2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第03講不等式與不等關(guān)系（精講）

題型目錄一覽

不等式性質(zhì)的應(yīng)用

比較數(shù)（式）的大小

已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍

不等式的綜合問題

、知識點梳理

1.比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>00>l(a,Z?>0)或0<l(a,Z?<0)

bb

a=ba-b=0色=13片0）

b

a<ba-b=0@<1(。，Z?>0)或4>1(。,b<Q)

bb

2.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

傳遞性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<=>a-\-c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向可加性a>c,c>d^a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>Q,c>d>0^ac>bd

可乘方性a>b>Q,neN^=>an>bn

【常用結(jié)論】

1.作差法比較大小的步驟是:

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大?。唬?）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論.

注：其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法

是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是易或者因式乘積的形式，也可考

慮使用作商法.

2.等式形式及不等式形式解題思路

二、題型分類精講

題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用

令3策略方法

1.判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2.充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進行判斷.

3.小題可以用特殊值法做快速判斷.

【典例1］已知log5a>log5。，則下列不等式一定成立的是（）

A.4a<4bB.log5（a-Z?）>0

C.5”">1D.aobc

【答案】C

【分析】由Iog5a>log5^可得a>b>0,然后對選項一一分析即可得出答案.

【詳解】由log5a>bg5b可知a>b>Q,所以赤>網(wǎng),所以A錯誤；

因為"6>0,但無法判定與1的大小，所以B錯誤；

當cWO時，ac<bc,故D錯誤；

因為。-6>0,所以5"?>5°=1,故C正確.

故選：C.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?北京,匯文中學?？寄M預(yù)測）如果a>b>0,那么下列不等式一定成立的是（）

1111Y

A.問<回B.->-C.>D.lna>lnb

ab22

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D；

【詳解】解：因為a>b>0,所以時>例>0,故A錯誤;

因為>b>0,所以故B錯誤；

aab

因為a>b>0,且y=在定義域上單調(diào)遞減，所以故C錯誤；

因為a>6>0,且y=lnx在定義域（0,+e）上單調(diào)遞增，所以lna>lnb,故D正確；

故選：D

2.（2023?全國?高三專題練習）已知。>萬，且出>工0,ceR,則下列不等式中一定成立的是（）

a2>b2

A.B.a<Tb

【答案】D

【分析】ABC可以通過舉出反例，D選項可以通過不等式的基本性質(zhì)進行求解.

【詳解】當。=1*=-2時，1>-2,rfffl2<（-2）2=4,,而疝無意義，故ABC錯誤；

因為所以^7，工，D正確.

c+1c~+1

故選：D

3.（2023?高三課時練習）給出下列命題：①若a>6,貝1］碇2>而；②若。>同，則/>〃；③若。>6,貝面>〃；

④若同>6,則/>從淇中，正確的命題是（）.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】①④可舉出反例，②可通過不等式的基本性質(zhì)得到；③可利用惠函數(shù)的單調(diào)性得到.

【詳解】若。=0,此時m2=反2,①錯誤；

若。>同，則。>0,故|。|>網(wǎng),兩邊平方可得：a2>b2,②正確；

因為>=尤3在R上單調(diào)遞增，故若。>。，則/>"，③正確；

若同>6,不妨設(shè)。=0力=-2,不滿足足>評,④錯誤.

故選：B

4.（2023?吉林?統(tǒng)考三模）已知？<!<0,則下列不等式不一定成立的是（）

ba

A.a<bB.-l—>2C.a—<b—D.In（/?—〃）>。

abab

【答案】D

【分析】A選項，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；B選項，利用基本不等式求出>2；C選項，作差法比較

出大小關(guān)系；D選項，舉出反例即可.

【詳解】A選項，y<-<0,故所以">0,

ba

兩邊同乘以。力得，a<b,A成立；

ba

hahn

B選項，因為a<6<0,所以2>0,f>0,且

abab

由基本不等式得2+0>2、隈=2,故B成立；

ab\ab

C選項，因為a<Z?<0,所以。—Z?<0,——>0,

ab

故4_工_,_；］=〃_人+'^=（0叫［1+：］<0,所以C成立；

a\b）ab\abJab

D選項，不妨取〃=-2,。=-1,滿足avh<0,此時In（〃-〃）=lnl=O,故D不一定成立.

故選：D

5.（2023?全國?高三專題練習）已知log">log〃y（OVaVl）,則下列不等式恒成立的是（

C."

