2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路二中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（共8道小題，每題2分，共16分）

AC=7cm,AB=5C7〃,BC=8cm,則AD的長是（)

C.1cmD.Scm

3.（2分）計算爐?/的結(jié)果是（）

A.x10B.x7C.?D.x2

4.(2分)下列運算正確的是()

A.(-a2)3--a6B.3a2*2a3-4*6a6

C.-a(-a+1)=-a2+aDc.23s

5.（2分）若正多邊形的一個外角是36°則該正多邊形的內(nèi)角和為（)

A.360°B.720°C.14400D.1800°

6.（2分）如圖，已知/3O尸與OP上的點C,點A,小臨同學(xué)現(xiàn)進(jìn)行如下操作：①以點O

為圓心，OC長為半徑畫弧，交08于點。，連接CD；②以點A為圓心，OC長為半徑

畫弧，交OA于點M；③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第2步中所畫的弧于點E,

連接ME.下列結(jié)論不能由上述操作結(jié)果得出的是（）

B

a

A.ZODC=ZAEMB.OB//AEC.ZAME=2ZA0DD.CD//ME

7.（2分）如圖，在長為3〃+2,寬為2h-1的長方形鐵片上，挖去長為2〃+4,寬為人的小

長方形鐵片，則剩余部分面積是（

3療2

A.6ah-3a+4hB.4ab-3a-2

C.6ab-3。+勖-2D.4ab-3a+8〃-2

8.（2分）如圖1,△40。中，點￡和點尸分別為AO,AC上的動點，把△40。紙片沿七尸

折疊，使得點4落在△AOC的外部A處，如圖2所示.設(shè)Nl-N2=a,則下列等式成

立的是（）

圖1圖2

A.ZA=aB.ZA=2aC.2ZA=aD.3ZA=2a

二、填空題（共8道小題，每題2分，共16分）

9.（2分）計算-（-2/%）4=.

10.（2分）在△ABC中，ZC=90°,ZA-ZB=30°,則NA=.

11.（2分）如圖，已知AC與8。交于點E,且A8=C￡>,請你再添加一個邊或角的條件使

△A8C部△ZJCB,添加的條件是：.（添加一個即可）

12.（2分）如圖，△ABC的外角的平分線8。與CE相交于點P,若點P到AC的距離為5,

13.（2分）如圖，CO是△ABC的中線，EB是△BCD的中線，如果△A8C的面積是8a水,

則陰影部分面積是cin1.

B

14.（2分）如圖，ZvlBC為等邊三角形，點E在A8上，點尸在AC上，AE=CF,CE與

8尸相交于點P,則/EP8

a的大正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部

分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是

-><-b-?

16.（2分）如圖，AB^AE,ABLAE,AD=AC,AD±AC,點M為BC的中點，4M=3,

DE=

E

D

BMC

三、解答題（共8道小題，第17,22,23題，每題10分；第18,19題，每題6分；第20

題8分；第21,24題，每題9分）

17.（10分）（1）計算：5gAx60y:

（2）計算：[7m,m4-（-3w2）2]-T-2/M2.

18.（6分）已知442+2y-1=0,求代數(shù)式（2a+b）2-b（4a-b'）+2的值.

19.（6分）如圖，已知AC平分N8AD,AB=AD.求證：NB=ND.

20.（8分）證明命題”有一條直角邊及斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”.要

根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程.下面是根據(jù)題意畫出

的部分圖形，并寫出了不完整的已知和求證.

已知：如圖，RtAASC和RtADEF中，ZC=ZE=9O°,AC=DE,CG±AB于

G,.

求證：RtAABC^RtADFE.

請補全圖形和補全已知，并寫出證明過程.

平分Na4C.

小明的作圖方法如下:

①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交48于點交AC于點N；

②分別以點M,N為圓心，大于2MN的長為半徑畫弧，兩弧在/CA8的內(nèi)部相交于點E；

2

③畫射線AE,交射線CO于點尸，點P即為所求.

小剛說：“我有不同的作法，如圖2所示，只需要以點C為圓心，C4為半徑畫弧，交射

線C￡（于點P,畫射線AP,也能夠得到A尸平分/54C.

