2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

文科數學

一、選擇題

1內+升（）

A.1B.2C.y/5D.5

【答案】C

【解析】

【分析1由題意首先化簡2+i2+2『，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i，

則|2+i?+2i3|=|l-2i|=jF+（_2）2=石.

故選：C.

2.設全集U={0,1,2,4,6,8,集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MugN=（）

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得的值，然后計算MDQ/N即可.

【詳解】由題意可得,N={2,4,8},則MaN={0,2,4,6,8}.

故選：A.

3.如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）

目

日

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC。一A4G。中，AB=BC=2,AA,=3,

點為所在棱上靠近點片,G,。，4的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點,

則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD-^B^D,去掉長方體ON/C,-LMHB,之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

JT

4.在.ABC中，內角A,8,C的對邊分別是4,0,c,若4cos3-AcosA=c,且。=1，則NB=()

71713萬2兀

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得NA的值，最后利用三角

形內角和定理可得NA的值.

【詳解】由題意結合正弦定理可得sinAcosB-sin3cosA=sinC,

即sinAcosB-sin5cosA=sin(A+5)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin3cosA=(),由于8w(0,7i),故sin8>0,

71

據此可得cosA=0,A=—,

2

i兀兀3兀

則3=71—A—C=7t---------=.

2510

故選：C.

5.已知/(》)=二七是偶函數，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據偶函數的定義運算求解.

【詳解】因為/(月=資力為偶函數，則/(同_〃_同=《__(一2b=上丁)]

又因為x不恒為0,可得e"—e("-f=0，即e*=e(,,-1)x，

則x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

6.正方形ABC。的邊長是2,E是AB的中點，則EC.&)=()

A.亞B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：以｛A3,A。｝為基底向量表示EC,￡0，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進而根據數量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量，可知AB|=|A。=2,A8-AD=0,

uunuuruuniuunuuummuiruuniuinuum

則EC=EB+BC=萬AB+AD,ED=￡4+4。=—5AB+4。,

uunuuu/1uunuuuA/iuunuum\?uun■>uuu,

所以=+5A8+AO+AD=—1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

UUUlUUU

則￡（l,o）,C（2,2）,0（0,2）,可得EC=0,2）,ED=（T,2）,

UL1UUUUl

所以EC-ED=-l+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=6CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在乙CDE中,由余弦定理可得cosZDEC=

2DECE2xx/5xV5-5

uunuunuunuun

所以ECEDECEDcosZDEC=J5xx-=3.

5

故選：B.

7.設。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（%?。??/+,244｝內隨機取一點4,則直線0A的傾斜角

不大于四的概率為（）

4

1111

A.-B.-C.—D.—

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域｛（%同|14％2+》244｝表示以0（（）,（））圓心，外圓半徑R=2，內圓半徑廠=1的圓環(huán),

IT7T

則直線Q4的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角NMON=一,

44

9百

結合對稱性可得所求概率4_1?

1—----------———

2兀4

故選：C.

y

8.函數/(司=/+公+2存在3個零點，則。的取值范圍是()

A.(—oo,—2)B.(—oo,—3)C.(-4,-1)D.(—3,0)

【答案】B

【解析】

【分析】寫出/'。)=3/+。，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】/(%)=x3+ax+2,則/>'*)=3/+。，

若“X)要存在3個零點，則/(x)要存在極大值和極小值，則a<0,

解得x=—后或后，

令/'(1)=3x2+<2=0,

卜，r(x)>(),

且當XW

當"卜序用,

八幻<0,

故“X)的極大值為/卜欄),極小值為同，

/卜閆k舁搟+2>0

若“X)要存在3個零點,則｛\/，即丫丫，解得a<—3,

/[#]<?

故選：B.

9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽

同學抽到不同主題概率為()

521

ABcIa

6-3-2-3-

【解析】

【分析】根據古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率.

【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數共有6x6=36種，

若甲、乙抽到的主題不同，則共有A：=30種，

則其概率為3一0=二5，

366

故選：A.

10.已知函數/(x)=sin(0x+°)在區(qū)間直線X=乙和為函數y=/(x)的圖像

63

CI

【答案】D

【解析】

5兀

【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入X=——即可得到答案.

【詳解】因為/(x)=sin(0x+0)在區(qū)間單調遞增,

T2兀7171I八LIF2兀,

所以一=------=—，且0>0,則T=兀，w=—=2,

2362T

當無=三時，/(X)取得最小值，則2『+o=2E—二，keZ,

662

則°=2加一2，ZcZ,不妨?。?0,則/(x)=sij2x-手

6<6

故選：D.