A.y2<x2B.tanx<tanyD.

y%

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A、D選項，取特殊值法判斷B,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式性質(zhì)判斷

c.

【詳解】Vlogax>Iogay(0<a<l),

/.0<x<y,Ay2>x2,4>石，故A和D錯誤;

1jrjr冗3^"TT37r

選項B,當〃=不，取x=w，y=T時，log1—>log—tan—>tan—-顯然有tanx>tany,故B錯誤;

2342*^21今34

選項C,由OVxVy可得一<一,故C正確；

yx

故選：c.

6.（2023?全國?高三專題練習）已知a>Z?>0,下列不等式中正確的是（）

B.ab<b2

11

C.a—bT----之2D.---<----

a-ba-1b-1

【答案】c

【分析】由a>6>0,結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式即可判斷出結(jié)論.

【詳解】解：對于選項A,因為。>6>0,0（工〈:，而c的正負不確定，故A錯誤;

ab

對于選項B,因為a>b>0,所以故B錯誤;

對于選項C,依題意a>6>0,所以〃-b>0,一二>0,所以a-6+—-->2.（a-b）x---=2,故C正確;

a-ba-bva-b

對于選項D,因為1>0-1>-1,工與」正負不確定，故大小不確定，故D錯誤；

a-1b-1

故選：C.

二、多選題

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）若m>n>0>p,m+p^0,則（）.

A.—>—B.m2->0

mn

C.>D.m2—n>n2—m

m+nm+p

【答案】AD

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A；利用特值法可判斷B,C；利用作差法可判斷D.

【詳解】對于A：由題意可得,<!，因為P<0,所以‘>￡,故A正確；

mnmn

對于B：當m=2,p=-3時，滿足已知條件，但病-/<0,故B錯誤；

對于C：當機=3,n=2,。=-1時，滿足已知條件，但一^<—）―,故C錯誤；

m+nm+p

對于D：m2-n-(n2—m)=m2—?z2+m-n=(m-n)(m+n+l),因為機>〃>0,可得(m根+九+1)>0,所以

m2-n>n2-m9故D正確.

故選：AD.

8.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知mb為實數(shù),且>4,則下列不等式正確的是（）

a272-1

A.Q2>Z?2B.H-----2------------

a+b2b2

b+\b4

C.-------<—D.4Q+------>4

Q+1aa+1

【答案】BC

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A錯誤；由基本不等式的應(yīng)用計算可得B正確；利用作差法可知選項C正確;

4

根據(jù)基本不等式計算可得當好。時，口彳斗成立，但顯然"。，即D錯誤.

【詳解】對于A,由亡>玉,可知a>0,b>0,

且由不等式性質(zhì)可得0<。<6,所以即A錯誤.

ab

a工baba+b1.ba+b1_2V2-1

對于Bn,------+—=-------+------------>2

a+b2ba+b2b2a+b2b22

當且僅當2〃=（a+8）2,即廿=/+2"時取等號，B正確.

對于c,作差可得&小+1一1ba（b+iJ\-b（a+X）\a-b

Q(Q+1)

所以號<2,c正確.

a+la

44I~A-

對于D,4a+——=4（〃+l）+-----4>24（?+1）------4=4,

a+1a+1AV〃+l

4

當且僅當4（0+1）=焉，即。=0時取等號，顯然取不到等號，D錯誤.

故選：BC.

9.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）若x,y滿足爐+/一孫=1,則（）

A.x+y<\B.尤+yN-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為（a,blR）,由f+y2一孫=1可變形為，（尤+y『_]=3孫<31*z],解得

-2<x+y<2,當且僅當x=y=-l時，x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

22

由/+,2—孫=1可變形為（爐+/）_1=孫工與匕，解得N+y2?2,當且僅當九=y=±l時取等號，所以C正確;

2

因為f+y一孫=1變形可得+*|y2=1,^x_X=cos0^y=sin。，所以x=cos6+耳sin8,y=笈sin6,

因此％2+V2=cos20+—sin2^+^^sin^cos^=l+^：sin2^--cos2^+-

3y/3百33

=i+lSd20-^]Jl，2],所以當尤=也,y=一且時滿足等式，但是尤2+VN1不成立，所以口錯誤.

33I6J|_3」3-3

故選：BC.

