時,滿足題意;綜上實數(shù)的取值范圍為.故選:B.6．A【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過定點即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點，對比選項可知A符合題意.故選：A.7．【分析】由題意首先得，然后代入得，由此即可得解.【詳解】因為函數(shù)的圖象恒過定點，所以，所以，所以，又的圖象也過點，所以，又，解得，所以.故答案為：.8．4【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象可得，且，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，且，則，可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：4.9．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式等價轉(zhuǎn)化為，解得即可.【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，不等式等價于，等價于，即，解得，即滿足的取值范圍是.故答案為：10．1【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求的最大值；不等式等價于，利用的單調(diào)性和奇偶性，求出的范圍，進而可得的范圍.【詳解】因為函數(shù)，用表示中的較小者，記為，所以，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，不等式，即，又明顯為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，因為，恒成立，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：；.11．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，即，所以當(dāng)時，.故答案為：12．（答案不唯一）.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，函數(shù)同時滿足：①由，此時函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)型或常值函數(shù)；②由，可得函數(shù)的圖象為“凸”型函數(shù)或常值函數(shù)，所以函數(shù)的一個解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.13．(1)(2)【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)可得，即可求出的值；（2）對任意，總存在使得，等價于的值域是值域的子集，即可求解.【詳解】（1），因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以；（2）由（1）得，則，因為函數(shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，因為對任意，總存在使得，所以，所以，解得，所以實數(shù)b的取值范圍為．14．(1)1(2)4(3)【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對數(shù)的運算法則即可得解；（2）利用換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）利用參數(shù)分離法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，即對任意恒成立，所以，則，故，由于的任意性，所以.（2）由（1）得，所以的最大值為1，令，則的最大值為1，①當(dāng)，即時，時，，所以；②當(dāng)，即時，時，，得（舍去）；綜上，實數(shù)．（3）因為，，函數(shù)有且只有一個零點，即方程有且只有一個實數(shù)根，由，得，則，即，因為恒成立，所以，又在上單調(diào)遞減，故，則，所以的取值范圍是.15．(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可推出“，”為真命題，結(jié)合判別式列不等式，即可求得答案；（2）由題意可得的表達式，判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因為命題“，”為假命題，所以“，”為真命題，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明如下：，且，則，因為，且，所以，，，所以，即，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.16．(1)(2)．【分析】（1）結(jié)合函數(shù)得奇偶性與單調(diào)性計算即可得；（2）由可以得到函數(shù)的對稱性，對的值進行分類討論可得函數(shù)單調(diào)性，從而得到函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，結(jié)合的對稱性及單調(diào)性從而可得其符合要求得定義域，即可得解.【詳解】（1）時，，定義域為，，，所以是奇函數(shù).，令易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)單調(diào)遞增.所以可化為，即，所以，，得，由，得，解得；由單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，又時，值為0，所以，解得，即可得，所以所求不等式的解集為．（2）因為，所以圖象關(guān)于對稱，且有，，若，則定義域為，所以在上單調(diào)遞增，令，得，又在單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對稱，所以的解集為，所以，所以，②若無意義，舍去，③若，則定義域為，所以單調(diào)遞減，令，得，又單調(diào)遞減，圖象關(guān)于對稱，所以的解集為，所以，所以，綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問關(guān)鍵在于得到函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，從而得到函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，結(jié)合的對稱性及單調(diào)性從而可得其符合要求得定義域.17．(1)(2)【分析】（1）由偶函數(shù)定義得恒等式，化簡變形即可求解.（2）首先通過換元法得，進一步，由此即可得解.【詳解】（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，令，因為，則，所以，存在，使得成立，則，所以，則，又因為，則，所以，所以的取值范圍為．18．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）解法一：分析可知為偶函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得在區(qū)間上的最小值為，且可得恒成立，根據(jù)恒成立問題分析求解；解法二：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函