11.已知實數x，y滿足f+y2—4x-2y-4=0,則x-y的最大值是()

A.1+±B.4C.1+30D.7

2

【答案】C

【解析】

【分析】法一：令x-y=k,利用判別式法即可；法二：通過整理得(x-2)2+(y-lp=9,利用三角換元

法即可，法三：整理出圓的方程，設x-y=攵，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【詳解】法一：令x—y=&,則x=Z+y,

代入原式化簡得2y2+(2"6)y+爐一必-4=0,

因為存在實數V,則△NO,即(2Z-6『一4x2(/一4人一4)20,

化簡得42一2&—1740，解得1一304人41+30，

故工一N的最大值是3夜+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(尤_2)?=9,

令x=3cosd+2,y=3sind+l,其中6e[0,2可,

則x-y=3cos'_3sine+l=30cos(6+：)+1,

0&[o,2；r],所以:,T，則6+：=2無，即6=個時，x-y取得最大值3&+i，

法三：由％2+y2_4尤_2y_4=0可得(x_2>+(y_l)2=9,

I2-1-A:I

設x-y=A,則圓心到直線x-y=k的距離d=--j=—<3,

解得1-30<%<1+30

故選：C.

2

12.設A,B為雙曲線』-5=1上兩點，下列四個點中，可為線段A8中點的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根據點差法分析可得頷=9,對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對

于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設4&,y）,5（9，％），則A3的中點”—三，21^

一+為

乂-%#_

可得2_X+%

%一馬'石+/玉+馬

2

2

29L-2

\

HO

因A,B在雙曲線上,27-21-

&

9=

對于選項A：可得左=1,頷8=9,則AB:y=9x-8,

y=9x-8

聯立方程（2/，消去y得72I2—2X72X+73=0，

I9

此時△=（-2x72）2-4x72x73=-288<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

9Q5

對于選項B：可得k二-2,左A"則ABiyu—,X-/,

[95

y=——x——

22

聯立方程<2，消去y得45f+2x45x+61=0,

x2y,,

I9

此時△=（2x45）2-4x45x61=-4x45x16<0,

所以直線4B與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得攵=3,女AA=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得"1力=3,則A8:y=3%為雙曲線的漸近線,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤;

997

對于選項D：A:=4,k=—,則AB:y=—x——

A.Ii4-44

'44

聯立方程彳2，消去y得63/+126X-193=0,

此時△=1262+4x63x193〉。，故直線48與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

故選：D.

二、填空題

13.已知點在拋物線C：V=2px上，則A到C的準線的距離為.

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為x=-9,最后利

4

用點的坐標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（有『=2pxl,則2。=5,拋物線的方程為產=5%,

準線方程為x=-*,點A到C的準線的距離為1一（一，］=g.

4<4J4

9

故答案為：

4

14.若9e（0,］）,tane=g,則sin8-cose=.

【答案】—好

5

【解析】

【分析】根據同角三角關系求sin。，進而可得結果.

【詳解】因為6w0,1）,則sin6>0,cose>0,

又因為tane=@g=1,則cos6=2sin。，

cos。2

且cos28+sin2e=4sin?O+sin?8=5sin28=1，解得sin6=避^或sin6=-^^（舍去），

55

V5

所以sin6—cos。=sin。-2sin6=—sin6=—V

故答案為：—-

5

x-3y<-1

15.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.

3x+jy>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉化截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z-2x-y,移項得y=2x-z,

=-1x=5

聯立有《解得｛c，

x+2y=9b=2

設A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經過點A,此時截距-z最小，貝心最大,

代入得z=8.

故答案為：8.

16.已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，SA_L平面ABC,則W=

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結合直棱柱的外接球以及求的性質運算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉化為直三棱柱SMN-ABC,

設,ABC的外接圓圓心為0一半徑為廠,

2r=一AO

則sinZACB.V4|=26，可得r=百r，

T

設三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接OA,OOX,則OA=2,0?=gS4,

因為0A2=。。：+。m2,即4=3+,S42,解得￡4=2.

4

故答案為：2.

