專題7圓錐曲線選擇填空

一、單選題

1.拋物線y2=2px(p>0),過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),

以AB為直徑的圓與y軸交于M、N兩點(diǎn)，且PWNl=近，則P=()

A.?B.1C.-D.2

24

2.已知斜率為％的直線經(jīng)過拋物線V=4x的焦點(diǎn)且與此拋物線交于Aa,y),網(wǎng)與出)兩

點(diǎn)，∣4J∣<8.直線與拋物線y=∕-4交于M,N兩點(diǎn)，且V,N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，現(xiàn)

有下列四個(gè)命題：

①X%為定值；②X+M為定值；③％的取值范圍為(-∞,T)(∣,4);④存在實(shí)數(shù)氏使得

IMNI=√13?2+13.

其中所有真命題的序號(hào)是()

A.Φ(3)B.②④C.①②③D.①③④

2222

3.如圖，半橢圓］+3=l(x≥0)與半橢圓［+,=l(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中

Crb'bc

/>0力>C>0.5和耳,鳥分別是“果圓”與X軸，y軸的交點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)

②若∣4闋=忸也|,則〃:Z?:c=5:4:3；

③若在“果圓”y軸右側(cè)部分上存在點(diǎn)P,使得NAP4=90°,則工<￡<或二L

2a2

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①?③

4.已知雙曲線cJ4=l（α>0"）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F1,過Fl作一條漸近線的垂

線，垂足為點(diǎn)A,與另一漸近線交于點(diǎn)B,若￡8=3"；,則C的離心率為（）

A.√6B.比C.加D.2

2

5.在棱長為2的正四面體45CO中，點(diǎn)P為.ΛBC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足

IPd+∣PB∣=手，則尸。的最大值為（）

A.B.C.返D.2

33

->）

6.已知士，工為雙曲線￡-卓=1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)，以耳思為直徑的圓與雙曲線

右支的一個(gè)交點(diǎn)為P,"與雙曲線相交于點(diǎn)。,且∣pq=3∣Q"∣,則該雙曲線的離心率為（）

A.垣B.叵C.-D.好

3322

r22

1.過橢圓土+匕=1的中心作兩條互相垂直的弦AC和8。,順次連接AB,C,。得一四邊形，

49

則該四邊形的面積可能為（）

A.10B.12C.14D.16

8.已知的邊長都為2,在邊4B上任取一點(diǎn)。，沿C力將ABCO折起，使平面BCZ）J.

平面ACD.在平面BCC內(nèi)過點(diǎn)B作BPL平面AC￡>,垂足為P,那么隨著點(diǎn)。的變化，點(diǎn)

P的軌跡長度為（）

A.-B.—C.—D.π

633

22

9.己知雙曲線C：=-2=1（α>0,〃>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳、F2、A為雙曲線的左

CrIr

24

頂點(diǎn)，以百工為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于尸、。兩點(diǎn)，且NPAQ=號(hào)，則該雙曲

線的離心率為（）

A.五B.√3C.?D.√13

10.已知雙曲線E-Al(α>0S>0)的左右焦點(diǎn)分別為6,工,點(diǎn)P在雙曲線上，且PnX軸,

若APK憑的內(nèi)切圓半徑為蓑，則雙曲線的離心率為

A.eB,?C,?D.?

5565

二、填空題

11.已知拋物線C:V=2*5>0)的焦點(diǎn)廠到其準(zhǔn)線的距離為4,圓M:(x-2)2+y2=i,

過F的直線與拋物線C和圓M從上到下依次交于A尸,QI四點(diǎn)，貝IHAPl+413Ql的最小值

為.

12.已知平面非零向量q、%，加、"滿足=若∣4-"∣=4?"(i=l,2),

(加一q)?(，"一生)=0,則根.〃的最小值為.

