2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題第33煉向量的模長(zhǎng)問(wèn)題代數(shù)法（含模長(zhǎng)習(xí)題）第33煉向量的模長(zhǎng)問(wèn)題——代數(shù)法一、基礎(chǔ)知識(shí)：利用代數(shù)方法處理向量的模長(zhǎng)問(wèn)題，主要采取模長(zhǎng)平方——數(shù)量積和坐標(biāo)兩種方式1、模長(zhǎng)平方：通過(guò)可得：，將模長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，從而能夠與條件中的已知向量（已知模長(zhǎng)，夾角的基向量）找到聯(lián)系。要注意計(jì)算完向量數(shù)量積后別忘記開(kāi)方2、坐標(biāo)運(yùn)算：若，則。某些題目如果能把幾何圖形放入坐標(biāo)系中，則只要確定所求向量的坐標(biāo)，即可求出（或表示）出模長(zhǎng)3、有關(guān)模長(zhǎng)的不等問(wèn)題：通?？紤]利用“模長(zhǎng)平方”或“坐標(biāo)化”得到模長(zhǎng)與某個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題二、典型例題例1：在中，為中點(diǎn)，若，則_____思路：題目條件有，進(jìn)而可求，且可用表示，所以考慮模長(zhǎng)平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題解：為中點(diǎn)可得：代入可求出：答案：例2：若均為單位向量，且，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：題目中所給條件與模和數(shù)量積相關(guān)，幾何特征較少，所以考慮將平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，再求最值。解：①①轉(zhuǎn)化為答案：B例3：平面上的向量滿(mǎn)足，且，若，則的最小值為_(kāi)__________思路：發(fā)現(xiàn)所給條件均與相關(guān)，且可以用表示，所以考慮進(jìn)行模長(zhǎng)平方，然后轉(zhuǎn)化為的運(yùn)算。從而求出最小值解：，代入可得：答案：例4：已知平面向量滿(mǎn)足，且與的夾角為，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：題目所給條件圍繞著與，所以考慮所求向量用這兩個(gè)向量進(jìn)行表示：，從而模長(zhǎng)平方變成數(shù)量積問(wèn)題，可得：，將視為一個(gè)整體，則可配方求出最小值解：答案：A小煉有話說(shuō)：本題的關(guān)鍵在于選好研究對(duì)象，需要把已知的兩個(gè)向量視為整體，而不是例5：已知平面向量的夾角，且，若，則的取值范圍是__________思路：由和夾角范圍即可得到的范圍，從而可想到將模長(zhǎng)平方，再利用轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于的問(wèn)題，從而得到關(guān)于夾角的函數(shù)，求得范圍。解：答案：例6：已知，，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：由條件可得，所以考慮將模長(zhǎng)平方，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，代入的值可得到關(guān)于的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值解：答案：D例7：已知直角梯形中，∥，為腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________思路：所求難以找到其幾何特點(diǎn)，所以考慮利用代數(shù)手段，在直角梯形中依直角建系，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與梯形的高相關(guān)，可設(shè)高為，，，則，所以，，即答案：例8：如圖，在邊長(zhǎng)為的正三角形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，其中，分別是的中點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：等邊三角形三邊已知，故可以考慮用三邊的向量將進(jìn)行表示，從而模長(zhǎng)平方后可寫(xiě)成關(guān)于的表達(dá)式，再利用即可消元。解：答案：C例9：已知與的夾角為，，，且，,在時(shí)取到最小值。當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題含兩個(gè)變量，且已知范圍求的范圍，所以考慮建立和的關(guān)系式，，從而考慮模長(zhǎng)平方，向靠攏，可得：，所以當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，，由可得解得，即解：時(shí)，取得最小值，所以不等式等價(jià)于：答案：C例10：已知中，，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且，則的范圍是__________思路：本題由垂直和模長(zhǎng)條件可考慮建系，從而用坐標(biāo)來(lái)使用數(shù)量積的條件。如圖建系，設(shè)，則，設(shè)，則由可得，已知條件，所求模長(zhǎng)平方后可得，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知求的最大值?？紤]，，尋找兩個(gè)式子的聯(lián)系，有，所以，即，從而，而另一方面：由及（符合直線的方程）可得：，所以（時(shí)取等號(hào)），所以綜上可得：答案：三、歷年好題精選（模長(zhǎng)綜合）1、點(diǎn)是的重心，若，則的最小值為_(kāi)_________2、已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，的最小值為_(kāi)________3、已知是單位向量，且，若滿(mǎn)足，則的范圍是_______4、在中，，如果不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________5、設(shè)直角的三個(gè)頂點(diǎn)都在單位圓上，點(diǎn)，則的最大值是（）A．