習題四A組1．填空題(1)設，，，且，則=．解由得．(2)單個向量線性無關的充分必要條件是．解．(3)已知向量組,，線性相關，則．解因為，所以．(4)設有向量組，又，，，則向量組線性．解可由線性表示，所以的秩小于等于2，從而可知線性相關．(5)若向量組線性相關，則向量組，，線性．解因為，又，所以矩陣可逆，從而，即與等價．故，線性相關．(6)設行向量組，，，線性相關，且，則．解．(7)設向量組線性無關，則必滿足關系式．解．(8)設三階矩陣，三維列向量．已知與線性相關，則．解．2．選擇題(1)維向量組(3≤s≤n)線性無關的充分必要條件是．(A)存在一組全為零的數(shù)，使；(B)存在一組不全為零的數(shù)，使；(C)中任意兩個向量都線性無關；(D)中任意一個向量都不能由其余向量線性表示．答（D）．線性相關的充分必要條件是：中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．所以線性無關的充分必要條件是：中任意一個向量都不能由其余個向量線性表示．(2)設有兩個維向量組、，若存在兩組不全為零的數(shù)；，使；則．(A)，線性相關；(B)、均線性無關；(C)、均線性相關；(D)，線性無關．答（A）．因為，，所以線性相關．(3)設向量組和向量組為兩個維向量組()，且則有．(A)的秩小于的秩；(B)的秩大于的秩；(C)的秩等于的秩；(D)無法判定．答（C）．因為，又，所以有，即與等價，從而知與的秩相等．(4)設有兩個維向量組和均線性無關，則向量組．(A)線性相關；(B)線性無關；(C)可能線性相關也可能線性無關；(D)既不線性相關，也不線性無關．答（C）．例如，，則和都線性無關，但線性相關．又如，則和都線性無關，也線性無關．(5)設有向量組與均線性無關，且向量組中的每個向量都不能由向量組線性表示，同時量組中的每個向量也不能由向量組線性表示，則向量組的線性相關性為．(A)線性相關；(B)線性無關；(C)可能線性相關也可能線性無關；(D)既不線性相關，也不線性無關．答（C）．例如，當則和都線性無關，且不能由線性表示，也不能由線性表示．但，線性相關．又例如則和都線性無關，且不能由線性表示，也不能由線性表示．但，線性無關．(6)設向量組I:可由向量組Ⅱ:線性表示，則．（A）當時，向量組II必線性相關；（B）當時，向量組II必線性相關；（C）當時，向量組I必線性相關；（D）當時，向量組I必線性相關．答（D）．(7)設均為維向量，下列結論不正確的是．(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關；(B)若線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有；(C)線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為；(D)線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關．答（B）．(8)設,為滿足的任意兩個非零矩陣，則必有．(A)的列向量組線性相關，的行向量組線性相關；(B)的列向量組線性相關，的列向量組線性相關；(C)的行向量組線性相關，的行向量組線性相關；(D)的行向量組線性相關，的列向量組線性相關．答（A）．3．將表示為的線性組合.(1)，，，；(2)，，，．解（1）令，即．因為，所以由Cramer法則，得，故．（2）令，即．因為，所以由Cramer法則，得．故．4．已知向量組線性無關，且，，…，．證明當r為奇數(shù)時線性無關；當r為偶數(shù)時線性相關．解令，得，．因為線性無關，所以有該方程組的系數(shù)行列為當為奇數(shù)時，方程組只有零解，即線性無關；當為偶數(shù)時，方程組有非零解，即線性相關．5．已知線性無關，且，，…，，證明線性無關．證明因為，可逆，即．從而與等價，于是得線性無關．6．設有兩個維向量組，，其中，而是這個自然數(shù)的某個排列，證明向量組與向量組的線性相關性相同．