2024屆北京市通州區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處”O(jiān)

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.如圖，AABCgaAEF且點(diǎn)F在BC上，若AB=AE,NB=NE,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AC=AFB.ZAFE=ZBFEC.EF=BCD.ZEAB=ZFAC

2.已知Sina=@，且α是銳角，則α的度數(shù)是（）

2

A.30oB.45oC.60oD.不確定

3.某校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為20（）平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地，它的長(zhǎng)比寬多12米，設(shè)場(chǎng)地的寬為X米，根據(jù)題意可列方

程為（）

A.X（χ-12）=200B.2x+2（X-12）=200

C.X（x+12）=200D.2x+2（x+12）=200

4.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（）

□□

主視圖左視圖

oπutra

A.長(zhǎng)方體B.圓錐C.三棱柱D.圓柱

5.在及ZviBC中，ZC=90o,AB=13,AC=5,則S"A的值為

6.如圖，在RtaABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知AC=3,CD=2,則COSA的值為（）

34√7

A.-B.-rD,也

4334

20,CD是。的弦,CDlAB9垂足為E,且BE:A￡=1:4,則Co的長(zhǎng)為（）

12C.16D.18

8.如果x：y=1：2,那么下列各式中不成立的是（)

x+y3y-χ?C.?2x+1_2

A.B.------：D.7+T^3

丁2y2XT

9.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=3χ2的圖象向左平移2個(gè)單位,所得圖象的解析式為（）

A.y=3√-2B.y=3X2+2C.y=3(x-2)^D.y=3(x+2)2

10.在RtA4BC中，NC=90。，若COSB=—，貝!∣sinA的值為（）

2

1√3

B.一C.D

2^T

二、填空題（每小題3分,共24分）

2

11.如圖，雙曲線y=1（x>0）經(jīng)過(guò)RtAQ鉆斜邊OB的中點(diǎn)。，與直角邊AB交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)。作JDE_LQ4于點(diǎn)

E,連接。C,則AOBC的面積是.

43

12.如圖，ZAOB=90o,且OA、OB分別與反比例函數(shù)V=-（X>0）、y=—（x<0）的圖象交于A、B兩點(diǎn),則tan/OAB

的值是.

13.如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛

行高度W單位：⑼與飛行時(shí)間x(單位：S)之間具有函數(shù)關(guān)系y=-5x2+20x,在飛行過(guò)程中，當(dāng)小球的行高度為15機(jī)時(shí),

則飛行時(shí)間是.

14.如圖，在R∕ΔABC中，NABC=90。，BO為AC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作CEJ_8D于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)A作BO的平

行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，在A尸的延長(zhǎng)線上截取FG=30,連接BG、DF.若AG=26,BG=IO,則CF

的長(zhǎng)為.

15.已知點(diǎn)4(3,山)、B(2,力)都在拋物線y=-(x+l)2+2上，則以與力的大小關(guān)系是.

16.已知正方形A5C。邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸為其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PD=亞,ZBPD=90°,則點(diǎn)A到8p的距離等于.

17.如圖，RtAABC中，NA=90。，NB=30。，AC=6,以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)四分之一圓，則圖中陰影部分面

積為.(結(jié)果保留兀)

11

18.化簡(jiǎn)：2(α—b)—3(—α+〃)=.

22

三、解答題(共66分)

19.(10分)如圖，已知拋物線y=x1+2x的頂點(diǎn)為A,直線y=x+2與拋物線交于B,C兩點(diǎn).

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)作CDLx軸于點(diǎn)D,求證：AODCsAABC;

(3)若點(diǎn)尸為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PMLx軸于點(diǎn)M,則是否還存在除C點(diǎn)外的其他位置的點(diǎn)，使以

O,P,M為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似？若存在，請(qǐng)求出這樣的尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(6分)解方程：

(1)X2-2x-1=0；

(2)(2x-1)2=4(2χ-1).

21.(6分)如圖，AC是。O的一條直徑，AP是。O的切線.作BM=AB并與AP交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)MB交AC于點(diǎn)E,

交。O于點(diǎn)D,連接AD.

(1)求證：AB=BE;

(2)若G)O的半徑R=5,AB=6,求AD的長(zhǎng).

22.(8分)拋物線y=0√+歷+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=1,該拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A和8,與)’軸的交點(diǎn)

為C,其中A(7,0),C(O,-3).

(1)寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)若拋物線上存在一點(diǎn)P,使得APOC的面積是ABoC的面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)”是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線交拋物線于點(diǎn)。，求線段長(zhǎng)度的最大值.

