天津市西青區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

L“垃圾分類，利國利民”，在2019年7月1日起上海開始正式實施垃圾分類，到2020

年底先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng).以下四類垃圾分類標

志的圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

\zG

△zx

可回收物有害垃圾易腐垃圾其他垃圾

RecyclableHazardouswastePerishablewasteOtherwaste

A.可回收物B.有害垃圾C.廚余垃圾D.其他垃圾

2.方程d-2x+l=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.無實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.無法判定

3.如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉到△AB'C',點3'恰好落在C4的延

長線上，/B=30。，ZC=90°,則/&VC'為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.將方程d-6x+l=0配方后，原方程可變形為（）

A.(x—3)2=8B.(尤一3)2=-10C.(x+3)2=-10D.(x+3)2=8

1

5.拋物線y（尤-20『一3的頂點坐標是（）

A.(2-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

6.如圖所示，陽光中學教學樓前噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y=-（x-2）

2+6,則水柱的最大高度是（）

A.2B.4C.6D.2+5/6

7.設A（-2,竺），B（1,”），C（2,心）是拋物線y=f-2x+c上的三點，”，”，

”的大小關系為（）

A.yi>y2>ysB.yi>ys>y2C.y3>y?>yiD.y3>yi>y2

8.如圖，已知菱形OLBC的頂點0（0,0）,A（-4,0）,NB=60。，若菱形繞點。順時針旋轉90。

得到菱形片G，則點G的坐標是（

C.（―—2）D.（2①2）

9.如圖，學校課外生物小組試驗園地的形狀是長40米、寬34米的矩形，為便于管理，

要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為960平方米.則小道的寬為多

少米？若設小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）

A.（40—2x）（34—尤）=960B.40*34—40》一34工+2尤2=960

C.（40-力（34-2x）=960D.40x34-40x-2x34x=960

10.二次函數(shù)>="2+法+，的圖象如圖所示，則一次函數(shù)，=-辦+6的圖象大致是（）.

試卷第2頁，共6頁

11.關于二次函數(shù)y=2x2+4x-l,下列說法正確的是（）

A.圖像與＞軸的交點坐標為（。,1）B.圖像的對稱軸在y軸的右側

c.當尤＜0時，y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3

12.如圖，拋物線丁=加+法+。（。力0）的對稱軸為直線x=l,與y軸交于點3（0,-2）,

點A（T,〃z）在拋物線上，有下列結論：①/＜0；②一元二次方程依2+fct+c=0的正實

-4-。1

數(shù)根在2和3之間；③。二三一；④點E（0J,8G+1，%）在拋物線上，當實數(shù)，＞耳時，

%＜%.其中，正確結論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

13.若方程（％-l）f+3x+l=0是關于尤的一元二次方程，則上滿足的條件是

14.若-1是關于尤的方程2/一3x4=0的一根則上的值為.

15.已知拋物線>=必+桁+1的頂點在坐標軸上，則6的值為.

16.若二次函數(shù)丫=（7"+2）尤2+3了+7〃2_4的圖象經(jīng)過原點，則根=.

17.如圖，將Q4B繞點。逆時針旋轉20。得到。CD,若點B在8上，則NO54=

22

18.已知實數(shù)m，nri）滿足等式加?！?%-1=0,〃?—2〃—1=0,則1—的值

mn

是.

三、解答題

19.解方程：

⑴4f—4無一1=0;

（2）x（2x-5）=4x-10.

20.在平面直角坐標系中，/1BC的A點坐標為A（2,-l）,請你寫出B,C點的坐標.畫

出MBC關于原點。成中心對稱的4A4G.并寫出A,4，G點的坐標.

21.已知關于x的一元二次方程f+（24+l）x+^+l=0有兩個不等實數(shù)根為，巧.

（1）求上的取值范圍;

試卷第4頁，共6頁

(2)若玉％=5,求人的值.

22.某商品現(xiàn)在的售價是每件60元，每周可賣出300件.市場調查反映：若調整價格,

每漲價1元，每周可少賣出10件.已知該商品的進價是每件40元.

設該商品每件漲價x元(0M30).

(1)根據(jù)題意填寫表：

售價(元/件)每件利潤(元)每周銷量(件)每周利潤(元)

現(xiàn)在602030020x300=6000

2Q+x

漲價后60+x——

(2)若計劃每周的利潤為6160元，該商品每件應漲價多少？

23.已知二次函數(shù)y=-f+2x+l的圖象為拋物線C.

(1)寫出拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

(2)當0WxW3時，求該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍；

(3)將拋物線C先向左平移2個單位長度、再向上平移1個單位長度后，所得拋物線為

C.請直接寫出拋物線C'的函數(shù)解析式.

24.在qABC中，ZACB-120°,將ABC繞點C順時針旋轉，得△EDC,D,E分別

是點、B,A的對應點.記旋轉角為a.

