第14練概率

積累整.

知識(shí)點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率

1隨機(jī)試驗(yàn)的概念及特點(diǎn)

⑴概念

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.

(2)特點(diǎn)

①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)一進(jìn)行；

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知一的，并且不止一個(gè)；

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

2樣本空間

(1)樣本點(diǎn)

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用”表示樣本點(diǎn).

(2)樣本空間

全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，用。一表示樣本空間.

(3)有限樣本空間

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果(01，。2，…，。"，則稱樣本空間Q={0|，。2，…，

3“}為有限樣本空間.

3隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件

(1)隨機(jī)事件

我們將樣本空間Q的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱

為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中

某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

O作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以。

總會(huì)發(fā)生，我們稱。為必然事件.

(3)不可能事件

空集。不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱。為不可能事件.

4.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)圖示

包含一般地，若事件Z發(fā)生，則事件5一定發(fā)生,普

824(或4=8)

關(guān)系稱事件B包含事件4(或事件A包含于事件B)[

相等如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,

A=B

關(guān)系即324且〃則稱事件/與事件3相等n

并事一般地，事件/與事件。至少有一個(gè)發(fā)生,這樣

件(或的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件N中，或者在

AUB(^A+B)CB@

和事事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的Q

件)并事件(或和事件)

一般地，事件4與事件3同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)

交事件

事件中的樣本點(diǎn)既在事件4中，也在事件3中，

(或積4-3(或皿

我們稱這樣的一個(gè)事件為事件/與事件8的交事

事件)

件(或積事件)

一般地，如果事件N與事件8不能同時(shí)發(fā)生，也

互斥

就是說Jns是一個(gè)不可能事件，即NC3=。，4G3=0??

事件n

則稱事件/與事件3互斥(或互不相容)

一般地，如果事件/和事件8在任何一次試驗(yàn)中

有且僅有一個(gè)發(fā)生,即且=

對(duì)立ZU5=Q,4U8=0且

事件。，那么稱事件4與事件3互為對(duì)立，事件4的對(duì)4G

立事件記為)

5.概率的基本性質(zhì)

任何事件的概率都是非負(fù)的；

在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生.

一般地，概率有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)20.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,尸(。)=0.

性質(zhì)3如果事件A與事件8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

因?yàn)槭录嗀和事件B互斥，即A與8不含有相同的樣本點(diǎn)，所以〃(4UB)=〃(4)+〃(B),

這等價(jià)于P(AU8)=P(A)+P(8),即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和.

性質(zhì)4如果事件4與事件8互為(寸立事件，WsP(B)=l-P(A),P(A)=1-P(B).

因?yàn)槭录嗀和事件B互為對(duì)立事件，所以和事件AUB為必然事件，即P(AUB)=1.由

性質(zhì)3,得1=P(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)5如果AUB,那么P(A￡P(guān)(B).

(1)對(duì)于事件A與事件B,如果AUB,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件4

的概率不超過事件B的概率.

(2)由性質(zhì)5可得，對(duì)于任意事件A,因?yàn)?UAUO,所以叱P(A)WL

性質(zhì)6設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(AUB)=P(A)+P(8)—P(AC8).

7.古典概型

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(4)表示.

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的左個(gè)樣本

k(A)

點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，〃和〃(分別表示事件和樣本空間

AP(A)=n1=nc(A)Q)A

。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

求古典概型概率的計(jì)算步驟

(1)確定樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)〃；

(2)確定事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k；

L

(3)計(jì)算事件A的概率P(A)=-.

知識(shí)點(diǎn)二：事件的相互獨(dú)立性

1相互獨(dú)立事件的概率

對(duì)任意兩個(gè)事件A與8,如果P(A8)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,

簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

2相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

如果事件A與8相互獨(dú)立，那么A與B,A與B,A與B也都相互獨(dú)立.

3判定相互獨(dú)立事件的方法

(1)由定義,若尸(AB)=P(A>P(B),則A,B獨(dú)立.

(2)有些事件不必通過概率的計(jì)算就能判定其獨(dú)立性，如有放回的兩次抽獎(jiǎng)，由事件本

身的性質(zhì)就能直接判定出是否相互影響，從而得出它們是否相互獨(dú)立.

4公式拓展

如果事件4,A2,…，4相互獨(dú)立，那么這八個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)

生的概率的積.即P(AlA2A3-An)=P(Al)P(A2)-...P(An).

知識(shí)點(diǎn)三：頻率與概率

1頻率的穩(wěn)定性

(1)大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨

機(jī)性.

