【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題5倍長中線模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】問題提出(1)如圖，是的中線，則__________；(填“”“”或“”)問題探究(2)如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的長；問題解決(3)如圖，在矩形中，，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長度最??？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分∠EAD，交CD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF時(shí)，求證：HG⊥AG．【例3】．將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，，連接．(1)如圖1,若三點(diǎn)在同一條直線上，則與的關(guān)系是；(2)如圖2，若三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn)，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)如圖3，在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接，直接寫出與之間的關(guān)系．【例4】(1)閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．已知中，(1)如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；(2)如圖2，在(1)的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．(不用證明)3．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．4．在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．(3)若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．5．課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．(1)小明的想法是，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問題；(2)請(qǐng)按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點(diǎn)邊延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．6．(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2)，①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．(2)請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．7．問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時(shí)，求DE的長．8．如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PA∥ON交OM于點(diǎn)A，PB∥OM交ON于點(diǎn)B(PA≥PB)，在線段OB上取一點(diǎn)C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點(diǎn)E，延長CD交PB于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)四邊形AOBP是正方形時(shí)，求證：DF＝PF；(2)如圖2，當(dāng)C為OB中點(diǎn)時(shí)，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積(用含a，b的代數(shù)式表示)．9．(1)基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；(2)推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；(3)綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；(3)問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．11．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：∠BPC＝120°；(2)點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，說明理由．12．(閱讀)婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；(思考)命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為(填“真命題”，“假命題”)；(探究)(1)如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長．13．(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；(2)探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．(2)請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．(1)如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；(2)如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；(3)如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．16．在與中，，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與是否仍有具有(1)中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請(qǐng)給予證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由；(3)旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．17．閱讀理解：(1)如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．(2)解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．(3)問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．18．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．(1)如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；(2)如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．在等腰和等腰中，，連為中點(diǎn)，連．(1)如圖1，請(qǐng)寫出與的關(guān)系，并說明理由；(2)將圖1中的旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．20．請(qǐng)閱讀下列材料：問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且∠AMD=90°(1)如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系；小雪同學(xué)的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：(2)如圖2，若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD，(1)中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．22．如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、．(1)探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，將圖1中的等腰繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；(3)在(2)的條件下，若，求的最小值．【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題5倍長中線模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】問題提出(1)如圖，是的中線，則__________；(填“”“”或“”)問題探究(2)如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的長；問題解決(3)如圖，在矩形中，，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長度最??？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)＞；(2)；(3)當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．【分析】(1)如圖(見解析)，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；(2)如圖(見解析)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，從而可得AE的長，再根據(jù)三角形的周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出的周長最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；(3)如圖(見解析)，先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線的長度最小時(shí)，四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出，，，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時(shí)，點(diǎn)Q的位置．【解析】(1)如圖，延長AD，使得，連接CE是的中線在和中，在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即故答案為：；(2)如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接FG，則四邊形ABCD是矩形，垂直平分點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，則的周長為要使的周長最小，只需由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值∴∴，即解得；(3)如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則∴折線的長度為由兩點(diǎn)之間線段最短可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，折線取得最小長度為∵在矩形中，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)∴∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱∴，，∴設(shè)交于點(diǎn)在中，∴，即又∵∴是等邊三角形∴∵∴點(diǎn)與的中點(diǎn)重合綜上，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)正確找出折線的最小長度是解題關(guān)鍵．