13.在《西游記》中，鳳仙郡太守生氣時(shí)誤推倒祭祀玉帝的貢桌，玉帝一怒之下下令鳳仙郡

三年不能下雨，于是孫悟空和豬八戒上天庭去找玉帝理論，玉帝要求雞要吃完米，狗要舔完

面，火燒斷了鎖才能下雨.孫悟空打量著形如圓錐的面山，讓豬八戒從面山腳下“出發(fā)經(jīng)過

心的中點(diǎn)M到7T,大致觀察一下該面山，如圖所示，若豬八戒經(jīng)過的路線為一條拋物線，

PO=2,底面圓。的面積為16乃,〃”'為底面圓。的一條直徑，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離為___________

14.過拋物線y2=4x上一點(diǎn)P(4,4)作兩條直線朋，PB(點(diǎn)A,B在拋物線上)，且它們的

斜率之積為定值4,則直線4B恒過定點(diǎn).

15.已知/(亞,0)為橢圓cj+/l(α>…)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線與橢圓C交于AB

兩點(diǎn)，尸為AB的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若AOEP是以。F為底邊的等腰三角形，且4OFP外

接圓的面積為與，則橢圓C的長軸長為.

16.如圖，橢圓］+V=l的左、右焦點(diǎn)分別為K,F21過點(diǎn)A(2,0)作橢圓的切線，切點(diǎn)

為T,若M為X軸上的點(diǎn)，滿足NA力W=NA片T,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

22/1jz-2\

17.橢圓C*→g=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(C⑼，定點(diǎn)Mqr,O,若橢圓C上存在

點(diǎn)W,使得FMN為等腰鈍角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

18.拋物線C:V=8y的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為2的直線1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)

D為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在I的右下方，則一/MB面積的最大值為

19.曲線C是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)耳(TO),￡(1,0),瑞(0,1)的距離的和等于20的點(diǎn)的軌跡，

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于X軸、y軸均對稱；

②曲線C上存在一點(diǎn)P,使得IPaI=逑；

3

③若點(diǎn)P在曲線C上，則^BPF2的面積最大值是1.

其中所有真命題的序號(hào)是：

22

20.已知雙曲線=?-5=l的左，右焦點(diǎn)分別為「，鳥，過右焦點(diǎn)名的直線交該雙曲線的

a-b"

右支于M,N兩點(diǎn)(M點(diǎn)位于第一象限)，的內(nèi)切圓半徑為ZXNK5的內(nèi)切

圓半徑為且滿足A=3,則直線的斜率__________.

K-,

答案:

1.B

【解析】

【分析】

本題首先可根據(jù)傾斜角為45的直線過拋物線的焦點(diǎn)得出直線的方程為y=x-5,然后聯(lián)立

直線方程與拋物線方程，得出演+*2=3。、%+%=2p?∣Afi∣=4p,再然后求出以AB為

直徑的圓的方程，最后令X=0,根據(jù)IMNI=√7即可求出P的值.

【詳解】

拋物線V=2px的焦點(diǎn)為仁,0),

因?yàn)閮A斜角為45的直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為y=χ-5,

V=2PX2

聯(lián)立<p,整理得f-3PX+2=0,Δ>0,

y=x--4

[2

設(shè)A(X∣,y∣),B(x,y),則XIX,=2-,x∣?÷?=3p,

224

yl+y2=Kl+工2-P=2p,∣AB∣=x1+Λ2+P=4”,

故圓心坐標(biāo)為#P，P,半徑為=2p,方程為#-?∣p+(y-p『=4p2,

當(dāng)X=Oll寸，S-∣p+(y-p)2=4〃2,解得y=?^p+p或-咚p+p,

則WM="yp+p-%E0+p=√7p=√7,P=I,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線與圓、直線的相關(guān)問題的求解，能否求出以A3為直徑的圓的

方程是解決本題的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理以及拋物線定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是難題.

2.D

【解析】

【分析】

設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷①②，利用弦長公式求出公>1,

根據(jù)例，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，可得Z<4,進(jìn)而可判斷③④.

【詳解】

由題意可設(shè)的方程為y=∕(χτ)(∕*()),

V2=4JV―44

聯(lián)立y-'得—&=。，則y%=ηr=T為定值，①正確.

