專題25圓的有關(guān)計(jì)算與證明（50題）一、單選題1．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．203．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，為上一點(diǎn)，于．若，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．4．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

A． B． C． D．5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．二、填空題8．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，以E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與交于點(diǎn)M，N，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）

9．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留與根號(hào)）

10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為________．12．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長(zhǎng)為___________．13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則煙囪帽的側(cè)面積為_____________．（結(jié)果保留）

14．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為________；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）________．15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

16．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，小珍同學(xué)用半徑為，圓心角為的扇形紙片，制作一個(gè)底面半徑為的圓錐側(cè)面，則圓錐上粘貼部分的面積是________．

三、解答題17．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，半徑，與相交于點(diǎn)D，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長(zhǎng)．19．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．

(1)求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）(2)若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．20．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），射線與射線交于點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．22．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺(tái)面截線，．計(jì)算：在圖1中，已知，作于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)．操作：將圖1中的水面沿向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，使水流出一部分，當(dāng)時(shí)停止?jié)L動(dòng)，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為，與半圓的切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．

探究：在圖2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長(zhǎng)交GH于點(diǎn)F，求線段與的長(zhǎng)度，并比較大?。?3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；(2)若；①求證：；②若，求四邊形的周長(zhǎng)．25．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在中，半徑垂直于弦，垂足為D，，E為弦所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)．

(1)如圖①，求和的大小；(2)如圖②，與相交于點(diǎn)F，，過(guò)點(diǎn)E作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)．26．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．27．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．28．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．29．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；(2)延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：；(3)若，求陰影部分的面積．30．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)E．平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．31．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑．

(1)如圖1，連接，若，求證；平分；(2)如圖2，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若，，求弦的長(zhǎng)．32．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．33．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，的弦于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

(1)求證：平分；(2)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．34．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點(diǎn)H．點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在上，．

(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．35．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合探究如圖1，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．36．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)P是上一點(diǎn)，，求；(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時(shí)，求的長(zhǎng)．37．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，，切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若．

(1)如圖1，連接，求證：；(2)如圖2，是上一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)問(wèn)：三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．38．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．

(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)若，猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．39．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長(zhǎng)為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點(diǎn)，．延長(zhǎng)，與，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，求的值．40．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）41．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點(diǎn)．，是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)，的長(zhǎng)為時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值．(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接BP，PQ，直接寫出的值．42．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，已知，．如圖，連接，為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，．

(1)求的長(zhǎng)和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)，且長(zhǎng)度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．43．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．44．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上異于的點(diǎn)．外的點(diǎn)在射線上，直線與垂直，垂足為，且．設(shè)的面積為的面積為．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若，求常數(shù)的值．45．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，過(guò)C作的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．46．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，過(guò)點(diǎn)的直線l交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．47．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．(3)求證：．48．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，是半徑為1的的弦，的另一條弦滿足，且于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且）．

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連結(jié)，猜想，當(dāng)弦的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由：若不變，求出的長(zhǎng)度；(3)如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連結(jié)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連結(jié)，若．求證：．49．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是一條不過(guò)圓心的弦，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，直徑交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的值；(3)連結(jié)交于點(diǎn)，若的半徑為5①若，求的長(zhǎng)；②若，求的周長(zhǎng)；③若，求的面積．50．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的上有兩點(diǎn)、，，過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)如果是的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．

專題25圓的有關(guān)計(jì)算與證明（50題）一、單選題1．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個(gè)直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對(duì)角線長(zhǎng)的圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵矩形內(nèi)接于，∴∴陰影部分的面積是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，為上一點(diǎn)，于．若，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長(zhǎng)度，最后利用弧長(zhǎng)公式即可求出答案.【詳解】解：，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，，，，，，.，，.設(shè)，則，在中，，，.，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)勾股定理求出半徑長(zhǎng)度，從而求出所求弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù).4．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：圖中三個(gè)陰影部分的面積相等，只要計(jì)算出一個(gè)陰影部分的面積即可，如圖，連接，陰影的面積＝扇形的面積，據(jù)此即可解答.【詳解】解：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：圖中三個(gè)陰影部分的面積相等；如圖，連接，則，是等邊三角形，∴，弓形的面積相等，∴陰影的面積＝扇形的面積，∴圖中三個(gè)陰影部分的面積之和；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，正確添加輔助線、掌握求解的方法是解題關(guān)鍵.5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，得到，，得出半徑，再計(jì)算弧長(zhǎng)即可．【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，，，，，，，，，，，，故的半徑為，的弧長(zhǎng)．故選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形和扇形的面積，再減去的面積即可得．【詳解】解：是等腰直角三角形，，，∴圖中陰影部分的面積是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過(guò)作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，以E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與交于點(diǎn)M，N，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)解答即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，E為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計(jì)算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個(gè)全等的等腰直角三角形的面積減去兩個(gè)圓心角為的扇形面積是解題關(guān)鍵．9．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留與根號(hào)）