【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分∠EAD，交CD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF時(shí)，求證：HG⊥AG．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G，利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD＝CG，據(jù)此知CG＝BC＝BE＋CE，根據(jù)EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得證；(2)設(shè)CE＝a，BE＝b，則AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，據(jù)此可得答案；(3)連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結(jié)合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF＝∠FGH，根據(jù)∠ADF＝90°即可得證．【解析】解：(1)如圖1，延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G，∵AD∥CG，∴∠DAF=∠G，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴EA=EG，∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，∴CF=DF，又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)設(shè)CE=a，BE=b，則AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3a，b=﹣a(舍)，∴；(3)如圖2，連接DG，∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，∴△ADF≌△DCG(SAS)，∴∠CDG=∠DAF，∴∠HAF=∠FDG，又∵∠AFH=∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴，又∵∠AFD=∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF=∠FGH，∵∠ADF=90°，∴∠FGH=90°，∴AG⊥GH．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【例3】．將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，，連接．(1)如圖1,若三點(diǎn)在同一條直線上，則與的關(guān)系是；(2)如圖2，若三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn)，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)如圖3，在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接，直接寫出與之間的關(guān)系．【答案】(1)且；(2)；證明見解析；(3)且．【分析】(1)根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長AC交BD于點(diǎn)C’進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分析即可；(2)根據(jù)題意在上截取,連接，并全等三角形的判定證明和，進(jìn)而利用勾股定理得出進(jìn)行分析求解即可；(3)過點(diǎn)B作BM∥OC，交OF的延長線于點(diǎn)M，延長FO交AD于點(diǎn)N，證明?BFM??CFO，?AOD??OBM，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【解析】解：∵，∴，延長AC交BD于點(diǎn)C’，如下圖：∵，∴，即，綜上且，故答案為：且；證明:在上截取,連接在和中在和中即；且，理由如下：過點(diǎn)B作BM∥OC，交OF的延長線于點(diǎn)M，延長FO交AD于點(diǎn)N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴?BFM??CFO(AAS)，∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴?AOD??OBM(SAS)，∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【例4】(1)閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)見詳解；(3)，理由見詳解【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案；(2)延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出，利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；(3)延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關(guān)系可推出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【解析】解：(1)∵∴∴在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出：，即∴故答案為：；(2)延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，同(1)可得出，∵∴在中，∴；(3)，理由如下：延長AB至N，使BN=DF，連接CN，∵∴∴∴∵∴∴(SAS)∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖①中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．已知中，(1)如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析【分析】(1)通過證明，即可求解；(2)過點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，通過得到，再通過即可求解；(3)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明、，即可解決．【解析】證明：(1)由題意可得：在和中∴∴(2)過點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴(3)證明：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；(2)如圖2，在(1)的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．(不用證明)【答案】(1)17；(2)見解析；(3)∠3＝2∠1+∠2【分析】(1)根據(jù)SAS證明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的長；(2)延長EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，證明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，從而證得結(jié)論；(3)延長AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，證明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再證明∠AME＝∠1，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可推導(dǎo)出∠3＝2∠1+∠2．【解析】解：(1)如圖1，∵AM⊥BM，∴∠AMC＝∠BMD＝90°，∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD(SAS)，∴AC＝BD＝17．(2)證明：如圖2，延長EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，∵F為BC中點(diǎn)，∴BF＝CF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△BFG≌△CFE(SAS)，∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，∴BG＝BD，∴∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF．(3)如圖3，延長AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，∵AM⊥BM，AE⊥BE，∴∠BEC＝∠AMC＝90°，∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，∴△BFM≌△AHM(AAS)，∴FM＝HM，∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，∴Rt△EMF≌Rt△EMH(HL)，∵∠FEH＝90°，∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，∵∠AEB＝∠GEC＝90°，∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，∵AE＝EG，EM＝EM，∴△AEM≌△GEM(SAS)，∴∠AME＝∠GME，∵∠BEM＝∠BAM＝45°，∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，∵∠3＝∠AMG+∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證明三角形全等．3．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】(1)由已知條件可得，對(duì)頂角，則，根據(jù)即可的；(2)過點(diǎn)作的垂線交的延長線于,證明，得,進(jìn)而可得，再證明即可得證點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)延長至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得，進(jìn)而證明，再根據(jù),證明，根據(jù)已知條件求得最后證明即可．