2022-2023學(xué)年河北省唐山市曹妃甸區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.的展開(kāi)式中/的系數(shù)是()

A.90B.80C.70D.60

【答案】A

【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，得到丫展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，再由賦值法，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?2+|J展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為T(mén)r+X=GGx's".3,,

令10-3r=4,得r=2,則/的系數(shù)為C；1=90.

故選：A.

2.已知函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù)為尸(力，且滿足〃6=2#'⑴+lnx,則尸⑵=()

3-1

A.—B.—1C.-D.e

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入x=i,可求出r。)，再代入工=2即可求出.

【詳解】由己知[。)=2/⑴+L則尸⑴=2/(1)+1,解得/'⑴=-1,

X

113

所以/'(幻=一2+上，貝|]r(2)=-2+：=—9.

x22

故選:A.

3.某市一次高三模擬考試一共有3.2萬(wàn)名考生參加，他們的總分J服從正態(tài)分布N(480,〃)，若

尸(430444530)=0.78,則總分高于530分的考生人數(shù)為()

A.2400B.3520C.8520D.12480

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，得到PC>530)=J-gp(4304g4530),即可求解.

【詳解】由題意，總分€服從正態(tài)分布"(480面)，且P(4304"530)=0.78,

1_A

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得P4>530)=—=0.11,

所以總分高于530分的考生人數(shù)為32000x0.11=3520.

故選：B.

4.5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，目前有3個(gè)不同的數(shù)學(xué)建模小組，每個(gè)小組至少分配1名學(xué)生，至

多分配3名學(xué)生，則不同的分配方法種數(shù)為()

A.60B.90C.150D.240

【答案】C

【分析】根據(jù)每組的人數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得正確答案.

C2c2

【詳解】當(dāng)每組人數(shù)為2,2』時(shí)，方法有安xA：=90種.

當(dāng)每組人數(shù)為3,1,1時(shí)，方法有C；xA；=60種.

所以不同的分配方法種數(shù)為90+60=150種.

故選：C

5.(l+x)3+(l+x?…+(l+x)9展開(kāi)式中d的系數(shù)是()

A.80B.84C.120D.210

【答案】D

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C：,表示出V的系數(shù)，然

后利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】解：(l+xY+(l+x)4…+(l+x)9的展開(kāi)式中V的系數(shù)為

C；+C：+C；+C：+C；+C+C；=C：+C+C；+C：+C；+C；=C；,=210.

故選：D.

6.已知C；+2C：+22C：+23C：+…+2"C；；=81,則C；+C；+C：+…+C：等于()

A.15B.16C.7D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的逆運(yùn)算即可求得〃的值，再由由二項(xiàng)式系數(shù)和即得.

【詳解】逆用二項(xiàng)式定理得d+2C：+2?+2^C：+…+2"C：=(1+2)"=81,即3"=34,

所以〃=4,所以&++C：+…+C；=2,-1=15.

故選：A.

7.我國(guó)中醫(yī)藥選出的“三藥三方''對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒(méi)，“三藥”分別為金花清感

顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生

從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件A表示選出的兩種中至少有一藥，事件8表示選出的兩種中有

一方，則「(B|A)=()

1r3〃3>3

A.-B.—C.—D.一

51054

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率公式求出P(A)和PUB),再利用條件概率公式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，P(A)=丐2=j|=1，P(AB)=警

C；155C：155

所以w)=鏘

故選：D

xln>0

8.已知函數(shù)/(%)=一2八°,若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則()

A.—e<A41B.—<k<1C.—e<Z:<0D.—<k<0

ee

【答案】D

【分析】先求導(dǎo)確定當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)單調(diào)性和范圍，再畫(huà)出圖像，結(jié)合圖像即可求解.

【詳解】要使函數(shù)/(》)=%有三個(gè)解，則y=與尸女有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=xlnx,則尸(x)=lnx+l,可得/(x)在(0,：)上遞減，在g,+s］遞增,

二x>0時(shí)，/(x)=xlnx有最小值且0cxe，時(shí)，xlnx<()；

ee

當(dāng)x->0*時(shí)，f(x)-0；當(dāng)x一小時(shí)，/(x)->+oo；

當(dāng)x40時(shí)，/(x)=-f+I單調(diào)遞增；

.?./(x)圖象如下，要使函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則

e

二、多選題

9.關(guān)于的二項(xiàng)展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)為?B.各項(xiàng)系數(shù)和為

C.二項(xiàng)式系數(shù)和為64D.x項(xiàng)的系數(shù)為-|

【答案】AC

【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式和賦值法求解判斷.

