河南省鄭州市等2地2023屆高三下學(xué)期3月沖刺（一）

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

={0,1,2,3,4},8={寺

Al,xeZ*

1.已知集合，則AB=()

A{。，2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{124}

2

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z-i二一百’則Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1貝cos2(x一聿)+cos2x+弓）的值為（）

3.已知cos2x

一5’

9BT1317

A.記c.D.

62024

x-y-2<0

x-2y+2>0

4.己知變量X,y滿足，、八,則z=2x—8y的最大值是()

x>0

y>0

A.4B.6C.8D.12

5.一個(gè)集合中含有4個(gè)元素，從該集合的子集中任取一個(gè)，則所取子集中含有3個(gè)元素的概率為（）

6.某汽車生產(chǎn)廠家研發(fā)了一種電動(dòng)汽車，為了了解該型電動(dòng)汽車的月平均用電量（單位：度）情況，抽取

了150名戶主手中的該型電動(dòng)汽車進(jìn)行調(diào)研，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中，第5組小長(zhǎng)方形

最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x,則該型電動(dòng)汽車月平均用電量在［200,280）的戶主人數(shù)為（）

?頻率

msg

0.0125----------------——

0.0110-------------1——

0.0095--------——

x---------------------------------

0.0050------------------------------

O25

0..0O20

0..0

O'160180200220240260280300月平均用

電量/度

A.98B.103C.108D.112

7.某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)J（滿分：100分）服從正態(tài)分布：專?N（85,b2）,且

P（83<^<87）=0.3,P（78<^<83）=0.12,P（J<78）=（）

A.0.14B.0.18C.0.23D.0.26

8.已知函數(shù)/（力=。（3-尤）+鼻?的圖象過點(diǎn)（0,1）與（34），則函數(shù)在區(qū)間［1,4］上的最大值為

（）

37「58

A.-B.—C.-D.一

2345

o2

9.已知雙曲線C:4-馬=1（〃>0,"0）的左右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)）,P為C右半支上一點(diǎn)，且

a~h~

COS/6PM=；,P/PE=2/,則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.4C.6D.9

,、11116

10.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，公比4=2,且一+-+—+—,則。9+4O+Q11+。12=（）

。9。|0〃［［62。10

A.3B.12C.18D.24

11.定義在R上的函數(shù)/（x）滿足，①對(duì)于互不相等的任意與e（O,2］都有

/、

f五=/(%1)-/(%,),且當(dāng)X>1時(shí),/(x)>0,②/(x+2)=-/(x)對(duì)任意xeR恒成立，(3)

1%J

丁=/（》+2）的圖象關(guān)于直線》=一2對(duì)稱，則/（一10）、/（一|）、”3）的大小關(guān)系為（）

B./(-|1</(3)</(-10)

C./.(-10)</(3)</^-|jD./(3)</(-10)</^-|j

12.已知函數(shù)與g(x)定義域都為R,滿足〃x)=11土羋"，且有

g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,g⑴=2e,則不等式/(x)<4的解集為()

A.(1,4)B.(0,2)C.(F,2)D.(l,+oo)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若“mxeR,/-6依+3。＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為.

14.(x+2)4(x—Ip的展開式中x2的系數(shù)為.

15.如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為4c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段E尸的中點(diǎn)

為點(diǎn)B,則PEPF的取值范圍是.

16.直線/：x+y-1=()與橢圓C：三+二=1交于A3兩點(diǎn)，長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)為點(diǎn)P,則A5P的面積為

42

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知的角A,8,C對(duì)邊分別為滿足6acosC+asinC=，

3

b+c—V2a=0-

(1)求A；

(2)求_ABC外接圓的半徑A.

is.某農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)了單位面積某種化肥實(shí)施量x(kg)和玉米相應(yīng)產(chǎn)量y(kg)的相關(guān)數(shù)據(jù)，制作了數(shù)據(jù)對(duì)

照表：

x(kg)1620242936

Y(kg)340350362404454

若在合理施肥范圍內(nèi)》與y具有線性相關(guān)關(guān)系,

（1）求Y關(guān)于x線性回歸方程3=忘+」；

（2）請(qǐng)利用線性回歸方程預(yù)測(cè)x=40kg時(shí)的玉米產(chǎn)量.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：6=j------:—，a^y-bx.