【解析】(1)設(shè)交于，如圖1，是等腰和是等腰即故答案為(2)如圖2，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于,是等腰和是等腰又又即是的中點(diǎn)(3)延長至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖即是等腰和是等腰在與中，(SAS)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，(SAS)(SAS)，即，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．4．在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．(3)若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)；(3)線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到，得到．(2)延長與的延長線相交于點(diǎn)．證明，推出，求出的面積即可解決問題．(3)位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．【解析】(1)證明：如圖1，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．(2)解：如圖2，延長與的延長線相交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．(3)位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，由(1)可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)．由(2)得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，以及三角形和梯形的面積公式的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)．5．課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．(1)小明的想法是，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問題；(2)請(qǐng)按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點(diǎn)邊延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)根據(jù)已知證明，進(jìn)而求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得的取值范圍；(2)過點(diǎn)作交的延長線于，證明，得，再證明，進(jìn)而證明，即可證明【解析】(1)，即(2)如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，,,,,即，又,【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2)，①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．(2)請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)1＜AD＜7；(2)AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；(3)EF＝2AD，證明見解析．【分析】(1)延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；(2)由(1)知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進(jìn)而可知AC∥BM；(3)延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由(1)(2)的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進(jìn)而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．【解析】(1)如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC(SAS)，∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；(2)AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由(1)知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；(3)EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由(1)知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由(2)知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．7．問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時(shí)，求DE的長．【答案】問題背景：SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應(yīng)用：DE＝6．【分析】問題背景：先判斷出BD=CD，由對(duì)頂角相等∠BDE=∠CDA，進(jìn)而得出△ADC≌△EDB(SAS)；問題解決：先證明△ADC≌△EDB(SAS)，得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同(1)的方法得出△BMN≌△CMA(SAS)，則BN=AC，進(jìn)而判斷出∠ABN=∠EAD，進(jìn)而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．【解析】問題背景：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA(SAS)，∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴AN＝DE，∵M(jìn)N＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PA∥ON交OM于點(diǎn)A，PB∥OM交ON于點(diǎn)B(PA≥PB)，在線段OB上取一點(diǎn)C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點(diǎn)E，延長CD交PB于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)四邊形AOBP是正方形時(shí)，求證：DF＝PF；(2)如圖2，當(dāng)C為OB中點(diǎn)時(shí)，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積(用含a，b的代數(shù)式表示)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【分析】(1)連接AF，根據(jù)HL證Rt△ADF≌△APF即可證明DF=PF；(2)延長AC、BF交于點(diǎn)G，根據(jù)AAS證△AOC≌△GBC，即可證明BE=DE，又因?yàn)锳D=AO，所以可得AE=AO+BE；(3)證△ACE是等腰直角三角形，結(jié)合(2)的結(jié)論證明：即可得出△CDH的底和高，進(jìn)而求出面積．【解析】解：(1)如圖1，連接AF，∵四邊形AOBP是正方形，△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD=AP，在Rt△ADF和Rt△APF中，，∴Rt△ADF≌Rt△APF(HL)，∴DF=PF；(2)AE=AO+BE，理由如下：如圖2，延長AC、BF交于點(diǎn)G，連接∵C為OB中點(diǎn)，∴OC=BC，∵AO∥BP，∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，在△△AOC和△GBC中，，∴△AOC≌△GBC(AAS)，∴BG=AO，∵△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，∴AD=BG，∠CAE=∠G，∴△AEG為等腰三角形，∴AE=EG，∵，∴AE=AO+BE；(3)∵AO∥PB，∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，又∵∠OAC=∠CAE，由(2)知∠AEC=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°，即△ACE是等腰直角三角形，CH平分∠ACE，如圖3，由(2)知：∵OA=a，BE=b，【點(diǎn)睛】本題主要考查平形線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練應(yīng)用輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．(1)基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；(2)推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；(3)綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)1＜AD＜6；(2)見解析；(3)結(jié)論：EF＝BE﹣FD，證明見解析．【分析】(1)先證明△CDE≌△BDA(SAS)可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；(2)如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．再證明△BDE≌△CDH(SAS)可得BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；(3)如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF＝BE﹣DF．【解析】(1)解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA(SAS)，∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案為1＜AD＜6．(2)證明：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．(4)結(jié)論：EF＝BE﹣FD證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握倍長中線、構(gòu)造全等三角形成為本題的關(guān)鍵．10．(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；(3)問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)SAS，＜AD＜；(2)見解析；(3)2AD=MN，AD⊥MN，理由見解析【分析】(1)閱讀理解：由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．(2)問題解決：延長ND至點(diǎn)F，使FD=ND，連接BF、MF，同(1)得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性質(zhì)得出BF=CN，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．