23.(8分)如圖，拋物線y=αx2+2x+c(α<0)與X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=I.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)。是直線5C上方拋物線上的點(diǎn)，連接?！?gt;,CD,0。交BC于點(diǎn)尸，當(dāng)SACOF：SACDF=IS

2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

3

(1)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,--),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NoBP=2N08E?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合

2

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(8分)如圖，AB是。的直徑，直線MC與。。相切于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)A作MC的垂線，垂足為。，線段AO與OO

相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AC是ND43的平分線;

(2)若AB=IO,4。=4百，求AE的長(zhǎng).

25.(10分)某司機(jī)駕駛汽車(chē)從甲地去乙地，他以80切1/〃的平均速度用6〃到達(dá)目的地.

(1)當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車(chē)的速度U與時(shí)間f有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)如果該司機(jī)返回到甲地的時(shí)間不超過(guò)5用，那么返程時(shí)的平均速度不能小于多少？

26.(10分)如圖，已知點(diǎn)C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為A(2,0),與y軸交于點(diǎn)5(0,1),尸在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,

且縱坐標(biāo)為L(zhǎng)點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PM,X軸于點(diǎn)M,交直線CF于點(diǎn)"，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為，

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸在直線C尸下方的拋物線上，用含機(jī)的代數(shù)式表示線段P"的長(zhǎng)，并求出線段PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(3)當(dāng)PF-PM=I時(shí)，若將“使ApCF面積為2”的點(diǎn)P記作“巧點(diǎn)”，則存在多個(gè)“巧點(diǎn)”，且使APC產(chǎn)的周長(zhǎng)最小的

點(diǎn)P也是一個(gè)“巧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出APC尸的周長(zhǎng)最小時(shí)“巧點(diǎn)”的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1、B

【分析】全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，?ABC^?AEF,可推出AB=AE,NB=NE,AC=AF,EF

BC.

【詳解】V?ABC^?AEF

ΛAB=AE,NB=NE,AC=AF,EF=BC

故A,C選項(xiàng)正確.

V?ABC^?AEF

ΛZEAF=ZBAC

.?.ZEAB=ZFAC

故D答案也正確.

NAFE和NBFE找不到對(duì)應(yīng)關(guān)系，故不一定相等.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

2、C

【分析】根據(jù)sin60。=且解答即可.

2

【詳解】解：?..α為銳角，sinα=,sin60。=^^,

22

Λa=60o.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解析】解：寬為X,長(zhǎng)為x+12,.?.xa+12)=1.故選C?

4、D

【分析】首先根據(jù)俯視圖排除正方體、三棱柱，然后跟主視圖和左視圖排除圓錐，即可得到結(jié)論.

【詳解】V俯視圖是圓，

二排除A和C,

Y主視圖與左視圖均是長(zhǎng)方形，

.?.排除B,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從物體正面、

左面和上面看，所得到的圖形.

5、D

【分析】利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)勾股定理可得：BC=VAB2-AC2=√132-52=12

ΛtanA=^12

ACT

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理和三角函數(shù)的定義，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.

6、A

【分析】利用直角三角形的斜邊中線與斜邊的關(guān)系，先求出AB,再利用直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算cosA.

【詳解】解：?.?CD是RtaABC斜邊AB上的中線，

ΛAB=2CD=4,

AC3

：.CoSA=-----=—.

AB4

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊的中線與斜邊的關(guān)系、銳角三角函數(shù).掌握直角三角形斜邊的中線與斜邊的關(guān)系是解決本

題的關(guān)鍵.在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半.

7、C

【分析】連接OC,根據(jù)圓的性質(zhì)和已知條件即可求出OC=OB=3AB=10,BE=∣AB=4,從而求出OE,然后根

據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求CE和DE,從而求出CD.

【詳解】解：連接OC

VAB=20,BE-.AE^?Λ

ΛOC=OB=?AB=10,BE='A3=4

25

ΛOE=OB-BE=6

TC/）是的弦，C0?LΛB,

.?.DE=CE=Joc'-0爐=8

ΛCD=DE+CE=16

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是垂徑定理和勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.

8,D

x+VXJcIx+y3

【解析】試題分析：由題意分析可知：A中，--=-+1l,--=---^=彳，故不選A；B中,

y2y2

y-x,x.lI,,_工,XIy2x+l2

—-=i__=i--=τ?故不選;C中，_=彳=＞」=；；D中，一-≠-,故選D

yy22v2xly+l3

考點(diǎn)：代數(shù)式的運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：本題屬于對(duì)代數(shù)式的基本運(yùn)算規(guī)律和代數(shù)式的代入分析的求解

9、D

【分析】先確定拋物線y=3x∣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)(0,0)向左平移1個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的坐標(biāo)為(-b0),然后利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出新拋物線解析式即可.