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把

空間問題轉化為平面問題求解；

（2）若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段以、PB、PC兩兩垂直，且膽=〃，PB=b,PC=c,一般

把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據《N二區(qū)+反+小求解；

（3）正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；

（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質

相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為為，y（i=l,2,…,10）.試驗結果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率巧545533551522575544541568596548

伸縮率yt536527543530560533522550576536

記Z,.=X,.-y（i=1,2,…,10）,記z,Z2,…,z10的樣本平均數為三，樣本方差為一.

（1）求W，s2;

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果

z>2J—，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，

Vio

否則不認為有顯著提高）

【答案】（1）2=11，$2=61；

（2）認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】（1）直接利用平均數公式即可計算出工亍，再得到所有的4值，最后計算出方差即可；

（2）根據公式計算出2年的值，和I比較大小即可.

【小問1詳解】

,545+533+551+522+575+544+541+568+596+548=…

x=------------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=------------------------------------------------------=541.3,

z=x-y=552.3-541.3=11,

馬=玉—X的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

改$一=---------------------------------------------------------------------------------------------------------=61

10

【小問2詳解】

由(1)知:Z=ll,2點=27^1=V244?故有222」工,

V10

所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.

18.記S,,為等差數列｛4｝的前〃項和，已知4=11,So=40.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）求數列｛|%|｝的前〃項和

【答案】⑴an=\5-2n

f\\An-rr,n<l

（2）Tn-\

[?'—14/!+98,n>8

【解析】

【分析】（1）根據題意列式求解q,d,進而可得結果;

（2）先求S“，討論?！钡姆柸ソ^對值，結合S,運算求解.

【小問1詳解】

設等差數列的公差為d,

6?2=%+d=11

4+4=114=13

由題意可得《c…。，解得

品=104+號10x91=40，即<I

2a1+9(7=8d=—2

所以4=13—2(〃—1)=15—2〃,

【小問2詳解】

因為sn=---------L=14〃—〃2,

"2

令=15-2n>0,解得n<,且〃eN*，

當〃V7時，則。”>0,可得看=閻+同卜=----ha”=S”=14〃一

當〃28時，則a“<0,可得<=|q|+|。2]"I---------------------------------

222

S7-(S?-S7)=2S7-S?=2(14x7-7)-(14n-n)=/i-14/7+98；

\4n-n2,n<7

綜上所述:T『

n2-14n+98,n>8

19.如圖，在三棱錐。一ABC中，ABJ.BC,AB=2，BC=26,PB=PC=y^BP,AP,BC的

中點分別為。,￡。，點尸在AC上，BF1AO.

A

(1)求證：￡/〃平面ADO；

(2)若NPOR=120°,求三棱錐P-ABC的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)

3

【解析】

【分析】(1)根據給定條件，證明四邊形OD￡F為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【小問1詳解】

連接。E,OR,設AE=MC,則3尸=54+4尸=(1一。&4+『8。，AO=-BA+^BC,BF1AO,

121

則BFAO=[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(t-l)BA+-tBC52=4?—1)+4,=0,

22

解得r=則F為AC的中點，由。,瓦。,尸分別為PB,PA8C,AC的中點，

2

于是OE//AB,Z)E=LA8,OF//A5,O/=LAB,即。E//O￡OE=Ob,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EFIiDO,EF=DO,1EFB平面ADO,DOu平面ADO,

所以￡戶//平面ADO.

【小問2詳解】

過尸作R0垂直歹。的延長線交于點M，

因為尸3=PC,。是中點，所以POJ.BC,

在RtzV^O中，PB=y/6,BO=-BC=y/2,

2

所以po=Jp正二=屈5=2，

因為AB，8C,OF//A8,

所以。FL8C,又POcOF=O,PO,Ofu平面POR,

所以BC工平面POF,又PMu平面POF,

所以BCLPM,又BCFM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM，平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高為PM，

因為ZPOF=120°,所以APOM=60°,

所以PM=POsin600=2xt=G，

2

又Sme=_AB-BC=—x2x2-72=2-72,

22

所以%=-5,-PM=-x2>/2x>/3=—.

r-AAoB\-C3ZAA/ADS(C-33

(1)當a=-l時，求曲線y=/(x)在點(lj(x))處的切線方程.

(2)若函數/(x)在(0,+8)單調遞增，求。的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

a]a-2j-

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后

求解切線方程即可；

(2)原問題即r(x)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，整理變形可得g(x)=o?+x-(x+l)ln(x+l)20

在區(qū)間(0,+。)上恒成立，然后分類討論a?0,。之；,0<a<g三種情況即可求得實數。的取值范圍.