B．C．D．6、已知向量滿(mǎn)足與的夾角為，，則的最大值為（）A.B.C.D.7、（2016，上海五校聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)在圓上，且，則的取值范圍是_________8、（2015，湖南）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A.B.C.D.9、已知為非零向量，，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，則向量的夾角為_(kāi)______10、（2016，重慶萬(wàn)州二中）已知單位向量滿(mǎn)足，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.11、（2016，貴陽(yáng)一中四月考）已知點(diǎn)是的重心，若，，則的最小值是（）A．B．C．D．習(xí)題答案：1、答案：解析：為的重心，延長(zhǎng)交于，則是中線2、答案：解析：，代入已知條件可得：3、答案：解析：設(shè)，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，且，所以為模長(zhǎng)是的向量，由已知可得，所以數(shù)形結(jié)合可知：，從而的范圍是4、答案：解析：由余弦定理可得：5、答案：C解析：由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線同向時(shí)，取等號(hào)，即取得最大值，最大值是，6、答案：D解析：設(shè)；以所在直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，∵與的夾角為，則，設(shè)∵即表示以為圓心，以1為半徑的圓，表示點(diǎn)A，C的距離即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離；∵圓心到B的距離為，∴的最大值為．7、答案：解析：設(shè)，中點(diǎn)由圓可得：在以為圓心，半徑的圓上即8、答案：B解析：由可知為直徑，因?yàn)樵搱A為圓心在原點(diǎn)的單位圓，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則，設(shè)，所以可得：，所以，則，因?yàn)樵趫A上，所以，代入可得，故9、答案：解析：，設(shè)，因?yàn)闀r(shí)，取得最小值，所以的對(duì)稱(chēng)軸，所以，所以?shī)A角為10、答案：D解析：以為基底建立直角坐標(biāo)系，可知，設(shè)即到的距離和為，在線段上，直線方程為，即線段上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得：所以的取值范圍是11、答案：C解析：，可知，設(shè)為底邊上的中線，由重心性質(zhì)可得：第34煉向量的模長(zhǎng)問(wèn)題——幾何法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點(diǎn)，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個(gè)三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：對(duì)于（1）共線（平行）特點(diǎn)：與為共線向量，其中時(shí)，與同向；時(shí)，與反向（2）模長(zhǎng)關(guān)系：3、與向量模長(zhǎng)問(wèn)題相關(guān)的定理：（1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為①正弦定理：②余弦定理：（2）菱形：對(duì)角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對(duì)于底角的菱形，其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形。（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長(zhǎng)的條件：條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長(zhǎng)二、典型例題：例1：（2015屆北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）已知向量的夾角為，且，則（）A.B.C.D.思路：本題利用幾何圖形可解，運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出即可。解：如圖可得：，在中，有：即：解得或（舍）所以，答案：選例2：若平面向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟龋?，則等于（）A.B.C.或D.或思路：首先由兩兩所成的角相等可判斷出存在兩種情況：一是同向（如圖1，此時(shí)夾角均為0），則為，另一種情況為兩兩夾角（如圖2），以為突破口，由平行四邊形法則作圖得到與夾角相等，（底角為的菱形性質(zhì)），且與反向，進(jìn)而由圖得到，選C答案：C例3：已知向量，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先作出，即有向線段，考慮，將的起點(diǎn)與重合，終點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)且，則即為的長(zhǎng)度，通過(guò)觀察可得與共線時(shí)達(dá)到最值。所以，且連續(xù)變化，所以的取值范圍是答案：C例4：設(shè)是兩個(gè)非零向量，且，則_______思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊和一條對(duì)角線，由可知滿(mǎn)足條件的只能是底角為，邊長(zhǎng)的菱形，從而可求出另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為答案：例5：已知為平面向量，若與的夾角為，與的夾角為，則（）A.B.C.D.