【詳解】解：拋物線y=3x∣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),把點(diǎn)(0,0)向左平移1個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),

.?.平移后的拋物線解析式為：y=3(x+1)?.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常

可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂

點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

10、B

【分析】根據(jù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin(90o-α)=cosa,cos(90o-a)=Sina解答即可.

【詳解】解：解：T在AABC中，ZC=90o,

ΛZA+ZB=90o,

.*.sinA=cosB=?，

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式，掌握當(dāng)NA+NB=90。時(shí)，SinA=CoSB是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分,共24分)

11、1

【分析】先證明aOEDs∕kθAB,得出相似比="=」，再根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義得出

OB2

SAAOC=SADOK=-XZ=I,從而可得出AAOB的面積，最后由SAoBC=SAAoB-SAAoC可得出結(jié)果.

2

【詳解】解：VZOAB=90°,DE±OA,

ΛDE∕∕AB,

ΛΔOED^ΔOAB,

YD為OB的中點(diǎn)D,

.OD_?.S.ODE_(_?

,

"^OB~2''SOAB~2一〃

2

??,雙曲線的解析式是y=-,

X

.1

??SAAOC=SADOE=—X2=1,

2

??SAAOB=4SADOE=4,

?*?SAOBC=SAAOB-SAAOC=I>

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

k1

主要考查了反比例函數(shù)y二—中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引X軸、y軸垂線，所得三角形面積為7∣k∣,是

X2

經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn).

12、2

2

4

【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AC±x軸于C,過(guò)點(diǎn)B作BD±x軸于D,易得aOBDsaAOC,又由點(diǎn)A在反比例函數(shù)V=-

X

33

的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)V二--的圖象上，即可得Sooc=2,SΔOBD=,然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相

X2

似比的平方，即可得絲=立，然后由正切函數(shù)的定義求得答案.

OA2

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AC,X軸于C,過(guò)點(diǎn)B作BD_Lx軸于D,

JNACO=NODB=90。，

ΛZOBD+ZBOD=90o,

VZAOB=90o,

ΛZBOD+ZAOC=90o,

ΛZOBD=ZAOC,

ΛΔOBD∞?AOC,

,

,,5ΛOCIOAJ

43

???點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=一-的圖象上，

XX

.3

??S?OBD=—，S?AOC=2,

2

.0B√3

??------------9

OA2

AtanZOAB=-

OA2

故答案為：立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注

意掌握輔助線的作法.

13>Is或3s

【解析】根據(jù)題意可以得到15=-5x2+20x,然后求出X的值，即可解答本題.

【詳解】Vy=-5X2+20X,

當(dāng)y=15時(shí),15=-5x2+20x,得xι=l,X2=3,

故答案為IS或3s?

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程

的知識(shí)解答.

14、12.

【分析】首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD,則可判斷

四邊形BGFD是菱形，則GF=1(),則AF=16,AC=20,在RtaACF中利用勾股定理可求出CF的值.

【詳解】解：VAG√BD,BD=FG,

.?.四邊形BGFD是平行四邊形，

VCF±BD,.,.CF±AG,

又T點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，

ΛBD=DF=?AC,

2

.?.四邊形BGFD是菱形，

/.GF=BG=IO,則AF=26-10=16,AC=2×10=20,

T在RtZkACF中，ZCFA=90°,

.?.AF2+CF2=AC2,即CF=√202-162=12,

故答案是：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是

菱形.

15、yι<y?

【分析】先求得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為X=-1,再判斷A(3,X)、8(2,%)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，從而判斷出X與的大小關(guān)

系.

【詳解】V函數(shù)尸-(χ+l)∣+l的對(duì)稱(chēng)軸為X=-1,

.?.A(3,yj、3(2,必)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，

Y拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨X的增大而減小，且3>1,

.?.J1<J>1.

故答案為：yι<yι.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，利用已知解析式得出對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)而利用二次函數(shù)增減性得出答案是解

題關(guān)鍵.

1β3√3+√5^3ΛΛ-√5

lo?--------------取---------

【分析】由題意可得點(diǎn)尸在以。為圓心，石為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)尸也在以30為直徑的圓上，即點(diǎn)尸是兩圓的交

點(diǎn)，分兩種情況討論，由勾股定理可求8P,4"的長(zhǎng)，即可求點(diǎn)4到BP的距離.

