2022—2023學(xué)年度高一第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共6頁，22題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼

粘貼在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂層.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=0+1),則z的虛部是()

A.2B.-2C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得z,根據(jù)虛部定義求得結(jié)果.

【詳解】z=(l+i『=2i,，z的虛部為：2

故選：A

2.已知向量；z=(l,2),b=(2,t),若q與q—b垂直，則實(shí)數(shù)/的值為()

33

A.0B.—1C.----D.一

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求值.

【詳解】且。=(1,2),

由題意可知，a-(a—Z?)=-lxl+(2—t)x2=0,得/="|.

故選：D

3.如圖所示，在三棱臺A‘B'C'-ABC中，沿平面截去三棱錐A'-ABC，則剩余的部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論.

【詳解】三棱臺A'B'C'_ABC中，沿平面A8C截去三棱錐犬—ABC，剩余的部分是以A為頂點(diǎn)，四邊

形BCC'B'為底面的四棱錐A—BCCB.

故選：B.

4.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=幣,3=60。，貝(jc=()

A.1B.73C.3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，即7=4+。2一2。，(c-3)(c+l)=0,解得c=3.

故選：C

5.已知。>0,6>0,復(fù)數(shù)Z1=1-2i,z2=?-i,Z3=-8在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z1,Z2,Z3,若Z1，

12

Z,,Z,三點(diǎn)共線，則—+的最小值為()

ab

A.9B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)共線可得2a+b=l,利用均值不等式求解即可.

詳解】由題意，Z?,—2),Z2(a,-1),Z3(-^,0),

由三點(diǎn)共線可得，,化簡可得2a+匕=1,

—1—(-2)U—(—2)

2

A.OB.C.D

3-i

【答案】C

【解析】

AC4

【分析1由8為角。的平分線，3AD=4BD,可得,——二—,設(shè)AC=4x,BC=3x,然后在

BC3

4x3x

/■1AD「C中1利，「」田川J正」匚荔必■止方汪理F田俎付—[，伊簡|HJrIl1-舁笛幣HJ俎1寸較口空耒：

2sinAcosAsin/

AI~\AC

【詳解】因?yàn)閏o為角。的平分線，所以——=

BD~BC

AT4

因?yàn)?A￡>=48￡>,所以一=—

BC3

所以不妨設(shè)AC=4x,BC=3x

因?yàn)樵赾ABC中，任二=-^,B=2A

smBsinA

命「ACBC4x3x

r）\tA——**—

sin2AsinA2sinAcosAsinA

因?yàn)樵?48C中，sinAwO，x/0

ll-4x3x4.

fbyf]rtPJA————s<—Ds

2sinAcosAsinA2cosA

2

所以cosA=—.

3

故選：c

則2的取值范圍為（）

8.在_A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且BC2=2ACAB,

9c

A.（2->/^,+co）B.（2+G,+8）

C.（0,2+x/3）D.（2-73,2+73）

【答案】D

【解析】

.AB可得卜百，

【分析】設(shè)BC=2,BC中點(diǎn)為。，化簡8c2=--2AC再根據(jù)余弦定理結(jié)合余弦函

數(shù)的范圍可得與e（7-4j5,7+4若），進(jìn)而可得，的取值范圍.

【詳解】不妨設(shè)3c=2,8c中點(diǎn)為。，則3c2=2AC.A8即4=2（AO+OCj-（AO+OB）,故

AD~+AD（DC+DB）+DC-DB=2,即而_】=2,網(wǎng)=6.

A

故JW+必—s/血

c2AD2+DB1-2AD-DBcosZADB

2-V3cosZADC

——-------------1,因?yàn)镹ADCe(O,7i),故

2+V3cosZADC2+V3cosZADC

2+>/3cosZADCef2-\/3,2+\/3j,則4e(8-4V3,8+473),故

2+GcosZADC

與W（7-46,7+46）,故/的取值范圍為（2-6,2+百）.

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若復(fù)數(shù)z滿足z?。一2i）=10,則（）

A.z=2-4i

B.z+2是純虛數(shù)

C.|Z|=|Z|=2A/5

D.若z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/一41+。=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則〃=20

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解z,再求共舸復(fù)數(shù)即可；對B,求得z=2+4i判斷即可；對

C,根據(jù)模長公式求解即可；對D,根據(jù)復(fù)數(shù)域中二次方程兩根共拆與韋達(dá)定理求解即可.