—

/=1

19.已知正三棱柱ABC-45G中，側(cè)棱長(zhǎng)為正,底面邊長(zhǎng)為2,。為AB的中點(diǎn).

'C

（1）證明：

（2）求二面角。一A。-A的大??；

（3）求直線C4與平面所成角正弦值.

20.已知斜率存在的直線/過點(diǎn)尸（1,0）且與拋物線C：y2=2px（p>0）交于兩點(diǎn).

（1）若直線/的斜率為1,〃為線段A3的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)為2,求拋物線C的方程；

（2）若點(diǎn)。也在x軸上，且不同于點(diǎn)尸，直線AQ,BQ斜率滿足七。+⑥0=。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

21.已知函數(shù)=hrv—：工2+x（a〉0）.

（1）若a=l,求函數(shù)/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（行=12一亡犬+13>0）在其定義域上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cos6,直線/的

v——I4-/7）

參數(shù)方程為，1.5（，為參數(shù)）.

y=l+tsm（p.

⑴若.力求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)尸（0,-3）向直線/作垂線，垂足為Q,說明點(diǎn)Q的軌跡為何種曲線.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.已知函數(shù)/（力=卜+3］.

(1)解不等式〃x)+k-3|>8；

(2)若/(可〈機(jī)(,一3|+卜+9|)在(F,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

A={0,l,2,3,4},B=-xlW-]l,xeZ>

1,已知集合[9,則A8=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,4}

【答案】C

【解析】

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集合B,結(jié)合交集的概念運(yùn)算可得出結(jié)果.

【詳解】B=<<1,XGZ,={x|04xW2,xeZ}={0』,2},;.AC8={0,1,2}.

故選：C

2

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z-i=----,則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

14-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,結(jié)合復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，即可求解

2

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足z—i=----，

1+1

可得z-.+1-(.、/]..+1-(11)+1l+2i,

1+1(l+i)(l-i)

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,2)位于第二象限.

故選：B.

3.已知cos2x=—,則COS?(工一二)+COS?(Xd--1

的值為()

316j16j

1317

A.2BTC.—D.—

1662024

【答案】B

【解析】

【分析】利用降幕公式及兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)即可得解.

、1+cos2x——1+cos2x+一

詳解】兀L,^I__11+I__1

cosX——+COSX+

16j16)22

1cG.c.1

1H—cos2xH-----sin2x1H—cos2x--sin2x

22,22

22

??i，n5

=Id■—cos2x=1+—x—=—.

2213)6

故選：B.

x-y-2<0

x-2y+2>0

4.已知變量羽y滿足1/,則z=2x-8y的最大值是()

x>0

y>0

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【解析】

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求出最大值作答.

x-y-2<0

x-2v+2>l3

【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影四邊形。鉆C(含邊界)，

y>0

A(2,0),8(6,4),C(0,l),

1z17

目標(biāo)函數(shù)z=2x_8y,即y=—x――表月(斜率為a,縱截距為的平行直線系，

48

畫直線平移直線4)到直線4,當(dāng)直線4過點(diǎn)A(2,o)時(shí)，直線4的縱截距最小，Z最大，即

Zmax=2x2=4,

所以z=2x-8y的最大值為4.

故選：A

5.一個(gè)集合中含有4個(gè)元素，從該集合的子集中任取一個(gè)，則所取子集中含有3個(gè)元素的概率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合子集的概念與性質(zhì)及古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】4個(gè)元素的集合所有子集共24=16個(gè)，設(shè)此集合為{a,b,c,d},

事件4“所取子集中含有3個(gè)元素”，則事件A的基本事件個(gè)數(shù)為4個(gè)，即{a,0,c},{a,b,d},

{a,c,d},［b,c,d］,

41

所以。（小記二

故選：D.

6.某汽車生產(chǎn)廠家研發(fā)了一種電動(dòng)汽車，為了了解該型電動(dòng)汽車的月平均用電量（單位：度）情況，抽取

了150名戶主手中的該型電動(dòng)汽車進(jìn)行調(diào)研，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中，第5組小長(zhǎng)方形

最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為X,則該型電動(dòng)汽車月平均用電量在［200,280）的戶主人數(shù)為（)

頻率

0.0125

0.0110

0.0095

x

0.0050

0"160180200220240260280300月平均用

電量/度

A.98B.103C.108D.112

【答案】C

【解析】

【分析】由頻率和為1列方程求x,再根據(jù)直方圖中［200,280）區(qū)間頻率求樣本中對(duì)應(yīng)的戶主人數(shù).

