海南省?？诩蝿赘呒壷袑W2023-2024學年度高二上學期開

學考試數(shù)學試題【解析版】

一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）

1.下列說法：

①零向量是沒有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量與任意一個向量共線.

其中，正確說法的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.己知向量a=(l,2),b=(3,l),則［-J=()

A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)

3.若復數(shù)z=（2T）（4-i）,則彳=（）

A.—7—6iB.—7+6iC.7-6/D.7+6/

4.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在［60,

5.從編號為1、2、3、4的4球中，任取2個球，則這2個球的編號之和為偶數(shù)的

概率是（）

\1B—C—D-

A.3氏彳J23

6.甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為：?，34，2那么三人中恰

345

有兩人合格的概率是

7.已知〃、b為兩條不同的直線，夕為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若Q//b,bua,則

B.若“ua,bu。，a!lb,貝夕

C.若。//月，aaa,則a/R

D.若a"。，aca,bu0,貝!]a//A

8.已知AO,BE分別為:A5C的邊BC,4c上的中線，設">="，BE=bMBC=（）

24

B.-a+—b

。J

24r2.4

C.3a-3bD.--a+~b

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分：在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有

選錯的得0分）

9.若”,beR,且(a+i)i=b+i,則()

A.a=\B.a=-]C.b=lD.b=-1

10.棱臺具備的特點有（）

A.兩底面相似B.側面都是梯形

C.側棱都相等D.側棱延長后都交于一點

11.如圖，在四面體PA8C中，AB=AC,PB=PC,D,E,尸分別是棱AB,BC,

C4的中點，則下列結論中成立的是（）

A.BC〃平面PDFB.。尸1平面PAE

C.平面P￡）E_L平面D.平面P/加_L平面ABC

12.為了了解參加運動會的2000名運動員的年齡情況，利用簡單隨機抽樣從中抽取了

20名運動員的年齡進行統(tǒng)計分析.就這個問題，下列說法中正確的有（）

A.2000名運動員是總體;B.所抽取的20名運動員是一個樣本;

C.樣本容量為20；D.每個運動員被抽到的機會相等.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.-4+5i+(i-2)2=.

14.已知q,e2是兩個不共線的向量，而。=公4+(1-］人泡，6=2q+3e2是兩個共線

向量，則實數(shù)&=.

15.廣東某家具廠為游泳比賽場館生產觀眾座椅，質檢人員對該廠的2500套座椅進行

抽查，共抽檢了100套,發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問該廠所產的2500套座椅中大約有套

次品.

16.在A4BC中，8D為/ABC的平分線，AB=3,BC=2,AC=幣,則sin/ABD等

于.

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.)

17.如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E、尸分別是必、BD

上的點且E、F分別是小、BO的中點.求證：EF〃平面PBC.

18.設A,B,C,。為平面內的四點，且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).

(1)若AB=CD，求。點的坐標；

(2)設向量a=AB力=2C,若向量版-匕與〃+33平行，求實數(shù)k的值.

19.某數(shù)學興趣小組共有5名學生，其中有3名男生4、&、A,,2名女生及、B2,

現(xiàn)從中隨機抽取2名學生參加比賽.

(1)問共有多少個基本事件(列舉說明)？

(2)抽取的學生恰有一男生一女生的概率是多少？

20.已知三棱錐P-ABC中，PC,底面ABC,AB=BC,2尸分別為AC,PC的中

點，于E.

p

(1)求證：AP人平面

(2)求證：平面平面3￡>F.

21.在“8C中,已知角AB,C所對的邊分別為“涉,c,S.2c2=(2a-^)a+(2b-a)b

(1)求角C的大小；

⑵求2cosA+2cos3的最大值.

22.某校為了探索一種新的教學模式，進行了一項課題實驗，乙班為實驗班，甲班為對

比班，甲、乙兩班均有50人，一年后對兩班進行測試，成績分別如表1和表2所

示(總分：150分).

表1

[80,90)[90,100)

成績[100,110)[110,120)[120,130)

頻數(shù)42015101

表2

[80,90)[904(X))

成績[100,110)[110,120)[120,130)

頻數(shù)11123132

(1)現(xiàn)從甲班成績位于［90,120)內的試卷中抽取9份進行試卷分析，用什么抽樣方法更

合理？并寫出最后的抽樣結果；

(2)根據所給數(shù)據可估計在這次測試中，甲班的平均分是101.8,請你估計乙班的平均分,

并計算兩班平均分相差幾分.

