章末小結(jié)一、處理勻變速直線運(yùn)動(dòng)的解題模型和常用方法1．勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題模型eq\x(確定研究對(duì)象)→分析題意，確定研究對(duì)象↓eq\x(畫(huà)運(yùn)動(dòng)草圖)→建立直線坐標(biāo)系，選取正方向，確定加速度方向、位移方向↓eq\x(列運(yùn)動(dòng)方程)→由已知條件及待求量，選擇合適的公式↓eq\x(得出結(jié)論并驗(yàn)證)→統(tǒng)一單位，解方程(或方程組)求未知量，并注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行有關(guān)討論2．解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)的常用方法運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的求解一般有多種方法，除了直接套用基本公式求解外，還有其他一些方法，具體如下：方法分析說(shuō)明一般公式法v＝v0＋atx＝v0t＋eq\f(1,2)at2v2－veq\o\al(2,0)＝2ax使用時(shí)應(yīng)注意它們都是矢量，一般以v0方向?yàn)檎较?，其余物理量與正方向相同者為正，與正方向相反者為負(fù)平均速度法定義式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)對(duì)任何性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)都適用，而eq\x\to(v)＝eq\f(1,2)(v0＋v)只適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)中間時(shí)刻速度法勻變速直線運(yùn)動(dòng)“任一時(shí)間段t中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間t內(nèi)的平均速度”即veq\s\do7(\f(t,2))＝eq\x\to(v)比例法適用于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)與末速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng)逆向思維法把運(yùn)動(dòng)過(guò)程的“末態(tài)”作為“初態(tài)”的反向研究問(wèn)題的方法，一般用于末態(tài)已知的情況圖像法應(yīng)用v－t圖像，可把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決推論法勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，若出現(xiàn)相等的時(shí)間間隔問(wèn)題，應(yīng)優(yōu)先考慮用Δx＝aT2求解典題1物體以一定的初速度沖上固定的光滑斜面，到達(dá)斜面最高點(diǎn)C時(shí)速度恰好為零，如圖，已知物體運(yùn)動(dòng)到斜面長(zhǎng)度eq\f(3,4)處的B點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間為t，求物體從B滑到C所用的時(shí)間。思路引導(dǎo)：物體上滑過(guò)程是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，可利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律用多種方法求解。解析：逆向思維法(反演法)解法一：物體向上勻減速?zèng)_上斜面，相當(dāng)于向下勻加速滑下斜面。故xBC＝eq\f(at\o\al(2,BC),2)，xAC＝eq\f(a(t＋tBC)2,2)又xBC＝eq\f(xAC,4)，解得tBC＝t。解法二：比例法對(duì)于初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相等的時(shí)間里通過(guò)的位移之比為x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)現(xiàn)有xBC∶xBA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xAC,4)))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3xAC,4)))＝1∶3通過(guò)xAB的時(shí)間為t，故通過(guò)xBC的時(shí)間tBC＝t。解法三：中間時(shí)刻速度法利用教材中的推論：中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段位移的平均速度AC＝eq\f((vt＋v0),2)＝eq\f(v0,2)又veq\o\al(2,0)＝2axAC，veq\o\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq\f(xAC,4)由以上各式解得vB＝eq\f(v0,2)可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B點(diǎn)是中間時(shí)刻的位置。因此有tBC＝t。解法四：圖像法利用相似三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)邊平方比的方法，作出v－t圖像，如圖所示，eq\f(S△AOC,S△BDC)＝eq\f(CO2,CD2)且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC，所以eq\f(4,1)＝eq\f((t＋tBC)2,t\o\al(2,BC))，得tBC＝t。答案：t二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)兩種圖像的意義及應(yīng)用1．直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可用代數(shù)式進(jìn)行描述，也可以用圖像的形式來(lái)描述。