,、1010(l+2i)_

【詳解】對A,z.(l-2i)=10,則z=q^=0_2i)(]+方)=2+41,故z=2—4i，A正確;

對B,z+2=4+4i不為純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

2222

對C,|z|=|2+4i|=72+4=275，|z|=|2-4i|=V2+4=275，故C正確;

對D,由題意，/一4%+8=0的復(fù)數(shù)根分別為z=2+4i與三=2—4i，故

Z?=z-5=（2+4i）（2-4i）=20,故D正確；

故選：ACD

10.下列說法正確的是（）

A.向量弓=（2,-3）,02=（；，一智能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

B.已知OA3中，點(diǎn)尸為邊AB的中點(diǎn)，則必有0尸=；（。4+。6）

C.若PA-PB=PB-PC=PC-PA，則P是一ABC的垂心

D.若G是-ABC的重心，則點(diǎn)G滿足條件G4+GB+CG=0

【答案】BC

【解析】

【分析】對A,根據(jù)基底向量不共線判斷即可：對B,根據(jù)基底向量的運(yùn)用判斷即可；對C,化簡

PA-PB=PB?P（j可得CA-PB=O，進(jìn)而根據(jù)垂心的性質(zhì)判斷即可；對D,由重心可得GA+GB=CG，

即可判斷

【詳解】對A,e，=4q,故q,e?共線，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故A錯(cuò)誤；

對B,根據(jù)平面向量基本定理可得.QAB中，點(diǎn)P為邊AB的中點(diǎn)，則必有OP=g（Qi+OB）,故B正

確；

對C,由可得（P4-PC〉PB=O,即C4.p8=0，故C4_L~B,同理CB_LPA,

AB1PC,故尸是的垂心，故C正確；

對D,若G是一ABC的重心，則點(diǎn)G滿足條件GA+GB=CG，則G4+GB+CG=2CG，故D錯(cuò)

誤；

故選：BC

11.已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,則下列說法正確的是（）

A.若sin2A=sin23,則ABC為等腰三角形

B.若，一=必一，則一45。為等腰或直角三角形

cosAcosB

C.若一ABC為銳角三角形，若力>B,則sinA>cosB

D.若A=30°，b=4,a=3,則有兩解

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得2A=23或2A+23=兀判斷A,由正弦定理及正切函數(shù)性質(zhì)判斷B,

根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性判斷C,由已知兩邊及一邊對角確定三角形個(gè)數(shù)判斷方法判斷D.

【詳解】?,?_ABC,sin2A=sin28,2A,2Be（0,2兀），.?.2A=25或24+28=兀，即A=3或

兀

A+3=一,故A錯(cuò)誤；

2

‘一=—^―,.?.絲旦=絲0,即tanA=tan3,由A3e（0,兀）知A=3，故A8C為等腰三

cosAcosBcosAcos3

角形，故B錯(cuò)誤；

71

ABC為銳角三角形，，一>A>8〉0,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sinA>cos3，故C正確；

2

A=30°,b=4,a=3,:.b>a>bsm30°=2,故有兩解，故D正確.

故選：CD

12.已知函數(shù)/（x）=cos（8+g］（（y>0）在一兀,/上單調(diào)，且y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一1,。卜寸

稱，貝I（）

A./（x）的周期為2兀

B.若|/（七）一/（々）|=2,則,一々L=2兀

C.將/（x）的圖象向右平移。個(gè)單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)

D,函數(shù)y=〃x）+［在［0,可上有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)題意確定周期范圍，再根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)［一?,。］對稱，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心

求解即可；對于B,由A/（x）=cos（；x+1）,結(jié)合余弦函數(shù)的最值與周期性質(zhì)判斷即可；對于C,

根據(jù)三角函數(shù)平移性質(zhì)判斷即可；對于D,根據(jù)余弦函數(shù)值直接求解即可.

'2兀、71

【詳解】對于A,因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=C0S；0%+1-卜啰>0）在一兀,不上單調(diào)，所以/（X）的最小正周期T

3Jiir37r2

滿足一T2一，即,2小，所以0〈刃《一，

22co23

(TL\TT27r7C

因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)一式,0對稱，所以一一。+——=—+E/eZ,得。=一一3k,kwZ,

I3J3322

1T=生=4兀

所以當(dāng)A=0時(shí)，/=—,所以1,故A錯(cuò)誤；

2I

對于B,7(x)=cosf|x+y\|/(x,)-/(x2)|=2,

則/（石），/（々）分別為1，一1，則打一wL為半周期,即2兀，故B正確;

將/"）的圖象向右平移g個(gè)單位長度后得g（X）=COsl1^-^J+y=—sin'x的圖象,

對于C,

2

g（x）為奇函數(shù)，故C正確;

C.L+空〕+變=0,即

對于D,

<23J2(2312

令，=-1%+生，當(dāng)xe[0,7t]時(shí)，fe，故僅有f=包，故D正確.

