§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項式§11對稱多項式§3整除的概念§2一元多項式§1數(shù)域§7多項式函數(shù)§9有理系數(shù)多項式§8復、實系數(shù)多項式的因式分解第一章多項式一、一元多項式根與系數(shù)的關(guān)系二、n元對稱多項式§1.11對稱多項式三、一元多項式的判別式——韋達定理設(shè)①

若在上有個根，則②把②展開，與①比較，即得根與系數(shù)的關(guān)系：一、一元多項式根與系數(shù)的關(guān)系（所有可能的i個不同的的積之和），特別地，為其根，則有二、n

元對稱多項式定義設(shè)，若對任意，有則稱該多項式為對稱多項式．

如，下列n個多項式稱為個未定元的初等對稱多項式．1．對稱多項式的和、積仍是對稱多項式；對稱多項式的多項式仍為對稱多項式．則是元對稱多項式．特別地，初等對稱多項式的多項式仍為對稱多項式．若為對稱多項式，為任一多項式，性質(zhì)即，2．對稱多項式基本定理對任一對稱多項式,都有n元多項式

,使得為初等對稱多項式．則必有作對稱多項式設(shè)對稱多項式按字典排列法的首項為證明：再作對稱多項式則的首項為則有比較“小”的首項．對重復上述作法，并依此下去.即有一系列對稱多項式它們的首項一個比一個“小”，所以必終此在有限步．．故存在，使于是這就是一個初等對稱多項式的多項式．上述證明過程實際上是逐步消去首項.逐步消去首項法的一般步驟：則一定有第一步：找出對稱多項式f的首項

,第二步：由

f

的首項寫出

:說明確定它對應(yīng)的指數(shù)組

第三步：作，并展開化簡．如此反復進行，直到出現(xiàn)，則再對按一、二、三步驟進行，構(gòu)造例1.把多項式f表成初等對稱多項式的多項式,令的首項是解:作對稱多項式它所對應(yīng)的指數(shù)組是它所對應(yīng)的數(shù)組是f的首項是

令作對稱多項式所以，令于是對于齊次對稱多項式還可以采用待定系數(shù)法．(設(shè)f是m次齊次對稱多項式)第一步：根據(jù)對稱多項式f首項對應(yīng)的指數(shù)組寫出所有可能的指數(shù)組，且這些指數(shù)組滿足：③前面的指數(shù)組先于后面的指數(shù)組．①②附：待定系數(shù)法的一般步驟：的初等對稱多項式的方冪的乘積：第二步：對每個指數(shù)組，寫出它對應(yīng)第三步：設(shè)出f

由所有初等對稱多項式的方冪乘積的線性表達式，其首項系數(shù)即為f

的首項系數(shù)，其余各項系數(shù)分別用A、B、C、…代替．第四步：分組選取適當?shù)牡闹?，?/p>

算出

及f，性表達式中，得到關(guān)于A、B、C、…的線性方程組，解這個線性方程組求得A、B、C、…的值．最后寫出所求的f的表達式．將之代入第三步中設(shè)出的線例2用待定系數(shù)法把表成初等對稱多項式的多項式．所有不先于的三次指數(shù)組及相應(yīng)的初等對稱解:它所對應(yīng)的數(shù)組是f的首項是多項式方冪的乘積如下表:指數(shù)組

相應(yīng)的初等對稱多項式方冪的乘積這樣，f可表成(1)及f的值如下表:適當選取的值，計算出１１１３３１３１１０２１０２代入（1）式得解之得，所以三、一元多項式的判別式有特殊的重要性．按對稱多項式基本定理知，對稱多項式D可表成由根與系數(shù)的關(guān)系知，的多項式是(2)的根，則多項（