思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊及對(duì)角線，通過(guò)作圖和平行四邊形性質(zhì)得：在中，，由正弦定理可得：，即答案：D例6：已知是單位向量，且的夾角為，若向量滿(mǎn)足，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：本題已知模長(zhǎng)且?jiàn)A角特殊，通過(guò)作圖可得為模長(zhǎng)為，設(shè)，則可得且，而可視為以共起點(diǎn)，終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上。通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得的最大值為（此時(shí)的終點(diǎn)位于點(diǎn)）答案：A例7：在中，，設(shè)是的中點(diǎn)，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的值是（）A.B.C.D.思路：本題的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)的位置，從而將與已知線段找到聯(lián)系，將考慮變形為，即，設(shè)，則三點(diǎn)共線，且，所以由平行四邊形性質(zhì)可得：答案：B例8：已知向量，對(duì)任意的，恒有，則的值為_(kāi)_______思路：本題以作為突破口，通過(guò)作圖設(shè)，為直線上一點(diǎn)，則有。從而可得，即，所以點(diǎn)為直線上到距離最短的線段，由平面幾何知識(shí)可得最短的線段為到的垂線段。所以，即，所以有答案：0小煉有話說(shuō)：本題若用圖形解決，找到在圖上的位置和兩個(gè)向量的聯(lián)系是關(guān)鍵例9：已知平面向量滿(mǎn)足，且，若向量的夾角為，則的最大值是_________思路：由條件可得夾角的余弦值，若用代數(shù)方法處理夾角的條件，則運(yùn)算量較大。所以考慮利用圖形，設(shè)，則，即，從而，可判定四點(diǎn)共圓，則的最大值為四邊形外接圓的直徑，即的直徑。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即答案：小煉有話說(shuō)：若條件中向量的夾角為特殊角且很難用數(shù)量積，模長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可考慮尋找?guī)缀螆D形進(jìn)行求解。例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量滿(mǎn)足，且與的夾角為，則的取值范圍是___________思路：本題很難找到與數(shù)量積相關(guān)的條件，那么考慮利用圖形輔助求解。從圖中可觀察到構(gòu)成，，從而可利用正余弦定理求出即的取值范圍解：在中，由正弦定理可得：而答案：的取值范圍是小煉有話說(shuō)：例題中的部分問(wèn)題也可采用模長(zhǎng)平方的方式，從而轉(zhuǎn)化成為數(shù)量積求解。具體解法如下：例1：解：，解得例2：解：夾角相同當(dāng)同向時(shí)，可得，所以當(dāng)兩兩夾角時(shí)，可得，所以綜上所述：或例3：解：因?yàn)榧蠢?：解：可得代入得例8：解：以為原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系。所以，設(shè)，則，由可得：，所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)例9：解：對(duì)恒成立即，所以第35煉形如條件的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、平面向量基本定理：若平面上兩個(gè)向量不共線，則對(duì)平面上的任一向量，均存在唯一確定的，（其中），使得。其中稱(chēng)為平面向量的一組基底。（1）不共線的向量即可作為一組基底表示所有的向量（2）唯一性：若且，則2、“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長(zhǎng)線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過(guò)三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解二、典型例題：例1：在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一直線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：若要求出的最值，則需從條件中得到的關(guān)系。由共線可想到“爪”字型圖，所以，其中，下面考慮將的關(guān)系轉(zhuǎn)為的關(guān)系。利用條件中的向量關(guān)系：且，所以，因?yàn)椋?，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以答案：A例2：如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.思路：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C例3：在平面內(nèi)，已知，設(shè)，則等于（）A.B.C.D.思路：所求為，可以考慮對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)同一向量作數(shù)量積，從而得到的方程，解出，例如兩邊同對(duì)作數(shù)量積，可得：，因?yàn)?，，所以有，同理，兩邊?duì)作數(shù)量積，可得：，即，所以，通過(guò)作圖可得或，從而，代入可得：答案：B小煉有話說(shuō)：（1）當(dāng)向量等式中的向量系數(shù)含參時(shí)，可通過(guò)對(duì)兩邊作同一向量的數(shù)量積運(yùn)算便可得到關(guān)于系數(shù)的方程。