(1)如圖①，連接AD,若8c=6,AC=8,a=30°,求的長；

(2)如圖②，連接80,若(z=60。，求證：BD//AC.

25.如圖，關于x的二次函數(shù)y=-尤2+笈+3的圖象與無軸交于A、2兩點，與y軸交于

點C,且過點0(—1，4).

(1)求b的值及該二次函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)連接AC,AD,CD,求△ADC的面積；

(3)在AC上方拋物線上有一動點請直接寫出的面積取到最大值時，點M的

坐標.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】由題意根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義對各選項進行判斷，即可得出答案.

【詳解】解：4是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B,既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D,既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，注意掌握判斷軸對稱圖形的關鍵是尋

找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后

與原圖重合.

2.C

【分析】把。=1,6=-2,c=l代入判別式4在進行計算，然后根據(jù)計算結果判斷

方程根的情況.

【詳解】解：；一元二次方程/-2》+1=0,

??a=\,b=—2,c=l9

：.『/-4ac=(-2)2-4xlxl=0,

方程有兩個相等的實數(shù)根.

故選：C.

【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握判別式與根的關系是解題的關鍵.當判別式

-=。2-4">0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當判別式_=b2-4ac=0時，一元

二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當判別式一=62-4℃<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

3.B

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出—A4c的度數(shù)，由旋轉可知ZB4c=NB'AC',

在根據(jù)平角的定義求出NBAC的度數(shù)即可.

【詳解】：N3=30。，ZC=90°,

二ZBAC=90°-ZB=90°-30°=60°,

,/由旋轉可知ZBAC=ZB'AC=60°,

ZSAC=180°-ABAC-ZB'AC=180°-60°-60°=60°,

故答案選：B.

答案第1頁，共13頁

【點睛】本題考查直角三角形的性質以及圖形的旋轉的性質，找出旋轉前后的對應角是解答

本題的關鍵.

4.A

【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【詳解】解：f-6x+l=0

x2—6x=—1

x2-6x+9=-l+9

33)2=8.

故選A.

【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程.掌握配方法解一元二次方程的步驟是解答本

題的關鍵.

5.A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-h)^k的性質解答即可.

1

【詳解】解：拋物線，竹(》-2)02-3的頂點坐標是(2,-3),

故選A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)產(chǎn)a(xd)2+wa,〃，上為常數(shù)，"0)的性質，熟練掌握二次函數(shù)

尸a(x-/z)2+Z的性質是解答本題的關鍵.尸z(xd)2+%是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形

狀和開口方向，其頂點是S，幻，對稱軸是A/Z.

6.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，在頂點處取最值即可.

【詳解】解：；拋物線形水柱，其解析式為y=-(x-2)2+6,

a=-l<0

當后2時，水柱的最大高度是：6.

故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用一噴水問題.根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到拋物線頂點

坐標是解決此類問題的關鍵.

7.B

【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)各點到對稱軸的距離的大小

答案第2頁，共13頁

關系求解.

【詳解】解：：y=x2-2x+c,

二拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

VI-(-2)>2-1>1-1,

'.yi>y3>y2.

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的函數(shù)值與對稱軸之間的關聯(lián)，了解知識點并知道如何利用二次

函數(shù)的對稱性比較函數(shù)值大小是解題關鍵.

8.D

【分析】過G作軸于，根據(jù)菱形與旋轉的性質，得出。G長和NGOD的度數(shù)，然

后利用直角三角形性質與勾股定理求解即可.

【詳解】解：過G作軸于。，如圖所示，

:.ZCtDO=90°,

菱形Q4BC的頂點A(T,0),ZB=60。，菱形繞點。順時針旋轉90。得到菱形。，

ZAOC==NB=60°,OC=OCl=OA=4,

.?.NCQD=30。，

.?.qo=；OG=2,

.-.OD=V42-22=2A/3，

故點G的坐標為(2石,2)；

故選：D.

【點睛】此題考查了菱形的性質、圖形旋轉的性質、含30。的直角三角形的性質與勾股定理

答案第3頁，共13頁

等知識，熟練掌握相關的性質是解答此題的關鍵.

9.A

【分析】把三條小道平移到邊上，可以得到一個完整的種植區(qū)域，然后根據(jù)已知條件，列出

方程即可.

【詳解】如圖，把三條小路平移到邊上，構造完整的種植區(qū)域是矩形，

由題干可知，大的矩形長40米、寬34米，小路寬為x米，所以種植區(qū)域的長為（40-2x）

米，寬為（34-尤）米，

根據(jù)矩形面積公式可得，（40-2x）（34-尤）=960.

【點睛】本題考查列一元二次方程解決問題，關鍵是把握平移的性質，構造完整的矩形，方

便列出方程.

