2023-2024學(xué)年北京市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知集合4={-3,-2,-1,0,1},8={%|》=1-3〃,"€2},則AB=()

A.{-3,-l}B.{-2,1}C.{-3,—1,1}D.{-2,0}

【正確答案】B

【分析】先利用整數(shù)集Z的概念與列舉法得到集合B,再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={-3,—2,—l,0,l},8={x∣x=l-3"∕eZ}={,-5,-2,1,4,},

所以ACB={-2/}.

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足zS=l,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的軌跡為()

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念即可得解.

【詳解】設(shè)z=x+M,則W=X-?i,

由ZG=I得/+y2=l,即Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(χ,y)的軌跡為圓.

故選：B.

3.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程是()

1111

A.X=—B.X=——C.y=-D.y-——

2288

【正確答案】D

【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線的方程可化為X2=?v

故畀

其準(zhǔn)線方程為y=-：

O

故選：D

4.已知｛4｝是等比數(shù)列，S“為其前〃項(xiàng)和,那么“q>0”是“數(shù)列｛S,｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】B

分別從充分性和必要性入手進(jìn)行分析即可得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

,

充分性：當(dāng)q>0,q<0時(shí)，5,,+1-5,,=?+1=αl√,無法判斷其正負(fù)，顯然數(shù)列｛S,,｝為不一

定是遞增數(shù)列，充分性不成立；

必要性：當(dāng)數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列時(shí)，Sn-Sn.l=an>O,可得4>0,必要性成立.

故"％>0”是"數(shù)列｛S,｝為遞增數(shù)歹『’的必要而不充分條件.

故選：B.

方法點(diǎn)睛：證明或判斷充分性和必要性的常用方法：①定義法，②等價(jià)法，③集合包含關(guān)系

法.

5.過直線4x+3y+10=0上一點(diǎn)P作圓C:f+y2-2x=0的切線，切點(diǎn)為A,B.則四邊形

24C8的面積的最小值為()

A.√6B.C.D.2√3

【正確答案】C

【分析】由切線性質(zhì)可得與ACB=^2儼A∣?MC,由勾股定理表示出IPA|，進(jìn)而得解.

【詳解】如圖，由切線性質(zhì)可知，PALAC,PB上BCAPAgAPBC,所以S小0,彳?叫罔，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-I)2+V=1,圓心為C(l,0),半徑為r=1,點(diǎn)C到直線距離d=亨=9'

222

IPA?=y∣?PCf-∣4C∣=J∣PC∣-1,要使SPAeB=；-2|PAI-|A。最小，需使IPamm="，故

故選：C

222

6.已知雙曲線C：5-馬=1的一條漸近線的斜率為6,且與橢圓三+/=1有相等的焦

ab^5

距，則C的方程為（）

A.—-√=1B.x2-^=l

33

22

c.匚D.士-匕=1

9339

【正確答案】B

【分析】根據(jù)橢圓蘭+/=1的焦距可得雙曲線C4-

y=1的焦距2c,根據(jù)雙曲線C：

5CL

5-4=1的一條漸近線的斜率為6,可得2=6,結(jié)合c、2="+從求得“2,6,即可得出

Crba

答案.

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線C：士―《=1的一條漸近線的斜率為6,

ab"

所以2=6,即b=Gα,

a

橢圓弓+V=I的焦距為4,

22

所以雙曲線C「-與=1的焦距2c=4,即c=2,

Crb"

又因C?=+3/=4，解得。2=1，所以"=3,

所以C的方程為人.L

故選：B.

7.己知等比數(shù)列｛4｝中，??>0,其前〃項(xiàng)和為S”，前〃項(xiàng)積為（，且Sz=48,54=60,

則使得T<1成立的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.10B.IlC.12D.13

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得到首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到前〃項(xiàng)積為1，再解一元二

次不等式即可.