1.c

【分析】根據零向量的定義、性質判斷各項的正誤即可.

【詳解】由零向量定義及性質知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯誤，②③正確：

故選：C

2.B

【分析】利用平面向量的坐標運算即可求解.

【詳解】由平面向量的坐標運算可知，b-“=(3,1)-(1,2)=(2,-1),

故選：B.

3.D

【解析】由復數(shù)乘法運算求得z,根據共規(guī)復數(shù)定義可求得結果.

【詳加單】z=(2—i)(4—i)=8—6i+/=7—6i,.-.z=l+6i.

故選：D.

4.D

【分析】計算出160,70)的頻率，再乘以總數(shù)即可.

【詳解】由于時速在［60,70)的頻率為0.04x10=0.4,

所以時速在［60,70)的汽車大約有200x0.4=80.

故選：D.

5.A

【分析】列舉法求解古典概型的概率.

【詳解】從編號為1、2、3、4的4球中，任取2個球，一共有以下情況：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情況，

其中這2個球的編號之和為偶數(shù)的情況有(1,3),(2,4),共2種情況

故這2個球的編號之和為偶數(shù)的概率為

O3

故選：A

6.B

【詳解】分析：本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，三個人中恰有2個合格，包括三

種情況，這三種情況是互斥的，寫出三個人各有一次合格的概率的積，再求和.

詳解：由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，

三個人中恰有2個合格，包括三種情況，這三種情況是互斥的

???三人中恰有兩13人2合2格1的22概3率327

34534534515

故選B.

點睛：本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，本題解題的關鍵是看出事件發(fā)生包括的所有

的情況，這里的數(shù)字比較多，容易出錯.

7.C

【分析】根據直線與平面，平面與平面的位置關系，對四個選項逐一判斷即可.

【詳解】對于A：若a//b,bua,則a//a或“uc,故A錯誤；

對于B：若“ua,bu/3,a〃4則。〃?或a與夕相交，故B錯誤；

對于C：若?〃夕，aua,則a〃夕，故C正確；

對于D：若a〃尸，aua,bu/J,貝肥〃?；颉Ｅc/,異面，故D錯誤.

故選：C.

8.B

【分析】根據向量的線性運算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】4。,8后分別為；鉆。的邊8。,4。上的中線，

貝ijA￡>=8。-BA」BC-BA,

2

BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^AB+BC)=^BA+BC),

由于A￡)=a，BE=b,所以a=58(7184,6=584+28(7,

24

故解得=+

故選：B

9.AD

【分析】根據復數(shù)的乘法運算和復數(shù)相等的定義計算即可.

【詳解】因為(a+i)i=-l+“i=b+i,

a=\

所以

b=-l

故選：AD.

10.ABD

【分析】根據棱臺是由平行棱錐底面的平面截得的判斷.

【詳解】解：因為棱臺是由平行棱錐底面的平面截得的，

所以棱臺的兩底面相似，側面都是梯形，側棱延長后都交于一點，

故選：ABD

11.ABC

【分析】根據幾何體的結構特征，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即

可求得.

【詳解】對于A中，因為R尸分別為AC的中點，可得BC//EF,

又因為平面PDF,且￡>Fu平面叨尸，所以BC//平面燈葉,所以A正確；

對于B中，因為"=AC,且E為8C的中點，可得BCLAE,

又因為尸B=PC,且E為BC的中點，可得

因為平面R4E,所以BC1平面R4E,

又因為。尸〃BC,所以少廠工平面K4E，所以B正確.

對于C中，由B項知：平面因為DFu平面PDF,

所以平面P/)F_L平面24E,所以C正確；

對于D中，設直線AE=O,易得運尸，可得P￡>=PF,所以尸O_LO產，

假設平面PDF_L平面48C,且平面PDF平面=P。匚平面尸￡尸，

所以P0工平面A8C,

因為OEu平面ABC,所以PO_LQE,

又因為尸。與。E不一定垂直，所以平面PE>尸與平面A3C不一定垂直，所以D錯誤.

故選：ABC.

12.ABCD

【分析】根據總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及在整個抽樣過程中每個個體被抽到

的機會均等即可求解.

【詳解】由已知可得，2(X)0名運動員或他們的年齡是總體，20名運動員或他們的年齡是樣

本，總體容量為2000,樣本容量為20,在整個抽樣過程中每個運動員被抽到的機會均為，°,

所以A、B、C、D均正確.

故選：ABCD.