證明令，即上下交換方程，可得即．因為與同解，所以與的線性相關性相同．7．個維向量的每個向量添上個分量，成為個維向量．若個維向量線性無關，證明個維向量亦線性無關．證明設有個維向量，因為線性無關，所以當時，有且僅有，即方程組只有零解，從而方程組也只有零解．令則當時，有，所以線性無關．8．判別下列向量組的線性相關性．(1)，，；(2)，，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，．解（1）因為，所以（1，1，0），（0，1，1），（3，0，0）線性無關．（2）4個3維向量一定線性相關．（3）3個2維向量也一定線性相關．（4）因為，所以，所以向量組的秩也等于2，故3個向量線性相關．（5）因為在矩陣中，有一個3階子式，所以3個向量線性無關．9．利用初等行變換，求下列矩陣的列向量組的最大無關組．（1）；（2）．解（1）因為，所以或是最大無關組．（2）因為，所以或或是最大無關組．10．求下列向量組的秩，并求一個最大無關組．（1）；（2）．解（1）因為，所以向量組的秩等于2．或都是最大無關組．（2）因為，所以向量組的秩等于2．或都是最大無關組．也是最大無關組．11．已知維單位坐標向量可由維向量組線性表示，證明線性無關．證明因為可由線性表示，所以的秩小于或等于的秩，即的秩大于或等于，從而可得的秩等于．故線性無關．12．證明維向量組線性無關的充分必要條件是，任一維向量都可由線性表示．證明必要性．已知線性無關，又對于任意維向量a，有線性相關，所以a可以線性表示（且表示式惟一）．充分性．根據(jù)已知可得，可由線性表示，所以由11題可知，線性無關．13．向量組的秩為，向量組的秩為，向量組的秩為，證明．證明因為可由線性表示，又也可由線性表示，所以得且，即．設的最大無關組為，的最大無關組為，則，可由線性表示，所以．14．設是同型矩陣，證明．證明將同型矩陣，表示為則．因為可由，線性表示，所以的秩小于或等于，的秩．又根據(jù)13題可知，的秩小于或等于的秩與的秩之和，所以．15．判別下列向量集合是否為向量空間？為什么？(1)；(2)；(3)．解（1）是向量空間．因為任取，，，則．由于，故．又當為任意實數(shù)時，，由于，故．（2）V不是向量空間．因為，若，則有，且．對于，有，其中，故．（3）是向量空間．因為任取，則有，，且，．于是，且，所以．又當，為任意實數(shù)，則有，且，所以．16．證明由所生成的向量空間就是．證明設所生成的向量空間為．任取，則有，使得．可知，從而得．又任取，則線性相關，又因為線性無關，所以可用線性表示且表示式惟一，即有惟一的，使得．從而可知，于是得．綜上可知．17．設V1是由，所生成的向量空間，V2是由，所生成的向量空間，試證V1=V2．證明因為，可見，及都線性無關，但和都線性相關，且和也都線性相關，即可由線性表示，也可由線性表示，所以與等價，從而．18．驗證，，為的一個基，并求在這個基下的坐標．解因為所以線性無關，故是的基．對于，令，則有解之得，所以在基下的坐標是．B組1．已知向量組線性相關，向量組線性無關，證明(1)可由線性表示；(2)不能由線性表示．證明（1）因為線性無關，所以線性無關；又因為線性相關，所以可由線性表示（且表示式惟一）．（2）反證法，假設可由線性表示，又由（1）知，可由線性表示．所以可由線性表示，這與線性無關相矛盾．于是得不能由線性表示．2．設是階方陣，是維列向量，且，，，．證明線性無關．證明根據(jù)已知條件，得，設，上式兩邊左乘，得，上式兩邊再左乘得，因為，所以得．又由及可得，，所以線性無關．3．設線性無關，，其中，證明線性無關．證明令，則由，得，從而有因為，所以得，根據(jù)上述方程組又可得，即線性無關．4．設向量組線性無關，向量可由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示．證明向量組線性無關(其中為常數(shù))．