【詳解】等比數(shù)列｛%｝中，?>0,其前〃項(xiàng)和為S“，且Sz=48,54=60,貝ljq≠l,

組匕0=48

6z=32

λ~q,Wl+?2=1.1

i1，

q=2

ι-q

2

刖"項(xiàng)積北=al?aiq?alq

11Yl一M"

'：Tn<\,則口“<0,即∕τi">o,?.?"CN+,.?.n>ll,

2

正整數(shù)”的最小值為12.

故選：C.

8.在棱長為2的正方體ABCZ）-AMG。中，M,N兩點(diǎn)在線段A,G上運(yùn)動(dòng)，且MN=1,給

出下列結(jié)論：

①在M,N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，BoJ_平面8MN；

②在平面CDDC上存在一點(diǎn)P,使得PC//平面BMN；

③三棱錐B1-MNB的體積為定值也；

3

④以點(diǎn)。為球心作半徑為2夜的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長和為3π.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.O@④C.②④D.②③④

【正確答案】D

【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)Cl時(shí)，由于

DBBCi=^≠O,故30與BN不垂直，所以①錯(cuò)誤；

②證明出線面平行，從而平面CDDc上存在一點(diǎn)P,使得PC〃平面BΛ7N；

③作出輔助線，利用VVMWi=VB-BiMN求出體積為定值；

④得到球面被正方體表面所截得的弧為3個(gè)半徑為2的;圓弧，求出弧長和.

4

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為X軸，DC所在直線為y軸，QA所在直線為Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖1,對于①，當(dāng)點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)Cl時(shí)，此時(shí)8(2,2,0),0((),(),()),G(0,2,2),

則Z)β=(2,2,0),BC1=(0,2,2)-(2,2,0)=(-2,0,2),

因?yàn)?(2,2,())?(—2,0,2)=Y≠0,

所以8。與BN不垂直，所以①錯(cuò)誤；

對于②，平面BMN與平面BAG為同一個(gè)平面，而CR〃BA,

所以當(dāng)點(diǎn)P在CA上時(shí)，總有尸C7/平面BA1G,從而有PC〃平面BMN,所以②正確;

如圖連接交于點(diǎn)則故與。為三角形&的高,

3,BQ,AM,B∣N,AC0,BQLA1G,MN

且耳。=；與R=√Σ,

所以SBIMN=^MN?B、0=；XIX丘=與,

又BqJ_平面AAG。，

故??-Λ≡=%叫MN=；SqMΛ,?BB∣=g**x2=t,所以③正確；

DA1=DB=DCt=2√2,

以點(diǎn)D為球心作半徑為2&的球面，

球面被正方體表面所截得的弧為以A,AC為圓心，3個(gè)半徑為2的!圓弧,

7

弧長和為=x2兀x2=3兀，所以④正確，

故選：D.

9.已知函數(shù)/(x)=%3—3x,下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(x)在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程是3x+y=O

B.T是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)

C.函數(shù)y=cosx+/(X)在R上有2個(gè)極值點(diǎn)

D.函數(shù)y=cosx~√(x)在R上有2個(gè)零點(diǎn)

【正確答案】D

【分析】通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng)A,通過導(dǎo)數(shù)確定f(x)的單調(diào)性和極值，判斷選項(xiàng)

B,進(jìn)一步通過y=∕(χ)的圖象與y=cosχ圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)

y=cosx+∕(x),通過多次求導(dǎo)，判斷y=cosx+"x)的單調(diào)區(qū)間和極值判斷選項(xiàng)C.