【詳解】由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=l,得x=0.0075.

月平均用電量在［200,280）用戶20x（0.011+0.0125+0.0075+0.005）x150=108戶.

故選：C

7.某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)J（滿分：100分）服從正態(tài)分布：J?N（85,b2）,且

尸（83＜4＜87）=03,/（78＜看＜83）=0.12,。偌＜78）=（）

A.0.14B.0.18C.0.23D.0.26

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)镴?N（85,02）,尸（83<4<87）=0.3,

所以'（“83）=匕瞥包=0.35,

又尸（78<*83）=0.12,

所以P（J<78）=P（q<83）-P（78<83）=0.23.

故選；C.

8.已知函數(shù)J'（x）="（3-力+9的圖象過點(diǎn)（0,1）與則函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,4］上的最大值為

（）

378

2345

【答案】B

【解析】

【分析】由條件列方程求。力，由此可得函數(shù)/（X）的解析式，再由基本不等式求其最大值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X）=a（3—x）+署的圖象過點(diǎn)（0,1）與（3,（）,

3b9

所以/（0）=1,/（3）=?,則J44,

!3a=1

解得〃=一,b=3,

3

3TJC

故函數(shù)/（X）的解析式為：/（力=；石—§+L

3xXI3（1+1）-3x133x+10_2戶亙二

而“X）——4-1---------------------1-1+------

x+13x+133x+\33Vx+133

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，

7

函數(shù)“X）在區(qū)間［1,4］上的最大值為

故選：B.

22

9.已知雙曲線。：=-2=13＞。力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為6,6，。為c右半支上一點(diǎn)，且

crb-

cos/F；P瑪=；,尸￡"鳥=2〃，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.4C.6D.9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得|p￡，pg|=8〃2,結(jié)合雙曲線的定義可得W@-|pq=2a,進(jìn)而求解

附|=4a,pE|=2a,由余弦定理即可求解.

【詳解】麗.網(wǎng)=2。2,二卜司1際卜。5/隼專=2。2可得'用.卜同=8。2.

又同卜|叫=2%兩式聯(lián)立可得閥|=4a,p司=2?,

|P用2+|P用2一恒用216a2+4標(biāo)一公2

2

/.cos/耳產(chǎn)工整理可得。2=4。2,

2|叫腔|4

/.c—2a,e=2.

故選：A.

,、11116

10.在等比數(shù)列｛《,｝中，公比q=2,且一+——+—+——,則49+40+61+。12=()

。9a\0a\\at24o

A.3B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

11ri

11111_佝+。12a\〃9+4o+a][+42%+Q[0+。][+。]2

---1-----1----1----—+—+—+——+

〃94。a\\42。92,〃10a\1ciyCiy2q()4]1240

11116.6_%+4o+4]+。[2

---1-----1----1----=29**2a9+4o+〃[]+。]2=12

。94o4]424o。10240

故選:B.

11.定義在R上的函數(shù)/（x）滿足，①對(duì)于互不相等的任意外,與?0,2]都有

f—=/(百)一/(巧),且當(dāng)X>1時(shí)，/(x)>0,②/(x+2)=-/(x)對(duì)任意xeR恒成立，③

\x27

y=/（x+2）的圖象關(guān)于直線％=-2對(duì)稱，則/（一10）、/[-1）、/（3）的大小關(guān)系為（）

A.7(—1]<〃3)B./[-|j</(3)</(-10)

C.f(-10)<〃3)<《—|)D./⑶</(—10)<C)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的三個(gè)條件得到函數(shù)/(x)為R上的偶函數(shù)，周期為4,且函數(shù)/(x)在(0,2]上單調(diào)遞

增，然后將利用周期、奇偶性和單調(diào)性即可比較大小.

【詳解】因?yàn)閥=/(x+2)的圖象關(guān)于直線％=-2對(duì)稱，則函數(shù)/(X)關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以函數(shù)/(X)為R上的偶函數(shù)，

又因?yàn)?(X+2)=—/(x)對(duì)任意XeR恒成立，則函數(shù)/(幻的周期為4,

/、

又因?yàn)閷?duì)于互不相等的任意修?0,2]都有/%=/(%)-〃々)，

\X2j

且當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0,所以對(duì)任意22%>工2>0,則±>1,

X?