請回答：

（1）請補全小明的作圖過程.小明在作圖的過程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是

絲,全等的依據(jù)是.因為全等三角形的對應(yīng)角相等，所以能夠得

到/C4B的角平分線AP；

（2）對于小剛的作圖方法證明如下：

'：CA=CP

：.ZCAP^ZCPA（等邊對等角）

'：AB//CD

ZBAP=Z（）

：.ZCAP=ZBAP

射線AP平分NBAC.

（3）點P到直線AC和AB的距離相等，理由是.

圖1圖2

22.（10分）如圖，長為機(jī)，寬為x（m>x）的大長方形被分制成7小塊，除陰影I,II外，

其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，小長方形較短一邊長記為y.

（1）陰影I的長AB為；陰影II的寬DE為（用含m,x,y的代

數(shù)式表示）；

（2）求陰影I和II的面積差S（用含相，x,y的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)x取任何實數(shù)時，面積差S的值都保持不變，問：機(jī)與），應(yīng)滿足什么條件.

23.(10分)如圖(1),AB=7cm,AC±AB,BD_LAB垂足分別為A、B,AC=5an.點尸

在線段A8上以2cm/s的速度由點A向點8運動，同時點。在射線8。上運動.它們運

動的時間為，(s)(當(dāng)點P運動結(jié)束時，點。運動隨之結(jié)束).

(1)若點。的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)f=l時，△4CP與△BP。是否全等，

并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；

(2)如圖(2),若“ACLAB,BDLAB"改為"NC4B=NQBA"，點Q的運動速度為

xcm/s,其它條件不變，當(dāng)點P、。運動到何處時有與ABP。全等，求出相應(yīng)的x

的值.

24.(9分)閱讀材料：把形如o?+bx+c的二次三項式或(其一部分)配成完全平方式的方

法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即/+2"+/=Q+b)2.配

方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用.

例如：

①我們可以將代數(shù)式屋+64+10進(jìn)行變形，其過程如下：

a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1

(a+3)220,

，(a+3)2+1￡1,

因此，該式有最小值1.

材料二：我們定義：如果兩個多項式A與8的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是

8的“雅常式”，這個常數(shù)稱為A關(guān)于B的“雅常值如多項式A=/+2x+l,B=(x+4)

(x-2),4-8=(/+2x+l)-(x+4)(x-2)=(/+2x+l)-(?+2x-8)=9,則A

是8的“雅常式”，A關(guān)于B的“雅常值”為9.

(1)已知多項式C=7+x-1,D=(x+2)(x-1),判斷C是否為。的“雅常式"，若

不是，請說明理由，若是，請證明并求出C關(guān)于。的“雅常值”；

(2)已知多項式M=(x-a)2,N=W-2x+b(a,b為常數(shù))，M是N的“雅常式”，

且當(dāng)x為實數(shù)時，N的最小值為-2,求仞關(guān)于N的“雅常值”.

四、附加題

25.已知a=8〃，6=279,0=9%則”，b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b〈cD.b>c>a

26.如圖，四邊形48co中，ZABC=ZD=\20°,AB=BC=CD=DA,E是邊4。上的

一點，且NABE=48°,若線段8E上存在點P,使NCPB=NCPD.則/AOP的度數(shù)

為.

27.已知△ABC中，BD,CE分別平分NABC和NACB,BD、CE交于點0.

(1)直接寫出NB0C與/A的數(shù)量關(guān)系；

(2)若/A=60°,利用(1)的關(guān)系，求出/B0C的度數(shù)；

(3)利用(2)的結(jié)果，試判斷BE,CD,BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

A

E/\

D

0

R

2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路二中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8道小題，每題2分，共16分）

1.（2分）用直角三角板，作△ABC的高,

【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：A、B、C均不是高線.

故選：D.

【點評】本題考查的是作圖-基本作圖,熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2分）如圖，AC=7cm,AB=5cm,BC=8cm,則的長是（）

RC

A.5cmB.6cmC.1cmD.Scm

【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊進(jìn)而得出答案.

【解答】解：,:△ABgXCDk,AC=1cm,AB^5cm,BC=2,cm,

：.BC=AD=Scm.

故選：D.

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

3.（2分）計算/+/的結(jié)果是（）

A.x10B.x7C.?D.?