【詳解】?."(x)=V-3x,.?.∕(x)定義域?yàn)镽,

X)=3x1-3,

對于A,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)/(x)在原點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率ζ=∕'(0)=-3,

，函數(shù)“X)在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-0=-3(x-0),即3x+y=0,故選項(xiàng)A說法正

確；

對于B,令/'G)=3χ2-3=0,解得x=—l或X=1,

當(dāng)x∈(F,τ)u(ι,y)時(shí)，附χ)>o,/(x)在區(qū)間(-∞,τ)和(l,+∞)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(T,l)時(shí),∕,(x)<0,f(x)在區(qū)間(Tl)單調(diào)遞減，

...f(X)在4-1時(shí)取得極大值，在X=1時(shí)取得極小值，

.??T是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)B說法正確；

對于C,y=cosx+f(x),Λy=-sinx+∕,(x)=-sinx+3x2-3,

令g(x)=y'=-sinx+3χ2-3,則?,(x)=-cosx+6x,

令∕z(x)=g'(x)=-8sx+6x,則當(dāng)XWR時(shí)，//(%)=sinx+6>0,

ΛΛ(.r)=g'(x)=-∞sx+6x在R上單調(diào)遞增，

KA(O)=Z(O)=-KO,〃0=g[V=d+π>o,

.?.現(xiàn)e(θ弓)，使MN)=gD=(),

當(dāng)X∈(-∞,Λ?)時(shí),g'(x)<O,y'=g(x)在區(qū)間(-8,飛)單調(diào)遞減,

當(dāng)Xe(Xo,+∞)時(shí)，g'(x)>O,y'=g(x)在區(qū)間(j?,+∞)單調(diào)遞增，

，y'=g(x)在R上的最小值為焉1=g(xO)=-SinXt)+3x；-3=-sin跖+3(*一1),

,

sin%>0,xj-l<O,Λy,nin=g(?)=-sinxo+3(x^-l)<O,

XVg(-兀)=g(π)=3(∏2-l)>0,

FO

.?.3x∣∈(,X),使丫晨=g(%)=0,3?∈(x0,π),使曠二=g(W)=。,

.?.當(dāng)x∈(-∞,Λi)u(x2,+∞)時(shí),y=g(x)>O,y=cosx+/(X)在區(qū)間(YOw)和(々,+00)上單

調(diào)遞增，

當(dāng)Xe(Xl,w)時(shí)，y'=g(x)<O,y=cosx+∕(x)在區(qū)間(X∣,Λ2)上單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)y=cosx+∕(x)的極大值點(diǎn)為x∣,極小值點(diǎn)為巧，

.?.函數(shù)y=cosx+∕(x)在R上有2個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C說法正確；

對于D,由選項(xiàng)B的判斷知，/(x)的極大值為/(T)=2,極小值為f(l)=-2,

又?.?∕(0)=八一&)=/(G)=O，??.y=cosx與y="x)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如

下圖:

如圖可知，y=cos，與y=∕(x)在同一平面直角坐標(biāo)系下有3個(gè)交點(diǎn)，

即方程CoSX=〃力有三個(gè)實(shí)數(shù)解，

即函數(shù)y=cosx-/(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D說法錯(cuò)誤.

綜上所述，說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)為D.

故選：D.

10.數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q+∕=2,?t,=5,,+1,則()

A.數(shù)列｛叫是公比為2的等比數(shù)列B.S6=48

C.R■既無最大值也無最小值D.—+—+>-+—<^7

S”4“2an3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)4”S“間的關(guān)系求出凡,S,,進(jìn)而判斷A,B；然后求出告,根據(jù)數(shù)列的增減性

判斷C；最后通過等比數(shù)列求和公式求出,+,+???+’,進(jìn)而判斷D.

13

【詳解】由題意，〃=1時(shí)，α2=S1+1=67,+1,又％+%=2,解得：?=-,?=-,

"22時(shí)，"z,=S,τ+l,則a“M-q=S,,-S“T=a“na"+[=2q,,又蟲=3,

a?

所以數(shù)列｛%｝從第2項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列.A錯(cuò)誤；

1,

—M=I

易得，?=2'',貝iJSf=%—∣=3X24-1=47,B錯(cuò)誤；

.3x2"，≥2

所以〃N2時(shí)’

綜上：FLC值LC錯(cuò)誤；

,ICIod-111

〃=1時(shí)，一=2<?γ,溺足題意；n>2f?,一=-×τττ，于是,

10110

獲尹正確.