(2)一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)”的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻

率以A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因

此，我們可以用頻率以A)估計(jì)概率尸(A).

2頻率與概率的關(guān)系

(1)概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.

(2)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來越多時(shí)，頻率越來越趨近于概率.

(3)當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率.

(4)概率的范圍為[0,1].

注意：用頻率來估計(jì)概率P(A)的前提：

大量重復(fù)的試驗(yàn)，試驗(yàn)的次數(shù)越多，獲得的數(shù)據(jù)越多，這時(shí)用頻率來估計(jì)概率越精確.

3隨機(jī)模擬

用頻率估計(jì)概率，需做大量的重復(fù)試驗(yàn)，我們可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)

數(shù)模擬試驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了.我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題的方法

為蒙特卡洛方法.

4隨機(jī)數(shù)

(1)概念

要產(chǎn)生1?〃(〃GN*)之間的隨機(jī)整數(shù)，把"個(gè)質(zhì)地和大小相同的小球分別標(biāo)上1,2,3,…，

〃放入一個(gè)容器中，充分?jǐn)嚢韬笕〕鲆粋€(gè)球，這個(gè)球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).

(2)產(chǎn)生方法

①利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；

②用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，比如用Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).

5隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)

(1)例如我們要產(chǎn)生0?9之間的隨機(jī)整數(shù)，像彩票搖獎(jiǎng)那樣，把10個(gè)質(zhì)地和大小相同

的號(hào)碼球放入搖獎(jiǎng)器中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，這個(gè)球上的號(hào)碼就稱為隨機(jī)數(shù).

(2)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長(zhǎng)),

它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì).因此，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們

稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù).

但產(chǎn)礎(chǔ)過關(guān)可

一、單選題

1.下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

①從區(qū)間［1,10］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個(gè)數(shù)，求

取到1的概率；③在正方形A8C。內(nèi)畫一點(diǎn)P,求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上

拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)古典概型的定義，特征，即可判斷選項(xiàng)

【詳解】古典概型的特征是樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能

性相等，故②是古典概型；

①和③中的樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬幣質(zhì)地不均勻，因此樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故選：A.

2.根據(jù)近五年的資料顯示，某村莊月光照量X（小時(shí)）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（注：月光照量指的是

當(dāng)月的陽光照射總時(shí)長(zhǎng)）以及在適合溫度下，月光照量與草莓花芽分化的概率的關(guān)系，表格

如下：

X（小時(shí)）[160,240)[240,320)[320,400)

月份數(shù)271815

草莓花芽分化的概率0.900.950.80

該村莊現(xiàn)有一批草莓，根據(jù)上表，試估計(jì)在適合溫度下，草莓花芽分化的概率為（）

A.0.85B.0.89C.0.91D.0.95

【答案】B

【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，草莓花芽分化的概率為p=gx0.90+^x0.95+^x0.80=0.89.

606060

故選:B.

3.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值小于0

B.某個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身

C.某兩個(gè)數(shù)的和小于0

D.某兩個(gè)數(shù)的積大于0

【答案】A

【分析】根據(jù)不可能事件的概念，即可分析各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,任何數(shù)的絕對(duì)值都大于等于0,不可能小于0,

所以某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值小于0是不可能事件；

對(duì)于B,0的相反數(shù)等于它本身，而-1的相反數(shù)不等于它本身，

所以某個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身是隨機(jī)事件；

對(duì)于C,-2+1=-1<0,2+1=3>0,

所以某兩個(gè)數(shù)的和小于0是隨機(jī)事件；

對(duì)于D,2xl=2>0,—2x1=-2<0

所以某兩個(gè)數(shù)的積大于0是隨機(jī)事件；

故選：A.

4.已知某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為90%,現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100件產(chǎn)品檢查，則

下列說法正確的是（）

A.合格產(chǎn)品少于90件B.合格產(chǎn)品多于90件

C.合格產(chǎn)品正好是90件D.合格產(chǎn)品可能是90件

【答案】D

【分析】根據(jù)概率的定義與性質(zhì)，直接可求解.