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，∴，又∴，∴是等邊三角形，∴，，∴,∴陰影部分面積故答案為：．10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為________．【答案】【分析】應(yīng)為圓錐側(cè)面母線的長(zhǎng)就是側(cè)面展開扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：，就可以求出圓錐的底面圓的半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，由扇形的面積：，得：故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，注意用扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線．12．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：扇形的圓心角為，半徑為，∴它的弧長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則煙囪帽的側(cè)面積為_____________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】解：圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，煙囪帽的側(cè)面積（），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖及扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為________；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）________．【答案】(1)(2)畫圖見(jiàn)解析；如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求【分析】（1）在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；（2）取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M，連接；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求，連接，，過(guò)點(diǎn)E作網(wǎng)格線，過(guò)點(diǎn)G作網(wǎng)格線，由圖可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得和，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得，進(jìn)而得到和，再通過(guò)證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：；故答案為：．（2）解：如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；連接，，過(guò)點(diǎn)E作網(wǎng)格線，過(guò)點(diǎn)G作網(wǎng)格線，

由圖可得：∵，，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，即，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q即為所求；故答案為：如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計(jì)算圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐的底面半徑的計(jì)算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．16．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，小珍同學(xué)用半徑為，圓心角為的扇形紙片，制作一個(gè)底面半徑為的圓錐側(cè)面，則圓錐上粘貼部分的面積是________．

【答案】【分析】由題意知，底面半徑為的圓錐的底面周長(zhǎng)為，扇形弧長(zhǎng)為，則扇形中未組成圓錐底面的弧長(zhǎng)，根據(jù)圓錐上粘貼部分的面積為扇形中未組成圓錐的弧長(zhǎng)部分所對(duì)應(yīng)的扇形面積可得圓錐上粘貼部分的面積為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，底面半徑為的圓錐的底面周長(zhǎng)為，扇形弧長(zhǎng)為，∴扇形中未組成圓錐底面的弧長(zhǎng)，∵圓錐上粘貼部分的面積為扇形中未組成圓錐的弧長(zhǎng)部分所對(duì)應(yīng)的扇形面積，∴圓錐上粘貼部分的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)、面積公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握，，其中為扇形的圓心角，為扇形的半徑．三、解答題17．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，半徑，與相交于點(diǎn)D，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)得出，利用圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)確定，，再由正方形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖所示：

由（1）得，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，，由（1）得，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴,∴即，解得：，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理，解直角三角形及正方形與相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）根據(jù)，得到，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到，可證明是等腰三角形，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，求出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可解出的長(zhǎng)；解法二：連接,得到角相等，進(jìn)而證得，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可解出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：設(shè)，是的直徑，，，，即，根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得，根據(jù)勾股定理，可得，即，解得，（舍去），，,根據(jù)勾股定理，可得；解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

，，，，即，，，，，，，設(shè)，則，，可得方程，解得，，，根據(jù)勾股定理，可得．解法二：如圖，連接,

，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正切，利用等量代換證明相關(guān)角相等是解題的關(guān)鍵．19．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．

(1)求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）(2)若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）證法一：連接，得到，因?yàn)?，所以；證法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）證法一：如圖，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴∵，∴，∴，

證法二：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，

（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵的半徑為3，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證明兩直線平行，再利用平行線的性質(zhì)證明角度相等即可；（2）由勾股定理找到邊的關(guān)系，求出線段長(zhǎng)，再利用等面積法求解即可．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，∵平分，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，（2）如圖，連接，設(shè)，