T<5?D

故選：D.

二、填空題

Il.已知向量AB=(1,2),AC=(3,∕n),若ABL4C，則A8+：AC=.

【正確答案】I##2.5

【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得〃?，再利用平面向量線性運(yùn)算和模的坐標(biāo)表示

求得結(jié)果.

【詳解】向量A8=(l,2),AC=(3,w),若A8JL4C，有l(wèi)x3+2m=0,w=-∣,AC=(3,—|)

A*AC=(L2)+扣,一|卜(2，|),

U5

故］

12.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前一項(xiàng)和為S"，若”必=1,則品=.

【正確答案】27

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合即詈1=1可得%=3,再根據(jù)等差數(shù)列前奇數(shù)項(xiàng)和的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛α,,｝是等差數(shù)列，所以也粵=X產(chǎn)=件=2=1,所以%=3,

”505“5a5

S9=9%=27.

故27

13.將函數(shù)"x)=sin(2x+］j的圖像向右平移e(0<*<π)個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖

像，若g(x)是奇函數(shù)，則。的可能取值有個(gè).

【正確答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移得到g(x)解析式，由g(x)是奇函數(shù)解出。的取值，再由0<。<兀，

確定取值的個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)/(x)=Sin的圖像向右平移夕(0<夕<兀)個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的

圖像，

Λg(x)=sin2(x-9>)+y=Sin(2犬-29+小，

若g(x)是奇函數(shù),則有-即+m=E(.eZ),解得9毛_"(k∈Z),

362

由0<e<π,則k=0時(shí)，φ=jZ=—1時(shí)，9=0的可能取值有2個(gè).

故2

14.設(shè)常數(shù)αeR,函數(shù)"x)="?3'+*,若函數(shù)y=∕(x)+2α在XwT0］時(shí)有零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

Γ91'

【正確答案】一〒一個(gè)

【分析】令f=3',方程轉(zhuǎn)化為于產(chǎn)+〃=-1在??時(shí)有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

a|_3_

【詳解】依題意有尸/。)+24=山3'+*20=0在X4-1,0］時(shí)有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)Q=O時(shí)顯然不成立，故QW0,

設(shè)f=3*,由x∈［T,0］得fe?,l,

方程等價(jià)于/+2/=-L在re時(shí)有解，

a|_3_

-11「7-

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=*+”在_,1上單調(diào)遞增，值域?yàn)?,3,

719I

所以Q----?，解得

91

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是〒飛?

山「9Γ

故

15.給出如下關(guān)于函數(shù)"x)=W”的結(jié)論：

①②對?xγ(0,l),都叫∈(1,M),使得/(X2)=∕(%);

③大o>O,使得/(為)>Λ0;④對VX>0,都有/(x)+e≤e2χ

其中正確的有.(填上所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))

【正確答案】①③④

【分析】通過導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對于①作差法比較大?。挥蓡握{(diào)性判斷值域，來判

斷②是否正確；對于③化簡/(x)-x,構(gòu)造函數(shù)來解決是否存在的問題；作差，構(gòu)造函數(shù)求

最值判斷④是否成立.

【詳解】函數(shù)〃刈=葉9,定義域?yàn)?0,+功，

嗎F圖=2(l-ln2)-∣(l+ln∣)=∣[2-3ln27n∣)

=|(2-lnkx∣U=g(27nl2)<0,

即嗎)<f(∣｝故①正確;

r(x)=普，Xe(0,1),∕,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，x∈(L+∞),∕,(x)<0,/(x)單調(diào)

遞減，

當(dāng)Xl=ge(0,l)時(shí)，/(x∣)=∕QJ=O,Vx1e(l,-h?o),都有/(w)>0,找不到Λ2G(1,?BΛ),

使得/(々)=/(王)，故②錯(cuò)誤；

上,、l+lnxl+lnx-x2?.