10.C

h

【分析】觀察二次函數(shù)y=q2+6.X+C的圖象得：a<0,---<0,可得b<0,-<7>o,從而

2a

得到一次函數(shù)y=-冰+匕的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，即可求解.

b

【詳解】解：觀察二次函數(shù)y="2+bx+c的圖象得：a<0,-—<0,

2a

b<0,-a>0,

一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限.

故選：c

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)

的圖象和性質是解題的關鍵.

11.D

【詳解】"：y=2x2+4x-l=2（x+1）23

?,.當a=0時，y=-l,故選項A錯誤，

答案第4頁，共13頁

該函數(shù)的對稱軸是直線x=-l,故選項B錯誤，

當x<-l時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，

當x=-l時，y取得最小值，此時產(chǎn)-3,故選項D正確，

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數(shù)的性質解答.

12.B

【分析】由拋物線開口方向得到。>0,利用拋物線的對稱軸方程得到6=-2.<0,即可判斷

①；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標在(2,0)與(3,0)之間，

則根據(jù)拋物線與x軸的交點問題可對②進行判斷；把2(0,-2),A(-1,m)和b=-2a代

入拋物解析式可對③選項進行判斷；利用二次函數(shù)的增減性對④進行判斷.

【詳解】解：???拋物線開口向上，

.,.a>Q,

??.拋物線的對稱軸為直線x=-h^-=l,

2a

ab<0,故①正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線與x軸的一個交點坐標在(0,0)與(-1,0)之

間，

???拋物線與x軸的另一個交點坐標在(2,0)與(3,0)之間，

一元二次方程ax2+bx+c=Q的正實數(shù)根在2和3之間，故②正確；

把B(0,-2),A(-1,m)代入拋物線得c=-2,a-b+c=m,

而b=-2a,

a+2a-2=7/1,

，。=等，故③正確；

:點B(t,"),P2(r+1,-)在拋物線上，

,當點P/、尸2都在直線x=l的右側時，yj<y2>此時侖1；

當點B在直線％=1的左側，點尸2在直線x=l的右側時，此時0W1且什1-1

>1-即《V.V1,

答案第5頁，共13頁

.,?當或侖1時，yi<yi,故④錯誤；

故選B.

【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數(shù)圖象的對稱性確定拋物

線與x軸的交點坐標，從而得到一元二次方程的根.也考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二

次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵.

13.krl

【分析】根據(jù)定義二次項系數(shù)不為。解題即可.

【詳解】解：.?關于x的方程僅-l)d+3x+l=0是一元二次方程，

左一1"0,

解得底1.

故答案是：k^l.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，能夠熟記定義并列式是解題關鍵.

14.5

【分析】根據(jù)方程的解滿足方程直接代入求解即可得到答案.

【詳解】解：=-I是關于x的方程2d-3x-左=0的一根，

?.2X(-1)2-3X(-1)-^=0,

解得左=5,

故答案為5.

【點睛】本題考查方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

15.-2或。或2

【分析】將拋物線化成頂點式y(tǒng)=無+1=卜+?：+1-!，求出頂點坐標卜

再根據(jù)頂點在坐標軸上，分在x軸上或者y軸上兩種情況求解即可得到結論.

【詳解】解：拋物線>=/+區(qū)+1=［犬+|^+1—當，

(bb2

???頂點坐標--J—

I/4

拋物線,=必+法+1的頂點在坐標軸上,

答案第6頁，共13頁

2

(hAAL2

???當頂點-個1-丁在X軸上時，1=0,解得b=i2；

(24

'bb°'b

當頂點一子1一五在,軸上時，-§=0,解得匕=°；

綜上所述，。的值為-2或?；?,

故答案為：-2或。或2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，掌握一般式化為頂點式，會求頂點坐標，并理解

坐標軸上點的坐標特征是解決問題的關鍵.

16.2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象過原點，把(。,0)代入解析式，求出機的值，還需要考慮二次項

系數(shù)不能為零.

【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象過原點，把(0.0)代入解析式，

得0=加2—4,整理得加之=4,解得m=+2,

*.*m+2^0,

:.m^-2,

m=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質，需要注意解出的解要滿足二次項系數(shù)不能為零的隱

藏條件.

17.800/80

【分析】由旋轉的性質得=20。，OB=OD,ZD=ZOBA,即可得.

【詳解】解：:Q4B繞點。逆時針旋轉20。得到，OCD,

AZDOB=20°,OB=OD,ZD=ZOBAf

：.ZOBD=ZD=1(180°-/DOB)=80°

ZOBA=ZD=80°,

故答案為：80°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵掌握旋轉的性質.

18.-4

【分析】根據(jù)已知判斷出如九是方程一一2x7=0的兩實數(shù)根，然后利用根與系數(shù)關系即

答案第7頁，共13頁

可求解.