(3)問題拓展：延長AD至E，使DE=AD，連接CE，由(1)得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠E，AB=CE，證出∠ACE=∠MAN，證明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，則2AD=MN．延長DA交MN于G，證出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．【解析】解：(1)閱讀理解：如圖1中，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，∴＜AD＜，故答案為：SAS，＜AD＜；(2)問題解決：證明：如圖2中，延長ND至點(diǎn)F，使FD=ND，連接BF、MF，同(1)得：△BFD≌△CND(SAS)，∴BF=CN，∵DM⊥DN，F(xiàn)D=ND，∴MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF＞MF，∴BM+CN＞MN．(3)問題拓展：解：結(jié)論：2AD=MN，AD⊥MN．理由：如圖3中，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，延長DA交MN于G．由(1)得：△BAD≌△CED，∴∠BAD=∠E，AB=CE，∵∠BAM=∠NAC=90°，∴∠BAC+∠MAN=180°，即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，∴∠ACE=∠MAN，∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，∴AB=MA，AC=AN，∴CE=MA，∴△ACE≌△NAM(SAS)，∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，∴2AD=MN．∵∠NAC=90°，∴∠EAC+∠NAG=90°，∴∠MNA+∠NAG=90°，∴∠AGN=90°，∴AD⊥MN．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；正確作出輔助線并證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．11．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：∠BPC＝120°；(2)點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，說明理由．【答案】(1)見解析；(2)①AP＝2PM；②成立，證明見解析【分析】(1)由“SAS”可證△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，得出結(jié)論；(2)①由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，證出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延長PM＝MH，連接CH，由“SAS”可證△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可證△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可證△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．【解析】(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB(SAS)，∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；(2)①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案為：AP＝2PM；②解：①中的結(jié)論成立，理由如下：延長PM至H，是MH＝PM，連接AF、CH，∵∠BPC＝120°，∴∠CPF＝60°，∵PF＝PC，∴△PCF為等邊三角形，∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，∴∠BCP＝∠ACF，在△BCP和△ACF中，，∴△BCP≌△ACF(SAS)，∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，∴∠AFP＝60°，在△CMH和△BMP中，，∴△CMH≌△BMP(SAS)，∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，∴CH∥BP，∴∠HCP+∠BPC＝180°，∴∠HCP＝60°＝∠AFP，在△AFP和△HCP中，，∴△AFP≌△HCP(SAS)，∴AP＝PH＝2PM．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．(閱讀)婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；(思考)命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為(填“真命題”，“假命題”)；(探究)(1)如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長．【答案】【思考】真命題；【探究】(1)證明見解析；(2)4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計(jì)算．結(jié)論可得；(1)過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；(2)過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，易證，得到，．再進(jìn)一步說明，可得，結(jié)論可得．【解析】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】(1)如下圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點(diǎn)．(2)如下圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；(2)探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)1＜AD＜5，(2)BE+CF＞EF，證明見解析；(3)AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】(1)由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；(2)延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同(1)得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；(3)如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【解析】解：(1)延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA(SAS)，∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，(2)BE+CF＞EF；證明：延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；(3)AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC(AAS)，∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．(2)請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)見解析；【分析】(1)①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；(2)如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE(AAS)，∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【解析】(1)①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED(SAS)，∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG(AAS)，∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG(AAS)，∴AB＝CD；(2)如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE(AAS)，∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．(1)如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；(2)如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；(3)如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】(1)；(2)見解析；(3)，證明見解析【分析】(1)延長到點(diǎn)，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；(2)延長到點(diǎn)使，連接，由(1)知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；(3)延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【解析】(1)延長到點(diǎn)，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；(2)證明:延長到點(diǎn)使,連接，由(1)知，∴，，，，，，，，(3)，延長到，使，連接，，，，，，點(diǎn)在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．16．在與中，，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與是否仍有具有(1)中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請(qǐng)給予證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由；(3)旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)具有，證明見解析；(3)14或．【分析】(1)；當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，再證△ACE≌△BCE(SAS)利用性質(zhì)得AE=BE即可；(2)成立(具有)延長到點(diǎn)，使，連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可知是的中位線，有結(jié)論，先證，再證，即可；(3)分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構(gòu)造Rt△ECH，∠HCE=60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用(1)結(jié)論即可．