【詳解】???點(diǎn)ρ滿(mǎn)足PD=石，

.?.點(diǎn)尸在以。為圓心，正為半徑的圓上，

VZβPD=90o,

.?.點(diǎn)尸在以80為直徑的圓上,

.?.如圖，點(diǎn)尸是兩圓的交點(diǎn)，

若點(diǎn)尸在Ao上方，連接AP,過(guò)點(diǎn)4作AHJ

?：CD=4=BC,ZBCD=90°,

ΛBD=4√2?

?：NBPD=9Q°,

.?.BP=^BD2-PD2=36，

?：ZBPD=90°=NBAD,

.?.點(diǎn)A,點(diǎn)3,點(diǎn)O,點(diǎn)尸四點(diǎn)共圓，

：.ZAPB=ZADB=45o,S.AHLBP,

：.ZHAP=ZAPH=45°,

：.AH=HP,

在RtAAHB中，AB1=AH1+Bti1,

：.16=AH2+（3√3-AH）2,

.?.AH=NI上*5（不合題意），或4“二3百一百,

22

若點(diǎn)尸在。的右側(cè)，

同理可得AH=N叵土近，

2

4<?LFK'-t?Λu3^3+?/?T?v?-?/?

綜上所述：AH=----匚或一）i———.

22

【點(diǎn)睛】

本題是正方形與圓的綜合題，正確確定點(diǎn)P是以。為圓心，石為半徑的圓和以BO為直徑的圓的交點(diǎn)是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

17、9√3-3π

【解析】試題解析：連結(jié)AD.

T直角AABC中，NA=90。，ZB=30o,AC=6,

ΛZC=60o,AB=6√3,

VAD=AC,

.?.三角形ACD是等邊三角形，

ΛZCAD=60o,

二ZDAE=30o,

.?.圖中陰影部分的面積=-×6×6√3-i×6×3√3-3°7z^x6-=9√3-3Λ-

22360

1

18、-Ci—4/>.

2

31

【解析】試題解析：原式=2。一人一一α-3b=7α-4b.

22

故答案為—a—4b.

2

三、解答題(共66分)

5577

19、(1)B(-2,O),C(1,3)；(2)見(jiàn)解析；(3)存在這樣的點(diǎn)P,坐標(biāo)為(-一，-一)或(-一，一)或(-

3939

5,15).

【分析】(1)可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)根據(jù)勾股定理可得NABC=90。，進(jìn)而可求AODCs^ABC.

(3)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形相似可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：y=x2+2x=(x+D2-ι,

工頂點(diǎn)A(-1,-1)；

x--2CX=I

,解得:<或V

y=01y=3

ΛB(-2,0),C(1,3)；

(2)證明：VA(-1,-1),B(-2,O),C(1,3),

AAB=-2+1)2+(0+1)2=√2，

22

BC=1J(-2-l)+(0-3)=3√2?

22

AC=1J(-l-l)+(-l-3)=2√5，

Afi_√2_1

ΛAB2+BC2=AC2,

BC^3√2^3

.?.NABC=9()°,

VOD=I,CD=3,

0。_1

CD~3,

ABOD

—=——，ZABC=ZODC=90o,

BCCD

Λ?ODC^?ABC;

(3)存在這樣的P點(diǎn)，設(shè)M(x,0),則P(x,x2+2x),

ΛOM=∣x∣,PM=∣X2+2X∣,

當(dāng)以O(shè),P,M為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似時(shí)，

PMABPMCB

有—-WC=9

OMBCOMAB

由（2）知：AB=及，CB=3√2,

①當(dāng)也=竺時(shí)，則1×?LL=1,當(dāng)P在第二象限時(shí)，χ<0,x2+2x>0,

OMBCIxl3

27

：.X+2X=L解得：Xl=O（舍），x2=-一，當(dāng)P在第三象限時(shí)，x<0,x2+2x<0,

-X33

2q15

~—=—r解得：Xl=O（舍），x2=--,

-X33

②當(dāng)絲=出時(shí)，則JJ?XL=3,同理代入可得：X=-5或x=l（舍），

OMAB∣χ∣

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P,坐標(biāo)為（-：5,-5）或（-7；,7U）或（-5,15）.

3939

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角

形的性質(zhì)及分類(lèi)討論等.

20、(1)x=2±√2s(2)X=*或X='.

