2023-2024學年江蘇省建陵高級中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．2．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.3．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知集合，則()A． B．C． D．5．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．9．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．10．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．1211．已知復數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．12．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）14．已知，滿足約束條件，則的最小值為__________.15．若，，則___________．16．已知集合，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．18．（12分）已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求證：對于，恒成立；（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的焦距是，點是橢圓上一動點，點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值.20．（12分）已知直線：（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點，求；（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值．21．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，，都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.22．（10分）已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2、D【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯誤；為真，說明至少一個為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.3、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.4、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.5、A【解析】

設(shè)E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.6、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當時，有，當時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.8、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．9、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.10、D【解析】

推導出，且，，，設(shè)中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用，屬于中檔題.11、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.12、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應用.14、【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點處取最小值為.故答案為：【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．16、【解析】

解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，求出Y＝900元；當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，求出Y＝300元；當溫度低于20℃時，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當溫度大于等于20時，Y＞0，由此能估計估計Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當溫度大于等于25℃時，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當溫度在[20，25）℃時，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當溫度低于20℃時，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當溫度大于等于20時，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計Y大于零的概率P．【點睛】本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）.【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)求導后，利用導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構(gòu)造函數(shù)，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，由此求得的取值范圍.試題解析：（1），當時，.解得．當時，解得．所以單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）設(shè)，當時，由題意，當時，恒成立．，∴當時，恒成立，單調(diào)遞減．又，∴當時，恒成立，即．∴對于，恒成立．（3）因為．由（2）知，當時，恒成立，即對于，，不存在滿足條件的；當時，對于，，此時．∴，即恒成立，不存在滿足條件的；當時，令，可知與符號相同，當時，，，單調(diào)遞減．∴當時，，即恒成立．綜上，的取值范圍為．點睛：本題主要考查導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導數(shù)與不等式的證明，導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問題，一個是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點的坐標,表達出直線的斜率之積,再根據(jù)三點均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達式列式求解即可.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標準方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達定理有設(shè),則.當且僅當時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點坐標滿足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.20、（1）；（2）．【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程，聯(lián)立直線和曲線，可得交點坐標，可得的值；（2）可得曲線的參數(shù)方程，利用點到直線的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直