23L36J4

故選：BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖所示，等腰直角三角形OW8'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'B'=2,則原圖形的

周長為.

【答案】8+4&##4夜+8

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形三邊長，進(jìn)而可得周長.

【詳解】由題意，O'B'=2,則O'A=2近，故原圖形中。4=40，OB=2,

AB=J(4&『+22=6,周長為8+4應(yīng).

故答案為：8+472

14.已知向量q,0滿足忖=4,忖=1,卜+2@=26,則向量的夾角為.

【答案】—##—71

33

【解析】

【分析】設(shè)a與匕的夾角為6，（a+26『=/+4。m+4匕2=12,得到cos，=—；,解得答案.

【詳解】設(shè)a與。的夾角為。，,+2耳=26

2

則（。+2力）=a2+4Q,〃+4/?2=16+4x4xlxcos^+4=12,解得cos8二,

O-TT

同0,可，故。=臼.

2兀

故答案為：—

3

15化簡：5zn40°0°-75j=.

【答案】-1

【解析】

【詳解】原式=sin?°軸1g(sin?(f-V3cos?(F)=2s-40°

coslO°cosl0°\'cosl0°

iA

(-sinTO。一或一°

22

-sin80°.工…

--------才一.故答案為一1

coslO°cosl0°

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有:

先切化弦，再通分；

利用輔助角公式化簡；

同角互化.

16.某公園有一個(gè)人工湖，若要測量如圖所示的人工湖的口徑A、B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在人工湖岸邊取

C、。兩點(diǎn)，測得CD=40m,ZAD3=135°,ABDC=ZDCA=150,NACB=120°,則A、B兩點(diǎn)的

【答案】4075

【解析】

【分析】，.ACD中根據(jù)角度關(guān)系易得">=8=40,再在△BCD中，由正弦定理得到8力，然后在

△A3。中，利用余弦定理求解.

【詳解】在AC。中，因?yàn)镹BDC=NOC4=15°,NAOB=135°,故NA￡>C=150°,

ZC4D=15°,

所以NAC￡>=NCW,則AD=CD=40.

在ABCD中，因?yàn)镹BDC=15°,NBCD=135。,NCBD=30°,CD=40,

CDBD

所以由正弦定理

sin30°sin135°

得^喙聯(lián)=4。技

在△A3。中，因?yàn)閆ADB=ZADC-ZBDC=135°,AD=40,BD=4072,

所以由余弦定理得AB?=4^+助如一2A。.身)cos4408=4()2x5，

故AB=40石m.

故答案為：4075

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知a,￡都是銳角，si〃a=普，cos(a+A)=|.

(1)求cos2a和tan(2a+；)的值；

(2)求sin/?的值.

4

【答案】(1)~,1

⑵嶇

50

【解析】

【分析】(1)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正余弦公式求解;

(2)根據(jù)角的變換，利用兩角差的正弦公式求解.

【小問1詳解】

214

/.cos2a=1-2sin-a=l-2x—=—

105

3

sin2a=2sinacosa,

5

八sin2a3

/.tan2a=--------=—

cos2a4

-兀31

/、tan2a+tan——4-l

c兀)44r

tan2a+—=-----------------==7.

I4Ji_tan2a-tan—l——

44

【小問2詳解】

Q。，尸都是銳角,

/.0<a4-y?<7t,

3

又cos(a+')=w,

/.sin(6z+/)=^l-cos2(a+尸)=

sin0=sin[(?+/?)-cr]=sin(?+6)cosa-cos(a+￡)sina

43回3VlO

=—X-----------X------

510510

_9Vio

50

18.已知半圓圓心為O,直徑A3=4，C為半圓弧上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn),

以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

又???OWf〈l,，當(dāng),=1時(shí)，y=B4P0有最小值為一,，

44

(1疔

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為一~7^~T

I44J

19.在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量。4對應(yīng)的復(fù)數(shù)Z[=加+(4—m21,(meR).

(1)若點(diǎn)A位于第四象限，求〃?的取值范圍；

(2)若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,求向量4B對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(3)若Z2=2cose+(4+4sin6)i,且ZLZ2,求■的取值范圍.

【答案】(1)m>2

(2)-2(4-〃，)i

⑶[-1,8]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)確定實(shí)部、虛部的符號，列不等式組求解;

(2)根據(jù)對稱確定點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再由向量48對應(yīng)復(fù)數(shù)即為兩點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)之差得解;

(3)由復(fù)數(shù)相等列出方程組，消參數(shù)加可得X的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)值域，配方求值域即可.

