關(guān)于射線衍射方向12第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介一、14種布喇菲點陣晶體中原子在三維空間規(guī)則排列的抽象圖形稱空間點陣?？臻g點陣中的陣點不限于原子由基本矢量a、b、c構(gòu)成的平行六面體稱為單位晶胞，如圖2-1所示布喇菲晶胞的選擇原則：最能反映點陣對稱性；

a、b、c相等數(shù)目最多；

、

、

盡可能是直角布喇菲晶胞的特點是幾何關(guān)系和計算公式最簡單圖2-1單位晶胞第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天3一、14種布喇菲點陣自然界的晶體可劃分為7個晶系，每個晶系中最多有4種點陣，在7大晶系中只有14種布喇菲點陣1.立方晶系a=

b

=

c，

=

=

=90圖2-2晶系及布喇菲點陣aaaaaa簡單立方體心立方aaa面心立方第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天4一、14種布喇菲點陣2.正方晶系a=

b

c，

=

=

=90續(xù)圖2-2晶系及布喇菲點陣簡單正方體心正方acaaca第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天5一、14種布喇菲點陣3.正交晶系a

b

c，

=

=

=90續(xù)圖2-2晶系及布喇菲點陣abcabcabcabc簡單正交底心正交體心正交面心正交第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天6一、14種布喇菲點陣4.菱方晶系5.六方晶系

a=b=c，

=

=

90a=b

c，

=

=90，

=120續(xù)圖2-2晶系及布喇菲點陣120

aac簡單六方簡單菱方

aaa

第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天7一、14種布喇菲點陣6.單斜晶系

a

b

c，

=

=

90

續(xù)圖2-2晶系及布喇菲點陣

abc簡單單斜底心單斜

abc第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天8一、14種布喇菲點陣6.三斜晶系

a

b

c，

90

續(xù)圖2-2晶系及布喇菲點陣abc

簡單三斜第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天9二、晶體學(xué)指數(shù)1.晶向指數(shù)晶體點陣中的陣點按一定周期排列，可將點陣分解為任意方向上的、且相互平行的結(jié)點直線簇，陣點等距分布在這些直線上。用晶向指數(shù)[uvw]表示一簇直線，其確定方法如圖2-3所示。若已知直線上任意兩點坐標分別為，

(X1Y1Z1)和(X2Y2Z2)則有圖2-3晶向指數(shù)的確定第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天10二、晶體學(xué)指數(shù)2.晶面指數(shù)可將點陣分解為任意取向的、相互平行的結(jié)點平面簇，不同取向的平面簇具有不同特征。用晶面指數(shù)(hkl)表示一簇平面，

hkl為其在3個坐標軸上截距倒數(shù)比(見圖2-4)，即圖2-4晶面指數(shù)的確定第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天11二、晶體學(xué)指數(shù)3.六方晶系指數(shù)用三指數(shù)表示六方晶系的晶面和晶向時，其缺點是不能直觀地顯示等同晶面和等同晶向關(guān)系。如(100)、(010)和(10)是等同三個柱面，[100]、[010]、[110]實際上是等同晶向上述晶面和晶向若用四指數(shù)可分別表示為，(100)、(010)、(100)，和[20]、[20]、[110]，它們則具有明顯的等同性，可分別歸屬為{100}晶面族和

110晶向族，見圖2-5第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介11111111212第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天12二、晶體學(xué)指數(shù)3.六方晶系指數(shù)若晶面用三指數(shù)表示時為

(hkl)，則相應(yīng)的四數(shù)指為(hkil)，四指數(shù)中前三個指數(shù)只有兩個是獨立的，它們之間的關(guān)系為

i=-(h+k)

有時將i略去，表示為

(hkl)圖2-5六方晶系的晶體學(xué)指數(shù)[20]

11[110]

2第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天13二、晶體學(xué)指數(shù)3.六方晶系指數(shù)四軸晶向指數(shù)確定方法見圖2-6。三指數(shù)[UVW]和四指數(shù)[uvtw]之間的按以下關(guān)系互換