題型二比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

畬策略方法比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小的三種方法

⑴當兩個數(shù)（或式子）正負未知且為多項式時，用作差法.

步驟：①作差；②變形；③判斷差的符號；④下結(jié)論.

變形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分.

⑵作商法：適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式，要求兩個數(shù)（或式子）為正數(shù).

步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芟陆Y(jié)論.

⑶特殊值法：對于比較復(fù)雜的代數(shù)式比較大小，利用不等式的性質(zhì)不易比較大小時，可以采用特殊

值法比較.

【典例1］若d>5>0,則下列不等式一定成立的是（)

b0+1—11―a.bc2a+ba

A.—>------B.a+—>b7+—C.a+—>b+—D.-------->一

aa+1abbaa+2bb

【答案】c

【分析】利用作差比較法及不等式的性質(zhì)逐項判斷即可求解.

bb+\b-a

【詳解】對于A,--------=/n,因為a>6>0,所以>

(1(1I1ClICII1I

b-Cl八bZ?+1hA+1

所以刀”不<°，即9_勺<0,于是有'<2=故A錯誤；

磯。+1)aa+1aa+1

1(i04+1b2+1a2b+b-ab2-a(a-b)(ab-l)

a\bJababab

因為a>6>0,所以。-6>0,">0,但仍與1的大小不確定，故不一定成立，故B錯誤;

一，丁a(,ab+aab+ba'b+a~-ab2-b~(a-b\(ab+a+b\—

對于C,因為a+工-b+—=]--------------=-------------;-----------——△----------------L,因m為a>3>0,所以

b\a)baabab

7c7c77(a-b](ab+a+b]ana(.b\?a,b.八十小

a-b>0,ab>0,ab+a+b>09所以^-------------^>0,gp?+--b+->0,于是有Q+—>6+—，故C正確;

2a+ba(2a+b}b-a(a+2b}(b-a\(b+a\.

對于D,因為k廠,京+2：)=ILJ因為〃>八°，所以…<0，…>°，。+2…'

所以牛7嗎”<0,即二一六°，于是有生殖<&

故D錯誤.

b^a+2b）a+2bba+2bb

故選：C.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023秋廣東清遠?高一統(tǒng)考期末）“a>c>"0”是的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】做差可判斷充分性，取。>c>b>0可判斷必要性可得答案.

…御a-ba_c（a叫_a（c-b）6（a-c）

【詳解】jJc（c-b）~c（c-by

,a-bab（a-c\八

當a>c>〃>0時，a-c>0,c-b>0,所以-------=------V>。，

c-bccyc-b）

可得所以充分性成立；

c-bc

a-bab^a—c)

但當a>O>c>b^>0即也成立，

fc-bcc(c-Z?)c-bc

所以必要性不成立.

因此“a>c>b>0”是“N>-”的充分不必要條件.

c-bc

故選：B.

二、多選題

2.（2023?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習）若〃>0,b>0,且”+2〃=1,則下列不等式中一定成立的是（）

25+11

A.a2+b2>-D.-------3-

5a+12

_Z?1

C.-------1—〉3D.b>ea-]

a+bb

【答案】AC

【分析】利用比差法比較的大小判斷A,利用比差法比較含《的大小判斷B,利用基本不等式比較

」b7+。13的大小，判斷C,舉反例判斷D.

a+bb

【詳解】因為a>0,^>0,且a+2Z?=l,

以。va<1,0<b<一,

2

對于A：a2+/j2-1=(l-2/?)2+Z?2-1=5/?2-4/7+|=5^-|^|>0,

2

當且僅當b時等號成立，

所以A正確；

對干B.2匕+11=2-a1=3(j)

，a+12a+122(a+l)，

因為Ovavl,所以l—a>O,a+l>。，

2b+l2b+l1

所以-->0,即nn---->-,B錯誤;

Q+12a+12

b1bQ+2。ba+brc

對于C：-------1—=-------1----------------+-------+1>3,

a+bba+bba+bb

當且僅當a+人=匕時等號成立，又a+b手b,所以等號不成立，C正確;

對于D：令a=1，b=；,滿足條件a>0,b>0,且a+?=l,

24

但是尸3=%>；="D錯誤.

故選：AC.