研究運(yùn)動(dòng)圖像要從以下幾點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)它的物理意義：(1)從圖像識(shí)別物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。(2)圖像的截距(即圖像與縱軸或橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo))的意義。(3)圖像的斜率的意義。(4)圖像與坐標(biāo)軸所圍面積的物理意義。(5)圖像上任一點(diǎn)的物理意義。2．x－t圖像與v－t圖像的比較如圖1、2和下表是形狀一樣的圖線在x－t圖像與v－t圖像中的比較。x－t圖v－t圖①表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)(斜率表示速度v)①表示物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)(斜率表示加速度a)②表示物體靜止②表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)③表示物體靜止③表示物體靜止④表示物體向負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；初位置為x0④表示物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；初速度為v0⑤交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示此時(shí)刻三個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相遇時(shí)的位置⑤交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示此時(shí)刻三個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的速度相同⑥t1時(shí)刻物體的位置為x1且0～t1時(shí)間內(nèi)物體位移為x1⑥t1時(shí)刻物體速度為v1(圖中陰影部分面積表示質(zhì)點(diǎn)在0～t1時(shí)間內(nèi)的位移)典題2(2023·河南鄭州高一期末)如圖所示，甲圖是x－t圖像，乙圖是v－t圖像，圖中給出的四條曲線1、2、3、4，分別代表四個(gè)不同物體的運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)于它們的物理意義，下列描述正確的是(B)A．兩圖像中，t2、t4時(shí)刻分別表示物體2、物體4已經(jīng)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)B．x－t圖像中0至t1時(shí)間內(nèi)物體1和物體2的平均速度相等C．v－t圖像中0至t3時(shí)間內(nèi)物體3和物體4的平均速率相等D．甲圖的物體做直線運(yùn)動(dòng)，乙圖的物體做曲線運(yùn)動(dòng)解析：兩圖像中，t2時(shí)刻表示物體2已經(jīng)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；t4時(shí)刻，物體4的速度方向仍為正方向，物體4向正方向運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；x－t圖像中0至t1時(shí)間內(nèi)，物體1和物體2的位移相同，根據(jù)＝eq\f(x,t)，可知0至t1時(shí)間內(nèi)物體1和物體2的平均速度相等，故B正確；物體3和物體4均向正方向做直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)v－t圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知，0至t3時(shí)間內(nèi)，物體3通過(guò)的位移小于物體4通過(guò)的位移，則物體3通過(guò)的路程小于物體4通過(guò)的路程，物體3的平均速率小于物體4的平均速率，故C錯(cuò)誤；甲圖的物體做直線運(yùn)動(dòng)，乙圖的物體也做直線運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。三、紙帶問(wèn)題的處理方法1．由紙帶判斷物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：在紙帶上測(cè)出各個(gè)連續(xù)相等的時(shí)間T內(nèi)的位移分別是x1、x2…xn，①如果x1＝x2＝…＝xn，則物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)；②如果x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1≠0，即在連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的位移差相等，據(jù)此可判斷物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；如果不相等，則物體做變加速直線運(yùn)動(dòng)。2．由紙帶求物體運(yùn)動(dòng)的速度：如果物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，x1、x2…xn為其在連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的位移，T為相等時(shí)間間隔值，則紙帶上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度等于以這個(gè)點(diǎn)為中間時(shí)刻的位移內(nèi)的平均速度，即vn＝eq\f(xn＋xn＋1,2T)。3．由紙帶求物體運(yùn)動(dòng)的加速度(1)由圖像求加速度：利用多組數(shù)據(jù)描繪出v－t圖像，則v－t圖線斜率即為物體運(yùn)動(dòng)的加速度。(2)利用逐差法求加速度：如圖所示的紙帶，按時(shí)間順序取0、1、2、3、4、5、6七個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，用刻度尺測(cè)量相鄰兩點(diǎn)之間的距離分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，T為相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔，則物體運(yùn)動(dòng)的加速度a＝eq\f((x4＋x5＋x6)－(x1＋x2＋x3),9T2)。