乂X+y2=9%+X2=平+24+2,②不正確;

則IABI=N+々+p=2LlA+2=?+4<8,即公>1.

y=k(x-l),

聯(lián)立產(chǎn)/一4'得'"+I"

M,N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，.?.Δ=?2-4(?-4)=fc2-4Z:+16>O,且A-4<0,：.k<4.

由42>1及％<4可得后<一1或1<左<4,故&的取值范圍為(-∞,T)(1,4).③正確；

設(shè)M(X3,%)，N(X4，”)，則工3+匕=&，x3x4=k-4,

則IMNI=71+?2-d(x3+X4f-4χ3X4=Ji+%???∣k2-4k+?6-

假設(shè)存在實(shí)數(shù)％，則由IMNl=J13k。+13,得/-4%+16=13,

解得Z=I或，故存在A;=3滿足題意.④正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)

論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出

存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采

取另外的途徑.

3.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知0>b>c,a2=b2+c2,由此推導(dǎo)依次判斷.

【詳解】

由題可知α>b>c,

所以/=從+，2>2c?，α>√2c;a2=b2+c2<2b2,a<y∕2b<

故①正確；

由IA闋=|&述|得,a+c=2b,又a?=/+。?,

S3

得4=一/?,c=-b,a:b:c=5:4:3,②正確.

44

以A4為直徑的圓E:(x+c)(x-a)+/=O,與“果園”右側(cè)有異于A?公共點(diǎn)的公共點(diǎn)，

(x+c)(x-6z)+y2=O

由方程組X2V2,得——%2÷(c-tz)x÷tz-^~ClC—c2=O

/+i≥0)

_a2-ac-c2_?(?-6zc-c2)

顯然方程已有一根〃，另一根為X,則αr=-F-二~

a2

a(a2-ac-c2}Ca?ci1-ac-c1]

X=-^----------二O<x<a,0<-^------5-----L<a

C-C

解得,<￡<且二L,故③正確.

2a2

故選:D

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：求圓錐曲線中基本量的比值(或范圍)，常根據(jù)已知尋找關(guān)于基本量的等式或不

等式，再通過解方程或不等式求解.

4.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意設(shè)出直線AB的方程，然后分別聯(lián)立直線方程求解出A8坐標(biāo)，根據(jù)向量共線對應(yīng)

的縱坐標(biāo)關(guān)系求解出a，c的關(guān)系，則離心率可求.

【詳解】

不妨設(shè)過K的直線AB與y=—2X垂直，所以A8:y=jx+c),

ab

b?a2

y=-xX=——(2八

因?yàn)閍，所以;，所以A-幺,約，

y=τ(x+c)y=-

bIc

ba2c

y=-χ

X=~~^a2cahc

又因?yàn)椤?，所?lt;b丁，所以B

D=…4/\abc

又因?yàn)槎?=3A耳，所以為=-3以，所以^方=-3?”,

所以3(/—〃)=/,所以3/=2,2,所以e=乎，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：

(1)根據(jù)雙曲線的方程直接求解出&c的值，從而求解出離心率；

(2)構(gòu)造關(guān)于凡。的齊次方程，求解出上的值，從而離心率可知；

a

(3)根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；

(4)利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于的不等式，從而的范圍可求.

5.B

【解析】

【分析】

由題意可知，點(diǎn)P在ΛBC所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點(diǎn)為A、B,長軸長為

笄然后以線段轉(zhuǎn)的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為X軸，以8所在直線為，

軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得Po的最大值.

【詳解】

如圖所示，在平面ABC內(nèi)，Mi=怨>2,

所以點(diǎn)P在平面43C內(nèi)的軌跡為橢圓，取A3的中點(diǎn)為點(diǎn)。，連接co,以直線AB為X軸,

直線。C為>建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-"z,

則橢圓的半焦距c=l,長半軸α=2叵，該橢圓的短半軸為I=L2-H=3,

33

所以，橢圓方程為5f+3y2=ι(z=0).