【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，∴∠DCE=∠DEC=45o，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o=135o=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE(SAS)，∴AE=BE，∴，故答案為：；(2)成立(具有)證明：延長到點(diǎn)，使，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)14或．過E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105o，∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延長BC，過E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，涉及的知識(shí)多，習(xí)題難度大，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出準(zhǔn)確的圖形，畫圖時(shí)應(yīng)注意分類來畫是解題關(guān)鍵．17．閱讀理解：(1)如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．(2)解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．(3)問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】(1)如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD(SAS)得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，(2)如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD(SAS)得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，(3)如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD(SAS)得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【解析】(1)如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，(2)如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點(diǎn)，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD(SAS)，∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，(3)如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD(SAS)，∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點(diǎn)睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線轉(zhuǎn)化線段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，18．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．(1)如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；(2)如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①45°；②見解析；(2)，理由見解析【分析】(1)①利用直角三角形兩個(gè)銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合題干已知即可解題．②延長至點(diǎn)，使得，連接，從而可證明≌(SAS)，再利用全等的性質(zhì)，可知，即可知道，所以，根據(jù)題干又可得到，所以，從而得出結(jié)論．(2)延長至點(diǎn)，使得，連接，從而可證明≌(SAS)，再利用全等的性質(zhì)，可知，，根據(jù)題干即可證明≌(HL)，即得出結(jié)論．【解析】(1)①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)．如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．19．在等腰和等腰中，，連為中點(diǎn)，連．(1)如圖1，請(qǐng)寫出與的關(guān)系，并說明理由；(2)將圖1中的旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)OM=，理由見解析；(2)(1)結(jié)論成立，理由見解析【分析】(1)延長OM至E，使ME=MO，連接DE，AE，可判斷四邊形AODE為平行四邊形，得到AO=DE，根據(jù)三角形，四邊形內(nèi)角和定理，結(jié)合條件可判定△BOC≌△EDO，得到BC=OE，進(jìn)而得出結(jié)論；(2)延長MO至E，使ME=OM,連接DE，AE利用(1)中的方法即可得出結(jié)論．【解析】(1)解：OM=，理由如下：如圖OM至E，使ME=OM，連接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，∴四邊形AODE為平行四邊形，∴AO=DE，又∵AO=BO，∴OB=DE，∵∠BOC+∠AOD=360°－∠COD－∠AOB=180°，又∠EDO+∠DOA=180°，∴∠BOC=∠EDO，又OC=OD，在△BOC和△EDO中，∴△BOC≌△EDO，∴BC=OE，又∵OM=OE∴OM=BC；(2)(1)中結(jié)論任然成立，理由如下：延長OM至E，使ME=MO，連接DE，AE

∵AM=DM，EM=OM，AODE為平行四邊形，∴AO=DE又∵AO=BO，∴OB=DE，∵∠BOC+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，又∠EDO+∠DOA=180°，∴∠BOC=∠EDO，又OC=OD，在△BOC和△EDO中，∴△BOC≌△EDO，∴BC=OE，又∵OM=OE，∴OM=BC；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確做出輔助線利用平行四邊形的性質(zhì)得出全等三角形最后得出結(jié)論．20．請(qǐng)閱讀下列材料：問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且∠AMD=90°(1)如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系；小雪同學(xué)的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：(2)如圖2，若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD，(1)中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)AB+CD＞AD；(2)不成立，AB+CD=AD；證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件作出圖形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四邊形BECE是平行四邊形，再結(jié)合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解．(2)增加AM平分∠BAD，便可以得到點(diǎn)A.B.E必然共線，故(1)的結(jié)論不成立，通過(1)的分析，邊可以證明其數(shù)量關(guān)系．【解析】解：(1)AB與CD不平行根據(jù)題意,延長DM使DM=EM，連接BE，AE，EC，BD由于M是BC的中點(diǎn)，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形∴CD=BE又EM=DM，且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AB在中，(2)若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD則(1)的結(jié)論不成立關(guān)系為：證明：由于M是BC的中點(diǎn)，故BM=MC∴四邊形BECE是平行四邊形∴CD=BE又EM=DM,且∠AMD=90°∴是等腰三角形∴AD=AE又AM平分∠BAD∴點(diǎn)A.B.E必然共線∴【點(diǎn)睛】本題比較綜合，涉及到畫圖能力，平行四邊形判定，等腰三角形性質(zhì)應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．21．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．【答案】詳見解析【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據(jù)SAS推出△BDM≌△CDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【解析】如圖，延長至點(diǎn)，使得，并連結(jié)，∵是三角形的中線，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長中線”法作出輔助線來構(gòu)造全等三角形．22．如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、．(1)探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，將圖1中的等腰繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；(3)在(2)的條件下，若，求的最小值．【答案】(1)且．理由見解析；(2)成立，理由見解析；(3)【分析】(1)首先根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出、、三點(diǎn)共線，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得出，從而證明；(2)延長至，使，連接交于，連接、，首先通過SAS證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明，進(jìn)而可利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)證明，從而可證明結(jié)論仍然成立；(3)連接，首先根據(jù)題意確定當(dāng)、、，在同一直線上時(shí)，有最小值，此時(shí)在上，然后根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)得出有最小值就是的長，最后利用勾股定理求解即可．【解析】解：(1)且．理由如下：如圖1，連接．∵正方形和等腰，∴，∴、、三點(diǎn)共線．∵，為的中點(diǎn)，，∴．∴，．∴，即，∴．(2)仍然成立．理由如下：如圖2，延長至，使，連接交于，連接、．∵，，，∴，∴，，∴．∵是正方形，∴，．∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形．又∵，∴且．(3)如下圖，連接，當(dāng)、、，在同一直線上時(shí)，有最小值，此時(shí)在上，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，由(2)知，∴，即有最小