3.（2023秋?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末）若a>6>0,m>0,則下列不等式成立的是（）

A.a1>b2B.a3+b3<ab2+a2b

【答案】AD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由a>Z?>0,則標>〃，故A正確；

B,—(Q/+q%)=(〃+Z?)(a?—QZ?+〃)—+Z?)=(〃+Z?)(q—b),

由a>6>0,所以/+〃3>"2+〃2〃，故B錯誤；

對于C,由a>b>0,可得所以-1>一1,

abab

所以故C錯誤；

ab

對于口a+mab[^a+m)-a[b+m)m[b-a)

9b+mbb(b+m)b(b+m)，

由a>6>0,則^------<0,即^—<-,故D正確.

b+mbb+mb

故選：AD.

三、填空題

4.(2023春?吉林長春?高一校考階段練習)設(shè)。、b為實數(shù),比較兩式的值的大小：a2+b22a-2b-2(用

符號>,之<,<或二填入劃線部分).

【答案】>

【分析】利用作差比較法求得正確答案.

【詳解】因為片+從一(2〃一2人一2)=(“一1)2+3+1)2之0,〃=11=-1時等號成立，

所以〃2+z7222a—2b—2.

故答案為：>

h2n2

5.(2023?全國?高三專題練習)已知〃>0,/?>0,貝!Jp=——a與q=b-一的大小關(guān)系是____.

ab

【答案】P"

【分析】由已知結(jié)合作差法進行變形后即可比較大小.

72

【詳解】因為。>0,b>0p=--a與q=b——

9ab9

所以=你一/2)3_4)=3_/)0+/)..0,6=4時取等號，

ababba

所以P-4.

故答案為：p--q.

【點睛】本題主要考查了不等式大小的比較，作差法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵.

四、解答題

ha

6.（2023?高三課時練習）（1）已知〃>人>0,c<J<0,求證：——<--；

a-cb-d

（2）設(shè)X,yeR,比較（尤與孫（x-y）2的大小.

【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析

【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可證明.

（2）要比較與孫（尤一〉）2的大小，將兩式做差展開化簡，得到（x-y）2、+|/即可判斷正負并比

較出結(jié)果.

11

【詳解】（1）由a>b>0,cVdVO,得一c>-d>0,a-c>b-d>0,從而得。<——<----

—cb—d

「ba

又a>b>0,所以——<-~

a-cb-d

（2）因為（/一產(chǎn)丫—xy^x—y）1=x4+y4—^y—xy3=xi（x—y）+y3（y—x）

=（x-y）（x3-/）=（%-y）2（x2+%y+/）=（%-y）2++|/上。，當且僅當x：

y時等號成立,

所以當x=y時，卜2_力-=肛（x_y）2；

當時，（無2_,2）->孫（了-'）2.

ab1—i—

7.（2023?全國?高三專題練習）比較下+-7=與6+揚（。>0,8>0）的大小.

7b7a

【答案】-y=+-j=>4a+4b

7b7a

【分析】做差化簡，分情況討論比較大小.

Pl

當〃泊時,>0,

0)

…ab

即為+笈

Pl

當時,0,

a)

ab

即為+訪

題型三已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍

⑨^策略方法

1.判斷不等式是否成立的方法

⑴不等式性質(zhì)法：直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證，利用不等式的性質(zhì)時要特別注意前提條件.

⑵特殊值法：利用特殊值排除錯誤答案.

⑶單調(diào)性法：當直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)等

函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

2.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法

⑴已知x,y的范圍，求R(x,y)的范圍.可利用不等式的性質(zhì)直接求解.

(2)已知/(x,y),g(x,y)的范圍,求尸(尤,y)的范圍.

可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)R(x,y)=mf(x,y)-hng(x,y),用恒等變形求得機，n,再利用不等式

的性質(zhì)求得R(x,y)的取值范圍.

【典例1]已知a—6e[0,l],a+6e[2,4],貝14a—2b的取值范圍是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計算求解.

【詳解】設(shè)4a—26=m(a—b)+”(a+b)=(m+〃)a—(祖―,

所以解得廣=:所以4a-2b=3(a-6)+(a+3，

[m-n=2

X?-&e[0,l],a+&e[2,4],所以3(a-b)e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D錯誤.

故選:B.