/(x)-X=---------X=-------------,令〃7(zXλ)=I1+lnx-x2,

XX

11-9V?2

貝!j∕z,(x)=——2x=-------,x>0,

XX

故Xe(OΛ,(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，x∈K,+≡o,Λ,(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

2

即≡?>0,使得/(??)>%,故③正確；

設(shè)g(x)=l+lnx+er-e2χ2,函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞),

g'(x)=Le-2e2χ=-2e2χ2+ex+lj(2ex+l)(ex-l),

XXX

Xe(O,J),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，xe(g,+8),g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，g(x)有

最大值g1)=0,

22

所以g(x)=l+lnx+erγ2χ2≤0,gp]+]nχ+er≤ex,得^^+e≤e?

所以對VX>0,都有/(x)+e≤e2χ,④正確;

故①@④

三、解答題

16.某校在2021年的綜合素質(zhì)冬令營初試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，并將成績

共分成五組:第1組［75,80),第2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］,

得到的頻率分布直方圖如圖所示.且同時(shí)規(guī)定成績小于85分的學(xué)生為“良好”，成績在85分

及以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格，面試通過者將進(jìn)入

復(fù)試.

頻率

07580859095100分?jǐn)?shù)

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)；

(2)如果用分層抽樣的方法從“良好”和“優(yōu)秀”的學(xué)生中共選出5人,再從這5人中選2人發(fā)言,

那么這兩人中至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？如果第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列，

規(guī)定初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在前18%的學(xué)生可直接進(jìn)入復(fù)試,根據(jù)頻率分布直方

圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績至少得到多少分才能直接進(jìn)入復(fù)試？

【正確答案】⑴82.5

9

(2)木；初試時(shí)筆試成績至少得到93分才能直接進(jìn)入復(fù)試

【分析】(1)根據(jù)最高小長方形底邊中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)，即可得到答案；

(2)先計(jì)算出5人中“良好”的學(xué)生和“優(yōu)秀”的學(xué)生的人數(shù)，再古典概型的公式即可求解；由

第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列和“優(yōu)秀”學(xué)生的頻率為0.6,列方程組求出機(jī)〃，接著判

斷出初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)為至少X分能進(jìn)入面

試，由此可得(95-x)x0.04+0.02x5=0.18,即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為:(80+85)=82.5；

(2)“良好”的學(xué)生頻率為(0.01+0.07)x5=0.4,“優(yōu)秀”學(xué)生頻率為1-0.4=0.6；

由分層抽樣可得“良好”的學(xué)生有5x04=2人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，

將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為A,B,C,兩名良好的學(xué)生分別記為a,b,

則這5人中選2人的基本事件有：A3,AC,BC,AαA6,3α,3AC?C?Mb共10利∣,

其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：9種，

所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是P=A

由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列得

(0.02+n)×5×40=2m×5×40=>0.02+n=2m,①

又三，四，五組的頻率和為5+0.02+m)x5=0.6,②

由①?可得m=0.04,n=0.06

第五組人數(shù)頻率為0.02×5=0.1=10%,

第四、五組人數(shù)的頻率為(0.02+0.04)×5=0.3=30%,

故初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)至少得X分能進(jìn)入面

試，JjllJ(95-x)×0.04+0.02×5=0.18≈>Λ=93,

即根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績至少得到93分才能直接進(jìn)入復(fù)試.

17.如圖，在底面是菱形的四棱錐尸一ABCD中，Z4βC=60o,PA=PC=?,PB=PD,

AB=y∣2,E為線段PZ)上一點(diǎn)，且PE=2ED.

D

（1）若尸為PE的中點(diǎn)，證明：BFimACE,

（2）求二面角P—AC-E的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵巫

13

【分析】（1）連接8。交AC于0,連接0E,因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以。為3。的中

點(diǎn).可證E為Ob的中點(diǎn)，即可求證OE〃陟，由線面平行的判定定理即可證明.