點(diǎn)。在底面的投影設(shè)為點(diǎn)E,則點(diǎn)E為；ΛBC的中心，OE=LoC=h立,

333

故點(diǎn)E正好為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，

CE=-OC=-,則DE=JCC2-CE2=短，

333

因?yàn)镻Z)2=方E2+EP2,故只需計(jì)算EP的最大值.

設(shè)P(x,y,0),則E0,4,0

貝∣J"2=/+y--

3

當(dāng)y=-9e時(shí)，Ep2取最大值,

即吃="用-竽+哥灣,

因此可得nτ≤得+￡=?,故即的最大值為半.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長度最值的求解，根據(jù)橢圓的定義得知點(diǎn)P的軌跡是橢圓，并結(jié)

合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解"的最大值是解題的關(guān)鍵，在求解時(shí)也要注意橢圓有界性的應(yīng)

用.

6.B

【解析】

【分析】

22

設(shè)IQKI=，則IPQl=3f,由I。Ml-IQFj=IP4I-IP入I=2〃及IPQI、∣PE∣=∣QF21,

|尸的|2+|/＞招|2=402求外f的數(shù)量關(guān)系，可得雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求雙曲線的離心

率.

【詳解】

設(shè)IQKi=3則IPQl=3f,而IQ4I-IQf；I=IPGHPBi=2”,

.'.?QF2?=2a+t,?PF2?=4t-2a,

由NEPg=則IPQF+∣P6∣2=∣0KF,IPFJ+∣%F=4C2,

/+(：心)：=(2"人解得T則￡=得

16r+(4r-2^)=4C26a~9

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義及圓的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率即可.

7.B

【解析】

【分析】

設(shè)A(x∣,χ),B(私方),設(shè)X軸正方向旋轉(zhuǎn)到與向量OA同向所轉(zhuǎn)過的角為α,利用三角函數(shù)

3636

的定義表示A，8的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得研，國關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而得到

3636

IOAI2|0砰關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式,利用三角函數(shù)恒定變形化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求

得其取值范圍，進(jìn)而得到四邊形面積的取值范圍，從而做出選擇.

【詳解】

設(shè)A(Λ,,%),8(Λ2,%),設(shè)X軸正方向旋轉(zhuǎn)到與向量OA同向所轉(zhuǎn)過的角為α,

并根據(jù)題意不妨設(shè)OA到OB為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

巾H=|例c°sα,卜囪c°s(α+f=-∣0耶inα,

則卜=儂Sina.=囪SMa+曰=儂COS。

22

—r+^v-=1,9x2+4y2=36,

49

-?e?-=9cos2α+4sin2a=5cos2a+4

IoAi-'

*s=9sin1a+4cos2α=5sin?α+4

?0B[,

A*=25cos2asin2α+36=-sin22α+36∈36,

?OA[?θβf4L4J,

.*.,；—η—j?∈6,—AHCD=2OA10β1∈—,12

?OA??OB?L2j,abcdI1I111L??J

π144

當(dāng)a=一時(shí)取到最小值?，當(dāng)α=0時(shí)取得最大值12.

413

只有選項(xiàng)B中的12在此范圍內(nèi)，

故選：B.

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，先確定點(diǎn)P軌跡的形狀，進(jìn)而求出軌跡的長度即可.

【詳解】

由題意，在平面BCQ內(nèi)作BQ_LC￡>,交C。于Q,因?yàn)槠矫鍮CQJ_平面ACQ,平面BCQ

與平面AC。交于CZZ所以BQL平面ACZX又BPL平面ACD,所以尸,。兩點(diǎn)重合，于是

隨著點(diǎn)。的變化，BPLCD始終成立,可得在平面A8C中，BPLCP始終成立,即得點(diǎn)尸

π

的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題意知隨著點(diǎn)。的變化，NBC。的范圍為0,§,

11o

可得點(diǎn)尸的軌跡是以BC為直徑（半徑為1）的圓的：，即得點(diǎn)P的軌跡長度為gx2乃xF=/,

故選：C.

9.C

【解析】

【分析】

先由題意，得到以耳心為直徑的圓的方程為/+y2=c2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=-x,

設(shè)戶（飛，九），則。（一與，一%），求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，得出∣A4,∣AQ∣,根據(jù)NPAQ=等，

再利用余弦定理求出“，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率.