【詳解】某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為90%,現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100件產(chǎn)品檢查，

在A中，合格產(chǎn)品可能不少于90件，故A錯(cuò)誤；

在B中，合格產(chǎn)品可能不多于90件，故B錯(cuò)誤；

在C中，合格產(chǎn)品可能不是90件，故C錯(cuò)誤；

在D中，合格產(chǎn)品可能是90件，故D正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查概率的定義與性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.某人連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都沒有命中目標(biāo)”的對(duì)立事件是（）

A.至少有一次命中目標(biāo)B.至多有一次命中目標(biāo)

C.恰好兩次都命中目標(biāo)D.恰好有一次命中目標(biāo)

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)立事件定義直接判斷即可.

【詳解】由對(duì)立事件定義知：事件"兩次都沒有命中目標(biāo)"的對(duì)立事件為“至少有一次命中目

標(biāo)”.

故選：A.

6.已知事件4,B,C的概率均不為0,則尸(4)=P(B)的充要條件是()

A.P(AUB)=PQ4)+P⑻B.P(4UC)=P(BUC)

C.PIA?)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

【答案】C

【分析】根據(jù)和事件的概率公式判斷A、B,根據(jù)積事件的概率公式判斷C,根據(jù)相互獨(dú)立

時(shí)間的概率公式判斷D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镻G4UB)=P(A)+P(B)—P(4nB),由PQ4UB)=P(4)+P(B),

只能得到P(4CB)=0,并不能得到P(4)=P(B),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)镻G4uC)=P(4)+P(C)-PQ4nC),

P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BClC),

由P(4UC)=P(BUC),只能得到P(A)-P(AnC)=P(B)-P(BnC),

由于不能確定4,B,C是否相互獨(dú)立，故無法確定P(A)=P(B),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)镻(而)=P(4)-P(4B),P(而)=88)-P(4B),

又P(4月)=P(4B),所以P(4)=P(B),故C正確；

對(duì)于D：由于不能確定4,B,C是否相互獨(dú)立，

若4B,C相互獨(dú)立,則P(4C)=P(A)秋C),P(BC)=P(8)P(C),

則由P(4C)=P(BC)可得P(A)=P⑻,

故由P(AC)=P(BC)無法確定P(4)=P(B),故D錯(cuò)誤；

故選：C.

7.圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之"，圍棋至今已有四

千多年歷史，蘊(yùn)含者中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5

位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和

乙不在同一個(gè)小組的概率為()

AA.-1cB.-2-C.一3D-7.一

105510

【答案】C

【分析】利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典

拇型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，另3位棋手分別記為丙、丁、戊，

則這5位棋手的分組情況有(甲乙丙，丁戊)，(甲乙丁，丙戊)，(甲乙戊，丙丁)，(甲丙丁，

乙戊)，

(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙丙)，(乙丙丁，甲戊)，(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，

(丙丁戊，甲乙)，共10種，

其中甲和乙不在同一個(gè)小組的情況分別為(甲丙丁，乙戊)，(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙

丙)，(乙丙丁，甲戊)，

(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，共有6種,

所以甲和乙不在同一個(gè)小組的概率p=4=1.

105

故選：C.

8.下列說法正確的是()

A.若4B為兩個(gè)事件，則"4與B互斥"是"與B相互對(duì)立"的必要不充分條件

B.若A,B為兩個(gè)事件，則P(A+B)=P(4)+P(B)

C.若事件4,B,C兩兩互斥，則PQ4)+P(B)+P(C)=1

D.若事件A,B滿足PQ4)+P(B)=1,貝必與B相互對(duì)立

【答案】A

【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念判斷A,根據(jù)和事件的概率公式判斷B,利用反例

說明C、D.

【詳解】對(duì)于A,若事件4與8互斥，貝必與B不一定相互對(duì)立，

但4與8相互對(duì)立，則4與B一定互斥，故"4與8互斥"是"力與8相互對(duì)立"的必要不充分條件,

故A正確；

對(duì)于B,若A,B為兩個(gè)事件，則P(4+B)=P(4)+P(B)-P(4nB),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若事件4,B,C兩兩互斥，則P(4)+P(B)+P(C)=1不一定成立，

如：拋擲一枚均勻的骰子一次，記A="向上的點(diǎn)數(shù)為1",8="向上的點(diǎn)數(shù)為2",C="向上

的點(diǎn)數(shù)為3",

事件4,B,C兩兩互斥，但P(4)+P(B)+P(C)=；+；+：=；.故C錯(cuò)誤；

6662

對(duì)于D,拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是去

拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是右滿足PQ4)+P(8)=1,但是4與8不對(duì)立，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

9.甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球.現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)

球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個(gè)球.假設(shè)事件4="從乙箱中取出的兩球都是白