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)已知2<。<3,-2<。<-1,則2。-人的取值范圍為()

A.(0,2)B.(2,5)C.(5,8)D.(6,7)

【答案】C

【分析】由不等式的性質(zhì)求解

【詳解】2Vav3,-2<b<—1,

故4<2a<6,l<—b<2,得5<2a-6<8

故選：C

2

2.（2023?全國?高三專題練習）己知一3<以一2,3<6<4,則幺的取值范圍為（）

b

A.（1,3）

【答案】A

2

【分析】先求出a2的范圍，利用不等式的性質(zhì)即可求出幺的范圍.

b

2

【詳解】因為一3<a<—2,所以a2d（4,9）,而3Vb<4,故幺的取值范圍為（1,3）,故選：A.

b

3.（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考期末）已知心。-6W3,3<a+b<l,則5。+人的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的同向可加性，結(jié)合待定系數(shù)法可得5a+b=2（a-b）+3（a+b）,即可得5。+6的取值范圍.

、…人fm+n=5fm=2

【詳解】解：^5a+b=mya-bj+nya+b）-\jn+ri）a+\n-m）b,所以j3，

貝！|5〃+Z?=2（a—Z?）+3（〃+Z?）,又1K〃一Z?<3,3<a+b<7

所以2W2（a-b）W6,9<3（a+^）<21,由不等式的性質(zhì)得：1142（4-切+3（0+6）427,

則5a+6的取值范圍為[11,27].

故選：D.

[l<a+b<3

4.（2023?全國?高三專題練習）已知當6且滿足?…則4a+2）的取值范圍是（）

[—1<a—b<1

A.[0,12]B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]

【答案】c

【分析】設(shè)4"+2匕=&（。+人）+3（。一切，求出A3結(jié)合條件可得結(jié)果.

A+B=4

【詳解】^4a+2.b=A（a+b）+B（a-b）,可得

A-B=2

（A=3

,4〃+2Z?=3（〃+/?）+〃-b,

1<?+&<33<3（a+b）<9

因為可得

-l<a-b<l—1<a-b<1

所以2K4a+2b410.

故選：C.

5.(2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末)已知實數(shù)x,y分別是方程6+lf-11=1的解，則2x+y的取值范圍是()

A.[0.2]B.[-2,2]C.[0,3]D.[-3,3]

【答案】C

【分析】根據(jù)實數(shù)x,y分別是方程+□的解可得OVxVLOVyVl,進而可得0V2尤+”3.

【詳解】因1力+]-1|=1表示實數(shù)t的范圍是[0』],

所以0yW1.

所以0W2x+yW3,

且當(x,y)=(l,D時，2x+y有最大值是3；

當(x,y)=(0,0)時，2x+y有最小值是0.

故2x+y的取值范圍是[0,3].

故選:C.

二、多選題

6.(2023?全國?高三專題練習)已知實數(shù)x,y滿足-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,則()

A.x的取值范圍為(-1,2)B.>的取值范圍為(-2,1)

C.*+丁的取值范圍為(-3,3)D.x—y的取值范圍為(-1,3)

【答案】ABD

【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.

【詳解】因為T<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因為一3<x+2y<2,所以一5<5x<10,貝!J-l<x<2,故A正

確；

因為一3<x+2y<2,所以-6<2x+4y<4.因為一1<2無一y<4,所以T<-2尤+y<l,所以一10<5y<5,所以

-2<y<1,故B正確；

936114

因為一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一]<：(無+2y)<],-1<y)<二，貝(j-2<x+y<2,故C錯誤；

2133312

因為一3<x+2y<2,—l<2x—y<4,所以一(<一](尤+2y)<g,-1<](2x-y)〈(，貝！—故D正確.

故選：ABD.

7.(2023春?河北衡水?高三河北衡水中學?？茧A段練習)已知a>0,b>0,且滿足+b>^+-.則/+〃

abba

的取值可以為()

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得/+62>11,進而即得.

【詳解】因為41/>>S(+1-,

abba

所以"24+?,b2>5+-,

ba

故1+從24+?+5+229+210.2=11,

ba\ba

當〃2=4+—,戶=5+2且：=2,而。=6時即等號不能同時成立，

baba

所以故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

三、填空題

8.（2023?全國?高三專題練習）已知（尤-1）2>4,則三產(chǎn)的取值范圍是

【答案】（1,2）鼻

9?1

【分析】先根據(jù)（尤-1）2>4求出X的范圍，利用X的范圍可得干r的取值范圍.

【詳解】因為（x-l）2>4,所以x-l>2或x-lc-2,即x>3或X<-1；

當x>3時，0<-<1,所以2=2+，e（2,：〕；

x3XX3J

當x<-l時，-1<-<0,所以衛(wèi)^+二?）；

XXX

故答案為：（1,2）上,：］.