（2）連接尸。，可證明POI平面A3。，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)和對

應(yīng)平面的法向量即可求解二面角尸-AC-E的余弦值.

【詳解】（1）證明：連接BD交AC于0,連接0E,因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以。為8。

的中點(diǎn).

又因?yàn)镻E=2ED,F為PE的中點(diǎn)，所以E為。尸的中點(diǎn)，所以0E//BF,

又因?yàn)?尸二平面4CE,OEU平面ACE,所以〃平面ACE.

（2）連接P。，因?yàn)锽4=PC,所以POLAC,

因?yàn)镻B=PD,所以POLBD,

而ACBD=O,AC,BoU平面ABa）,所以P。/平面ABa）.

因?yàn)樵诹庑蜛BC。中，ZABC=60,所以二ACD是等邊三角形，即Or>_L4C,

分別以直線OC尸為X軸、V軸、Z軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，

由尸E=2E￡），得E0,坐

rCL八P—X=O

、n?OC=09n

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為4=(xz,y,z,由l得二L

v7

-niOE=0√6；√2

^Ty+~6

令尸1,得用=(θ,l,-2G),取平面PAC的一個(gè)法向量為燃=(0,1,0),

則8S%小麗=而=下，

由圖知，二面角尸―AC—E的大小為銳二面角,

所以二面角P-AC-E的余弦值為巫.

⑴求/3；

(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使ABC存在且唯一確定，并求AC和5。的長度.

條件①：a2-b2+c2-3c=0；條件②。=6；條件③SA8C=15Λ∕5?

【正確答案】(I)B=笄

(2)選擇條件②和條件③；AC=I4,BO=M.

【分析】(1)利用三角恒等變換對已知等式進(jìn)行化簡，即可求解;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯(cuò)誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角

形面積公式可得c=10,利用余弦定理可得人=14,在_ABC中，利用正弦定理可得SinA=空

14

13

進(jìn)而得到COsA=-,在AABD中利用余弦定理可得BD=M.

14

【詳解】(1)解：因?yàn)橄轔SeT+cos(,+Bl=0,

則?/?cos?-cosB+sin?-sinB+cos?cosB-sin?sinB)=0,

(Csin?f-cosB-lsinB

?/?-λCOS5+——?/?cosB+sinB=2sinfB+j=0,

2222

/

又O<8V4,解得：BΛ--=7t,故8=—.

(2)解：由⑴得ZABC=等

zy2,2_r21

又余弦定理得：CoSNABC一'二」,^a2+c2-b2=-ac,

2ac2

而條件①中/-62+C?-3c=O,所以α=-3,顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤,

由條件②4=6,條件③SASC=gαcsin∠ΛBC=15√^,解得C=I0,

由余弦定理可得〃=α2+c2-2αccosZA8C=36+100+60=196,所以6=14.

b，解得SinA=辿

在,ABC中，由正弦定理可得二~

sinArsinZABC

冗13

又OCA所以COSA=,

314T7

因?yàn)?。為AC邊上的中線，所以Az)=S=7,

在AABO中，由余弦定理可得B￡)2=4)+4)2-2ABXA。XCoSA=19,解得BO=M.

故AC=14,8O=M.

22

19.已知橢圓G%?+方=l(">6>0)的離心率為g，右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A(4,0),且依日=1.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線/(不與X軸重合)交橢圓C于點(diǎn)用，N,直線ΛM,NA分別與直線x=4

交于點(diǎn)P,Q,求NPFQ的大小.

22

【正確答案】⑴工+匕=1

43

(2)NPFQ=90。

c_1

=f

【分析】(1)由題意得a2求出”,c,然后求解A即可得到橢圓方程.

a-c-?,

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證尸P?FQ=O,即NPFQ=90。.當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),

設(shè)/:y=%(x-l),其中原0.聯(lián)立1得(4N+3)x2-8Nx+4N-12=0.由題

3x+4/=12,

意，知A>0恒成立，設(shè)M(x∕,9)，N(X2,”)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線MA的方程為

y=3?(x-2).求出/4,飛］、利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可.