U=

u–t,V=

v–t,W=

w

u

=(2U

–V)/3

v=(2V

–

U)/3

t=-(u

+

v)

w=W圖2-6六方晶系的晶向指數(shù)第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天14三、簡單點陣的晶面間距公式1.正交晶系(2-3)2.正方晶系(2-4)3.立方晶系(2-5)4六方晶系(2-6)第一節(jié)晶體幾何學(xué)簡介第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天15第二節(jié)布拉格方程X射線與原子內(nèi)受束縛較緊的電子相遇時產(chǎn)生的相干散射波，在某些方向相互加強，而在某些方向相互減弱，稱這種散射波干涉的總結(jié)果為衍射X射線學(xué)以X射線在晶體中的衍射現(xiàn)象作為基礎(chǔ)，衍射可歸結(jié)為衍射方向和衍射強度兩方面的問題衍射方向可由勞埃方程或布拉格方程的理論導(dǎo)出勞埃方程在本質(zhì)上解決了X射線衍射方向的問題，但難以直觀地表達三維空間的衍射方向布拉格定律將晶體的衍射看成是晶面簇在特定方向?qū)射線的反射，非常簡單方便第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天16一、布拉格方程的導(dǎo)出如圖2-7，在LL1處為同相位的一束單色平行X射線，以

角照射到原子面AA上，在反射方向到達NN1處為同光程；入射線LM照射到AA晶面的反射線為MN，入射線L1M1照射到相鄰晶面BB的反射線為M2N2，它們到達NN2處的光程差

=

PM2+QM2=2dsin

若X射線波長為

，則相互加強的條件為

2dsin

=

n(2-7)

此式即為著名的布拉格方程圖2-7布拉格方程的導(dǎo)出

第二節(jié)布拉格方程第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天17二、布拉格方程的討論布拉格方程2dsin

=n

中，入射線(或反射線)與晶面間的夾角

稱為掠射角或布拉格角；入射線和衍射線之間的夾角2

稱為衍射角；n稱為反射級數(shù)將衍射看成反射是布拉格方程的基礎(chǔ)。X射線的晶面衍射和光的鏡面反射有所不同，X射線只有在滿足布拉格方程的

方向才能反射，因此稱選擇反射布拉格方程簡單明確地指出獲得X衍射的必要條件和衍射方向，給出了d、

、n和

之間的關(guān)系第二節(jié)布拉格方程第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天18二、布拉格方程的討論1.反射級數(shù)如圖2-8，若X射線照射到晶體的(100)時，恰好能發(fā)生2級反射，則有2d100sin

=2

；設(shè)想在(100)面中間均插入與其完全相同的(200)面，可以把(100)的

2級反射看作是(200)的1級反射，則布拉格方程為2d200sin

=

；又可寫成，2(d100/2)sin

=

，即或(2-10)圖2-82級反射示意圖

第二節(jié)布拉格方程第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天19二、布拉格方程的討論2.干涉面指數(shù)把晶面(hkl)的n級反射面n(hkl)用符號(HKL)表示，稱為反射面或干涉面(hkl)是晶體中實際存在的晶面，

(HKL)只是為了簡化問題而引入的虛擬晶面干涉面指數(shù)稱為干涉指數(shù)，H=nh，K=nk，L=nl，當(dāng)n=1時，干涉面指數(shù)即為晶面指數(shù)在X射線結(jié)構(gòu)分析中，一般使用干涉面的面間距第二節(jié)布拉格方程第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天20二、布拉格方程的討論3.掠射角掠射角

是入射線(或反射線)與晶面間夾角，一般用于表征衍射方向當(dāng)

一定時，d相同的晶面必然在

相同的方向才能獲得反射。用單色X射線照射多晶體時，各晶粒d相同的晶面，其反射方向(

)相同當(dāng)

一定時，

隨d值減小而增大，說明間距較小的晶面對應(yīng)于較大的掠射角，否則其反射線就無法加強第二節(jié)布拉格方程第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天21二、布拉格方程的討論4.衍射極限條件掠射角

極限范圍是0~90，但過大和過小均會造成衍射觀測的困難。由于sin

≤1，使得反射級數(shù)n或干涉面間距d受到限制當(dāng)d一定時，n隨

較小而增大，采用短波長X射線照射，可獲得較高級數(shù)的反射因dsin

=

/2，故d≥

/2，說明只有間距大于或等于X射線半波長的干涉面才能參與反射，采用短波長的X射線照射時，參與反射的干涉面將會增多第二節(jié)布拉格方程第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天22二、布拉格方程的討論5.應(yīng)用布拉格方程是X射線衍射分析中最重要的基礎(chǔ)公式，能簡單方便地說明衍射的基本關(guān)系用已知波長

的X射線照射晶體，通過衍射角2

的測量計算晶體中各晶面的面間距d，這就是X射線結(jié)構(gòu)分析用已知面間距d的晶體反射樣品激發(fā)的X射線，通過衍射角2

的測量計算X射線的波長

，這就是X射線光譜分析第二節(jié)布拉格方程第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天23第二節(jié)布拉格方程三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解圖2-9表明，入射線與衍射線的單位矢量與之差垂直于衍射面，且其絕對值為：，代入布拉格方程得

