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文檔簡介

第四節(jié)定積分的換元積分法5.3

定積分的換元積分法與分部積分法主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)定積分的分部積分法（會應(yīng)用）定積分的換元積分法（會應(yīng)用）一、定積分的換元積分法定理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)．函數(shù)x=j(t)

在區(qū)間[a,b]上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)j

(t)，當(dāng)t

在[a,b](或[b,a])上變化時，x=j(t)的值在[a,b]上變化，

且j(a)=a，j(b)=b(或j(a)=b，j(b)=a

)則證因為f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以它可積.設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，

則由牛頓-

萊布尼茨公式得由不定積分換元法得知于是一、定積分的換元積分法例1計算解用定積分換元法.則x=t2，dx=2tdt，于是一、定積分的換元積分法例

2計算解則x=ln(t2

-1)

，于是xtln3ln823一、定積分的換元積分法例

3設(shè)函數(shù)f(x)在對稱區(qū)間[-

a,a]上連續(xù)，求證：(2)

當(dāng)

f(x)為偶函數(shù)時，(3)

當(dāng)

f(x)為奇函數(shù)時，證

(1)根據(jù)定積分性質(zhì)3，則則①(1)得一、定積分的換元積分法對①式右端第一個積分用換元積分法，令x=-

t，則dx=-dt，xt-a0

a0，于是把②式代入①式中，得②一、定積分的換元積分法(2)

因為f(x)是偶函數(shù)，即f(-

x)=f(x)，得(3)

因為f(x)是奇函數(shù)，即f(-

x)=-

f(x)，得一、定積分的換元積分法例

4計算解易知因此

且積分區(qū)間對稱于原點，一、定積分的換元積分法例

5計算解因為被積函數(shù)

且積分區(qū)間對稱于原點，令x=2sint，則dx=2costdt，xt010，于是得一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法例

6證明證：根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系則dx=-dt，

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