2023-2024學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.—是數(shù)歹ij一,一，一,—,的()

6424816

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

丫2

2.已知橢圓、+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，行：若過片且斜率不為0的直線交橢圓于

43兩點(diǎn)，則居的周長(zhǎng)為()

A.2B.C.2V34D.4V3

2a,,,a?<12

3.在數(shù)列｛%｝中,%+]2；二華，若％=丁則

1248

A.B.C.D.--------

5555

4.如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時(shí)，拱頂距離水面4m,當(dāng)水面上升1m后,

橋洞內(nèi)水面寬為O

A.B.C.D.4m4Gm8V5m12m

5.《算法統(tǒng)宗》是一部我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著.《算法統(tǒng)宗》中記載了

如下問題情境：“遠(yuǎn)望魏魏塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，意思為：“一座7

層塔，共懸掛了381盛燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍”.在上述問題情

境中，塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為()

A.12B.24C.48D.96

6.若橢圓c的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上；順次連接C的兩個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成等

邊三角形，順次連接C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形的面積為46，則C的方程為()

AB/。/十%】

CDT+T=1T+T=1

7.己知數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式分別為%=3〃-1和〃=4〃-3(〃eN*),設(shè)這兩個(gè)數(shù)列

的公共項(xiàng)構(gòu)成集合力,則集合Zc]〃|〃2023,〃wN*｝中元素的個(gè)數(shù)為()

A.166B.168C.169D.I70

8.已知直線/過雙曲線C：/一片=1的左焦點(diǎn)尸，且與。的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn),

3

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為48的中點(diǎn)，若煙是以尸尸為底邊的等腰三角形，則直線/的斜

率為()

ABCD+叵+巫+姮+巫

2235

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

V2V2

9.已知曲線C：」-----J=l(meR),下列說法正確的有()

2-mm-1

A.若曲線。表示橢圓，則加>2或〃?<1

B.若曲線。表示橢圓，則桶圓的焦距為定值

C.若曲線C表示雙曲線，則1(加〈2

D.若曲線C表示雙曲線，則雙曲線的焦距為定值

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”(〃wN*),若％>0,S4=S12,則()

A.公差dcOB.%+q)<0

C.1的最大值為SgD.滿足5“<0的n的最小值為16

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,%=1,且2%+1+S“=1+￡(〃GN*),則()

A.數(shù)列｛2%,,｝為等差數(shù)列B.an=箏

C.S“隨n的增大而減小D.S,有最大值

12.已知拋物線_/=4x的焦點(diǎn)為口，點(diǎn)P在拋物線上，則()

A.過點(diǎn)/(0,2)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條

B.設(shè)點(diǎn)3(3,2),則|P8|—|P日的最大值為2J5

C.點(diǎn)尸到直線x—y+3=0的最小距離為

D.點(diǎn)P到直線4x—3歹+6=0與點(diǎn)尸到y(tǒng)軸距離之和的最小值為1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若％=3,/$5=125,則公差d的值為.

22

14.已知雙曲線C：——%=l(a>0力>0)的右頂點(diǎn)為/，以Z為圓心、。為半徑的圓與C

的一條漸近線相交于〃,N兩點(diǎn)，若NM4N=120/，則。的離心率為.

15.去掉正整數(shù)中被4整除以及被4除余1的數(shù)，剩下的正整數(shù)按自小到大的順序排成數(shù)列

｛an]:a],a2,a3,，再將數(shù)列｛%｝中所有序號(hào)為q,4,小，的項(xiàng)去掉，｛4｝中剩余的項(xiàng)按

自小到大的順序排成數(shù)列抄?｝(〃eN*),則49+b20的值為.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)尸(xj)(y0)到點(diǎn)(0,(]的距離比它到x軸的距離大;，

則點(diǎn)尸的軌跡「的方程為,過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與曲線「交

41

于點(diǎn)48和點(diǎn)C,。，則的最小值為__________.(本題第一空2分，1.第二

|||CL)|

空3分.)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為成等比數(shù)列：數(shù)列

也｝的前〃項(xiàng)和為7；,且7；+2=2b,,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式：

⑵記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-2.1]=-3,[1.2]=1.設(shè)生=,求數(shù)列

也?！埃那?項(xiàng)和.

18.(12分)已知雙曲線C與二—占=1有相同的漸近線，(2石,2)為C上一點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為片,鳥，過片且傾斜角為45〃的直線與C相交于48兩

點(diǎn)，求Z8工的面積.

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,a“=〃(a”+1—a“)(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前"頂和為S,,,求證Sn<-

%T32

20.(12分)已知拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上一點(diǎn)"向其準(zhǔn)線

作垂線，垂足為N,當(dāng)/初VF=30"時(shí)，|仞"=1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線/與拋物線C交于43兩點(diǎn)，與x，V軸分別交于尸,。(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),且

AP=2PB'若|，P|忸0|=4|?？?。。|，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

21.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足卬=一

22—

(1)證明：<」-+2>是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(1A

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足”=(〃-3)—+1,記也｝的前〃項(xiàng)和為北，若T“也，對(duì)

12%)

V〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

2

22.(12分)已知橢圓5+J?=ig>1)的右焦點(diǎn)廠恰為拋物線/=2px的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且

a

與X軸垂直的直線截拋物線、橢圓所得的弦長(zhǎng)之比為4百.