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減，可得答案.

【解答】解：原式=金2=/，

故選：C.

【點評】本題考查了同底數(shù)嘉的除法，熟記法則并根據(jù)法則計算是解題關(guān)鍵.

4.（2分）下列運算正確的是（）

A.（-a2）3--a6B.3a2,2a3=6a6

C.-a（-a+1）=-a2+aD.a2+a3=a5

【分析】利用基的乘方與積的乘方，單項式乘單項式，合并同類項的法則對每個選項進(jìn)

行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：A、（"2）3=”6,故本選項正確，符合題意；

B、3/-2/=6/，故本選項錯誤，不符合題意；

C、-?（-?+1）=a2-a,故本選項錯誤，不符合題意；

D、/與/不是同類項，不能合并，故本選項錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了事的乘方與積的乘方，單項式乘單項式，合并同類項，正確利

用法則與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.

5.（2分）若正多邊形的一個外角是36°,則該正多邊形的內(nèi)角和為（）

A.360°B.720°C.1440°D.1800°

【分析】先利用多邊形的外角和是360°,正多邊形的每個外角都是36°,求出邊數(shù)，

再根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求解.

【解答】解：,??360°+36°=10,

.??這個正多邊形是正十邊形，

...該正多邊形的內(nèi)角和為（10-2）X180°=1440°.

故選：C.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和定理是解題的

關(guān)鍵.

6.（2分）如圖，已知/BOP與0尸上的點C,點4,小臨同學(xué)現(xiàn)進(jìn)行如下操作：①以點O

為圓心，OC長為半徑畫弧，交08于點。，連接cr＞；②以點A為圓心，OC長為半徑

畫弧，交OA于點M-,③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第2步中所畫的弧于點E,

連接例￡下列結(jié)論不能由上述操作結(jié)果得出的是（）

A.ZODC=ZAEMB.OB//AEC.ZAME=2ZA0DD.CD//ME

【分析】證明△08也根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及平行線的判定定理即可得出

結(jié)論.

【解答】解：在△OCO和中，

，OC=AM

<OD=AE>

CD=ME

：./\OCD^/\AME（SSS）,

：.ZDCO=ZEMA,ZO=ZOAE,ZODC=ZAEM.

：.CD//ME,OB//AE.

故A、B、。都可得到./AME=2NAOO不一定得出.

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到相等的線段，證明

△OCDQAME是關(guān)鍵.

7.（2分）如圖，在長為3〃+2,寬為2b-1的長方形鐵片上，挖去長為2a+4,寬為6的小

長方形鐵片，則剩余部分面積是（

3a+2

A.6ab-3a+4bB.4ab-3a-2

C.6ab-3a+Sb-2D.4ab-3a+8b-2

【分析】根據(jù)長方形的面積分別表示大長方形和小長方形的面積，再進(jìn)行相減即可.

【解答】解：剩余部分面積：

(3a+2)(2b-1)-h(2a+4)

—6ab-3a+4b-2-lab-4b

=4ab-3a-2；

故選：B.

【點評】本題考查了多項式與多項式相乘、單項式與多項式相乘，掌握這兩個運算法則，

去括號時注意符號的變化是解題關(guān)鍵.

8.（2分）如圖1,△4OC中，點E和點尸分別為AO,AC上的動點，把△4OC紙片沿EF

折疊，使得點A落在△ADC的外部4處，如圖2所示.設(shè)Nl-/2=a,則下列等式成

立的是（）

圖1圖2

A.NA=aB.NA=2aC.2NA=aD.3NA=2a

【分析】根據(jù)三角形外角和折疊的性質(zhì)可得Nl=1800-2ZAEF,ZAFE=ZA+ZAEF^-

Z2,進(jìn)而即可得到N2=180°-2ZA-2ZAEF,結(jié)合N1-N2=a即可求解.

【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得NA=NW,ZAEF=ZA'EF,ZAFE=ZA'FE,

VZ1=18O0-NAEA',ZA'FE=ZCFE+Z2fZCFE=ZA+ZAEF,

/.Zl=180o-2/AEF,ZAFE=ZA+ZAEF+Z2,

???ZAFE=\S0°-ZA-/AEF,

??.N2=180°-ZA-ZAEF-ZA-ZAEF=180°-2ZA-2ZAEF,

AZI-Z2=180°-2NAEF-(180°-2ZA-2ZAEF),

AZI-N2=2NA,

VZ1-Z2=a,

'.2ZA=a,

故選：C.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的

關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).