9.（2023?全國?高三專題練習）已知-4<。一。<一1,-l<4a-c<5,9a—c的取值范圍是

【答案】［T,20］

【分析】設(shè)9a-c=〃2（a-c）+M4a-c）,解出〃解，再利用不等式的可加性求解即可得出.

【詳解】設(shè)9a—c=zn(a—c)+幾(4a-c),Bp9a-c=(m+An^a-(m+ri)c,

5

m=——

m+4n=93

I,解得

m+n=l8

n=—

3

V-4<a-c<-l,|<-|(a-c)<y@,

QQ4。

①+②，<-l<9?-c<20,即9a-c的取值范圍[T20].

故答案為：［-1,20］.

題型四不等式的綜合問題

【典例1】4.若正實數(shù)滿足且lna」n》>0,則下列不等式一定成立的是（）

A.log->0B.a-b>-~—C.3aHi<3。+)D.ab~x<ba~l

flbba

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及InelnQO得到O>1或Ovbvavl,分別討論兩種情況下四個選項是否正確,A選項可

以用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到出選項可以用作差法,C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行求解,D選項，需要構(gòu)造函數(shù)進

行求解.

【詳解】因為a>b>O,y=ln%為單調(diào)遞增函數(shù)，故lna>lnb,由于Ina-lnZ;〉。,故lna>lnb>。,或lnb<ln〃<。，

當ln〃>lnZ?>0時,〃>人>1,貝！此時log.—<0；

bb

117(a-b\z7、("T)八田11

a-bK---\--=a-b-\----=(a-b]------->0，故a—b7>----；

ba\ab)abba

而+1—(〃+/?)=(〃一—即"+1>Q+Z?,所以3aHi>3。+“

當ln/?<lna<0時,OVZ?VQvl,貝!|—>1,此時log?！?lt;0,

bb

117(a-b}(—八川11

a-bK---\--=a-b-\----=(a-b)------<0，故a-b7<----;

ba\ab)abba

=所以3加1>3a+b;

故ABC均錯誤；

對于D選項,ab-l<,兩邊取自然對數(shù),伍—1)In(a—1)In%

因為不管還是。vhvavl,均有(〃-1)僅-1)>0,

InaInZ;

所以一

a—\b-1

jrIna\nb

故只需證一7V「■即可.

a-1b-1

I11

Inx1----InX

設(shè)"無)=T1■(尤>0且xwi)'則((尤)=--~—

令g(x)=l一」一lnx(x>0且無wl),

則g，(x)=H寧,

當xe(O,l)時,g，(x)>0,當xe(l,+oo)時,g<x)<0,所以g(x)<g⑴=0,

所以/'(力<0在x>0且xHl上恒成立,

故"無盧若(x>0且方1)單調(diào)遞減，

因為。>以所以"〈獸，結(jié)論得證，所以D正確.

a-1b-1

故選:D.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）己知正實數(shù)無，y滿足x+y=l,則下列不等式恒成立的是（）

A.x2+j2B.?”尤^C.<|D./-X-V<!

【答案】D

【分析】利用特殊值判斷AC,利用不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B,根據(jù)排除法判斷D.

【詳解】取x=y=1,則f+丁=」+1_=］_w正不成立，故A錯誤；

24422

由^7=（二）*7,當l>x>y>0時，±>l,x-y>0,所以（土廠一〉>（二）°=1,

%，yyyy

即/產(chǎn)>x>y,故B錯誤；

i

8

所以故C錯誤;

由ABC錯誤，排除法知，故D正確.故選：D

2.（2023?全國?高三專題練習）已知。>6>工>0,則下列結(jié)論正確的是（）

a

B.bg/vlog,

~bb

711

Q；

log￡a<log,bD.b——<a——

,~b~aab

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較大小等知識，逐一分析各個選項，即

可得答案.

【詳解】因為。>。>工>0,所以。>1,

a

對于A：0<|<1,a-b>0,所以<［：］=1，故A錯誤;

對于B：y>l,所以y=l°g^x在(0,+s)上為增函數(shù),

bb

又a>b,所以log">log?,故B錯誤；

bb

對于C：log±a-log/=log&a+logJ=logq.，

babbb

因為@>1,ab>\,所以10gqM>log*=°,

bbb

所以l