若要解出系數(shù)，則可根據(jù)字母的個(gè)數(shù)確定構(gòu)造方程的數(shù)量（2）本題也可通過(guò)判定，從而想到建立坐標(biāo)系通過(guò)坐標(biāo)解出，進(jìn)而求出例4：如圖，在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：因?yàn)闉閯?dòng)點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來(lái)得到的關(guān)系，因?yàn)榱呅螢檎呅?，所以建立坐?biāo)系各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定，可得：，則，所以設(shè)，則由可得：，因?yàn)樵趦?nèi)，且，所以所滿(mǎn)足的可行域?yàn)?，代入可得：，通過(guò)線性規(guī)劃可得：答案：例5：已知，則與的夾角的余弦值為_(kāi)_________思路：若要求與的夾角，可聯(lián)想到，所以只需確定與，由一方面可以?xún)蛇呁瑫r(shí)對(duì)作數(shù)量積得到，另一方面等式兩邊可以同時(shí)取模長(zhǎng)的平方計(jì)算出，進(jìn)而求出解：且答案：例6：如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則的值為_(kāi)______思路一：由圖像可得：，由此條件中可提供的模長(zhǎng)及相互的夾角，若要求得，可考慮求出的值。則需要兩個(gè)方程。對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)作數(shù)量積，即，由，可得：，再將兩邊對(duì)作數(shù)量積，則，即，所以，即思路二：從圖形中可想到建系，得到的坐標(biāo)，從而利用坐標(biāo)可求得的值：如圖建系可得：，所以，從而可得，所以答案：6例7：已知在中，為的外心，，且，則___________思路：通過(guò)觀察條件發(fā)現(xiàn)很難從幾何方向直接求，從而考慮利用計(jì)算數(shù)量積，如何利用這個(gè)條件呢？對(duì)于已知可以考慮等式兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積，從而得到關(guān)于的實(shí)數(shù)方程。由于是外心，進(jìn)而在上的投影為各邊的中點(diǎn)，所以可用數(shù)量積的投影定義計(jì)算出，結(jié)合所求，可確定兩邊同時(shí)與作數(shù)量積即可。解：由，可得：（*）在上的投影向量為（為中點(diǎn)），同理：所以（*）變形為：小煉有話說(shuō)：對(duì)于形如，若想得到關(guān)于的方程，可以考慮對(duì)同一向量作數(shù)量積即可，而向量的選擇要盡量能和等式中的向量計(jì)算出數(shù)量積。例8：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是_____.思路：所求的最值，可考慮對(duì)等號(hào)兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積，從而轉(zhuǎn)化為的等式：即即，從而可發(fā)現(xiàn)，所以只需求得的最大值，其中根據(jù)扇形的特點(diǎn)可知的終點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，所以，只需最大即可。可知重合時(shí)，，所以的最大值為答案：例9：已知是外接圓的圓心，為的內(nèi)角，若，則的值為（）A．B．C．D.思路：本題所求與等式中的系數(shù)相關(guān)，是外心所以在上的投影為兩邊中點(diǎn)，考慮兩邊同時(shí)對(duì)做數(shù)量積，再結(jié)合正弦定理變形等式即可解：可得：（*），因?yàn)槭峭庑模?）變形為在中，設(shè)外接圓半徑為，即，且（*）變形為：例10：已知的外接圓圓心為，且滿(mǎn)足，且，，則（）A.B.C.D.思路：由外接圓的性質(zhì)可知在上的投影為中點(diǎn)，所以考慮對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)作數(shù)量積，從而得到系數(shù)的關(guān)系：，因?yàn)?，所以有，再結(jié)合，解三元一次方程組即可得到：答案：A三、歷年好題精選1、如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________答案：2、（2016，鄭州一測(cè)）已知點(diǎn)，，，平面區(qū)域是由所有滿(mǎn)足的點(diǎn)組成的區(qū)域，若區(qū)域的面積為，則的最小值為_(kāi)_______．3、（2015，北京）在中，點(diǎn)，滿(mǎn)足．若，則 ； ．4、（2015，新課標(biāo)I）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.5、（安徽六校聯(lián)考）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若存在最大值，則的取值范圍為（）A．B．C．D．6、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）在直角梯形中，為邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.7、如圖，在直角梯形中，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.OACBDP8、如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于__________OACBDP9、在中，，若（是的外心），則的值為_(kāi)__________10、在中，邊，過(guò)作于，且，則________11、如圖，是圓的直徑，是圓上的點(diǎn)，且若，則（）A.B.C.D.12、如圖，將的直角三角板和的直角三角板拼在一起組成平面四邊形，其中的直角三角板的斜邊與的直角三角板的所對(duì)的直角邊重合，若，則分別等于（）A.B.C.D.13、如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.