第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分

1二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的概念第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束不定積分的概念與性質2一、原函數與不定積分的概念引例:

一個質量為m

的質點,下沿直線運動,在變力試求質點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結束根據牛頓第二定律,加速度因此問題轉化為:已知求3機動目錄上頁下頁返回結束在區(qū)間

I

上的一個原函數.定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足則稱F(x)為f(x)問題:

1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.若原函數存在,它如何表示?4

定理.

存在原函數.初等函數在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數在定義區(qū)間上有原函數機動目錄上頁下頁返回結束5定理.

原函數都在函數族(C為任意常數)內.機動目錄上頁下頁返回結束—積分號;—被積函數;—被積表達式.—積分變量;定義2.

在區(qū)間

I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中記作常數C不能丟掉若則(C為任意常數)6不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結束的積分曲線

.7例1.設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結束8第二節(jié)不定積分的概念與性質9二、基本積分表p170-171從不定積分定義可知:或或機動目錄上頁下頁返回結束10例2.求例3.

求機動目錄上頁下頁返回結束11三、不定積分的性質推論:

若則機動目錄上頁下頁返回結束12例4.求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結束13例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束14例7.

求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結束15內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不定積分的性質?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數公式,積分性質機動目錄上頁下頁返回結束16思考與練習1.

若提示:機動目錄上頁下頁返回結束172.

若是的原函數,則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結束183.

若的導函數為則的一個原函數是().提示:已知求即B??或由題意其原函數為機動目錄上頁下頁返回結束194.

求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結束205.

求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結束216.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導,得機動目錄上頁下頁返回結束22二、第二類換元法第三節(jié)一、第一類換元法機動目錄上頁下頁返回結束換元積分法

第四章

23第二類換元法第一類換元法基本思路

機動目錄上頁下頁返回結束設可導,則有24一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結束25例1.

求解:

令則故原式

=注:

當時機動目錄上頁下頁返回結束26例2.求解:令則機動目錄上頁下頁返回結束27例3.求解:機動目錄上頁下頁返回結束28例4.求解:機動目錄上頁下頁返回結束類似29例5.求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束3031例6.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束32例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束33例9.求解法1解法2兩法結果一樣機動目錄上頁下頁返回結束34例10.

求機動目錄上頁下頁返回結束35例11.

求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結束36例12.求解:機動目錄上頁下頁返回結束37例13.

求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束38例14.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束分析:

391.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結束思考與練習40二、第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，41定理2.

設是單調可導函數,且具有原函數,機動目錄上頁下頁返回結束則有換元公式42例16.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束43例17.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束44例18.求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束45令于是機動目錄上頁下頁返回結束46原式例19.求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結果.機動目錄上頁下頁返回結束47解:

原式機動目錄上頁下頁返回結束例20.

求48例21.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束49例22.求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結束50思考與練習下列積分應如何換元才使積分簡便?令令令機動目錄上頁下頁返回結束51第三節(jié)由導數公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機動目錄上頁下頁返回結束分部積分法

第四章

52例1.求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束53例2.

求解:

令則原式

=機動目錄上頁下頁返回結束54例3.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束55例4.求解:

令,則∴原式再令,則故原式=機動目錄上頁下頁返回結束56解題技巧:把被積函數視為兩個函數之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結束反:反三角函數對:對數函數冪:冪函數指:指數函數三:三角函數57例6.求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束令58例7.已知的一個原函數是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復雜.機動目錄上頁下頁返回結束5960思考與練習下述運算錯在哪里?應如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數族,相減不應為0.求此積分的正確作法是用換元法.機動目錄上頁下頁返回結束61第四節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束有理函數的積分

第四章

62一、有理函數的積分有理函數:時,為假分式;時,為真分式有理函數相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機動目錄上頁下頁返回結束63例1.將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機動目錄上頁下頁返回結束64(2)用賦值法故機動目錄上頁下頁返回結束65(3)混合法機動目錄上頁下頁返回結束原式=66四種典型部分分式的積分:

機動目錄上頁下頁返回結束變分子為再分項積分67例2.求解:

已知例1(3)目錄上頁下頁返回結束68例3.求解:

原式機動目錄上頁下頁返回結束69例4.求解:機動目錄上頁下頁返回結束說明:

將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據被積函數的結構尋求簡便的方法.70例5.求解:原式機動目錄上頁下頁返回結束71二.簡單無理函數的積分被積函數為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數的積分.例如:機動目錄上頁下頁返回結束令令令72例6.求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束73例7.求解:

為去掉被積函數分母中的根式,取根指數2,3的最小公倍數6,則有原式令機動目錄