22

【分析】(1)根據(jù)配方法即可求出答案.

(2)根據(jù)因式分解法即可求出答案.

【詳解】解：(1)-X2-Zx-I=Q,

.".x2-2x+l=2,

Λ(X-2)2=2,

**?x=2±?^∕2?

(2)V(2x-1)2=4(2x-1),

二⑵-I-4)(2x-1)=0,

【點(diǎn)睛】

此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程的解法.

48

21、（1）見(jiàn)解析；（2）AO=M.

【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得NBAE+NMAB=90。，進(jìn)而得NAEB+NAMB=9（）O,由等腰三角形的性質(zhì)得NMAB

=ZAMB,繼而得到NBAE=NAEB,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得結(jié)論；

⑵連接BC根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NABC=90。，利用勾股定理可求得BC=8,證明△ABCsaEAM,可

得NC=NAME,—,可求得AM=竺，再由圓周角定理以及等量代換可得ND=NAMD,繼而根據(jù)等角

EMAM5

48

對(duì)等邊即可求得AD=AM=y.

【詳解】（I）TAP是。。的切線，

ΛZEAM=90o,

ΛZBAE+ZMAB=90o,ZAEB+ZAMB=90o,

XVAB=BM,

ΛZMAB=ZAMB,

ΛZBAE=ZAEB,

ΛAB=BE;

⑵連接BC,

?.?AC是。。的直徑,

ΛZABC=90o

在RtAABC中，AC=1O,AB=6,

.?.Bc=√AC2-AB2=8?

由⑴知，NBAE=NAEB,

又NABC=NEAM=90°,

Λ?ABC(^?EAM,

ACBC

AZC=ZAME,

^EM~~AM

108

即hπ一=——

12AM

48

ΛAM=—

5

又"D=NC,

二ND=NAMD,

48

AAD=AM=—.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，準(zhǔn)確識(shí)圖，正確

添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

O

22、(1)(3,0)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,21)或(-6,45)；(3)Mo長(zhǎng)度的最大值為

【分析】(1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),則點(diǎn)B(3,0),即可求解；

(2)由SAPOC=2SABOC,則X=±2OB=6,即可求解；

(3)設(shè)：點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,x-3),則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,x2-2x-3),貝!∣MD=x-3-x?+2x+3,即可求解.

【詳解】解：(1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為X=1,點(diǎn)A坐標(biāo)為(一L0),則點(diǎn)3(3,0),

故：答案為案,0)；

(2)二次函數(shù)表達(dá)式為：y=fl(x+l)(x-3)=a(x2-2x-3),

即：-3α=-3,解得：a=Λ,

故拋物線的表達(dá)式為：y=d-2x-3,

119

所以∕

SBOC=OB?OC=5X3X3=5

由題意得：SPoC=2SBoc=9,

設(shè)P(x,X2-2Λ-3)

I3

則SPoC=9=3OC?|x|=-?H

所以W=6則X=±6,

所以當(dāng)X=6時(shí)，Λ2-2X-3=-21,當(dāng)X=-6時(shí)，/-2^-3=45

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,21)或(-6,45)；

(3)如圖所示，

將點(diǎn)8、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)y="+人得表達(dá)式得

c=-3k=T

,，解得：〈，

3k+b=0伍=-3

故直線BC的表達(dá)式為：

y=χ-3,

設(shè)：點(diǎn)M坐標(biāo)為(X，X-3),則點(diǎn)。坐標(biāo)為(x,X2-2Λ-3),

3Q

貝IJMD=X-3-Y+2X+3=-(X——)2+^,

24

9

故MN長(zhǎng)度的最大值為

4

【點(diǎn)睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖

形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

132

2

23、(1)y=-x+2x+lt(2)點(diǎn)。(1,4)或(2,1)；(1)當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方時(shí)，點(diǎn)尸(§，豆)；當(dāng)點(diǎn)尸在X軸下

764

方時(shí)，點(diǎn)(---，——)

39

【分析】(I)C=1,點(diǎn)5(1,0),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y=ax2+2x+l,解得α=-1即可得出答案；

2

⑵由SACOF:SACOF=L2得。尸：FD=I:2,由DHHCO得CO：DM=Is2,求得DM=I,而DM=-X+2x+3-(-X+3)=2,

即可求解；

⑴分點(diǎn)P在X軸上方、點(diǎn)尸在X軸下方兩種情況，分別求解即可.