二、填空題(共8道小題，每題2分，共16分)

9.(2分)計算-(-2/6)4=-16a%4.

【分析】積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的嘉相乘.據(jù)此計算即可.

【解答】解：-(-2a2b)4=-(-2)-4.乂=-16a%,

故答案為：-16a%4.

【點評】本題考查了累的乘方與積的乘方，掌握幕的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.(2分)在△ABC中，ZC=90°,ZA-ZB=30°,則N(=60°.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程組，解方程組得到答案.

【解答】解：在△A8C中，ZC=90°,

則乙4+/8=90°,

由題意得1/A+NB=9°,

1ZA-ZB=3O"

解得：N4=60°,NB=30°,

故答案為：60°.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

11.(2分)如圖，已知AC與BO交于點E,且A8=C。，請你再添加一個邊或角的條件使

△ABgADCB,添加的條件是：(/ABC=/CCB)答案不唯一.(添加一個即可)

【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【解答】解：添加的條件是

理由是：：在△A8C和△￡?中

rAB=DC

<ZABC=ZDCB

BC=CB

:.△ABSXDCB(SAS),

故答案為：NABC=NDCB.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解

此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.

12.(2分)如圖，△ABC的外角的平分線8。與CE相交于點P,若點尸到AC的距離為5,

則點P到AB的距離為5.

cD

AB

【分析】過點P作PFLAC于F,PG±BC^G,PHLAB于H,然后根據(jù)角平分線上的

點到角的兩邊的距離相等可得PF=PG=PH,從而得解.

【解答】解：如圖，過點尸作P尸，4c于尸，PG_LBC于G,于”，

VZABC的外角平分線BD與NACB的外角平分線CE相交于點P,

：.PF=PG=5,PG=PH,

：.PF=PG=PH=5.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2分）如圖，CQ是△ABC的中線，EB是△BCO的中線，如果△ABC的面積是

則陰影部分面積是2cm2.

B

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形解決問題即可.

【解答】解：；CD是△4BC的中線，

：.AD=DB,

2

?：BE是ABCD的中線,

：.DE=EC,

?i9i=—SABDC=2(cm~),

2

故答案為：2.

【點評】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是理解三角形的中線把三角形分成面積相

等的兩個三角形.

14.（2分）如圖，ZVIBC為等邊三角形，點E在A8上，點F在AC上，AE=CF,CE與

8尸相交于點P,則NEP8=60°.

【分析】證明△BCE出AABF（SAS）,由全等三角形的性質(zhì)得到NBCE=NABF,則由圖

示知/PBC+NPCB=NPBC+/ABF=/ABC=60°,即/PBC+NPC3=60°,所以根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/BPC=120°,易得/EPB的度數(shù).

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

：.BC=AB,ZA=ZEBC=60°,

在△BCE與aABf中，

，BC=AB

<NA=NEBC，

BE=AF

:./\BCE出AABF（SAS）,

：.NBCE=NABF,

：.ZPBC+ZPCB^ZPBC+ZABF^ZA?C=60°,BPZPBC+ZPCB=60°,

AZBPC=180°-60°=120°.

即：ZBPC=\20°,

：.ZBPE=60Q.

故答案為：60°.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).證明

是解題的關(guān)鍵.

15.（2分）如圖，從邊長為。的大正方形中去掉一個邊長為6的小正方形，然后將剩余部

分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是/-廿=（“+））（〃力

【分析】首先分別求出甲乙兩圖陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等可直接求得等式.

【解答】解：尸(J-序)，$乙=Ca+h)Ca-h)

又甲=S乙

：.a2-Z>2=(a+b)(a-b)

故答案為：〃2-序=(a+h)(a-b)

【點評】本題考查的重點是平方差公式的幾何背景，運用幾何直觀理解、解決平方差公

式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋.