【詳解】

由題意，以耳鳥為直徑的圓的方程為/+V='?,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=2χ.

設(shè)尸（不，九），則。（一七，一%），

_b

y^~aX,解得X=-a

y=-b

X2+/=C2

?，?P(α,b),Q(-a,-b).

又A為雙曲線的左頂點(diǎn)，則4(-α,()),

?*??AP?=j(ɑ+/+y,IAg=J[-a-(-a)]^+/?2=b，|尸。I=y∣(a+af+(/?+〃『=2c,

在APAQ中，ZPAβ=y,由余弦定理得∣PQ∣2=∣A∕f+|AQ「—2|APMQICOSl萬，

221222

同J4C=(α+a)+b+Z?+y∣(a+a)+b?b，

BP4C2=4a2+2b1+?∣4a2+b2`b,

則2/?=”/+廿,所以4/=(4/+。2),則3/=4“2，

BR3(c2-a2)=4β2,所以，=工〃2

.c√2l

??e=-=---.

a3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下兒

種情況：①直接求出a，c,從而求出：②構(gòu)造&C的齊次式，求出；③采用離心率的定義以

及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

10.D

【解析】

【詳解】

由雙曲線的定義知IPKHP閭=2”,又Pg，X軸，所以的內(nèi)切圓半徑為

IPF^I+1F∕ζI-1PEI2c-la,3azπc84j一

J_2∣I'2∣I_11=二_^=C-。，由c-α=——，得e=—=-,故選D.

225a5

［方法點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線

的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出4J從而求

出；②構(gòu)造。，c的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根

據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.本題中，根據(jù)AP片乙的內(nèi)切圓半徑為卷，從而找出“，c之間

的關(guān)系，求出離心率.

11.13

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算“|4/1叫8尸|-5”的最小值，通

過拋物線的焦半徑公式將IAFIMlBFI-5表示為坐標(biāo)的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思

想，根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式求解出最小值.

【詳解】

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,所以。=4,所以拋物線方程為丁=8χ,

如下圖，∣p尸|=|明=I,

因?yàn)楱OΛP∣M∣5Q∣=（∣AFl-IPFl）+4（IB尸HQ尸I）=IAFlMlBFl-5,

設(shè)/4（%,Y）,8（々,力），所以IAFl=XI+?∣=X∣+2,∣BF∣=X2+^^=X2+2,

所以∣AP∣+4∣BQ∣=X∣+4X2+5,

2Q

設(shè)Lx=my+2,所以,）λ,X2-（4+8AT72）X÷4=0,所以玉/=4,

IX=myJ+2

所以IAplMl8Q∣=Λ,+4X2+5≥2而ξ^+5=13,取等號(hào)時(shí)占=4々=4,

所以IAPlMlBQI的最小值為13,

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，其中涉及拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用.常見拋

物線的焦半徑公式如下：（"為焦準(zhǔn)距）

（1）焦點(diǎn)/在X軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)尸（XO,幾），則IPH=A0+1;

（2）焦點(diǎn)廠在X軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)尸（%,幾），則IP曰=-%+點(diǎn)；

（3）焦點(diǎn)/在y軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)一（Xo,幾），則IPFl=%+5;

（4）焦點(diǎn)廠在y軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)一（χ°,y°）,則陽=-%+f.

12.

【解析】

【分析】

設(shè)4=A4l,%=A4,"=4V,AM=m<分析可知點(diǎn)A、4在拋物線∕=2x上，且AA?

為拋物線V=2x的一條過焦點(diǎn)N的弦，并可得出以AA為直徑的圓B與拋物線V=2x準(zhǔn)線

相切，可得值點(diǎn)”的軌跡為圓8,數(shù)形結(jié)合可得出根.〃的最小值.

