第五講離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量對隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)w，都有唯一的實(shí)數(shù)X(w)與之對應(yīng)，稱為____________，通常用大寫英文字母X，Y，…表示隨機(jī)變量．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為__________隨機(jī)變量．隨機(jī)變量離散型知識點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1．一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi為X的分布列，可用表格表示為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnp1＋p2＋…＋pn3．兩點(diǎn)分布或0－1分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．X01P1－pp標(biāo)準(zhǔn)差aE(X)＋b

a2D(X)歸

納

拓

展1．若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b是常數(shù))也是隨機(jī)變量．2．隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的．3．隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．4．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越?。p

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．(

)(2)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)(4)由下列給出的隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布．(

)X25P0.30.7√

×

√

×

3．(選擇性必修3P69例6)A、B兩種股票，每股收益分布列如表股票A收益分布列股票B收益分布列則投資_______股票期望大，投資_______股票風(fēng)險(xiǎn)高．收益X/元－102概率a0.30.6收益Y/元012概率0.30.4bA

A

[解析]

由分布列的性質(zhì)易知a＝0.1，b＝0.3，從而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，∴E(X)>E(Y)，投資A股票期望大，D(X)>D(Y)投資A股票風(fēng)險(xiǎn)高．題組三走向高考4．(2022·浙江)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P(ξ＝2)＝___________，E(ξ)＝__________.B考點(diǎn)突破·互動探究離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)——自主練透ABC名師點(diǎn)撥：1．利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，要注意檢查每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．2．求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量對應(yīng)的概率值相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．C離散型隨機(jī)變量的均值與方差——多維探究BAC角度3實(shí)際問題中的均值、方差問題(2024·山東新高考質(zhì)檢聯(lián)盟聯(lián)考)已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．(1)現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找出時(shí)檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用15元，設(shè)X表示能找出甲箱中的所有次品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．名師點(diǎn)撥：求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的步驟：注：求離散型隨機(jī)變量X的分布列，首先要理解X的意義，準(zhǔn)確寫出X的所有可能值，其次要準(zhǔn)確求出X取各個(gè)值時(shí)的概率．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2022·江蘇鎮(zhèn)江調(diào)研)隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)＝________.[解析]

由題意知E(X)＝2×0.3＋4×0.3＝1.8，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝13.X024P0.40.30.313D3．(角度3)(2022·全國甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.即X的分布列為期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.X0102030P0.160.440.340.06均值、方差在決策問題中的應(yīng)用——師生共研(2024·河南高三起點(diǎn)考試)某考生在做高考數(shù)學(xué)模擬題第12題時(shí)發(fā)現(xiàn)不會做．已知該題有四個(gè)選項(xiàng)，為多選題，至少有兩項(xiàng)正確，至多有3個(gè)選項(xiàng)正確．評分標(biāo)準(zhǔn)為：全部選對得5分，部分選對得2分，選到錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分．設(shè)此題正確答案為2個(gè)選項(xiàng)的概率為p0(0<p0<1)．已知該考生隨機(jī)選擇若干個(gè)(至少一個(gè))．名師點(diǎn)撥：隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．有時(shí)也通過比較事件發(fā)生概率的值進(jìn)行決策．【變式訓(xùn)練】(2024·四川成都診斷、四川綿陽高三突擊班診斷)新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選對得5分．對而不全得2分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分．設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為p(0<p<1)，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1－p，沒有4個(gè)選項(xiàng)都正確的(在本問題中認(rèn)為其概率為0)．在一次模擬考試中：名師講壇·素養(yǎng)提升名師點(diǎn)撥：解