高考小題突破5空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判斷例1(1)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是(

)A.若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γ B.若m⊥α,n⊥α,則m∥nC.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n D.若m∥α,n∥α,則m∥nB解析

若α⊥β,β⊥γ,則α,γ可以平行、相交,故A錯(cuò)誤;若m⊥α,n⊥α,則m∥n,故B正確;由α⊥β,m?α,n?β推不出m⊥n,故C錯(cuò)誤;若m∥α,n∥α,則m,n可以平行、相交、異面,故D錯(cuò)誤.故選B.(2)(2020全國(guó)Ⅱ,文16)設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是

.

①p1∧p4

②p1∧p2

③(?p2)∨p3④(?p3)∨(?p4)①③④解析

∵p1,p4為真命題,p2,p3為假命題,∴?p2,?p3為真命題,∴p1∧p4為真命題,p1∧p2為假命題,(?p2)∨p3為真命題,(?p3)∨(?p4)為真命題.故填①③④.解題技巧

判斷空間位置關(guān)系的三種方法

定理法借助空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行邏輯推理判斷反證法當(dāng)從正面入手較難時(shí),可用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題,進(jìn)而作出判斷模型法借助空間幾何體模型,如借助長(zhǎng)方體、正四面體等幾何體模型觀察線面關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行肯定或否定C解析A選項(xiàng),當(dāng)n∥l時(shí),直線m可能不垂直于平面α,A錯(cuò)誤;B選項(xiàng)顯然錯(cuò)誤;C選項(xiàng),由線面垂直的性質(zhì)可知,當(dāng)m∥n,n⊥α?xí)r,必有m⊥α,C正確;D選項(xiàng),當(dāng)m∥α,n?α?xí)r,顯然也可以有m⊥n,D錯(cuò)誤.故選C.(2)(2023江西九江二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是BC1的中點(diǎn),則直線DM與A1C的位置關(guān)系是(

)A.異面垂直

B.相交垂直C.異面不垂直

D.相交不垂直B解析

如圖,連接B1C,A1D.因?yàn)锳1B1∥CD,且A1B1=CD,所以四邊形A1B1CD為平行四邊形,故B1C∥A1D.又M∈B1C,則DM與A1C共面且相交.設(shè)DM與A1C相交于點(diǎn)E.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則考點(diǎn)二求空間角例2(1)(2023吉林長(zhǎng)春統(tǒng)考三模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線A1D與D1C所成的角為(

)C解析

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接A1B,則A1B∥D1C,所以A1D與A1B所成的角等于異面直線A1D與D1C所成的角.連接BD,因?yàn)椤鰽1BD為正三角形,所以A1D與A1B所成的角為

.故選C.(2)(2023陜西榆林二模)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,2BB1=3AB,D是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱CC1上,且CC1=3CE,則異面直線A1D與B1E所成角的余弦值是(

)B解析

(方法一)取BB1靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F,取B1C1的中點(diǎn)H,取B1F的中點(diǎn)G,連接A1H,DH,A1F,DF.由已知CE=CC1=BB1=B1G,又CE∥B1G,所以四邊形CEB1G是平行四邊形,所以B1E∥CG.同時(shí)可得點(diǎn)F是BG的中點(diǎn),而點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以DF∥CG.所以DF∥B1E,則∠A1DF是異面直線A1D與B1E所成的角或其補(bǔ)角.又DH∥CC1,CC1⊥平面A1B1C1,則DH⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1H?平面A1B1C1,則DH⊥A1H.設(shè)AB=4,則BB1=6,從而規(guī)律方法

1.求異面直線所成角的思路是通過(guò)平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角.2.平移線段的方法有:利用三角形的中位線平移;利用平行四邊形平移;利用補(bǔ)形平移;利用平行線分線段成比例的推論的逆定理平移.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2023陜西商洛一模)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E為B1C1的中點(diǎn),則異面直線BD與CE所成角的余弦值為(

)C解析

取C1D1的中點(diǎn)F,連接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)?2)(2023安徽江南十校聯(lián)考一)在一個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱AA1,CC1的中點(diǎn),過(guò)D1,E,F三點(diǎn)的平面與平面ABCD的交線為l,則直線l與直線AD1所成的角為(

)A解析

如圖所示,在平面AA1D1D中,連接D1E與DA交于點(diǎn)H,則HA=AD.在平面CC1D1D中,連接