則，，，∵是的直徑，∴，在中，有勾股定理得：由（1）得：，∴，由勾股定理得：，，∴，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理和勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），射線與射線交于點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解；（2）證明，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證明；（3）設(shè)，則，，在中，利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：由題知，，若，則．四邊形是正方形，，又，，，即，．（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，．（3）解：設(shè)，則，．在中，，即，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺(tái)面截線，．計(jì)算：在圖1中，已知，作于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)．操作：將圖1中的水面沿向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，使水流出一部分，當(dāng)時(shí)停止?jié)L動(dòng)，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為，與半圓的切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．

探究：在圖2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長(zhǎng)交GH于點(diǎn)F，求線段與的長(zhǎng)度，并比較大小．【答案】（1）（2）（3），，．【分析】（1）連接，利用垂徑定理計(jì)算即可；（2）由切線的性質(zhì)證明進(jìn)而得到，利用銳角三角函數(shù)求，再與（1）中相減即可；（3）由半圓的中點(diǎn)為得到，得到分別求出線段與的長(zhǎng)度，再相減比較即可．【詳解】解：（1）連接，∵為圓心，于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴在中，．

（2）∵與半圓的切點(diǎn)為，∴∵∴于點(diǎn)，∵，，∴，∴操作后水面高度下降高度為：．（3）∵于點(diǎn)，∴，∵半圓的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓的切線的性質(zhì)、求弧長(zhǎng)和解直角三角形的知識(shí)，解答過(guò)程中根據(jù)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，，．（2）解：過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，則，，∴，，，，在中，，在中，，，，即的半徑是．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握?qǐng)A周角定理．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；(2)若；①求證：；②若，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析，②【分析】（1）在中，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，結(jié)合已知在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角可得，由直徑所對(duì)的圓周角是直角和（1）可得，結(jié)合已知即可證得；②在中由，可得，結(jié)合題意易證，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入計(jì)算即可求得周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：在中，，，即，在中，，，即直線直線；（2）①四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，，，，是的直徑，，由（1）可知，，在與中，，，②在中，，，是的直徑，，，，，在中，，即，解得：，由①可知，，，四邊形的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及周長(zhǎng)的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上知識(shí)，綜合求解．25．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在中，半徑垂直于弦，垂足為D，，E為弦所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)．

(1)如圖①，求和的大??；(2)如圖②，與相交于點(diǎn)F，，過(guò)點(diǎn)E作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)半徑垂直于弦，可以得到，從而得到，結(jié)合已知條件即可得到，根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)，結(jié)合，推算出，進(jìn)一步推算出，在中，，再根據(jù)即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，半徑垂直于弦，

∴，得．∵，∴．∵，∴．（2）解：如圖，連接．

同（1）得．∵在中，，∴．∴．又，∴．∵與相切于點(diǎn)E，∴，即．在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)和直角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．26．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別證明，，從而可得結(jié)論；（2）求解，，可得，證明，設(shè)，則，，證明，可得，可得，，，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，∴，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記圓的基本性質(zhì)與重要定理是解本題的關(guān)鍵．27．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）由，為半徑，可知，，則，，，如圖1，連接，由，可得，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，記與交點(diǎn)為，連接，過(guò)作于，證明是等邊三角形，則，，設(shè)半徑為，則，由，，可得，證明，則，即，解得或（舍去），根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，∴，由等邊對(duì)等角可得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖2，記與交點(diǎn)為，連接，過(guò)作于，

∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，又∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦、正切等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．28．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，得到,得到即可得證．（2）根據(jù)，設(shè)，運(yùn)用勾股定理，得到，結(jié)合，得到，運(yùn)用勾股定理，得到，從而得到，在中，利用勾股定理計(jì)算x即可．【詳解】（1）∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，是的直徑，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直徑，∴，∵，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；(2)延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：；(3)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，證明，即可得證；（2）根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴如圖所示，連接

在與中，∴∵為上的一點(diǎn)．∴是的切線；（2）∵是的切線；∴，∴∴（3）解：∵，∴，∵∴，∴∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．30．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)E．平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，證明，即可解答；（2）根據(jù)，可得，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理得的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)，最后證明，即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，平分，，，，,,是的切線；（2）解：設(shè)，則，，解得，，，根據(jù)勾股定理可得，,，是直徑，，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正弦的概念，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑．