【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)（-/J=（-明64",

令一可得所以弋,

123%=0,k=4,CA正確；

令x=l,得即各項(xiàng)系數(shù)和為1,B錯(cuò)誤；

（2J6464

二項(xiàng)式系數(shù)和為2$=64,C正確；

令12-3&=1,得％=日eN,故二項(xiàng)展開(kāi)式中不存在x項(xiàng),

D錯(cuò)誤，

故選：AC.

10.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.回歸直線亍=bx+6恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心（x,y）,且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)

B.兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)I川就越接近1

C.某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4,此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差2

D.在回歸直線方程$=2-0.5x中，當(dāng)解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量亍平均減少0.5個(gè)

單位

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，不一定過(guò)樣本點(diǎn)；B選項(xiàng)，相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的

絕對(duì)值約接近1;C選項(xiàng)，重新計(jì)算新的方差，與2進(jìn)行比較，得到結(jié)論；D選項(xiàng)，由于右=-0.5,

故解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量亍平均減少0.5個(gè)單位.

【詳解】A選項(xiàng)，回歸直線y=+&恒過(guò)樣本的中心點(diǎn)（五y）,但不一定過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)，A錯(cuò)，

B選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)"I就越接近1,B對(duì)，

C選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可得》=卡二=4,

7+1

根據(jù)方差的計(jì)算公式$2=g［7x2+（4-4）［=1.75<2,C對(duì)，

D選項(xiàng)，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在回歸直線方程y=2-0.5x中，

當(dāng)解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量亍平均減少0.5個(gè)單位，對(duì)，

故選：BCD.

11.甲、乙、丙三人參加某公司招聘面試，面試時(shí)每人回答3道題，3道題都答對(duì)則通過(guò)面試，已

知甲、乙、兩三人答對(duì)每道題的概率分別是:，假設(shè)甲、乙、丙三人面試是否通過(guò)相互沒(méi)

有影響，且每次答題相互獨(dú)立，則（）

Q

A.甲通過(guò)該公司招聘面試的概率是以

B.甲、乙都通過(guò)該公司招聘面試的概率是總

C.甲、丙都通過(guò)該公司招聘面試的概率是，

D.在乙通過(guò)該公司招聘面試的條件下，恰有兩人通過(guò)該公司招聘面試的概率是II

【答案】ACD

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的概率乘法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由題意，甲、乙、兩三人通過(guò)招聘的概率分別［=4）3=W，6=4）3=與，

32751252o

Q

所以甲通過(guò)該公司招聘面試的概率是百，所以A正確；

Q97R

甲、乙都通過(guò)該公司招聘面試的概率為4鳥(niǎo)=方'衣=不大，所以B不正確；

4/I4J14J

Q11

甲、丙都通過(guò)該公司招聘面試的概率是4G=白*3=白，所以C正確；

27o27

在乙通過(guò)該公司招聘面試的條件下，恰有兩人通過(guò)該公司招聘面試的概率是

+=所以D正確.

故選：ACD.

12.已知/(刈=耳，則下列說(shuō)法正確的有()

e

A.函數(shù)y=/(x)有唯一零點(diǎn)x=0

B.函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(y,O)u(i,+s)

C.函數(shù)y=f(x)有極小值,

e

D.若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,：)

【答案】AD

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義判斷A,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)f(x)的

圖象，根據(jù)圖象判斷B,C,D.

【詳解】由/(x)=0得：|x|=0,即x=0,故函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)x=0,故A正確；

II—,x>0

\x\v

由題意可知：/(")=?=e，

e%C

Y1—V

當(dāng)xNO時(shí)，/(%)=-,貝IJ/'(x)=—

ee

當(dāng)04x<l時(shí)，r(x)>0,f(x)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，/'(幻<0,/(X)遞減，

則此時(shí)/(x)的極大值為/(1)=-；

e

當(dāng)xv0時(shí)，f(x)=—―>0,f\x)=<0,/(x)=■在(Y0,0)上單調(diào)遞減，

由此可作出y=/0)的圖象如下:

y

觀察圖象可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,。），a,”），B錯(cuò)，

函數(shù)y=f（x）在x=1時(shí)有極大值Lc錯(cuò)誤，

e

若關(guān)于X的方程/（x）=a有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,3，D正確,

e

故選：AD.