典題3(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特統(tǒng)考期末)在“利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器研究勻加速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)對(duì)同一個(gè)運(yùn)動(dòng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到兩條紙帶。由于打出的點(diǎn)間隔近，該同學(xué)每隔四個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，以便分析計(jì)算。用刻度尺測(cè)量相鄰點(diǎn)計(jì)數(shù)間距，發(fā)現(xiàn)兩條紙帶有一組數(shù)據(jù)不同，如圖所示，已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器電壓220V頻率50Hz，(測(cè)量結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)：(1)通過(guò)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律判斷，測(cè)量錯(cuò)誤的紙帶是甲；(選填“甲”或“乙”)(2)D點(diǎn)速度大小為0.43m/s；(3)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小為0.51m/s2。解析：(1)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移相等，即滿足Δx＝x2－x1＝x3－x2＝……＝xn－xn－1甲紙帶AB段、BC段、CD段、DE段各段與相連的前一段差值均為0.51cm，而甲中EF段與DE段差值為0.62cm，不滿足勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移相等的規(guī)律，故甲紙帶出現(xiàn)測(cè)量錯(cuò)誤。(2)每隔四個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，可知相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)的時(shí)間間隔為T＝5×0.02s＝0.1s選擇乙紙帶研究，D點(diǎn)為CE段中間時(shí)刻，則有vD＝CE＝eq\f(0.0403＋0.0454,0.2)m/s≈0.43m/s。(3)選擇乙紙帶研究，由逐差法可得加速度大小為a＝eq\f(xDF－xBD,(2T)2)＝eq\f((0.0454＋0.0505)－(0.0352＋0.0403),(2×0.1)2)m/s2＝0.51m/s2。一、高考真題探析典題(2022·全國(guó)甲卷)長(zhǎng)為l的高速列車在平直軌道上正常行駛，速率為v0，要通過(guò)前方一長(zhǎng)為L(zhǎng)的隧道，當(dāng)列車的任一部分處于隧道內(nèi)時(shí)，列車速率都不允許超過(guò)v(v<v0)。已知列車加速和減速時(shí)加速度的大小分別為a和2a，則列車從減速開(kāi)始至回到正常行駛速率v0所用時(shí)間至少為(C)A.eq\f(v0－v,2a)＋eq\f(L＋l,v) B．eq\f(v0－v,a)＋eq\f(L＋2l,v)C.eq\f(3(v0－v),2a)＋eq\f(L＋l,v) D．eq\f(3(v0－v),a)＋eq\f(L＋2l,v)試題立意：本題以列車通過(guò)隧道要限速為素材，創(chuàng)設(shè)了求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間的生活實(shí)踐問(wèn)題情境。主要考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)及其公式。關(guān)鍵能力：本題主要考查理解能力和推理論證能力。(1)理解能力序號(hào)關(guān)鍵表述物理量及其關(guān)系1當(dāng)列車的任一部分處于隧道內(nèi)時(shí)，列車速率都不允許超過(guò)v要使時(shí)間最短，則要求減速至v時(shí)車頭剛好到達(dá)隧道入口處；從車頭開(kāi)始進(jìn)入隧道到車尾剛離開(kāi)隧道，列車速率為v，保持不變；車尾離開(kāi)隧道出口時(shí)立即開(kāi)始加速2所用時(shí)間至少為(2)推理論證能力列車運(yùn)動(dòng)的示意圖如下圖甲、乙、丙、丁所示。運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)間總時(shí)間甲位置→乙位置勻減速直線運(yùn)動(dòng)t1＝eq\f(v0－v,2a)t＝t1＋t2＋t3＝eq\f(3(v0－v),2a)＋eq\f(L＋l,v)乙位置→丙位置勻速直線運(yùn)動(dòng)t2＝eq\f(L＋l,v)丙位置→丁位置勻加速直線運(yùn)動(dòng)t3＝eq\f(v0－v,a)失分剖析：未理解題意，誤認(rèn)為以速率v勻速運(yùn)動(dòng)的距離為L(zhǎng)。二、臨場(chǎng)真題練兵1．(2022·河北卷)科學(xué)訓(xùn)練可以提升運(yùn)動(dòng)成績(jī)，某短跑運(yùn)動(dòng)員科學(xué)訓(xùn)練前后百米全程測(cè)試中，速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖所示。由圖像可知(D)A．0～t1時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均加速度大B．0～t2時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練前、后運(yùn)動(dòng)員跑過(guò)的距離相等C．t2～t3時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均速度小D．