2026年高考數(shù)學全攻略：重點題型解析與練習一、函數(shù)與導數(shù)綜合題（共3題，每題15分）題目1（15分）已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+1，其中a、b為實數(shù)。（1）若f(x)在x=1處取得極值，求a、b的值；（2）若f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調遞增，求a的取值范圍；（3）證明：當b>2時，方程f(x)=0在(0,2)上有兩個不相等的實根。題目2（15分）定義在R上的函數(shù)g(x)滿足g(x+1)=g(x)+sinπx，且g(0)=1。（1）求g(2026)的值；（2）討論g(x)的單調性；（3）是否存在實數(shù)m，使得g(x)-m在[0,π]上恒為非負數(shù)？若存在，求m的取值范圍。題目3（15分）已知函數(shù)h(x)=e^x-(k+1)x2+kx（k∈R）。（1）求h(x)的極值點；（2）若h(x)在(0,+∞)上單調遞增，求k的范圍；（3）若h(x)在(-1,1)上恒大于0，求k的取值范圍。二、三角函數(shù)與解三角形（共2題，每題20分）題目4（20分）已知函數(shù)f(θ)=2sin2θ+3sinθcosθ+4cos2θ（θ∈[0,2π]）。（1）求f(θ)的最小值及取得最小值時的θ值；（2）若sinα+cosα=t，求f(α)關于t的解析式；（3）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且f(A)=7，求a2+b2+c2的值。題目5（20分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2=2c2。（1）若sinA+sinB=√3sinC，求角C的度數(shù)；（2）若c=2√3，且cos(A-B)=1/2，求△ABC的面積；（3）證明：當△ABC周長固定時，其面積存在最大值，并求出該最大值。三、數(shù)列與不等式（共3題，每題15分）題目6（15分）已知數(shù)列{a_n}滿足a?=1，a_n+1=(n+1)a_n/(n+a_n)，n∈N。（1）求a?、a?的值；（2）猜想{a_n}的通項公式，并證明；（3）若b_n=a_nlna_n，求S_n=b?+b?+...+b_n的前n項和。題目7（15分）已知不等式3^x+3^(1-x)≥k對任意x∈R恒成立。（1）求k的最大值；（2）若a?=1，a_n+1=3^(1-x)·a_n，求{a_n}的最小項；（3）證明：當x>0時，ln(1+x)>x-1/2x2。題目8（15分）設不等式x2+px+q≥0對任意x∈[1,2]恒成立，其中p、q為實數(shù)。（1）求p、q的范圍；（2）若f(x)=x3-px2+qx，求f(x)在[1,2]上的最小值；（3）證明：若x?、x?是方程x2+px+q=0的兩根，則|x?-x?|≤√2。四、立體幾何與解析幾何（共2題，每題20分）題目9（20分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面，PA=2，E為PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABE的體積；（3）若點F在棱PC上，且PF=1，求二面角D-PC-B的余弦值。題目10（20分）已知橢圓C：x2/4+y2/3=1的離心率為√(1/4)，左焦點為F?，右頂點為A。（1）求直線AF?的方程；（2）若P為橢圓C上一點，且PF?+PF?=4（F?為右焦點），求∠PF?F?的度數(shù)；（3）設M為橢圓C上任意一點，求|FM?|+|FM?|（F?、F?為焦點）的最小值。五、概率與統(tǒng)計（共2題，每題15分）題目11（15分）某校高三年級進行數(shù)學競賽，參賽學生共有200名，成績分布如下表：|成績分段|人數(shù)||-|||[0,60)|20||[60,80)|50||[80,90)|70||[90,100]|60|（1）求成績在[70,90)區(qū)間的頻率；（2）若從成績在[80,100]的學生中隨機抽取3人，求至少有1人成績在[90,100]的概率；（3）用樣本估計總體，若該校高三年級共有1000名學生，估計成績不低于80分的學生人數(shù)。題目12（15分）某射手每次射擊命中目標的概率為0.8，連續(xù)射擊3次，記命中次數(shù)為X。（1）求X的分布列；（2）求X的數(shù)學期望；（3）若命中目標即停止射擊，求射擊次數(shù)Y的數(shù)學期望。答案與解析一、函數(shù)與導數(shù)綜合題題目1（1）f'(x)=3x2-2ax+b，由f'(1)=0得3-2a+b=0，又f(1)=1-a+b+1=0，解得a=2，b=1；（2）f'(x)≥0在[-1,3]上恒成立，即3x2-4x+1≥0，解得x≤1/3或x≥1；（3）f'(x)=3x2-4x+1，f(0)=1>0，f(2)=3>0，f(1)=-1<0，且在(0,1)和(1,2)上各有一個極值點，由羅爾定理可知存在x?∈(0,1)，x?∈(1,2)，使f'(x?)=f'(x?)=0，結合f(x)單調性可知f(x)在(0,2)上恰有兩個零點。題目2（1）g(x)是以π為周期的周期函數(shù)，g(2026)=g(0)=1；（2）g'(x)=cosπx，在[2kπ,(2k+1)π]上單調遞增，在[(2k-1)π,2kπ]上單調遞減；（3）m≤g(x)min，g(x)在[0,π]上最小值為g(π/2)=2，故m≤2。題目3（1）h'(x)=e^x-2(k+1)x+k，令h'(x)=0得x?=0，x?=(k+1)/2，當k>-1時，x?>0；（2）h(x)單調遞增即h'(x)≥0，當x>0時，需k≤(e^x+2x)/(2x+1)，由極限可得k≤1；（3）h(x)min=h(1)=e-2k≥0，解得k≤e/2。二、三角函數(shù)與解三角形題目4（1）f(θ)=3+sin2θ+2cos2θ=5/2+√5/2sin(2θ+φ)，最小值為5/2-√5/2，θ=7π/6；（2）f(α)=3+√3t，t∈[-√2,√2]；（3）由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC=4，結合f(A)=7得sinA+cosA=√2，故a2+b2=4+c2=8，周長為6時面積最大。題目5（1）由正弦定理得a+b=c√3，結合a2+b2=2c2，解得C=60°；（2）由余弦定理得c2=a2+b2-ab，代入c=2√3得ab=4，面積S=1/2absinC=√3；（3）設a+b=2k，則a2+b2=4k2-2ab≥4k2-8，面積S≤√3/4(4k2-8)，當ab=4時取等。三、數(shù)列與不等式題目6（1）a?=1/2，a?=1/6；（2）a_n=n!/(n+1)^(n-1)，數(shù)學歸納法證明；（3）b_n=a_nlna_n≤a_n(1-lna_n)，S_n≤n/2。題目7（1）k≤6-4√3；（2）a_n=3^(n-1)，最小項為a?；（3）令f(x)=x-ln(1+x)-x/2，f''(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增。題目8（1）對稱軸x=-p/2∈[1,2]，Δ≤0，解得-4≤p≤-2，q≥-2；（2）f(1)=2，f(2)=6，f'(x)=3x2-2px+q，最小值在x=1或x=2處取到；（3）由判別式Δ≥0得p2-4q≥0，|x?-x?|2=(p2-4q)/4≤1。四、立體幾何與解析幾何題目9（1）PC⊥面ABE，∠PBC=90°，∠ABC=90°，∠PAB=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PAB=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°。題目10（1）AF?：y=-√3/3(x+1)；（2）由橢圓定義及余弦定理得cos∠PF?F?=1/2；（3）利用橢圓第二定義，|FM?|+|FM?|=2a=4。五、概率與統(tǒng)計題目