【詳解】

設(shè)OI=A4l，a2=AA2,∏=AN>則α∣—"=Λ?l>a2-n=NA1,

設(shè)點(diǎn)AD、唱,0),則“=(l,0),

2

設(shè)A(x,y)(i=l,2),貝Ijq=44,=(x+；,y),則卜-〃卜J(X-I)+y,ai-n=x+^,

由k；一囚=&?〃(i=1,2)可得+V=χ+g,化簡可得y=2χ,

故點(diǎn)A、&在拋物線V=2x上，

因?yàn)?-〃)//(%-〃)，則MV/N4,故A、N、4三點(diǎn)共線,

即AA?為拋物線y2=2x的一條過焦點(diǎn)N的弦，

設(shè)AM=，"，則加一4∣=AM,m-a2=A2M,所以，=?A∏M=O,

故點(diǎn)M的軌跡是以A4為直徑的圓，

設(shè)點(diǎn)A(χ∣,X)?A2(χ2,%),則|4閨=|4叫+|&圳=*+々+1=2(±]±+g

而xl+-^+?是線段A4的中點(diǎn)8到拋物線y2=2χ準(zhǔn)線的距離，

故以A4為直徑的圓B與拋物線V=2x準(zhǔn)線相切，

當(dāng)點(diǎn)M不是圓8與直線x=-g的切點(diǎn)時(shí)，m"=AM?AN>O;

當(dāng)點(diǎn)M是圓8與直線x=-g的切點(diǎn)時(shí)，，小〃=0.

綜上所述，"?.〃的最小值為.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將向量坐標(biāo)化，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)4、4所在的曲線方

程，并分析出點(diǎn)M的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

1,8√5

5

【解析】

【分析】

通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)代入即可.

【詳解】

過M作MN平行”H，，建立以QM為X軸，以MN為V軸的平面直角坐標(biāo)系，為了直觀說明,

將圖轉(zhuǎn)換為常規(guī)形式，如圖.

由圖，設(shè)拋物線方程為爐=2py,

因?yàn)榈酌鎴A。的面積為16%，所以O(shè)8=4,OP=2,

在二POB中，PB=2非,

又因?yàn)镸為PB中點(diǎn)，故OΛ∕=6,

Λ//(-4,√5),代入得:16=2p×√5.

8√5

P=可

所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為P=竽?

故答案為：P=處.

5

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：解題時(shí)，應(yīng)注意拋物線定義中焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的表示.

14.(3T)

【解析】

【分析】

設(shè)出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，表示出直線布，PB的斜率，利用斜率之積等于4,得到坐標(biāo)之間的

關(guān)系，然后表示出直線A8,找到直線AB恒過的定點(diǎn).

【詳解】

、f√1(yl)上土=，_

設(shè)47'y'j,B彳,ΛJ-則/以=W_4y+4，

44

同理，kPB=——7，MB=---------.

%+4y+%

44

因?yàn)镸??ZP8=4,所以一3Γ?H=4,

y+4y2+4

所以y∕y2+4(y∕+y2)+12=0.

所以yιy2=-?2-4°，/+》2).

直線AB的方程為W='一/-￥］，

,弘+必14)

即(yι+y,2)y-yιy2=4x.

將yιy2=-12-4(y∕+y2)代入上式得：

。/+y2)S+4)=4(x-3),所以直線A8恒過定點(diǎn)(3,-4).

故答案為：(3,-4).

15.2√3

【解析】

【分析】

由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求4OEP中的/OEP,結(jié)合已知有原F=-%尸，根據(jù)中

點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有k-k=~即可求橢圓C的長軸長.

propa

【詳解】

由△OFP外接圓的面積為?，則其外接圓半徑為漁.

33

?.?△O即是以QF為底邊的等腰三角形，設(shè)20尸P=α,則No尸尸=萬一2?,

.√2√22√6Z=.?√3

??-------=-----=----，得sιn2a=——，

SinZOPFsin2a32

?1—IX

..0=一或α=_.

63

不妨設(shè)點(diǎn)尸在X軸下方，由小OO是以。尸為底邊的等腰三角形，知：kl1F=-k0p=*或瓜

又根據(jù)點(diǎn)差法可得凝U后〃=-與，有<=L而4=3(此時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，舍去)

aa3a~

22

VF(√2,O)為橢圓C*+]=l(a>6>0)的右焦點(diǎn),

???α=√L故橢圓C的長軸長為26.