球"，B="從乙箱中取出的兩球都是黑球"，C="從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑

球"，其對(duì)應(yīng)的概率分別為P(A),P(B),P(C),則()

A.P(A)=P(B)B.P(A)=P(C)

C.P(B)<P(C)D.P(C)<P(4)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率加法和組合數(shù)的計(jì)算

公式,分類討論，分別求得P(4),P(B),P(C),結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再從乙箱中任意取出兩個(gè)白球，可得七=冬X3=

C3C5

1

10，

當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再從乙箱中任意取出兩個(gè)白球，

可得P2=岑Xq=三，所以PQ4)=-+-=-；

2cfcl30k710306

當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再從乙箱中任意取出兩個(gè)黑球，可得P3=|jx好味，

當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再從乙箱中任意取出兩個(gè)黑球，

可得”=等x^f=梟所以P⑻=邕+卷=*

CjCg3U3UouSU

當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再從乙箱中任意取出一白一黑球，可得Ps=得x警=畀

當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再從乙箱中任意取出一白一黑球，

可得「6=岑'岑=/，所以P(C)=2+U=竺，

6clcl30'V7303030

綜上可得，P(B)<P(C).

故選：C.

10.容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表:

組號(hào)12345678

頻數(shù)1013X141513129

第三組的頻數(shù)和頻率分別是()

A.14和0.14B.0.14和14

C.五和0.14D.，和R

【答案】A

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)結(jié)合頻率的含義直接計(jì)算，即得答案.

【詳解】第三組的頻數(shù)x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14,

頻率為蕓=014,

故選：A

二、多選題

11.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為0.6.0.5.0.4,貝IJ()

A.該棋手三盤三勝的概率為0.12

B.若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手在贏得第一盤比賽的前提下連贏三盤的概率為0.4

C.若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手連贏2盤的概率為0.26

D.記該棋手連贏2盤為事件A,則當(dāng)該棋手在第二盤與甲比賽P(A)最大

【答案】ACD

【分析】對(duì)A,根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式即可判斷，對(duì)B,轉(zhuǎn)化為求連贏后兩盤的概率，對(duì)C,

分情況計(jì)算即可，對(duì)D,分別計(jì)算出第2盤與甲、乙、丙比賽連勝兩盤的概率，比較大小即

可.

【詳解】對(duì)于A,棋手勝三盤的概率為0.6x0.5x04=0.12,故A正確；

對(duì)于B,棋手在勝甲的前提下連勝3盤的事件就是余下兩盤連勝乙，丙的事件，

其概率為0.5X0.4=0.2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,連勝兩盤事件的概率為0.6x0.5x(1-0.4)+(1-0.6)x0.5x0.4=0.26,故C正

確；

對(duì)于D,第2盤與甲比賽連勝兩盤的概率&=0.5X0.6x(1-0.4)+(1-0.5)x0.6X0.4=

0.30,

第2盤與乙比賽連勝兩盤的概率P?=0.6X0.5x(l-0.4)+(1-0.6)x0.5X0.4=0.26,

第2盤與丙比賽連勝兩盤的概率「3=0.6x0.4x(1-0.5)+(1-0.6)x0.4x0.5=0.20,

因此Pi>P2>P3,故D正確.

故選：ACD.

12.已知事件A,B,且PQ4)=0.4,P(B)=0.3,則()

A.如果BcA,那么PQ4B)=0.3

B.如果BU4那么P(4U8)=04

C.如果A與8相互獨(dú)立，那么P(4U8)=O.7

D.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(同)=0.42

【答案】ABD

【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運(yùn)算有P(4B)=P(B)、P(AUB)=P(A),由事件的相互獨(dú)立知

P(AB)=P(A)P(B),結(jié)合事件的運(yùn)算求P(4UB)、P(而).

【詳解】A：由BU4,則P(A8)=P(B)=0.3,正確;

B：由貝UPQlUB)=P(A)=0.4,正確；

C：如果A與B相互獨(dú)立，則P(4B)=P(A)P(B)=0.12,

P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.58,錯(cuò)誤；

D：由C分析及事件關(guān)系知：P(而)=1-P(4UB)=0.42,正確.

故選：ABD.

13.甲袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些小球除顏色外完全

相同.從甲、乙兩袋中各任取1個(gè)球，則下列結(jié)論正確的是()

A.2個(gè)球都是黑球的概率為:B.2個(gè)球都是白球的概率為:

C.1個(gè)黑球1個(gè)白球的概率為:D.2個(gè)球中最多有1個(gè)黑球的概率為|

【答案】ABD

【分析】分別計(jì)算出從甲袋和乙袋中任取1個(gè)球，該球?yàn)楹谇蚧虬浊虻母怕?，然后利用?dú)立

事件、互斥事件的概率公式可判斷各選項(xiàng).

