2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上專題04軸對(duì)稱章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱圖形】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。注意：理解軸對(duì)稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形，反映的是這個(gè)圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。【例1】（2019春?相城區(qū)期中）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2018秋?開(kāi)封期中）下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2018秋?宜興市校級(jí)期中）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)2角平分線的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法；（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)，通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段?！纠?】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長(zhǎng)是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【變式2-1】（2018秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，已知△ABC的面積為28．AC＝6，DE＝4，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．4 D．10【變式2-2】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝2，則BF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-3】（2018秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，則AC長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．6 D．5【考點(diǎn)3線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度。（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段?！纠?】（2019春?普寧市期中）如圖：在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長(zhǎng)是（）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm【變式3-1】（2019春?南華縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式3-2】（2018秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線，△ABC的周長(zhǎng)為19，△BCE的周長(zhǎng)為12，則線段AB的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．7 D．6【變式3-3】（2018春?雨城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【考點(diǎn)4等腰三角形的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。2.等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）。3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）?！纠?】（2018春?金水區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【變式4-1】（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC＝BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（）A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2【變式4-2】（2018秋?邗江區(qū)期中）如圖，若AB＝AC，下列三角形能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）【變式4-3】（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個(gè)△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個(gè)△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．175° B．170° C．10° D．5°【考點(diǎn)5軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)：1.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱?！纠?】（2019春?貴陽(yáng)期末）如圖，點(diǎn)P是△ACB外的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是△ACB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，則線段P1P2的長(zhǎng)為．【變式5-1】（2019春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB，AC對(duì)稱的點(diǎn)分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于M、N，分別連接DM、DN，已知△DMN的周長(zhǎng)是6cm，那么EF＝．【變式5-2】（2019春?山亭區(qū)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，MN分別交OA，OB于C，D點(diǎn)，若△PCD的周長(zhǎng)為30cm，則線段MN的長(zhǎng)為cm．【變式5-3】（2018春?鳳翔縣期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在線段MN的延長(zhǎng)線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)6設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案】【方法點(diǎn)撥】設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點(diǎn)紙）為基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些圖形本身就是軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計(jì)出它們的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ部分。設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案時(shí)，要先確定出有幾條對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的不同，合理地設(shè)計(jì)出整體的軸對(duì)稱圖案。具體設(shè)計(jì)時(shí)，我們通常先以一條對(duì)稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對(duì)稱軸，進(jìn)一步設(shè)計(jì)美觀、完善的圖案。注意：（1）要設(shè)計(jì)的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對(duì)稱圖形，如果是軸對(duì)稱圖形，要先確定它的對(duì)稱軸；（3）設(shè)計(jì)軸對(duì)稱的美術(shù)圖案時(shí)，除圖形對(duì)稱外，有時(shí)顏色也要“對(duì)稱”。【例6】（2019春?赫山區(qū)期末）如圖是網(wǎng)格中由五個(gè)小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）（1）圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；（2）圖②中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且只有一條對(duì)稱軸（畫出一個(gè)即可）【變式6-1】（2019春?東明縣期末）如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個(gè)相間小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有4個(gè)小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個(gè)涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出四種方案．【變式6-2】（2018秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．請(qǐng)分別在下列圖中畫一個(gè)位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與△ABC成軸對(duì)稱圖形．【變式6-3】（2018秋?東臺(tái)市期中）方格紙中每個(gè)小方格都的邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形；（2）在圖2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；（3）直接寫出圖3中△FGH的面積是．【考點(diǎn)7等腰三角形的判定】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)?！纠?】（2019春?深圳期中）如圖，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求證：△DGE是等腰三角形．【變式7-1】（2018秋?雙陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．求證：△BED是等腰三角形．【變式7-2】（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖，O為△ABC的∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，∠1＝∠2，求證：△ABC是等腰三角形．【變式7-3】（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC．求證：△ABC是等腰三角形．【考點(diǎn)8“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）?！纠?】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．【變式8-1】（2019秋?青山區(qū)期中）在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．（1）如圖1，求證：AB＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長(zhǎng)．【變式8-2】（2019?衡陽(yáng)校級(jí)期中）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．【變式8-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)9等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形?！纠?】（2018秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)．【變式9-1】（2018秋?邵陽(yáng)縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．【變式9-2】（2019秋?壽光市期末）如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN．（1）求證：△ABE≌△DBC．（2）試判斷△BMN的形狀，并說(shuō)明理由．【變式9-3】（2019秋?中江縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【考點(diǎn)10翻折變換】【例10】（2018春?錦江區(qū)期末）在探索三角形全等的條件時(shí)，老師給出了定長(zhǎng)線段a，b，且長(zhǎng)度為b的邊所對(duì)的角為n°（0＜n＜90°）小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個(gè)三角形重合在一起（如圖2），其中AB＝a，BD＝BC＝b，發(fā)現(xiàn)它們不全等，但他們對(duì)該圖形產(chǎn)生了濃厚興趣，并進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：（1）當(dāng)n＝45時(shí)（如圖2），小明測(cè)得∠ABC＝65°，請(qǐng)根據(jù)小明的測(cè)量結(jié)果，求∠ABD的大?。唬?）