證明若線性相關，而線性無關，由定理２可知可由線性表示，矛盾．所以線性無關．因為可由線性表示，所以有一組數(shù)使．又令，則有，從而有解之得，，所以線性無關．5．設有一個含個向量的向量組(m≥2),且，證明向量組線性無關的充分必要條件是線性無關．證明因為又，于是有即與等價．故與的線性相關性相同，即線性無關的充分必要條件為線性無關．6．設向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且向量組線性無關，證明向量組線性無關的充分必要條件是矩陣的秩．證明令，，并將按列分塊為．必要性．由于組向量線性無關，有故．充分性．設有一組數(shù)使，則有而線性無關，所以，即，而線性無關，故．說明線性無關．7．設有兩個向量組；，,…,，，證明向量組的秩等于向量組的秩．證明因為，由于，所以，即與等價，所以與有相同的秩．8．設是階方陣，是維列向量，若,，試證,,,…,線性無關()．證明因為，所以．令，上式兩邊左乘，則有．因為，所以，從而有，上式兩邊左乘，則有，從而，又得．以此類推，還可以得，所以線性無關．9．已知向量組的秩為3，向量組的秩為3，而向量組的秩為4．證明向量組的秩為4．證明因為的秩為3，所以線性無關．又由的秩為3，可得線性相關．故可由線性表示，即存在一組數(shù)．使．令，則有，得．因為的秩為4，所以線性無關．從而有解之得．于是可知線性無關．10．已知向量組中任一向量都不是它前面i-1個向量的線性組合，且，證明的秩為．證明令．首先證明．反證法，假設，則有．這與題設矛盾．所以得．同理可證，最后得．又因為，所以又得．綜上得，故線性無關，即的秩為．11．設；都是維空間V的基．證明W是V的子空間．證明任取，則有因為是維向量，所以也是維向量，即，故．又設，則有且，且，從而，且，于是可知．又對于及實數(shù)，有且，從而且，即．所以W是向量空間，且是V的子空間．線性代數(shù)練習題第四章向量組的線性相關性系專業(yè)班姓名學號第一節(jié)向量組及其線性組合第二節(jié)向量組的線性相關性一．選擇題1．n維向量線性相關的充分必要條件是[D]（A）對于任何一組不全為零的數(shù)組都有（B）中任何個向量線性相關（C）設，非齊次線性方程組有唯一解（D）設，A的行秩＜s.2．若向量組線性無關，向量組線性相關，則[C]（A）必可由線性表示（B）必不可由線性表示（C）必可由線性表示（D）比不可由線性表示二．填空題：設則設，其中，，則已知線性相關，則2設向量組線性無關，則滿足關系式三．計算題：設向量，，，，試問當為何值時（1）可由線性表示，且表示式是唯一？（2）可由線性表示，且表示式不唯一？（3）不能由線性表示？線性代數(shù)練習題第四章向量組的線性相關性系專業(yè)班姓名學號第三節(jié)向量組的秩一．選擇題：1．已知向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是[C]（A）（B）（C）（D）2．設向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（Ⅰ）：線性表示，記向量組（Ⅱ）：，則[B]（A）不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）線性表示（B）不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示（C）可由（Ⅰ）線性表示，也可由（Ⅱ）線性表示（D）可由（Ⅰ）線性表示，但不可由（Ⅱ）線性表示3．設n維向量組的秩為3，則[C]（A）中任意3個向量線性無關（B）中無零向量（C）中任意4個向量線性相關（D）中任意兩個向量線性無關4．設n維向量組的秩為，則[C]（A）若，則任何n維向量都可用線性表示（B）若，則任何n維向量都可用線性表示（C）若，則任何n維向量都可用線性表示（D）若，則二．填空題：1．已知向量組的秩為2，則t=32．已知向量組，，，，則該向量組的秩為2向量組，，，的秩為2，則a