【詳解】⑴：OB=OC=L

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,1),C=I,點(diǎn)B的坐標(biāo)為5(1,0),

將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：產(chǎn)&+2x+l,解得：α=-l,

2

故拋物線的表達(dá)式為：j=-x+2x+ls

⑵如圖，過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)”，交BC于點(diǎn)

'."DH//CO,

：.CO：DM=OFtFD=It2,

2

：.DM=-CO=I,

3

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+b,

b=3

將C(0,1),8(1,0)代入得上，，C

3k+b=Q

{k=-?

.?.直線BC的表達(dá)式為：y=-x+l,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+l),則點(diǎn)Λf(x,-x+l),

：.DM=-X2+2x+3-[-X+3)=2,

解得：x=l或2,

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(1,4)或(2,1)；

⑴①當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方時(shí)，

?OG=OE,連接BG,過(guò)點(diǎn)5作直線PB交拋物線于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)M,使NGBM=NG3。,

則N05P=2N08E,過(guò)點(diǎn)G作如圖，

V點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,

?：NGBM=NGBO,GHLBM,GO±OB,

3

GH=GO=OE=-,BH=BO=I,

2

設(shè)M∕∕=x,則MG=

在AOBM中，OB2+OM2=MB2,即3?+

解得：X=2,

I295E53〃

故MG=X2+—,貝UOM=MG+GO=—+—=4,

4222

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4),

設(shè)直線BM的表達(dá)式為：y=kx+b,

'3k+b=Q

將點(diǎn)8(1,0)、M(0,4)代入得：，

。=4

k=—

解得：J3,

b=4

4

?,?直線的表達(dá)式為：j=-yx÷4,

y=-X2+2x+3

解方程組’4

y=——x+4

*3

解得：X=1(舍去)或g,

1432

將X=§代入戶(hù)-1*+4得產(chǎn)至，

132

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(§,y);

②當(dāng)點(diǎn)尸在X軸下方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN_1_5尸，直線尸3交y軸于點(diǎn)

y

VNoBP=2N0BE,

.?.8E是NObp的平分線，

3

：.EN=OE=-,BN=OB=I,

2

F(I卜

設(shè)MN=X,則ME=SjMN2+EM

2(3Γ~,~~9YZ\2

^RtLOBM,OB2+OM2=MB2,即3+[]+<x+jj=(x+3),

解得：x=2,

25,,53,

?ME==-,貝r（JOAf=ME+EO=—+—=4,

222

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,-4）,

設(shè)直線的表達(dá)式為：y=kx+h,

'3k+b^0

將點(diǎn)8（1,0）、M（O,-4）代入得：〈，，，

b=-4

?k-i

解得：3,

Z?=-4

4

二直線8M的表達(dá)式為：y=gX-4,

?=-X2+2x+3

解方程組4

y=—x-4

3

7

解得：X=1（舍去）或一］,

7464

將X=——代入y=7-4得y=-J,

33-9

764

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為--）；

1??764

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（丁方）或（一-y）.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等，其

中第（1）問(wèn)要注意分類(lèi)求解，避免遺漏.

24、（1）見(jiàn)解析；（2）AE=6

【分析】（1）連接OC,可證得OC〃AD,根據(jù)平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，可得NDAC=NCAO,即得AC平分

ZDAB；

（2）連接BC,連接BE交OC于點(diǎn)F,通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和相似三角形ACFSABcA求得

CF=2,再求得OF,即可求得答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。C,

D

?.?MC與。相切于點(diǎn)C,

，NoCM=90°,

?：ADVDM,

：.ZAZw=90°,

.,./LOCM=ZADM，

：.OCI/AD,

.?.ΛDAC=ΛACO,

?：OA=OC,

.?.ZACO=ZCAO,

：.ZDACZCAB,

.?.AC是NZMB的平分線;

(2)解：如圖，連接BC,連接BE交。。于點(diǎn)F,

=AB是。的直徑,

.?.ZACB=ZAEB=90°,

?：AB=IO,AC=4底

:?BC=√AB2-AC2=2√5'

,：OCHAD,

:?NBFO=NAEB=90，

?ZCFB=90?R為線段BE中點(diǎn),

VZCBE=ZEAC=ZCAB,ZCFB=ZACB,

：.NCFBABCA,

：.CF:BC=BC:AB,

即：CF:2辨=2非：1。,

.?.CF=I,

'：OC=-AB,

2

：.OC=5,

.?.OF=OC-CF=3,

???。為直徑AB中點(diǎn)，尸為線段BE中點(diǎn)，

."?AE-IOF-6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定、勾股定理、三角形中