16.(2分)如圖，AB^AE,ABLAE,AD=AC,ADLAC,點M為BC的中點，AM=3,

DE=6

【分析】延長4W至M使MV=AM,連接BN,證明△AMC四△NMB(SAS),推出AC

=BN,NC=NNBM,求出再證明△E4D絲△4BN(SAS),根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：延長AM至N,使MN=AM,連接8M

?.?點M為BC的中點,

:.CM=BM,

在△AMC和△NMB中，

'AM=MN

<ZAMC=ZNMB，

CI=BH

:.AAMgANMB（SAS）,

:.AC=BN,ZC=ZNBM,

'：AD=AC,

：.AD=BN,

"：ABLAE,ADA-AC,

...NE4B=ND4C=90°,

：.ZEAD+ZBAC^IWQ,

：.ZABN=NABC+NNBM=ZABC+ZC=180°-/BAC=NEAD,

在△EA。和△ABN中，

，AE=AB

■ZEAD=ZABN，

AD=BN

.?.△EA。絲△ABN（SAS）,

DE=AN=2AM=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長AM至N,

使MN=AM,再證AN=Z）E即可，這就是“倍長中線”，實質(zhì)是“補短法”.

三、解答題（共8道小題，第17,22,23題，每題10分；第18,19題，每題6分；第20

題8分；第21,24題，每題9分）

17.（10分）（1）計算：59yX60y;

（2）計算：[7/n?冽4_（-3/JI2）2]-?2m2.

【分析】（1）根據(jù)應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算即可；

（2）根據(jù)整式的混合運算求解即可.

【解答】解：⑴59yX60y

=X（60蔣）

=602-(-1)2

=3600-

NJ

24

=3599嘴

=359嗤；

(2)[7m?m4-(-3m2)2]4-2m2

=(7w5-9m4)4-2/n2

=7，〃5+2，〃2-9W44-2W2

=7_392

gm7m-

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法運算和整式的混合運算，準(zhǔn)確的計算是解決本題的關(guān)

鍵.

18.(6分)已知40+2/-1=0,求代數(shù)式(2a+b)2-b(4a-6)+2的值.

【分析】先化簡代數(shù)式，再根據(jù)化簡結(jié)果整體代入可得答案.

【解答】解：原式=4/+4用+/-4的廿+2=4/+2/+2.

由4/+2屬-1=?？傻?t72+2/>2=l,

.?.4/+2/+2=1+2=3.

【點評】本題考查整式的混合運算，應(yīng)用整體代入是解題關(guān)鍵.

19.(6分)如圖，已知AC平分/B4。，AB=AD.求證：NB=ND.

【分析】首先根據(jù)角平分線的定義得到NBAC=/ZMC,再利用SAS定理便可證明其全

等，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】證明：平分Z8AO,

，ZBAC=ZDAC,

在△ABC和△AQC中,

，AB=AD

-ZBAC=ZDAC>

AC=AC

AAABC^AADC(SAS),

:.4B=4D.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是找準(zhǔn)能使三角形全等的條件.

20.(8分)證明命題“有一條直角邊及斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”.要

根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程.下面是根據(jù)題意畫出

的部分圖形，并寫出了不完整的已知和求證.

已知：如圖，RtZ\ABC和RtZXOE尸中，ZC=ZE=90°,AC=DE,CG_LAB于G,EH

_LQL于H,CG=EH.

求證：RtAABC^RtADFE.

請補全圖形和補全已知，并寫出證明過程.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：尸于“，CG=EH,

證明：；CG_LAB于G,EHLDF于H,

，/4GC=/￡>HE=90°,

在RtAACG與RtZXOEH中，

[AC=DE,

1CG=EH，

：.RtZ\ACG^RtADEH(HL),

在△ABC與△OFE中，

'/A=ND

,AC=DE，

ZACB=ZDEF

:.△ABC^ADFE(ASA),

故答案為：EH_LDF于H,CG=EH.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明RtZVlCGgRtAOEH是

解題的關(guān)鍵.

21.（9分）已知：如圖1,AB//CD,請用尺規(guī)作圖法，在射線C￡＞上找一點尸，使射線AP

平分/B4C.

小明的作圖方法如下：

①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB于點M,交AC于點M

②分別以點M,N為圓心，大于JjWN的長為半徑畫弧，兩弧在NC4B的內(nèi)部相交于點E；

2

③畫射線AE,交射線8于點尸，點尸即為所求.