【詳解】從甲袋中任取1個(gè)球，該球?yàn)楹谇虻母怕蕿?該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?=

4242

從乙袋中任取1個(gè)球，該球?yàn)楹谇虻母怕蕿樵撉驗(yàn)榘浊虻母怕蕿?/p>

對(duì)于A選項(xiàng)，2個(gè)球都是黑球的概率為：x|=%A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，2個(gè)球都是白球的概率為；x；=B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，1個(gè)黑球1個(gè)白球的概率為:x[+；x|=}C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，2個(gè)球中最多只有1個(gè)黑球的概率為|x：+Tx!+：x|=|,D對(duì).

故選：ABD.

14.若在同等條件下進(jìn)行71次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件4發(fā)生的頻率f5),則隨著的逐漸增加,

下列說法不正確的是()

A./(n)與某個(gè)常數(shù)相等

B./(n)與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小

C./"(n)與某個(gè)常數(shù)差的絕對(duì)值逐漸減小

D./(n)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定

【答案】ABC

【分析】由概率的定義知，事件A發(fā)生的頻率/(n)在概率附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定.

【詳解】隨著n的增大，頻率八n)會(huì)在概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系，

故A、B、C錯(cuò)誤，D正確，

故選：ABC.

三、填空題

15.圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載"堯造圍棋，丹朱善之"，圍棋至今已有四千

多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5

位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和

乙在同一個(gè)小組的概率為.

【答案】|/0.4

【分析】先求出5位選手分成兩組的分法，再求甲和乙在同一個(gè)小組的分法，根據(jù)古典概率

可得答案.

[詳解】設(shè)甲乙等5人的代號(hào)分別為4B.C.D,E;

總的分組方法有：

(48,CDE),{AC,BDE),(AD,BCE),(AE,BCD),(BC,ADE),(BD,ACE),(BE,ACD),

(CD,ABE),(CE,ABD),(DE,ABC)共10種；

甲乙在同一小組的有.：(AB,CDE),(CD,ABE),(CE,ABD),(DE.ABC)^4；

所以甲和乙在同一個(gè)小組的概率為卷=|.

故答案為：|.

16.某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)事件該家庭中有

男孩、又有女孩，事件N：該家庭中最多有一個(gè)女孩，則下列說法正確的是.

①若該家庭中有兩個(gè)小孩，則“與N互斥；②若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N不

相互獨(dú)立；

③若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N不互斥；④若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相

互獨(dú)立.

【答案】②③④

【分析】若該家庭中有兩個(gè)小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間即可判斷①②；若該家庭中有三個(gè)

小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間判斷③④作答.

【詳解】若該家庭中有兩個(gè)小孩，樣本空間為Q=｛（男，男）,（男，女）,（女，男）,（女，女）｝,

M=｛（男，女）,（女，男）［N=｛（男，男）,（男，女）,（女，男）｝,心=｛（男,女）,（女,男）｝,

則M與N不互斥，①錯(cuò)誤；

P（M）=｝P（N）=*=I，則P（MN）HP（M）P（N）,所以M與N不相互獨(dú)立，（2）

正確；

若該家庭中有三個(gè)小孩，

樣本空間為a=｛（男，男，男）,（男，男，女）,（男，女，男）,（女，男，男）,（男，女，女）,（女，男，女）,（女女男）,（女,

女，女）｝，

M=｛（男，男，女）,（男，女，男）,（女，男，男）,（男，女，女）,（女，男，女）,（女，女，男）｝,

N=｛（男，男，男）,（男，男，女）,（男，女，男）,（女，男，男）｝,

MN=｛（男，男，女）,（男，女，男）,（女，男，男）｝,則M與N不互斥，③正確；

p（M）=jP（N）=5P（MN）=|,于是P（MN）=所以M與N相互獨(dú)立，④

正確.

所以說法正確的是②③④.

故答案為：②③④

17.拋擲甲乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)分別為x,y,樣本空間為Q=｛（x,y）|xyGN*,x,yS6｝,

點(diǎn)數(shù)之和為X,事件P="X=4",事件Q=｛（1,3）｝,則事件尸與事件。的關(guān)系是.