(1)如圖1，連接，若，求證；平分；(2)如圖2，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理的推論和圓周角的性質(zhì)證明即可．(2)證明四邊形平行四邊形，后用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）∵對(duì)角線是的直徑，∴，∴，∴平分．（2）∵對(duì)角線是的直徑，∴，∴∵，∴，∴四邊形平行四邊形，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理的推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．32．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．【答案】感知：探究：見(jiàn)解析應(yīng)用：【分析】感知：由圓周角定理即可求解；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．【詳解】感知：由圓周角定理可得，故答案為：；探究：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，，∴，，，是等邊三角形，，，即；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．33．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，的弦于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

(1)求證：平分；(2)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用切線的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，利用垂徑定理推出，據(jù)此可證明，即可證明平分；（2）連接，，作于點(diǎn)M，利用垂徑定理求得，證明，求得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：連接，

∵是的切線，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵是的直徑，且，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：連接，，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，

∵是的直徑，且，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，設(shè)，則，∴，，在中，，即，解得(負(fù)值已舍去)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點(diǎn)H．點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在上，．

(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明即可；（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可；（3）利用對(duì)稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題即可．【詳解】（1）和是所對(duì)的圓周角，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點(diǎn)，

與為一組平行弦，即：，，，，，，，，是的垂直平分線，．（3）連接、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，

，，∴，，，是等腰三角形，，，，，為直徑，，，，，，，在中，，，，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，同弧所對(duì)圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形．35．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合探究如圖1，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）由點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為可知點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；（2）①過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設(shè)，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．【詳解】（1）∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，又∵四邊形是矩形，∴O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴，∴（2）①過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則，

∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵與相切，為半徑，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分線，即，設(shè)，則，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，

∵與相切，∴，∵∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，又∵是的中位線，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，設(shè)，則∴在中，，即∴∴的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．36．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)P是上一點(diǎn)，，求；(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由D是的中點(diǎn)得，由垂徑定理得，得到，根據(jù)同圓中，等弧對(duì)等弦即可證明；（2）連接，證明，設(shè)的半徑為r，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．【詳解】（1）解：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵且為的直徑，∴，∴，∴；（2）解：連接，

∵，∴，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)G，

∴∵，是的平分線，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．37．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，，切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若．

(1)如圖1，連接，求證：；(2)如圖2，是上一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)問(wèn)：三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，是半徑，可得是的切線，根據(jù)是的切線，由切線長(zhǎng)定理可得，進(jìn)而根據(jù)，得出，，根據(jù)得出，根據(jù)垂徑定理的推論得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，即可證明；（2）延長(zhǎng)至使得，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，證明，結(jié)合已知條件證明，進(jìn)而證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，是半徑，∴是的切線，∵是的切線，∴，∵∴，∴∴，，∵∴，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴；（2），理由如下，延長(zhǎng)至使得，連接，，如圖所示

∵∴，∵，∴，∴，由（1）可得，又是直徑，則，∴，∴，∵，∴，∴,∴，∵，∴，∴，

∴．即．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．38．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．

(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)若，猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)1(2)見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由垂徑定理可得，結(jié)合可得，根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可得，通過(guò)證明可得；（2）證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得，再根據(jù)，，可證；（3）設(shè)，，可證，，通過(guò)證明，進(jìn)而可得，即，則．【詳解】（1）解：直徑垂直弦，，，，，，由圓周角定理得，，在和中，，，；（2）證明：是的直徑，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；（3）解：，證明如下：如圖，連接，

，，直徑垂直弦，，，又，，，設(shè)，，則，

，，又，，，，，，，，，在和中，，

，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問(wèn)，需要大膽猜想，再逐步論證．39．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長(zhǎng)為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點(diǎn)，．延長(zhǎng)，與，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)和勾股定理分別求解即可；（2）由面積法求出，再利用勾股定理求，則的面積可求；（3）先證明，得到，利用，分別得到，進(jìn)而計(jì)算，，在分別求出則問(wèn)題可解；【詳解】（1）解：∵是的直徑，是的切線，∴的度數(shù)是；∵，∴；故答案為：，5；（2）如圖，

∵是的直徑，∴，，∴由面積法，∴，；（3）方法一：如圖，

由∴∴∴∴∴設(shè)是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，∴，∴，，，，．方法二：如圖

由設(shè)，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答問(wèn)題．40．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作，垂足分別為，則，進(jìn)而表示出兩個(gè)三角形的面積，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，表示出兩三角形的面積，即可求解；（3）連接，證明得出，證明，得出，即可，恒等式變形即可求解；（4）連接，證明，得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作，垂足分別為，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∵，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，