X

故有/(%)-f(%)=/(-)>0,所以函數(shù)/(X)在(0,2]上單調(diào)遞增，

則有/⑶=7(3-4)=/(-1)=/(I),/(-10)=/(—10+3x4)=/(2),

9911

/(--)=/(-1+4)=/(--)=/(-),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

則/(}</(D</⑵，即/[*]<"3)</(-10),

故選：B.

12.已知函數(shù)“X)與g(x)定義域都為R,滿足/(x)=(x+；),$(.?),且有

g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,g(l)=2e,則不等式/(x)<4的解集為()

A.(1,4)B.(0,2)C.(f,2)D.(1,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合題意可知/'(力<0,在(9,+8)上單調(diào)遞減，又〃“<4=/(1),結(jié)合單

調(diào)性定義可得不等式的解集.

【詳解】由/(x)=+可得

g(x)e，+(x+l)g，(x)e'-(x+l)g(x)e'_毋'(x)+g，(x)—xg(x)

"鬲"■

而g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,，/(尤)<0,，/(x)在(-oo,+oo)上單調(diào)遞減,

又g(l)=2e,則/⑴=/亂1)=竺=4,

ee

所以/(x)<4=/(l),則為>1,

故不等式/(x)<4的解集為(1,+8).

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若“3teR,x2-6辦+3。<0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】0,1

【解析】

【分析】由“Vx€R,x2-60l+3aNO”為真命題，利用判別式法求解.

【詳解】解：由條件可知“VxeR,/—6改+3"之0”為真命題，

則△=36。2一12。W0，即

故答案為：0,1

14.(尤+2)4(x-Ip的展開式中/的系數(shù)為.

【答案】24

【解析】

【分析】(x+2)4(x-l)3的展開式中V來(lái)自于三類:①(x+2)4中的二次項(xiàng)與(x-l)3的常數(shù)項(xiàng)的乘積;②

(x+2)4中的常數(shù)項(xiàng)與(x-I)3的二次項(xiàng)的乘積;③*+2)4中的一次項(xiàng)與(x-IF的一次項(xiàng)的乘積.

【詳解】展開式中V項(xiàng)為(―IpC；/.22+24-C；X2-(-1)+C：23.f.C；(-1)?=24x2,

f的系數(shù)為24.

故答案為：24

15.如圖所示，AABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)尸為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)

為點(diǎn)B,則/>￡■.P/7的取值范圍是.

B

【答案】[39,55]

【解析】

【分析】由向量的數(shù)量積公式得出=9,求出|Pq的最大值和最小值即可得出結(jié)果.

【詳解】由線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B,得出BF=—BE-

PEPF=（PB+BE）（PB+BF）=（PB+BE）^PB-BE）=[\PB^-\BE^=\PB^-9當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)4

或點(diǎn)C時(shí)，|Pq取最大值8.

當(dāng)點(diǎn)尸位于AC的中點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)取最小值，即網(wǎng)皿=85嗚=46

.??網(wǎng)的取值范圍為[46,8],PE.PF的取值范圍為[39,55].

故答案為：[39,55].

16.直線/：x+y-1=0與橢圓C：三+二=1交于A,5兩點(diǎn)，長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)為點(diǎn)P,則A8P的面積為

42

【答案】叵

3

【解析】

【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離即可結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解.

（22

二+匕=1

【詳解】直線/與橢圓C聯(lián)立42'得3爐—4%-2=0.

x+y-1=0,

設(shè)點(diǎn)4（%,芳）,3仁,%），則%+々=*P2=-|??所以

I陰=J(1+〃)[■+/)2_4中1=/0+|=孚

由橢圓C知點(diǎn)尸（2,0）,故點(diǎn)尸到直線/:x+y—1=（）的距離:

Vi2+i22

所以.ABP的面積為S=』A6|M=Lx逑x乂2=Y@.

2112323

故答案為：巫.

3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知一ABC的角A,5,C對(duì)邊分別為a,b,c,滿足百acosC+asinC=dbc=—,

3

b+c--J2a=0-

（1）求A；

（2）求外接圓的半徑R.

【答案】（1）土

3

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及和差角公式化簡(jiǎn)可得sinA=6cosA，結(jié)合三角函數(shù)同角關(guān)系即可

求解，

（2）由余弦定理代入已知關(guān)系即可得a=l,由正弦定理即可求解.