【答案】QJP

【分析】先求出事件P,再判斷事件P與事件Q的關(guān)系即可.

【詳解】事件P=｛（1,3）,（2,2）,（3,1）｝,事件Q=｛（1,3）｝,-.QuP.

故答案為：QUP

18.在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個(gè)，除顏色外其他完全相

同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%,則口

袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是個(gè).

【答案】15

【分析】求出摸到白球的頻率，從而得到白色球的可能個(gè)數(shù).

【詳解】?.?摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%,

摸到白球的頻率為1一30%-40%=30%,

故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是50x30%=15個(gè).

故答案為：15

四、解答題

19.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下表:

投籃次數(shù)8101520304050

進(jìn)球次數(shù)681217253239

進(jìn)球頻率

⑴計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；

(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是多少？

⑶這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投中8次嗎?

【答案】⑴詳見解析；

(2)0.8

⑶不一?定

【分析】(1)利用頻率公式即可求得表中進(jìn)球的頻率;

(2)利用頻率與概率的關(guān)系即可估計(jì)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次進(jìn)球的概率;

(3)依據(jù)概率的定義即可得到他投10次籃不一定能投中8次.

【詳解】(1)表中進(jìn)球的頻率分別為:

6812172553239

。.75,正0-8<15=°-8>20=0-85<30=6<400.8,—=0.78

8

(2)由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動(dòng),

故這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是0.8.

(3)不一定，一名運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性，

他在10次一組的投籃中，可能均會(huì)投中8次.

20.甲，乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分.已

知甲，乙共進(jìn)行了三局比賽.如果甲乙二人進(jìn)行三局兩勝制的比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的

概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)：用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù),

當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)4或5時(shí)，表示一局比賽

乙獲勝.由于要比賽三局，所以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

123344423114423453354332125342

534443541512152432334151314525

⑴用以上隨機(jī)數(shù)估計(jì)甲獲勝概率的近似值；

（2）計(jì)算甲獲勝的概率.

【答案】⑴0.65

（2）0.648

【分析】（1）由頻率可得到概率估計(jì)值；

（2）事件“甲獲勝"可分類為：第一次和第二次比賽勝利；第一次比賽失敗，第二、三次比

賽勝利；第一、三次比賽勝利，第二次比賽失敗.

【詳解】（1）設(shè)事件4為“甲獲勝"，

計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的20個(gè)隨機(jī)數(shù)相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，其中事件4發(fā)生了13次：

對(duì)應(yīng)的數(shù)組為：123,423,114,423,332,125,342,512,152,432,334,151,314,

用頻率估計(jì)事件4的概率近似值為PQ4）=及=0.65；

（2）設(shè)事件4為第i局"甲獲勝”，貝中（4）=0.6,

4=4遇2+必&4+

根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性定義，得

P（4）=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4x0.6=0.648.

21.2021年元月10B,河北省石家莊某醫(yī)院為確診新型冠狀病毒肺炎患者，需要檢測(cè)核酸

是否為陽性，現(xiàn)有〃份（neN*）核酸樣本，有以下兩種檢測(cè)方式：（1）逐份核酸檢測(cè)"次;

（2）混合檢測(cè)，將其中k（k€N*,kN2）份核酸樣本分別取樣混合在一起進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)

結(jié)果為陰性，則這4份核酸樣本全部為陰性，因而這4份核酸樣本只要檢測(cè)一次就夠了，如

果檢測(cè)結(jié)果為陽性，說明這k份核酸樣本中存在陽性，為了弄清這A份核酸樣本中，哪些是

陽性，就要對(duì)這上份核酸樣本逐份檢測(cè)，此時(shí)這大份核酸樣本檢測(cè)總次數(shù)為我+1次.假設(shè)在

接受檢測(cè)的核酸樣本中每份樣本檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽性都是相互獨(dú)立的.假設(shè)有5份核酸

樣本，已知其中只有2份為陽性.

⑴若采用兩種核酸檢測(cè)方式檢測(cè)，問最多經(jīng)過幾次檢測(cè)就可以找到全部的陽性樣本？

⑵從這5份核酸樣本中隨機(jī)抽取2份，求至少抽取到一份為陽性樣本的概率.

【答案】⑴5次

⑵看

【分析】（1）根據(jù)題意，直接分析求解即可;

(2)根據(jù)古典概率模型列舉基本事件，根據(jù)公式求解即可：

【詳解】(1)解：有5份核酸樣本，若采用逐份檢測(cè)，最多經(jīng)過4次可找到全部2份陽性核

酸樣本；

若采用第二種檢測(cè)方法，根據(jù)題意，最多經(jīng)過5次可找到全部2份陽性核酸樣本，

綜上知，最多經(jīng)過5次可找到全部2份陽性核酸樣本.