【詳解】解：；實數(shù)機，”（相滿足等式“一2機一1=0,n2-2n-l=0,

”是方程x2-2x-l=0的兩實數(shù)根，

m+n=2,mn=—1,

2(m+n)2x2

mn~-T

故答案為：-4

【點睛】本題考查了方程的解以及一元二次方程的根與系數(shù)關系，能熟練利用方程解的定義

得至！Jm,〃是方程——2%-1=0的兩實數(shù)根是解題的關鍵.

19.(1)占=竦11-V2

(2)xt=—,&=2.

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法與因式分解的方法解方程是關鍵.

（1）先計算A=32>0,再利用求根公式解方程即可；

（2）先把方程移項，再分解因式為（2%-5）（尤-2）=0,再化為兩個一次方程，再解一次方

程即可.

【詳解】⑴解：4尤2-41=0,

AA=(-4)2-4X4X(-1)=32,

4±40_1±&

I+A/21-A/2

解得:X]=

22

(2)x(2x-5)=4x-10,

/.%(2x-5)-2(2x-5)=0,

(2x-5)(x-2)=0,

2x-5=0或x-2=0,

解得：西=|,X2=2.

20.畫圖見解析，B(3,-3),C(0,-4),A(-2,1),4(-3,3),6(0,4).

【分析】本題考查的是坐標與圖形，畫關于原點對稱的三角形，先確定A,B,C關于原點

答案第8頁，共13頁

的對稱點A,用，G，再順次連接即可，再根據(jù)點的位置可得其坐標，熟記中心對稱的性

質并進行畫圖是解本題的關鍵.

【詳解】解：如圖，△ABiG即為所畫的三角形,

5（3,-3）,C（0,-4）,A（-2,1）,4（-3,3）,6（0,4）.

21.⑴人＞；

（2）2

【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；

（2）先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得占尤2=^+1=5,再結合（1）的結論即可

得.

【詳解】（1）解：關于x的一元二次方程/+（2左+l）x+左2+1=0有兩個不等實數(shù)根，

此方程根的判別式A=（2左+1『-4儼+1）＞。，

3

解得上＞:.

4

2

（2）解：由題意得：xxx2=k+1=5,

角翠得左二—2或左=2,

3

由（1）已得：k＞~,

4

則人的值為2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方

答案第9頁，共13頁

程的相關知識是解題關鍵.

22.（1）（300-10^）；（20+x）（300—10x）

（2）該商品每件應漲價2元或8元

【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結論，結合題意，列出一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】（1）解：依題意得：該商品每件漲價x元時，每件利潤為（20+x）元，每周銷量為

（300—10x）件，每周利J潤為（20+^）（300-10x）元.

故答案為：（300-10%）；（20+x）（300-10x）.

（2）依題意得：（20+x）（300-10x）=6160,

整理得：X2-10X+16=0,

解得：士=2,%=8.

答：該商品每件應漲價2元或8元.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出代數(shù)式以及方程是解題

的關鍵.

23.（1）拋物線C的開口向下，對稱軸為直線x=l,頂點坐標為（1,2）；

（2）y的取值范圍為-2Wy這2；

⑶y=_（x+iy+3

【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得拋物線C的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可得出答案；

（3）根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，直接寫出平移后的解析式.

【詳解】（1）解：y=~x2+2x+1=—（x—I）-+2,

.??拋物線C的開口向下，對稱軸為直線x=l,頂點坐標為（1，2）；

（2）解：Vy=-（x-l）2+2,

當尤＞1時，y隨尤的增大而減小，當尤＜1時，y隨x的增大而增大，

當x=0時，y=1；

答案第10頁，共13頁

當x=3時，產(chǎn)-2；

.?.當0VxW3時，二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍為-2WyW2；

(3)解：?.?拋物線C：y=-(x-l)2+2向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度

得到拋物線C'.

C：y=-(x-l+2f+2+l,即y=-(x+lf+3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，平移的規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

24.(1)10；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)/BCD=a=30,NAC3=120,則ZACD=90,由旋轉的性質得

BC=CD=6,然后在RtADC中利用勾股定理求解即可；

(2)由(1)知，BC=CD,由旋轉的性質得/BCD=c=60,則△CBD是等邊三角形,

得到NCB￡>=60,則NCB￡>+ZACB=180,AC//BD.

【詳解】解：(1)由旋轉的性質可得BC=CD=6,ZBCD=a=30,

:ZACB=120,

ZACD=90.

AEDC是,ABC旋轉得到的，

...在HADC中，根據(jù)勾股定理得4)=Jeu?+C4?=^/^莪？=10.

(2)由(1)知，BC=CD,由旋轉的性質得/BCD=tz=60,

△CB。是等邊三角形.

ZCBD=60.

又ZACB=120,

/.ZCBD+ZACS=180.

AC//BD.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，平