【小問1詳解】

由gzzcosC+asinC=以及正弦定理可得：＞/3sinAcosC+sinAsinC=V3sinB,

A+B+C=TI，

sinAsinC=V3cosAsinC，

一sinCw0,.\tanA=6，而A￡(0,兀)，/.A=y.

【小問2詳解】

bc=L,b+c-6a=6

3

,b2+c2-a2(b+c)2-2bc-a22a一廠“1…，

cosA=-----------=--------------------=------算----=-,整理得a2=1

2bc2bc22

3

2R=上，=空.

由正弦定理可得/尺一而一近一亍'..代RJ_7L

T

is.某農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)了單位面積某種化肥實(shí)施量x（kg）和玉米相應(yīng)產(chǎn)量y（kg）的相關(guān)數(shù)據(jù)，制作了數(shù)據(jù)對(duì)

照表：

x(kg)1620242936

Y(kg)340350362404454

若在合理施肥范圍內(nèi)X與y具有線性相關(guān)關(guān)系，

（1）求丫關(guān)于％的線性回歸方程亍=晟+〃；

（2）請(qǐng)利用線性回歸方程預(yù)測(cè)X=40kg時(shí)的玉米產(chǎn)量.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：/=J------;一，a=y-bx-

ZkT

i=l

【答案】（1）y=5.893x+234.675

（2）470.395kg

【解析】

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）將x=40kg代入回歸方程求解.

【小問1詳解】

解：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，嚏=253=382,

Z（斗一—y）=1438,xj=244,

/=!i=l

5

za-無(wú)）（K-刃

b=旦藍(lán)-------------?5.893,

￡（七.一可2

1=1

a=亍-菽=382-5.893x25=234.675.

所以回歸方程為＞=5.893x+234.675.

【小問2詳解】

將x=40kg代入回歸方程得＞=5.893x+234,675.

故預(yù)測(cè)x=40kg時(shí)，玉米產(chǎn)量約為5.893x4。+234.675=470.395kg.

19.已知正三棱柱ABC-A中，側(cè)棱長(zhǎng)為Q,底面邊長(zhǎng)為2,。為AB的中點(diǎn).

（1）證明：

（2）求二面角?！狝C—A的大??；

（3）求直線CA與平面A。。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵-

4

⑶—

6

【解析】

【分析】（1）由正三棱柱的性質(zhì)可得3與J.平面4BC,再利用線面垂直的判定定理即可證明CD,平面

A5B.A,即可得（2）以4G的中點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量與二面

TT

角的幾何關(guān)系即可求得二面角。-A|C-A的大小為了；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，利用線面角與空間向量的

4

關(guān)系即可得直線C4與平面4CD所成角的正弦值為逅.

6

【小問1詳解】

由ABC-44G為正三棱柱可知，SB,1平面ABC,

又CDu平面ABC,所以

由底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，。為A8的中點(diǎn)，所以CD_LAB；

又BB]CAB=B,64,48匚平面4844，所以CD_L平面山?44；

又ADu平面所以CO，4。；

【小問2詳解】

取線段4G,AC的中點(diǎn)分別為0,E,連接OB1,OE,

易知。4,0E,0Ci兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以?！?。耳。片所在直線為工,乂2軸建立空間直角

坐標(biāo)系。-型，如下圖所示；

由側(cè)棱長(zhǎng)為正，底面邊長(zhǎng)為2可得，

4(-1,0,。),。(1,"0)川-1,夜,0),網(wǎng)0,加,@，4e,0,@,

由。為A8的中點(diǎn)可得。

uuir、uuu(3百

所以AC=(2,0,O),OC=-,0,-^-

設(shè)平面D\C的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

n?A。=2x+41y=0

則《3x/3>令x=l，可得y=-^2,z=；

n-DC^-x--z^O

I22

即〃=(1,-及,6)；

易得潴=僅,0,6)即為平面4。1的一個(gè)法向量,

Iuuu

/r￡\士照3_V2

所以cos(n,OB1)=riiuu1

'：nOB]忘2

設(shè)二面角。-4。一A的平面角為e,由圖可知。為銳角,

“UUlTv兀

所以cos0-cosOBq=,即6=1；

TT

即二面角。-AC-A的大小為一.