(2-11)

即矢量ghkl=k-k垂直于衍射面

(hkl)，且絕對值等于晶面間距的倒數(shù)，這一結(jié)果把我們引入一個解決衍射問題的矢量空間

—倒易空間圖2-9入射矢量k與衍射矢量k

的關(guān)系

第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天24三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(一)倒易點陣的定義和性質(zhì)通常把晶體點陣（正點陣）所占據(jù)的空間稱為正空間。所謂倒易點陣，是指在倒空間(量綱為[L]-1)內(nèi)與某一正點陣相對應(yīng)的另一個點陣倒易點陣是愛瓦爾德在1924年建立的一種晶體學(xué)表達方法正點陣和倒易點陣是在正、倒兩個空間內(nèi)相互對應(yīng)的統(tǒng)一體，它們互為倒易而共存

倒易點陣十分巧妙地、正確地反映晶體點陣周期性的物理本質(zhì)，是解析晶體衍射的理論基礎(chǔ)，是衍射分析工作不可缺少的工具第二節(jié)布拉格方程第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天25第二節(jié)布拉格方程三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(一)倒易點陣的定義和性質(zhì)1.倒易點陣的定義設(shè)正點陣的基本矢量為a、b、c，定義相應(yīng)的倒易點陣基本矢量為a*、b*、c*，則有

(2-12)式中，V是正點陣單胞的體積，

第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天26第二節(jié)布拉格方程三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(一)倒易點陣的定義和性質(zhì)2.倒易點陣的性質(zhì)1)倒易點陣基本矢量

(2-13)正倒點陣異名基矢點乘積為0，由此可確定倒易點陣基本矢量的方向

(2-14)正倒點陣同名基矢點乘積為1，由可確定倒易點陣基本矢量的大小，即

(2-15)第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天27第二節(jié)布拉格方程三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(一)倒易點陣的定義和性質(zhì)2.倒易點陣的性質(zhì)2)倒易點陣矢量在倒易空間內(nèi)，由倒易原點O*指向坐標為hkl的陣點矢量稱倒易矢量，記為ghkl

(2-16)倒易矢量ghkl與正點陣中的(hkl)晶面之間的幾何關(guān)系為

(2-17)倒易矢量ghkl可用以表征正點陣中的(hkl)晶面的特性(方位和晶面間距)第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天28三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(一)倒易點陣的定義和性質(zhì)2.倒易點陣的性質(zhì)3)倒易球(多晶體倒易點陣)單晶體的倒易點陣是由三維空間規(guī)則排列的陣點所構(gòu)成，它與相應(yīng)正點陣屬于相同晶系多晶體由無數(shù)取向不同的晶粒組成，其倒易點陣是由一系列不同半徑的同心球面而構(gòu)成多晶體同族{hkl}晶面的倒易矢量在三維空間任意分布，其端點的倒易陣點將落在以O(shè)*為球心、以1/d

hkl(ghkl)為半徑的球面上第二節(jié)布拉格方程第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天29三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(二)愛瓦爾德圖解由(2-11)式可得，

(2-18)此式即為倒易空間的衍射方程容易證明它與布拉格方程是等效的當(dāng)(hkl)面發(fā)生衍射時，其倒易矢量ghkl的

倍等于入射線與衍射線的單位矢量之差

k

k矢量式(2-18)的幾何圖形表達形式，即為愛瓦爾德圖解

第二節(jié)布拉格方程第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天30三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(二)愛瓦爾德圖解如圖2-10，入射矢量的端點指向倒易原點O*，以入射方向上的C點作為球心，半徑為1/

作球，球面過O*，此即為愛瓦爾德(或反射球)

若某倒易點hkl落在反射球面上，該晶面將發(fā)生衍射，衍射線的方向由反射球心指向該倒易點愛瓦爾德圖解可直觀地說明(hkl)

晶面能否發(fā)生衍射、以及衍射線的方向圖2-10愛瓦爾德圖解

第二節(jié)布拉格方程第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天31三、倒易空間的衍射方程及愛瓦爾德圖解(三)晶體衍射花樣的特點1)單晶體衍射花樣用垂直于入射線放置的感光底片記錄，單晶體衍射花樣由規(guī)則排列的衍射斑點組成

2)多晶體衍射花樣如圖2-11，用垂直于入射線的底片記錄，為一系列同心的衍射環(huán)；若用圍繞試樣的條形底片記錄，為一系列衍射弧段；用繞試樣掃描的計數(shù)管接收信號，則為