三、填空題

13.A：-C：o=.

【答案】75

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.

【詳解】人泊（：：。=人：一（2；0=6*5*4—3=75.

故答案為：75.

14.已知隨機(jī)變量4~3（6,p）,且E《）=2,則。（3J=.

【答案】12

【分析】利用二項(xiàng)分布期望的公式，先求人再利用二項(xiàng)分布方差的公式以及方差的性質(zhì)即可求解

【詳解】因?yàn)镴B（6,p）,所以E（4）=6p=2,所以p=；

1244

則￡＞（g）=6x§x§=§,所以。（3。）=36⑷=9x§=12

故答案為：12

15.（*2一2）、-^^的展開(kāi)式中/的系數(shù)是（用數(shù)字作答）

【答案】27

【分析】先求卜-Jj展開(kāi)式中工?和/項(xiàng)，然后與丁-2相乘、合并可得.

【詳解】卜-j的第r+1項(xiàng)為卻=黑尸(一)，=(-1)匕尸，，

令6—2廠=2,6-2r=4,得〃=2,r=1,

代入通項(xiàng)可得卜展開(kāi)式中的V和一項(xiàng)分別為：15/和-61,分別與x2和一2相乘，

得(/_2)1-￡|<1的展開(kāi)式中一項(xiàng)為15/+12工4=27%4,故X4的系數(shù)為27.

故答案為：27

16.若函數(shù)/(8)=1m+辦2—2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(一2,小)

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為。>-止，而y=-5求出最小值，從而求出”的范圍即可.

【詳解】r(x)=：+2*=當(dāng)望，2加+1>0在中］內(nèi)成立，所以，

由于xe(g，2),所以入屋(；,4),—,所以a>-2.

故答案為：(-2,內(nèi))

四、解答題

17.甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

(1)若甲、乙不相鄰，則有多少種不同排法？

(2)若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則有多少種不同的排法？

(3)若甲不在最左，乙不在最右，則有多少種不同的排法？

【答案】(1)72

Q)24

(3)78

【分析】(1)丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入可得；

(2)按甲左乙右把甲乙捆綁算作一人與丙、丁、戊三人全排列；

(3)分兩類(lèi)，一類(lèi)是甲站在最右位置，另一類(lèi)是甲站在中間某個(gè)位置，乙再選一個(gè)位置，其他三人

全排列，相加可得.

【詳解】(1)丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入，方法數(shù)是用&=72；

(2)甲、乙捆綁算作一人與丙、丁、戊三人全排列，甲乙之間只有一種排法，方法數(shù)是=24：

(3)分兩類(lèi)，甲站在最右位置，共有A：種排法，甲站在中間某個(gè)位置，乙再選一個(gè)位置，其他三

人全排列：總方法數(shù)為A：+C；C；&=78.

18.已知（2x+）

展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.

(1)求”的值；

(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；

(3)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

【答案】(1)6；(2)60；(3)160小

【分析】(1)利用公式展開(kāi)得前三項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為22,即可求出n.

(2)利用通項(xiàng)公式求解展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即可.

(3)利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

【詳解】解：由題意，(2x+J=)"展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.

(1)二項(xiàng)式定理展開(kāi)：前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為：C；+C：+C；=l+〃+若6=22,

解得：〃=6或〃=-7(舍去).

即〃的值為6.

3k

⑵由通項(xiàng)公式=《(2x嚴(yán)()=)'=C^-kx~

可得：k=4.

,12

64T

???展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為7M=C：2-X=60；

(3)”是偶數(shù)，展開(kāi)式共有7項(xiàng)?則第四項(xiàng)最大

,93

，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為(?=C：267=160戶.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.已知函數(shù)“xblnx+x2.

⑴求曲線y=.f(x)在點(diǎn)處的切線方程;

⑵求函數(shù)/7(x)=〃x)-3x的單調(diào)增區(qū)間.