小剛說：“我有不同的作法，如圖2所示，只需要以點C為圓心，C4為半徑畫弧，交射

線C￡＞于點P,畫射線AP,也能夠得到AP平分/BAC.

請回答：

（1）請補全小明的作圖過程.小明在作圖的過程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是△

AME絲LANE，全等的依據(jù)是SSS.因為全等三角形的對應(yīng)角相等，所以能夠

得到NC4B的角平分線AP；

（2）對于小剛的作圖方法證明如下：

'：CA=CP

，/C4P=NCR4（等邊對等角）

'：AB//CD

/.NBAP=ZCPA（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

:.NCAP=NBAP

，射線AP平分/BAC.

（3）點P到直線4c和A8的距離相等，理由是角平分線上的點到角的兩邊的距離相

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)作法畫出對應(yīng)的幾何圖形，利用畫法得到AM=AN,ME=NE,力口上

AE公共，則可根據(jù)“SSS”判斷△AME絲從而得到NMAE=NM4E；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明ZCAP=/BAP；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解.

【解答】解：（1）如圖1,4P為所作，

在作圖的過程中，構(gòu)造出一組全等三角形，它們是絲全等的依據(jù)是SSS.因

為全等三角形的對應(yīng)角相等，所以能夠得到NC4B的角平分線AP；

（2）對于小剛的作圖方法證明如下：

\"CA=CP,

：.ZCAP=ZCPA（等邊對等角），

'JAB//CD

：.ZBAP=ZCR\（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

/C4P=NBAP,

射線A尸平分N84C.

（3）點P到直線AC和A8的距離相等，理由是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

故答案為△AME,/\ANE,SSS；CPA,兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線上的點到角

的兩邊的距離相等.

圖1圖2

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了角平分線的

性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

22.（10分）如圖，長為帆，寬為x（〃?>x）的大長方形被分制成7小塊，除陰影I,H外,

其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，小長方形較短一邊長記為y.

（1）陰影I的長AB為-3y；陰影II的寬DE為3y（用含m,x,y的代數(shù)式

表示）；

（2）求陰影I和H的面積差S（用含加，x,y的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)犬取任何實數(shù)時，面積差S的值都保持不變，問：機(jī)與y應(yīng)滿足什么條件.

D

x

【分析】（1）觀察圖形，用機(jī)，X,y表示即可；

（2）分別表示出陰影的面積，作差即可；

（3）根據(jù)S的值與x無關(guān)確定加與），的關(guān)系式即可.

【解答】解：（1）觀察圖形得：AB=m-3y,DE=3y,

故答案為：m-3yf3y.

(2)S=Gn-3y)(x-2y)-3y[x-(m-3y)]

=mx-2my-3xy+6j2-3xy+3my-9y2

=-3)^+my-^mx-6xy；

(3)S=-^+my+injc-6xy

=-3)2+機(jī))，+G%-6y)x,

???s的值與x無關(guān),

/.m-6y=0,

??m==6y.

【點評】本題考查了整式的混合運算，考核學(xué)生的應(yīng)用意識和計算能力，熟練掌握運算

法則是解題的關(guān)鍵.

23.（10分）如圖（1）,AB=7cm,AC1AB,垂足分別為A、B,AC=5c機(jī).點P

在線段A8上以2cMs的速度由點A向點8運動，同時點Q在射線8。上運動.它們運

動的時間為，（s）（當(dāng)點P運動結(jié)束時，點。運動隨之結(jié)束）.

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)f=1時，AACP與4BPQ是否全等，

并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；

(2)如圖(2),若“AC_LAB,BD1.AB"改為"NC4B=NDBA"，點Q的運動速度為

xcm/s,其它條件不變，當(dāng)點P、Q運動到何處時有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x

的值.

【分析】(1)利用AP=BQ=2,BP=AC,可根據(jù)“SAS”證明△4CPZZ\BPQ；則/C

=NBPQ,然后證明NAPC+NBPQ=90°,從而得到PCJ_PQ

(2)討論：若△ACP絲△BP。，貝I]AC=BP,AP=BQ,即5=7-2f,2t=xt；②若△ACP

絲△8QP,貝I]AC=BQ,AP=BP,即5=xf,2t=7-2f,然后分別求出x即可.

