高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期普通高考模擬測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，則，兩式相減可得：，即，令，可得，且，所以.故選：A.2.在平面直角坐標系中，，，射線逆時針旋轉(zhuǎn)最小角，使得與重合，則（）A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗設(shè)角終邊上的點分別為，，，則，射線逆時針旋轉(zhuǎn)最小角，使得與重合，所以，所以.故選：A.3.的展開式中的系數(shù)為（）A.48 B.30 C.60 D.120〖答案〗C〖解析〗因為的展開式的通項公式為，令，解得，可得的系數(shù)為.故選：C4.已知拋物線：的焦點為，A，是拋物線上關(guān)于其對稱軸對稱的兩點，若，為坐標原點，則點A的橫坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：，設(shè)，則，可得，因為，則，解得，即點A的橫坐標為.故選：C.5.如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿一種機械，通常由兩個圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進入兩層中間，沿著紋理向外運移，在滾動過兩層面時被磨碎，形成粉末．如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成，每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（）A.4 B.2 C.8 D.6〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，則石磨的側(cè)面積為，解得.故選：A.6.若曲線在點處的切線方程為，則（）A.3 B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗因為，則，由題意可得：，解得，所以.故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，則，由題意可得，解得，即實數(shù)的最大值為.故選：C.8.已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為奇函數(shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線對稱，又因為為奇函數(shù)，則，即，可知關(guān)于點對稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.二、選擇題9.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得：，則，解得，可得，故BCD正確，A錯誤.故選：BCD.10.某學(xué)校舉行消防安全意識培訓(xùn)，并在培訓(xùn)前后對培訓(xùn)人員進行消防安全意識問卷測試，所得分數(shù)（滿分：100分）的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.培訓(xùn)前得分的中位數(shù)小于培訓(xùn)后得分的中位數(shù)B.培訓(xùn)前得分的中位數(shù)大于培訓(xùn)后得分的中位數(shù)C.培訓(xùn)前得分的平均數(shù)小于培訓(xùn)后得分的平均數(shù)D.培訓(xùn)前得分的平均數(shù)大于培訓(xùn)后得分的平均數(shù)〖答案〗AC〖解析〗由頻率分布直方圖可知：兩個頻率直方圖均為單峰。且培訓(xùn)前直方圖在右側(cè)拖尾，培訓(xùn)后直方圖在左側(cè)拖尾，可知培訓(xùn)前的中位數(shù)小于75，培訓(xùn)后的中位數(shù)大于75，所以培訓(xùn)前得分的中位數(shù)小于培訓(xùn)后得分的中位數(shù)，故A正確，B錯誤；設(shè)培訓(xùn)前每組的頻率依次為，則培訓(xùn)后每組的頻率依次為，則培訓(xùn)前平均數(shù)估計為，培訓(xùn)后平均數(shù)估計為，則，可得，即培訓(xùn)前得分的平均數(shù)小于培訓(xùn)后得分的平均數(shù)，故C正確，D錯誤；故選：AC.11.已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，直線：與雙曲線的右支相交于A，兩點（點A在第一象限），若，則（）A.雙曲線的離心率為 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可知：，因為直線：，可知直線過右焦點，斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，設(shè)，由，可得，，，故B正確；在中，可知，由余弦定理可得：，即，解得或（舍去），可得雙曲線的離心率為，，故A正確，D錯誤；在中，可知，由余弦定理，即，解得，故C錯誤；故選：AB.三、填空題12.若集合，，則______．〖答案〗〖解析〗由題意可得：.故〖答案〗為：.13.在直三棱柱中，，，過作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由直三棱柱可知，平面，又，所以兩兩垂直，設(shè)直三棱柱外接球的半徑為R，通過構(gòu)造長方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長的長方體外接球相同；過作該直三棱柱外接球的截面，當為所截圓的直徑時截面面積最小，因為，則所求截面面積最小值為.故〖答案〗為：.14.過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則______．〖答案〗81〖解析〗圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為，半徑；由題意可知：，可知點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為，整理得，結(jié)合圓：，兩圓方程作差，可得直線的方程為，即，若直線與圓：相切，則，整理得.故〖答案〗為：81.四、解答題15.已知函數(shù)，且．（1）證明：曲線在點處的切線方程過坐標原點．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．（1）證明：因為，所以，則，，所以在處的切線方程為:，當時，，故，所以曲線在點處切線的方程過坐標原點.（2）解：由（1）得，當時，，則，故單調(diào)遞減；當時，令則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.16.如圖，為圓錐的頂點，是底面圓的一條直徑，，是底面圓弧的三等分點，，分別為，的中點．（1）證明：點在平面內(nèi)．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接，如圖，因為，是底面圓弧的三等分點，，，均為等邊三角形，，則四邊形為菱形，，因為，分別為，的中點，，，故點在平面內(nèi).（2）解：作，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，因為，則，故，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以，易知平面的一個法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為17.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個信號數(shù)字之間相互獨立．由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．（1）記發(fā)送信號變量為，接收信號變量為,且滿足，，，求；（2）當發(fā)送信號0時，接收為0概率為，定義隨機變量的“有效值”為（其中是的所有可能的取值，），發(fā)送信號“000”的接收信號為“”，記為，，三個數(shù)字之和，求的“有效值”．（，）解：（1）由題意可知：，，所以.（2）由題意可知：當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為，接收為1的概率為，可知：的可能取值有0，1，2，3，則，，可得的“有效值”，即的“有效值”約為0.45.18.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，證明：．（1）解：因為，則，且，令，則，可得；又因為，則，整理得，可知數(shù)列是以首項為4，公差為4的等差數(shù)列，則，且，可得，當時，；當時，；可知符合上式，所以.（2）證明：由（1）可得：，當時，，可得；且，綜上所述：.19.已知過點的直線與圓：相交于，兩點，的中點為，過的中點且平行于的直線交于點，記點的軌跡為．（1）求軌跡的方程．（2）若為軌跡上的兩個動點且均不在軸上，點滿足（，），其中為坐標原點，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①點在軌跡上；②直線與的斜率之積為；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．解：（1）由題意可知：圓：的圓心為，半徑，由題意可知：不為x軸，即不在x軸上，因為為的中點，則，又因為∥，則，即為線段的中垂線，則，可得，可知：點的軌跡是以為焦點的橢圓，