∵，∴，由（1）可得，∴；（3）證明：連接，

∵∴∴∴，∴∵，∴，又，∴，∴，∴；∴，∴，（4）解：如圖所示，連接，

∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)與定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．41．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點(diǎn)．，是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)，的長(zhǎng)為時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值．(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接BP，PQ，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式即可求出度數(shù)，利用切線的性質(zhì)和解直角三角形即可求出的長(zhǎng)．（2）根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等推出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理推出，利用直角三角形的性質(zhì)即可求出，通過(guò)等量轉(zhuǎn)化和余弦值可求出答案．（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)證明和，從而推出和，利用已知條件將兩個(gè)比例線段相除，根據(jù)正弦值即可求出答案【詳解】（1）解：如圖1，連接，設(shè)的度數(shù)為．

，的長(zhǎng)為，．，即．．直線是的切線，．∴．（2）解：如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

為直徑，．．，．，，．，，．．（3）解：，理由如下：如圖3，連接BQ，

，，，，，，．，，．①，，，．②，得，．，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及三角函數(shù)、切線的性質(zhì)定理、扇形的弧長(zhǎng)公式，角平分線性質(zhì)定理等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和相關(guān)計(jì)算公式．42．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，已知，．如圖，連接，為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，．

(1)求的長(zhǎng)和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)，且長(zhǎng)度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)或或(3)【分析】（1）如圖1，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，證明，得出，即可得出；證明四邊形是平行四邊形，得出，代入數(shù)據(jù)可得；（2）根據(jù)三邊之比為，可分為三種情況．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出比例式，進(jìn)而即可求解．（3）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，連接．

∵切半圓于點(diǎn)，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，即，∴．如圖2，，∴．

∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∴．（2）∵，，三邊之比為（如圖2），∴可分為三種情況．i）當(dāng)時(shí)，，，解得，∴．ii）當(dāng)時(shí)，，，解得，∴．iii）當(dāng)時(shí)，，，解得，∴．（3）如圖3，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，∴．∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，，∴，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，分類討論，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．43．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，得出，由，得出，根據(jù)已知條件得出，證明，結(jié)合已知條件可得，即可得證；（2）連接，根據(jù)已知條件得出，，得出，證明，得出，，進(jìn)而求得，，根據(jù)，求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴∵∴∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，

∵，，設(shè)，則∴，∴，即解得：，∵，∴∵∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，又，∴，∴,，∴，∴，解得：，∴∴，∵是的直徑，∴，∵，∴∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵,,∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．44．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上異于的點(diǎn)．外的點(diǎn)在射線上，直線與垂直，垂足為，且．設(shè)的面積為的面積為．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若，求常數(shù)的值．【答案】(1)與相切，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）與相切，理由如下：連接，先證得，又證，進(jìn)而有，于是即可得與相切；（2）先求得，再證，得，從而有，又，即可得解．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，

∵是的直徑，直線與垂直，∴，∵，∴，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴與相切；（2）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，

∵，∴，∴，∴又∵，∴，∴∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定以及勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．45．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，過(guò)C作的垂線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．(2)①求證：．②若，求的值，(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②(3)【分析】（1）先證明，結(jié)合，，可得，從而可得答案；（2）①證明，再證明，可得；②設(shè)，，證明，可得，即，則，可得，從而可得答案；（3）如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過(guò)作于，證明，，可得，證明，可得，，證明，，即，再解方程可得答案．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵為中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②設(shè)，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，即，∴，∴，∴（負(fù)根舍去）；（3）如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過(guò)作于，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，（負(fù)根舍去），由（2）①知，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，本題的難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．46．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，過(guò)點(diǎn)的直線l交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)6【分析】（1）連接，，根據(jù)圓心角，弦，弧的關(guān)系可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90度可得，半徑相等可得，根據(jù)等腰的判定可得是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，即可證明；（2）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，推得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求證；（3）令與交于點(diǎn)，根據(jù)正弦的定義可求得，，根據(jù)勾股定理可求得，，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得,，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得,即可求得．【詳解】（1）連接，，如圖：

∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，為的直徑，∴，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴垂直平分，∵，∴，∴，即是的切線；（2）連接，如圖：

∵∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，又∵，∴；（3）令與交于點(diǎn)，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴,∴∵，∴，∴即，∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角，弦，弧的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是90度，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦的定義，勾股定理，矩形的判定