(1)求。的值；

(2)已知P為直線丁=一。上任一點(diǎn)，48分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)直線PN,PB與

橢圓的另一交點(diǎn)分別為C,。，求證：直線CD過定點(diǎn).

答案和解析

一、選擇題

1-8ADDCBACD

二、多選題

9.BCD10.AC1I.ABD12.BCD

三、填空題

2[T24

13.1或r一414.一。315.15316./=y,一

35

四、解答題

17.解：（1）因?yàn)椤叮?—1，%+1成等比數(shù)列，

所以-1）-=（。5+1），

即（3d—6）2=（2〃—5）（41-4）,解得d=4,

故a“=q+（"-l”=-5+4（〃-1）=4〃-9,

因?yàn)?；=勸,,一2,當(dāng)〃22時(shí)，T,-=2b吁「2,

兩式相減得：b“=2bn-2%,即bn=2bl（?>2）,

又〃=1時(shí)，"+2=2”,即白=2,

所以數(shù)列｛〃｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故a=22』=2".

（2）由（1）知，=4〃-9,

所以J=c2=-l,c3=c4=Q,C5=C6=C7=1,

貝|J前7項(xiàng)和“7=-lx（2i+22）+0x（23+2，）+lx（25+2627)=218.

18.解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為匕一二=九，

416

將點(diǎn)（26,2）代入方程中得，4=-;，

即雙曲線。的方程為土—/=1.

4-

（2）因?yàn)槎ㄒ?,0）,

所以直線Z8的方程為^=X+逐，

V_2=]

聯(lián)立，43,得3y2+2舟一1=0，

y=x+y/5

1

1

設(shè)4（x”必）,8（%2，%），則以+y2=―2弋,弘力=

3-

因?yàn)閟“明=5陽(yáng)引回-刃=石|必一%|-

而回一為I=J（y+乃『-4凹外

所以S/肝=V5x-V2=-Vio.

-33

19.解：(1)由%=〃(%+|得,(〃+1)%="4+],

所以4±1_=%對(duì)任意〃eN*恒成立，

〃+1n

于是%=*曰==—,又6=2,所以%=2〃.

nn-\1

______q

（2）由（1）知,

4?2-l2(2〃-12n+\)

所以S“=4+4++b=|f1-|++11

n4-----------

2n-\2M+1

1一￡

2

因?yàn)閛<—'―w1，所以]—1

<1,

2H+133I2n+l

從而一ws“<—.

3'2

20.解：（1）由拋物線的定義可知MNE為等腰三角形,

當(dāng)|AfN|=l時(shí)，附=百.

3

設(shè)準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為T,則[7F|=p=]

故拋物線方程為/=3x.

（2）設(shè)直線方程為x=，"y+MswO）,4（X],乂^^（馬,8）,75。,。），顯然,HO,

x=my+f.

聯(lián)立《，:,消X得/—3/y—3f=o,

夕=3x

所以必+%=3m,%=-3f.（*）.

因?yàn)閆P=2P8，所以。一七，一切）=2（82一"2），可得乂=一2%,

將弘=一2為代入（*）式，并消為得，/=6”.

212

由題意可得，|AP\=y/\+m1^）I,JBP\—>Jl+m\y21>

所以尸I忸尸|=（1+加2）回對(duì)=18加20+/）,

又|?？?。Q|=Z'=36|〃?|3,

m

”…\AP\\BP\m2+lif,,1]

\OP\\°Q\2同\m\)

故；121,當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=向，即加=±1時(shí)等號(hào)成立.

3八3an八

2L解：⑴因?yàn)椋?-5力0,%+廣三'所以。尸。，

--1-=--2-—-2-可---2---1---2

%3ali3an3，

-1c212c2門A7

于是----F2=-------------1-2=-h2LHeN,

%3an331a“J

14fl14?

又因?yàn)橐?2=7,所以《一+2是以一為首項(xiàng)、一為公比的等比數(shù)列，于是

%3[%J33

(1

-----十

（2）由（1）得，bn=（〃一3）1=(77-3)

(2%7(II

^=(-2)x(|)+(-l)x[|)+0x[|)++(-4)僧+(〃一3)0

V=(-2)x(|)+(.l)x]|)++(〃-4)x自+(〃-3)x《)

兩式相減得,W+(I)+圖++停)-(〃-3Mm

49⑺(2丫M

§十一P—一(〃-3《

3

所以7>-2〃0”，

由7；4收，得一2〃(|)4/(〃-3)]|)恒成立,

即才(〃-3)+2”20恒成立，.

〃=3時(shí)不等式恒成立；

〃<3時(shí)，t<-----=-2-----,得，W1；

n—37?—3

〃>3時(shí)，t>一——=-2-----,得2；

n—37?—3

所以—2YW1.

22.解：(1)設(shè)點(diǎn)口(c,0),貝ijc?林，

又過點(diǎn)尸且與x軸垂直的直線截拋物線、

橢