【小問1詳解】

當a=—l時，/(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),

則r(x)=_4_xln(x+l)+j，_]]x，p

?XIXJX_11

據此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

所以函數在處的切線方程為>-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y—ln2=0.

【小問2詳解】

由函數的解析式可得r(x)=(—!)ln(x+l)+(j+a)x9j(x>T),

滿足題意時r(x)NO在區(qū)間(0,+8)上恒成立.

令|—2)ln(x+l)+f—FaJ----20,則—(x+l)ln(x+l)+(x+ax")20,

令g(x)=af2+x-(x+i)]n(x+l),原問題等價于g(x)“在區(qū)間(0,+功上恒成立，

則g'(x)=2tzx-ln(x+l),

當“4()時，由于2aiW0,In(x+l)>0,故g'(x)<0,8⑴在區(qū)間他中切上單調遞減，

此時g(x)<g⑼=(),不合題意;

令〃(x)=g'(x)=2ar-ln(x+l),則//(九)=2a———,

當azg,2ail時，由于擊<1,所以〃'(x)>(),〃(工)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，

即g'(X)在區(qū)間(。,+8)上單調遞增，

所以g'(x)>g'(o)=。，g(龍)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，g(x)>g(o)=o,滿足題意.

當0<a<’H寸，由"(x)=2a—一匚=0可得8=」--1,

2x+12a

當1］時，〃'(x)<O，Mx)在區(qū)間卜，/一1)上單調遞減，即g'(x)單調遞減,

注意到g'(O)=O,故當時，g'(x)<g'(O)=O,g(x)單調遞減，

由于g(O)=O，故當XG0,；-1］時，g(x)<g⑼=0，不合題意.

綜上可知：實數〃得取值范圍是

【點睛】方法點睛：

(1)求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數

的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

(2)由函數的單調性求參數的取值范圍的方法

①函數在區(qū)間(〃,。)上單調，實際上就是在該區(qū)間上/'(x)?0(或/'(x)V0)恒成立.

②函數在區(qū)間(。力)上存在單調區(qū)間，實際上就是r(x)20(或/'(力40)在該區(qū)間上存在解集.

21.已知橢圓C:烏+’=l(a>b>0)的離心率是。，點A(-2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點，直線AP,AQ與丁軸的交點分別為M,N,證明：線段MN

的中點為定點.

22

【答案】(1)匕+土=1

94

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據題意列式求解“,仇c,進而可得結果；

(2)設直線PQ方程，進而可求點M,N的坐標，結合韋達定理驗證近土生為定值即可.

2

【小問1詳解】

b=2a—3

由題意可得〈a2=b2-^-c2,解得＜b=2,

c石c=5/5

e=—=—

a3

v2x2

所以橢圓方程為匕+二=1.

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設PQ:y=Mx+2）+3,P（M，y）,Q（w，y2），

y=&（x+2）+3

聯立方程〈丁,，消去）,得：（4K+9）f+8Z（2Z+3）x+16（K+3攵）=0,

194

2

則A=64攵2（2k+3）—64（4左2+9）（公+3'=一1728攵＞0,解得攵＜0,

可得…一阻2-+3）「6（—+3%）

%+々——奴2+9R2一止+9

因為A（—2,0）,則直線AP:y=W§（x+2）,

令x=0,解得）'=義），即用，，2、],

X+2（x,+2）

同理可得N（0,2^],

I々+2J

2y12y2

則%+2.+2_[g+2）+3]+[，（匕+2）+3]

2玉+2々+2

出+（2Z+3）]（9+2）+網+（2A+3）]（%+2）_2^X2+（4^+3）（XI+X2）+4（2A:+3）

（X,+2）（X2+2）%,%2+2（^+々）+4

32"+3小㈣4可（2欠+3）

=4k2+94公+9'）「08=3

16（&2+3&）16M2k+3）36''

4H9-4廬+9-+4

所以線段R2中點是定點（0,3）.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數(某些變量)無

關；也可令系數等于零，得出定值；

(3)得出結論.

【選修4-4】(10分)

22.在直角坐標系X0Y中，以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程

(n-x=2cosa

為夕=2sm?！?lt;0<—\,曲線。2：\為參數,一<a<ii).

[42)[y=2sma2

(1)寫出G的直角坐標方程;

(2)若直線〃既與G沒有公共點，也與G