【解答】解：(1)Z\ACP四△8PQ,PC1.PQ.

理由如下：'：AC±AH,BD±AB,

/.ZA=ZB=90",

'：AP=BQ=2,

：.BP=5,

：.BP=AC,

在△ACP和△BPQ中

'AP=BQ

<NA=NB，

AC=BP

:.叢ACPQlXBPQ(SAS)；

：.ZC=ZBPQ,

?.,/C+NAPC=90°,

/.ZAPC+ZBPQ=90°,

.../CPQ=90°,

:.PCSQ；

(2)①若△ACP絲△BPQ,

則AC=BP,AP=BQ,可得：5=7-2t,2t=xt

解得：x=2,Z=l；

②若△4CP絲ZXBQP,

貝i」AC=BQ,AP=BP,可得：5=xf,2t=1-2t

解得：x—^-,t——.

74

綜上所述，當(dāng)aACP與ABP。全等時x的值為2或型■.

7

【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方

法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已

知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，

則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

24.(9分)閱讀材料：把形如a?+以+c的二次三項式或(其一部分)配成完全平方式的方

法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即。2+2"+/=Q+匕)2.配

方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用.

例如：

①我們可以將代數(shù)式J+6a+10進(jìn)行變形，其過程如下：

J+6a+10=(/+6“)+10=(/+6〃+9)+10-9=(a+3)2+1

(4+3)220,

...(a+3)2+1>1,

因此，該式有最小值1.

材料二：我們定義：如果兩個多項式A與B的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是

B的“雅常式”，這個常數(shù)稱為A關(guān)于B的“雅常值”.如多項式A=f+2x+l,B=(x+4)

(x-2),A-B=(，+2x+l)-(x+4)(x-2)=(/+2x+l)-(/+2x-8)=9,則A

是8的“雅常式”，A關(guān)于8的“雅常值”為9.

(1)已知多項式C=7+x-1,D=(x+2)(x-1),判斷C是否為。的“雅常式”，若

不是，請說明理由，若是，請證明并求出C關(guān)于。的“雅常值”；

(2)已知多項式加=(%-?)2,N=P-2x+b(a,b為常數(shù))，M是N的“雅常式”，

且當(dāng)x為實數(shù)時，N的最小值為-2,求M關(guān)于N的“雅常值”.

【分析】(1)先計算C-0=1,再根據(jù)“雅常式”的定義即可判斷C是。的“雅常式”,

并求出C關(guān)于。的“雅常值”；

(2)先求出M-N=(-2〃+2)x+a2-b,由M是N的“雅常式”得出-2。+2=0,得

出。=1.由x為實數(shù)時，N的最小值為-2,得出7+。=-2,求出6=-1,進(jìn)而求出

M-N=2.

【解答】解：(1)?.?C-。=-(x+2)(x-1)

=(7+x-l)-(/+x-2)

=1,

???C是。的“雅常式”，“雅常值”為1；

(2)?.?M是N的“雅常式”，

:.M-N=(X-Q)2-(x2-2x+h)

=(A2-2ax+c^}-(x2-2x+b)

=(-2a+2)x+a2-b,

I.-2ci+2=0,

**?47=1.

,:N=W-2x+b=(x-1)2-1+6,

且當(dāng)x為實數(shù)時，N的最小值為-2,

-1+Z?=-2f

:?b=-1,

AM-N=a2-h=1-(-1)=2.

【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，新定義，學(xué)生的理解能力以及知識的遷移能力，因

式分解等知識，理解A是8的“雅常式”的定義是解題的關(guān)鍵.

四、附加題

25.已知a=8「，b=T19,c=9%則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【分析】根據(jù)新的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系解決此題.

【解答】解：?/a=817,6=279,c=913,

3

.'.a—(3，)7=328,b=(3)9=327,c=(32)13=326.

XV328>327>326,

.*.a>b>c.

故選：A.

【點評】本題主要考查塞的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較，熟練掌握幕的乘

方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

26.如圖，四邊形ABC。中，ZABC=ZD=nO°,AB=BC=CD=DA,