【點睛】本題主要考查總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及抽樣的公平性問題，屬基

礎題.

13.-l+z##z-l

【分析】根據復數(shù)的乘法運算和加法運算計算即可.

【詳解】-4+5i+(i-2)2=-4+5i+3-4i=-l+i.

故答案為：-1+i.

14.一2或!##［或一2

33

【分析】由已知，根據給的“，b借助兩向量共線，可直接建立等量關系求解出實數(shù)h

【詳解】由已知，q,是兩個不共線的向量，

2

a-ke,+(l-^k)e2,6=2q+3e2是兩個共線向量，

所以然2=2(1-：幻，解得：%=—2或％=：.

故答案為：一2或;.

15.125

【分析】根據共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，得到次品率，再求2500套座椅中的次品

數(shù).

【詳解】因為共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，

所以次品率為癡，

所以該廠所產的2500套座椅中大約有之x2500=125.

20

故答案為：125

【點睛】本題主要考查隨機事件的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

16號

【詳解】試題分析：因為3。為/"C的平分線，所以乙=由余弦定理得

COSNABC=-心=32+22-(")2=1；.cos=1一2s*ZAB。=L

2xABxBC2x3x222

.?.sinNA8O=g.所以答案應填：1.

考點：1、余弦定理；2、二倍角公式.

17.證明見解析.

【分析】根據線面平行的判斷定理，即可證明.

【詳解】因為在平行四邊形ABC。中，尸分別是BO的中點，

所以F是AC的中點，

因為E是孫的中點，所以EF//PC,

又所二平面P3C,PCu平面PBC,

所以所〃平面PBC.

18.(1)0(5,-4)；

⑵

【分析】(1)求出向量坐標，再利用相等向量列出方程組，求解作答.

(2)求出a)的坐標，再利用向量線性運算的坐標表示，及共線向量的坐標表示求解作答.

【詳解】(1)設。(x,y),因為他=而，于是(2,—2)—(l,3)=(x,y)—(4,1),整理得

(l,-5)=(x-4,y-l),

Jx-4=1fx=5

即有,〈，解得/

g=-5[y=-4

所以￡>(5,-4).

1ULUI1UlUi

(2)因為。=AB=(1,-5),。=BC=(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以《一力=k(l,-5)-(2,3)=伏一2,-5k-3),?+3ft=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

因為向量桁-萬與a+36平行，因此7(-5%-3)-4(%-2)=0,解得*=_；,

所以實數(shù)%的值為

19.(I)答案見解析

【分析】（1）列舉出所有情況，得到基本事件數(shù)；

（2）求出抽取的學生恰有一男生一女生的基本事件數(shù)，利用古典概型求概率公式進行求解.

【詳解】（1）列舉出所有情況，如下：

｛（A，4）,（A，A），（A，4），（A，男），（4，A），（4,4），（&也）,（44），（A居）,（4用）｝,

共10個基本事件；

（2）記事件“抽取的學生恰有一男生一女生”為A,

則A包含基本事件｛（4，耳》（\幻,（4,4）,（4,8）（4,4）,（4，名）｝共6個，

因此P（A）=*|.

20.（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）首先根據線面垂直的判定得到831平面PAC,從而得到申_L8￡>,再利用線

面垂直的判定即可得到AP1平面BDE.

（2）根據已知得到￡>￡_L8r>,DFLBD,尸為平面B￡）E與平面8。斤的二面角，又因

為NEDF=90,即可證明平面平面

【詳解】（1）:PC_L底面A8C,即匚底面45。，...尸。，3。；

義AB=BC,。為AC的中點，

二BD1AC,

又PC,ACu平面PAC,PCcAC=C,

.??瓦）1平面PAC,R4u平面PAC,

APALBD,又DE1.AP,BDcDE=D，

：.AP二平面8￡>E；

（2）由4P1平面8DE1知，AP±DE；又。，尸分別為AC,PC的中點，

二DF是△PAC的中位線，；.DF//AP,：.DFIDE,即NEDF=90,

由3￡>工平面PAC可知，DE±BD,DF1BD,

/￡￡將'為平面BDE與平面8￡>F的二面角，又NEDF=90,

,平面BDE_L平面BDF.

21.（l）j

(2)2

【分析】（1）將條件化簡，然后利用余弦定理求解即可；

（2）先利用cosB=—cos（A+C）化簡整理得到2cosA+2cosB=2sin（A+。，再利用正弦

函數(shù)的性質及A的范圍求最值.

【詳解】（1）由己知2c2=