4

【小問3詳解】

由(2)可知為=(—2,0,0),平面D4C的一個(gè)法向量為7=(1,—夜,6b

設(shè)直線CA與平面4。。所成的角為a,

ruu'

n-CA

所以sina=cos(〃,C4)=旦逅

T-tftF

nCA2a6'

即直線CA與平面A。。所成角的正弦值為YS.

6

20.已知斜率存在的直線/過點(diǎn)尸（1,0）且與拋物線C:y2=2Pxe>°）交于AB兩點(diǎn).

（1）若直線/的斜率為1,"為線段AB的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)為2,求拋物線C的方程；

（2）若點(diǎn)。也在x軸上，且不同于點(diǎn)P,直線AQ,BQ的斜率滿足即2=0,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）y2=4x

⑵。（-1,0）

【解析】

【分析】（1）由題知直線/的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)公式即可求解；

（2）設(shè)出直線/的方程及。的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，消元，韋達(dá)定理，利用直線斜率公式寫出陽(yáng)原。將

韋達(dá)定理代入七°+⑥°=0,化簡(jiǎn)求出參數(shù)即可得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【小問1詳解】

因?yàn)橹本€/的斜率為1且過點(diǎn)尸（1,0）,

所以直線/的方程為：y=x-i,

設(shè)4（%,凹）,8小,必），

由卜=2/*,得：1_（2p+2）x+l=0,

y=x-l

所以X]+々=2〃+2,西工2=1，

所以M+丁2=XI+x2-2=2p,

因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)為2,

所以號(hào)=〃=2'

所以拋物線的方程為：y2=4x.

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為：>=Z（xT）,Q（肛

V=2px

得：k2x2-(2k2+2p)x+k2=0,

y=Zr(x-l)

所以%+4="也=1,

X?%-1)(尤2-，〃)+我(%2-1)(尤1一”)

由“AQ+《BQ

X)—mx2-m(%1-m)(x2-m)

Zkx、％+2km-(km+k)(X、+x2)

+

XxX2+%2)，"2

2r+2p

2k+2km-(km+k)?

+病

k2

2公+2p

2k+2km-(krn+k)」k2

2

k—=0

k2-m[2k~+2p)+&2m2

由ZwO,

2/2+2〃

所以2%+2加一（攵利+2）?0,

駟一女=0,

kk

所以根=T,

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（T,o）.

21.已知函數(shù)/（x）=瓜?：*2+x（a>0）.

（1）若a=l,求函數(shù)/（x）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（力=1必-（￡+了3>0）在其定義域上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】（1）2x—2y—1=0

⑵i

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線方程，

⑵將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成x2-2a\wc-2ax=0在（0,+“）有唯一實(shí)數(shù)解.構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2-2a\nx-lax,

和〃（x）=21nx+x—1,利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而確定方程的根，即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(1)=一(+1=(,

且r(x)=/7+i"⑴=i，

函數(shù)/(X)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程y-3=X—1,

即2x-2y-l=0.

【小問2詳解】

/(力=3-，-/+13>0)在其定義域上有唯一零點(diǎn)，

2a

1

??方程Inx---r9+x=0,

2a

即X2-2a\wc-2cvc=0在(0,+8)有唯一實(shí)數(shù)解.

設(shè)g(x)=x2-2?lnx-2tix,貝i]g'(x)=2r-2"-2"

令g'(x)=°，即f—以―a=0.，a>0,x>0,

.,.12-辦一a=0的兩個(gè)根分別為

u—Ja-+4a八/分+、。+18+4a

x.=-----------<0(舍去)，X,=-------------

122

當(dāng)工€(0,工2)時(shí)，g'(x)<0,g(x)(0,工2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xw(孫400)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(0,電)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x=今時(shí)，8'(%)=0,8(%)取最小值8(工2)，

'o(X]xf-2tzlnx-2ax=0,

要使g(尤)在(0,+力)有唯一零點(diǎn)，則須>即<22

8\x2)~。,-ax-,-a=0,

/.2cdnx0+陋-Q=0,a>0,「.21nx+x2—l=0.(*)

設(shè)函數(shù)/z(x)=21nx+x—l,當(dāng)x>0時(shí)/z(x)是增函數(shù)，二〃(%)至多有一解

〃⑴=0,.?.方程(*)的解為無(wú)2=1，即a+J；+4j],解得a=(,

..?實(shí)數(shù)。的值為3.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)