【答案】⑴3x-y-2=0；

【分析】(D利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程;

(2)利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)〃(x)=〃x)-3x的單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】(1)/(x)=lnx+x2(x>0),貝ljr(x)=J+2x

貝"⑴=1+2=3,X/(l)=lnl+l=l,

則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為y=3(x-D+l,即3x-y-2=0

(2)//(x)=/(x)-3x=lnx+x2-3x(x>0),

rjt||if/\1個(gè)o—3x+1,八、

貝！J/z(x)=—+2x-3=---------(x>0),

xx

由"（x）>0可得0<x<g或x>l,

則函數(shù)〃（x）=/（x）-3x的單調(diào)增區(qū)間為（0,；）,（l,+a>）.

20.下表是某農(nóng)村居民2018年至2022年家庭人均收入（單位：萬(wàn)元）.

年份20182019202020212022

年份代碼X12345

家庭人均收入y（萬(wàn)元）1.21.41.51.61.8

（1）利用相關(guān)系數(shù)r判斷y與x的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（當(dāng)0.75<卜|《1時(shí)，y與x的相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，否則相

關(guān)關(guān)系較弱，精確到0.01）;

⑵求了關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a,并預(yù)測(cè)2023年該農(nóng)村居民的家庭人均收入.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（4,%）、（占，%）....（%，X,）.其回歸直線？=去+4的斜率和截距的最小二乘

^x^yt-n-x-yXvy一〃.a》

估計(jì)分別為5=-------丁，a=^-bx,樣本相關(guān)系數(shù)r=F---------參考

數(shù)據(jù)：&=1.414.

【答案】（i）y與x的相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)

(2)y=0.14x+1.08；預(yù)測(cè)2022年該農(nóng)村居民的家庭人均收入為1.92萬(wàn)元

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及相關(guān)系數(shù)的公式即可求解『，然后根據(jù)范圍可判斷強(qiáng)弱;

(2)根據(jù)最小二乘法即可求回歸方程，然后根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè).

【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得，jf=gx(l+2+3+4+5)=3,

y=1x(1.2+1.4+l.5+1.6+1.8)=1.5,

2茗%=23.9,Z(x，「無(wú)>=1°，Z(M-y)2=02,

/=1f=l;=1

GQC<Q1<

則r=Vibx02~~°-99>0-75，故'與x的相關(guān)關(guān)系較強(qiáng):

55

(2)由(1)可知，x=3,下=1.5,2若y=23.9，Xx；=55,

/=1z=I

5

父期'TQ23.9-5x3x1.5

所以人=丹--------=555x3?=°」4,

^^尤2^—2°J-JXD

;=1

a=y-^x=1.5-0.14x3=1.08,

V關(guān)于x的線性回歸方程為y=0」4x+1.08,

當(dāng)x=6時(shí)，y=0.14x6+1.08=1.92,

故預(yù)測(cè)2022年該農(nóng)村居民的家庭人均收入為1.92萬(wàn)元.

21.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況,

采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)

果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手

(2)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在［550,650)、［750,850)內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10

人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望;

（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，試完成下列2x2列聯(lián)表，依據(jù)a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn),

能否認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手''與“性別”有關(guān)聯(lián)？

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

（參考公式”=（〃+盛工2）…,其中"

=a+b+c+d)

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（l）a=0.0035

9

⑵分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為所；

（3）認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)聯(lián).

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可;

（2）首先求出［550,650）、［750,850）中抽取的人數(shù)，依題意X的所有可能取值有0、1、2、3,求

IH所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望;

（3）完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.

【詳解】(1)由題意知100x(0.0015+4+0.0025+0.0015+0.001)=1,解得。=0.0035；

⑵由題意,從［55。,650）中抽取“麗黯菽=7人,

從［75。,85。）中抽取g證黑裝=3人,

隨機(jī)變量X的所有可能取值有0、1、2、3,

??-。）=管=言,"=1）=等=2

"X=2）=等晦，P（X=3）=警心,

???隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

3563211

P

120T20120120

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=Ox亙+1X里+2X2L+3X-L=2

12012012012010

(3)由題可知，樣本中男生40人，女生60人，

屬于“高分選手”的有100x(0.0015+0.001)x100=25人，其中女生10人,

得出以下2x2列聯(lián)表：

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)

男生152540

女生105060

合計(jì)2575100

零假設(shè)為名:該校學(xué)生屬于“高分選手''與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，

2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=1(順625-15*50)2=50>5024=

25x75x40x609

根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷兒不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性

別有關(guān)聯(lián).

22.設(shè)函數(shù)f