西一2(χl-2)IX2-2)

c_1

【詳解】(1)由題意得a=T

a-c=?,

解得α=2,c?=1,

22

AW?=√α-c=√3.

則FP=(3,-3),FQ=(3,3),故FP?FQ=(),即NPFQ=90°.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=k(χ-1),其中?≠0.

聯(lián)立]))'得(4?2+3)X2-Sk2x+4k2-12=0.

[3x~+4?=12,

Sk24?2-12

由題意，知△>()恒成立，設(shè)M(x∕,yι),N(X2,”)，則芭+々——------,X1X,=—-------.

4?2+3-4K+3

直線MA的方程為V=-?(χ-2),

Λ∣-Z

即「4,二?,同理可得Q4,且、

令x=4,得)3=?

X—2

1Ix∣-2jIX2-2)

所以FP=3,

IX「27

,4y,y,4?2(%-1)(Λ,-1)4Λ'Γxx-(x+x)+ll

ιIll2l2

因?yàn)镕P?FQ=9+-------?=9+/'I八/J=9+―~∣?，~~J

(xl-2)(X2-2)(xl-2)(x2-2)xlx2-2(xl+x2)+4

22

.l2(4Λ-12Sk?

軟?2+3^4p+3+14?2Γ(4Λ2-12)-8?2+(4Jt2+3)^lL

=9+―丫4，)=9+-?l??——---------?---------21=0,所以/PfQ=90,

222

4?--1216?-?1(4?-12)-16?+4(4Λ+3)

4fc2+3-4?2+3

綜上，NPFQ=90。.

20.已知函數(shù)f(x)=>：—1-or.

⑴當(dāng)4=2時(shí)，求曲線y=∕(x)在點(diǎn)(Ij(X))處的切線方程;

⑵若ICa<2,求證：/(x)<-L

【正確答案】(l)y+3=0;

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求y=∕(χ)在(ι,∕(χ))處的切線方程即可.

(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明g(x)=也二?-以+l<0在(0,+8)上恒成立，求導(dǎo)得

X

g,(X)=.2TntaX,構(gòu)造中間函數(shù)求判定g'(χ)的單調(diào)性和零點(diǎn)%的區(qū)間，進(jìn)而得到

X

g(x)≤g(∕),再利用導(dǎo)數(shù)研究g(Λ0)在七所在區(qū)間的符號(hào)，即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由題設(shè)，/(X)=@U-2x,則r(x)=一2,

Xx^

所以廣⑴=。，W/(D=-3,

所以曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(IJ(X))處的切線方程為y+3=0.

(2)由/(x)<-l,即皿二?-ɑrflvθ,令g(x)也二Lar+1且定義域?yàn)?0,y),

XX

2-InX2-lnx-αx2

所以g'(x)=?-------a

若〃(x)=2-InX-QK*,可得//(X)=-L-2辦<0,又l<.v2,

X

所以g'(x)在(0,+8)上遞減,g'(l)=2-α>0,g?e2)=-a<O,則存在Xoe(I,e?)使上(Xo)=O,

所以(0,J?)上g'(x)>O,(??,+8)上g'(x)<0,即g(x)在(0,%)上遞增，在(X(),+∞)上遞減.

所以g(x)≤g(Xo)=M?r°7-αX(,+l,又InXo=2-α?,故g(x0)=">一?叫，

??

令夕(X)=I+x-2aχ2,則d(X)=I-40V且χw(l,e?),故而(x)<0,

所以e(x)在(1,/)上遞減，則φ(x)≤以D=2(1-α)<O,即g(x0)<O在(1,/)上恒成立，

綜上,g(x)≤g(%)<O,B[J/(x)<-1,得證.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=J?-ɑrflvθ在(0,E)上恒成立，再利用中