【小問1詳解】

由題意4=m+(4—加2)i對應(yīng)點(diǎn)A位于第四象限,

m>0

故?“2c，解得利>2，

4-W<0

即m的取值范圍m>2.

小問2詳解】

點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z1=加+(4—加2],則關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'=m-(4—加21,

則A8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'-Z]=m-(4-m12)i-[m+(4-w2)i]=-2(4-w2)i,

【小問3詳解】

---Z|=Z2,

m=2cos。,1,

,,即2=4sin~9—4sin6=4(sin6——)~—1,

4"=4+4sin。2

1,

由一1Wsin。W1,可知丸=4(sinQ一一)2-le[-l,8],

2

故;I的取值范圍為[-1,8].

20.在①tanA+tanB+G=GtanAtanB；?（4a2-cosC+b2=a2+c2；③

（。+。一，）（新。一$畝4+$皿3）=酒113這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.

問題：在「鉆。中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且__________.

（1）求角C；

J3

（2）若ABC的內(nèi)切圓半徑〃=9，b=4,求ABC的外接圓半徑R.

2

TT

【答案】（1）c=-

3

⑵速

6

【解析】

【分析】（1）選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②根據(jù)余弦定理化簡，再根據(jù)正弦定理邊

化角，結(jié)合三角恒等變換求解即可，選擇③由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解；

（2）由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解可得a=1,c==，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求解即可.

22

【小問1詳解】

選擇①:由已知得tanA+tanB=6（tanAtan6-1）,

所以tanC=-tan（A+3）=-tanA+tan'=百,

1-tanAtanB

TT

在一ABC中，Ce（0,7i）,所以C=].

選擇②：由題意（4/-2ab）cosC=a2-〃=2accosB,故（2"-》）cosC=ccos3,由正弦定理

（2sinA-sinB）cosC=sinCeosB,即2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin（3+C）,又

1jr

sin（5+C）=sin（兀一A）=sinA/0,故cosC=5，因?yàn)镃e（0,7i）,故C=,

選擇③：由已知及正弦定理得（c+〃-b）（c-。+。）="，

2?221

所以儲+從—/=QS,所以cosC=----—=—,

2ab2

71

因?yàn)?<C<7i,所以C=一.

3

【小問2詳解】

由余弦定理得c°=+從—aZ?=16+/—4a,①

由等面積公式得！(。+人+。)，=!。瓜缶。.

22

Hn1,人、61〃6

即—(a+b+c)x——=—x4tzx——.

2222

整理得"=4+c,②

7

57cn277G

聯(lián)立①②，解得。=W，c=：,由正弦定理2R=/；，即R=-^=—=一1

22sinec732A/3O

2x——

\\

21已知向量。=,b2cosx+g,1,記函數(shù)/(x)=a-b.

3JJ

(1)將/(x)化為丁=水皿(8+0)+川4＞0,@〉0,附＜5)形式，并求最小正周期T；

/、7T7C

(2)求函數(shù)/(%)在區(qū)間一F'E上的值域;

(3)將函數(shù)/(X)圖象向右平移N個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的。(0＜。＜1)倍

得至|Jy=g(x)的圖象，若y=g(x)在區(qū)間［—1,1］上至少有100個(gè)最大值，求。的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2sinl2x+yj；7t

(2)[-73,2]

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)量積坐標(biāo)公式及三角恒等變換化簡即可得解;

7T

(2)根據(jù)自變量的范圍求出2x+§的范圍，利用正弦函數(shù)求解:

(3)根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求出g(x),利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得.

【小問1詳解】

/(x)=ab=2sinx-2cosx+—=2sin^cosx-25/3sin2x+73

=sin2x+Gcos2x=2sin(2元+攵，

T=—=n

2

【小問2詳解】

c兀兀4兀

當(dāng)XE2x+—G—,——

363

~~~-sin(2x+y)<1，

:<2sin(2x+—)<2,

3

即函數(shù)/(力在區(qū)間-專弓上的值域?yàn)閇-6,2].

【小問3詳解】

將函數(shù)/(X)圖象向右平移-個(gè)單位，得至Uy=2sin[2(%--)+-]=2sin2x,

663

2

再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的a(()<a<1)倍得到g(x)=2sin的圖象,

.27i__cm.._

令一x=—+2KJI=>x=bakii,A:GZ,

a24

要使y=g(x)在區(qū)間[t[]上至少有io。個(gè)最大值,

—14空一50m.

44

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得〈=>4Z<----

a?！癱199兀

—+49即<1

[4

4

:.0<a<---.

199兀

22.對于函數(shù)〃x)(x€/),若存在非零常數(shù)M,使得對任意的xe/,都有/(x+/)<〃