(2)解：分別用A,B.C表示陰性樣本，D,E表示陽性樣本，

基本事件為：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10種

至少抽取到一份為陽性樣本的基本事件有AD,AE,BD,BE,CD,CE,DE,共7種

所以，所求概率為

22.為預(yù)防甲型H1N1病毒暴發(fā)，某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測(cè)試該疫苗的

有效性(若疫苗有效的概率小于90%,則認(rèn)為測(cè)試沒有通過)，公司選定2000個(gè)流感樣本分

成三組，測(cè)試結(jié)果如下表：

A組B組C組

疫苗有效673Xy

疫苗無效7790Z

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到8組疫苗有效的概率是0.33.

⑴求x的值；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個(gè)測(cè)試結(jié)果，問應(yīng)在C組抽取多少個(gè)？

(3)已知y>465,z>25,求不能通過測(cè)試的概率.

【答案】⑴攵=660

⑵90

嗚

【分析】⑴根據(jù)概率與頻率的關(guān)系求解；(2)根據(jù)分層抽樣的抽取方法求解；⑶利用古典概

率模型求解.

【詳解】(1)因?yàn)樵谌w樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，

抽到B組疫苗有效的概率是嬴=0.33,所以x=660.

(2)C組的樣本個(gè)數(shù)為y+z=2000-(673+77+660+90)=500,

所以應(yīng)在C組抽取360X—=90.

2000

(3)由(2)可知，y+z=500,且y,z€N,

所以樣本空間包含的基本事件有：(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),

(471,29),(472,28),(473,27),(474,26),(475,25),共有11個(gè),

若測(cè)試不能通過，則77+90+z>2000x0.1,解得z>33,

所以包含的樣本點(diǎn)由(465,35),(466,34)共2個(gè)，

所以不能通過測(cè)試的概率為高

牌能力提升可

23.如圖，某系統(tǒng)由A,B,C,。四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且

零件A,B,C,。正常工作的概率都為p(0<p<1),則該系統(tǒng)正常工作的概率為()

A.[1—(l-p)p2如B.[1—p(l—p2)]p

C.[l-(l-p)(l-p2)]pD.[l-(l-p)2p]p

【答案】C

【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正?；蛘逤正常，D必須正常，然后利用獨(dú)立事

件，對(duì)立事件概率公式計(jì)算.

[詳解】記零件或系統(tǒng)X能正常工作的概率為P(X),

該系統(tǒng)正常工作的概率為:PUG48)uc]n0]=P[Q4B)UC]P(D)

=[1-P(而)P(G]P(D)=(1-P(AU司P(G)P(。)

=[1-(1-PG4B))(1-P(C))]P(D)=[l-(l-p2)(l-p)]p,

故選：c.

24.獨(dú)立地重復(fù)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)n(n€N*,nN1)次，設(shè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率為f(n),隨機(jī)事

件4發(fā)生的概率為P,有如下兩個(gè)判斷：①如果｛/(n)|neN*,n21｝是單元素集，貝IJP=1；

②集合1｝不可能只含有兩個(gè)元素，其中()

A.①正確，②正確B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①正確，②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

【答案】B

【分析】對(duì)于①，舉反例可判斷①的正誤；對(duì)于②，利用頻率與概率的關(guān)系可判斷②正

誤，即可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①，比如定義隨機(jī)試驗(yàn)：從10個(gè)紅球中任意抽取3個(gè)球，

定義隨機(jī)事件A三個(gè)球中有一個(gè)白球，則P=0,且｛/(n)|n€N*,n21｝=｛0｝,①錯(cuò)；

對(duì)于②，頻率會(huì)隨著試驗(yàn)的變化而變化，是一個(gè)變化的值，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率

會(huì)接近于概率，

因此，{/(n)|neN*,n21}不可能只含有兩個(gè)元素，②對(duì).

故選：B.