故答案為：2&.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用外接圓的面積求半徑，由正弦定理、等腰三角形的性質(zhì)求相關(guān)直線斜率,

應(yīng)用點(diǎn)差法列方程求橢圓參數(shù)α.

37

16.(-,0)或(一，0)

22

【解析】

【分析】

通過聯(lián)立橢圓和切線方程，可解出T坐標(biāo)，進(jìn)而利用NATM=44月7,建立等式條件，解出

點(diǎn)M的坐標(biāo)

【詳解】

設(shè)Ar的方程等于y=Z(χ-2),不妨設(shè)T在X軸上方，即％<o.

則聯(lián)立與橢圓的方程，得E+42(χ-2)2=l,整理得(2公+1口2_8h+跳2-2=0,令

2

4222

?=64?-4(8?-2)(2?+l)=0,解得k=一日,此時(shí)方程為2χ-4x+2=0,解得x=1

也

因此可知T,由橢圓方程可知，耳（-1,0）所以正,又因?yàn)?/p>

tanZAF1T=―2—

1-(-1)4

ZATM=ZAFtT,所以tanZATM=巫，sinZATM=-,

43

（如圖）過T做X軸的垂線，記垂足為N,

N(l,0),因此sin∕7?M=以=如,設(shè)Mw,0),則IAM=2-加,IMTI=

?NA~~Γ

在工力W中，由正弦定理，」AM

SinNATMSinZTAM

37

即2-〃？Y<2√'解得時(shí)5或時(shí)5

丁二5

33

37

故答案為：（5,0）或（°,0）

【解析】

【分析】

結(jié)合圖形分析只可能NMRV為鈍角，利用生<絲土—c<α+c和0<e<l可得答案.

a9c

【詳解】

因?yàn)镮OMIT。目=等一〃=小竺=外嚓生?,且經(jīng)c,所以

好業(yè)D>0,所以M在尸點(diǎn)右側(cè)且在橢圓的外部，

9c9c

所以NMv”不可能為鈍角，

若NRVM為鈍角，設(shè)M尸的中點(diǎn)為E,N的橫坐標(biāo)為％,則-α≤x°≤α,

應(yīng)有XO=IO目，即AE垂直平分EW,

I。El=IM+g∣FM∣=c+J整

1114/??4a2+9c2-?Sac5a2÷9(c-tz)2

--------+c?-a=----------------------=-----------------—>0

2(9c)18c18c

所以NmM不可能為鈍角，

結(jié)合圖形可知，只可能IFM=IFN且NMFN>],而IFM=若-c,∣FN∣w[α-c,α+c],

22

當(dāng)NF垂直X軸時(shí)，N(c,y0),所以三+率=1,

ab

18e2+9e-14>0

IIh^-b^144

得zbIyOl=―，所cih以i一<------c<a+c,得，9e3-9e2-9e+14>0,

aa9c

0<e<l

2

所以5<e<l.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分類討論和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)

算能力.

18.40√5

【解析】

【分析】

先聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得IA8∣=%+%+P=36+4=40,

接著有兩種方法：方法一是將點(diǎn)D到直線的距離用坐標(biāo)表示出來，借助二次函數(shù)求出最值；

方法二是利用相切時(shí)點(diǎn)D到直線的距離最大，此時(shí)兩平行線間的距離即為點(diǎn)D到直線的距

離最大值，進(jìn)而求出面積的最大值即可.

【詳解】

由題意可知拋物線C：x2=8>?的焦點(diǎn)為F(0,2),

所以直線方程為：y=2x+2,

,[y=2x÷2z

聯(lián)??{?得X2-16x-16=0

[X=8y

設(shè)4禮弘),8(%,%)，由韋達(dá)定理知：芭+x2=16,x1x2=-16

所以y+必=2（玉+&）+4=36,

故IAM=X+必+.=36+4=40,

方法一：設(shè)》(r,g),