t3時(shí)刻后，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練前做減速運(yùn)動(dòng)，訓(xùn)練后做加速運(yùn)動(dòng)解析：根據(jù)v－t圖像的斜率表示加速度，由題圖可知0～t1時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均加速度比訓(xùn)練前的小，故A錯(cuò)誤；根據(jù)v－t圖像圍成的面積表示位移，由題圖可知0～t2時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練前運(yùn)動(dòng)員跑過(guò)的距離比訓(xùn)練后的大，故B錯(cuò)誤；根據(jù)v－t圖像圍成的面積表示位移，由題圖可知t2～t3時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的位移比訓(xùn)練前的位移大，根據(jù)平均速度等于位移與時(shí)間的比值，可知訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均速度大，故C錯(cuò)誤；根據(jù)v－t圖像可直接判斷，t3時(shí)刻后，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練前速度減小，做減速運(yùn)動(dòng)；t3時(shí)刻后，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練后速度增加，做加速運(yùn)動(dòng)，故D正確。2．(2022·湖北卷)我國(guó)高鐵技術(shù)全球領(lǐng)先，乘高鐵極大節(jié)省了出行時(shí)間。假設(shè)兩火車站W(wǎng)和G間的鐵路里程為1080km，W和G之間還均勻分布了4個(gè)車站。列車從W站始發(fā)，經(jīng)停4站后到達(dá)終點(diǎn)站G。設(shè)普通列車的最高速度為108km/h，高鐵列車的最高速度為324km/h。若普通列車和高鐵列車在進(jìn)站和出站過(guò)程中，加速度大小均為0.5m/s2，其余行駛時(shí)間內(nèi)保持各自的最高速度勻速運(yùn)動(dòng)，兩種列車在每個(gè)車站停車時(shí)間相同，則從W到G乘高鐵列車出行比乘普通列車節(jié)省的時(shí)間為(B)A．6小時(shí)25分鐘 B．6小時(shí)30分鐘C．6小時(shí)35分鐘 D．6小時(shí)40分鐘解析：108km/h＝30m/s,324km/h＝90m/s，由于中間4個(gè)站均勻分布，因此節(jié)省的時(shí)間相當(dāng)于在任意相鄰兩站間節(jié)省的時(shí)間的5倍為總的節(jié)省時(shí)間，相鄰兩站間的距離x＝eq\f(1080×103,5)m＝2.16×105m，普通列車加速時(shí)間t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(30,0.5)s＝60s，加速過(guò)程的位移x1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×0.5×602m＝900m，根據(jù)對(duì)稱性可知加速與減速位移相等，可得勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝eq\f(x－2x1,v)＝eq\f(2.16×105－2×900,30)s＝7140s，同理高鐵列車加速時(shí)間t1′＝eq\f(v1′,a)＝eq\f(90,0.5)s＝180s，加速過(guò)程的位移x1′＝eq\f(1,2)at1′2＝eq\f(1,2)×0.5×1802m＝8100m，根據(jù)對(duì)稱性可知加速與減速位移相等，可得勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2′＝eq\f(x－2x1′,v′)＝eq\f(2.16×105－2×8100,90)s＝2220s，相鄰兩站間節(jié)省的時(shí)間Δt＝(t2＋2t1)－(t2′＋2t1′)＝4680s，因此總的節(jié)省時(shí)間Δt總＝5Δt＝4680×5s＝23400s＝6小時(shí)30分，故選B。3．(2022·全國(guó)乙卷)用雷達(dá)探測(cè)一高速飛行器的位置。從某時(shí)刻(t＝0)開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)，該飛行器可視為沿直線運(yùn)動(dòng)，每隔1s測(cè)量一次其位置，坐標(biāo)為x，結(jié)果如下表所示：t/s0123456x/m050710941759250533294233回答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷該飛行器在這段時(shí)間內(nèi)近似做勻加速運(yùn)動(dòng)，判斷的理由是：相鄰1s內(nèi)的位移之差接近Δx＝80m；(2)當(dāng)x＝507m時(shí)，該飛行器速度的大小v＝547m/s；(3)這段時(shí)間內(nèi)該飛行器加速度的大小a＝79m/s2(保留2位有效數(shù)字)。解析：(1)第1s內(nèi)的位移507m，第2s內(nèi)的位移587m，第3s內(nèi)的位移665m，第4s內(nèi)的位移746m，第5s內(nèi)的位移824m，第6s內(nèi)的位移904m，則相鄰1s內(nèi)的位移之差接近Δx＝80m，可知判斷飛行器在這段時(shí)間內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)x＝507m時(shí)飛行器的速度等于0～2s內(nèi)的平均速度，則v1＝eq\f(1094,2)m/s＝547m/s。(3)根據(jù)a＝eq\f(x36－x03,9T2)＝eq\f(4233－2×1759,9×12)m/s2≈79m/s2。4．(2022·遼寧卷)某同學(xué)利用如圖所示的裝置測(cè)量重力加速度，其中光柵板上交替排列著等寬度的遮光帶和透光帶(寬度用d表示)。實(shí)驗(yàn)時(shí)將光柵板置于光電傳感器上方某高度，令其自由下落穿過(guò)光電傳感器。光電傳感器所連接的計(jì)算機(jī)可連續(xù)記錄遮光帶、透光帶通過(guò)光電傳感器的時(shí)間間隔Δt。(1