25.兩個(gè)黑幫幫主甲和乙決定以如下方式?jīng)Q斗：甲帶了一名手下4,而乙?guī)Я藘擅窒翨和

C,規(guī)定任意一名手下向敵方成員開槍時(shí)，會(huì)隨機(jī)命中敵方的一個(gè)尚未倒下的人，且命中每

個(gè)人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就會(huì)倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被

命中兩次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，決斗立刻結(jié)束，未倒下的一人勝出.決斗開

始時(shí)，A先向敵方成員開槍，之后若B未倒下，則B向敵方成員開槍，之后按C,A,B,C,

A,B,......的順序依次進(jìn)行，則甲最終獲勝的概率是()

A.—B.—C.-D.-

183649

【答案】A

【分析】分析按被擊中順序來表示的甲獲勝的事件，分別求出概率，利用互斥事件概率加法

公式求和得解.

【詳解】對(duì)于甲來說，一旦唯一一名手下A被擊斃，則甲方必?cái)?，同理，若乙方B、

C兩名手下被擊斃，則乙方必?cái)?題目定義開槍順序是三名手下輪流開槍，甲與乙不參與開

槍)，按照被擊中的順序表示事件，易知甲獲勝的方式有如下幾種：

乙甲甲乙，B甲C,C甲B,B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分別記為丹。=1,2,3,4,5),

所以甲最終獲勝的概率是P=(+^x2+^x2

36122418

故選:A

26.已知A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，"A,B,C兩兩獨(dú)立"是"PQ4BC)=P(4)P(B)P(C)”的

()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】D

【分析】舉特例驗(yàn)證即可.

【詳解】解析：一方面，考慮。={a,b,c,d}含有等可能的樣本點(diǎn)，A=[a,b],B={a,c},C=

則P(4)=P(B)=P(C)=g,P(AB)=P(BC)=P(4C)=%故兩兩獨(dú)立，但P(ABC)=

；片3故此時(shí)，P(4BC)=P(4)P(B)P(C)不成立.

48

另一方面，考慮。={1,2,3,4,5,6,7,8}含有等可能的樣本點(diǎn)，A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C=

{467,8}.

貝i」P(4)=P(B)=P(C)=2,P(4BC)=-

28

P(4C)=：r；x；,故4c不獨(dú)立，也即48,C兩兩獨(dú)立不成立.

822

綜上，"48,C兩兩獨(dú)立"是"P(4BC)=P(4)P(B)P(C)”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

27.下面給出三個(gè)游戲，袋子中分別裝有若干只有顏色不同的小球(大小，形狀，質(zhì)量等均

一樣)，從袋中無放回地取球，則其中不公平的游戲是.

游戲1游戲2游戲3

球數(shù)3個(gè)黑球和一個(gè)白球一個(gè)黑球和一個(gè)白球2個(gè)黑球和2個(gè)白球

取法取1個(gè)球，再取1個(gè)球取1個(gè)球取1個(gè)球，再取1個(gè)球

取出的兩個(gè)球同色好甲勝取出的球是黑球分甲勝取出的兩個(gè)球同色玲甲勝

勝利

規(guī)則

取出的兩個(gè)球不同色玲乙勝取出的球是白球^乙勝取出的兩個(gè)球不同色好乙勝

【答案】游戲3

【分析】根據(jù)古典概型的概率求解.

【詳解】對(duì)于游戲1,基本事件數(shù)是12種，取出的兩個(gè)球同色即全是黑色有6種，其概率

為：，取出顏色不同的概率也是玄故游戲1公平；

對(duì)于游戲2,基本事件數(shù)是2種，取出黑球是1種，其概率為右取出白球的概率也是%故

游戲2公平；

對(duì)于游戲3,基本事件數(shù)是12種，取出的兩個(gè)球同色即全是白球或黑球有4種，其概率為

取出顏色不同的概率是|,即乙勝的概率大，故游戲3不公平；

故答案為：游戲3

【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

拓展練8

28.某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從

中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40)，…，[80,90],

并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.

0.04

⑴從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；

⑵已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

⑶估計(jì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；

⑷已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試

估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

【答案】⑴0.2

(2)25人

⑶眾數(shù)為75；測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為78.75

(4)3:2

【分析】(1)由對(duì)立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)小

于60的頻率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值；

(2)先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)不小于50的人數(shù)，在

集合題意即可得出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

(3)總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分?jǐn)?shù)區(qū)間的中間值，測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)先得

出從前到后的頻率之和為0.75時(shí)在那個(gè)區(qū)間，在通過頻率求出；

(4)先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)，在通過已知得出樣本中的男女生

比例，即可得出總體中男女生的比例估計(jì).

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：(0.02+0.04+0.02)X10=0.8,

則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：1-0.8=0.2,

故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)為0.2；

(2)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為:(0.01+0.