當(dāng)n≠45時(shí)，將△ABD沿AB翻折，得到△ABD′（如圖3），小明和小亮發(fā)現(xiàn)∠D′BC的大小與角度n有關(guān)，請(qǐng)找出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖4，在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)B作AD′的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F，使得EF＝（AD+AC），連接BF，請(qǐng)判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由．【變式10-1】（2019春?遷安市期末）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）觀察：（1）如圖1，若∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，∠ACB＝°猜想：（2）如圖2，隨著點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)E，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠E的度數(shù)；如果會(huì)改變，說(shuō)明理由．拓展：（3）如圖3，在（2）基礎(chǔ)上，小明將△ABE沿MN折疊，使點(diǎn)E落在四邊形ABMN內(nèi)點(diǎn)E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度數(shù)．【變式10-2】（2019春?硚口區(qū)月考）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接EP，F(xiàn)P．過(guò)FP上的點(diǎn)M作MN∥EP，交CD于點(diǎn)N，且∠MNF＝∠AEP．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊后交EP于點(diǎn)G，GH平分∠EGF，若GH∥AB，請(qǐng)寫出∠EPF與∠GFC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后兩條射線相交于點(diǎn)Q，直接寫出當(dāng)∠EPF＝度時(shí)，EQ⊥FQ．【變式10-3】（2019春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)；拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．八上專題4軸對(duì)稱章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱圖形】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。注意：理解軸對(duì)稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形，反映的是這個(gè)圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條?！纠?】下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形叫軸對(duì)稱圖形，進(jìn)而判斷得出即可．【答案】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，對(duì)稱軸可使圖形兩部分折疊后重合．【變式1-1】如圖，四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．【答案】解：A、B、C不是軸對(duì)稱圖形，D是軸對(duì)稱圖形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【變式1-2】下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【答案】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．【變式1-3】下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【答案】解：只有第1個(gè)不是軸對(duì)稱圖形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．【考點(diǎn)2角平分線的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法；（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)，通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段?！纠?】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長(zhǎng)是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝CD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周長(zhǎng)＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得解．【答案】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周長(zhǎng)＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB＝6cm，∴△DBE的周長(zhǎng)＝6cm．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)求出△DBE的周長(zhǎng)＝AB是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，已知△ABC的面積為28．AC＝6，DE＝4，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．4 D．10【分析】作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【答案】解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝4，×AB×DE+×AC×DF＝28，即×AB×4+×6×4＝28，解得，AB＝8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝2，則BF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】過(guò)D作DG⊥AC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DG＝DE＝2，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【答案】解：過(guò)D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝AC?BF＝S△ABD+S△ACD＝AB?DE+AC?DG，∴×4?BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，則AC長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】作DF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面積公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×4×7+×4×AC＝24，然后解一次方程即可．【答案】解：作DF⊥AC于F，如圖，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×4×7+×4×AC＝24，∴AC＝5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用面積法構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)3線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度。（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段?！纠?】如圖：在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長(zhǎng)是（）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【答案】解：∵AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，進(jìn)而得出答案．【答案】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周長(zhǎng)為：4+3＝7．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確得出AD＝BD是解題關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線，△ABC的周長(zhǎng)為19，△BCE的周長(zhǎng)為12，則線段AB的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】由DE為AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝BE，又由△BCE的周長(zhǎng)為12，可得AC+BC＝12，繼而求得答案．【答案】解：∵DE為AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵△BCE的周長(zhǎng)為12，∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，∵△ABC的周長(zhǎng)為19，∴AB+AC+BC＝19，∴AB＝19﹣12＝7，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【變式3-3】如圖，在△ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB，QA＝QC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【答案】解：∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，∵PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，∴PA＝PB，QA＝QC，∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠PAQ＝180°﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝20°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4等腰三角形的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。2.等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）。3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）?！纠?】已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開(kāi)來(lái)討論．【答案】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴頂角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，已知AB＝AC＝BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（）A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠1和∠C之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1和∠2之間的關(guān)系．【答案】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題難度適中．【變式4-2】如圖，若AB＝AC，下列三角形能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）【分析】根據(jù)等腰三角形的判定對(duì)①②③④個(gè)選項(xiàng)逐一分析，只有②不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形【答案】解：①中作∠B的角平分線即可；③過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線即可；④中以A為頂點(diǎn)AB為一邊在三角形內(nèi)部作一個(gè)72度的角即可；只有②選項(xiàng)不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的內(nèi)角和定理；進(jìn)行嘗試操作是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，在第一個(gè)△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個(gè)△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．175° B．170° C．10° D．5°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出∠A6的度數(shù)．【答案】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；A同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴∠An＝，以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的底角為∠A5．∵∠A5＝＝5°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)：1.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱。【例5】如圖，點(diǎn)P是△ACB外的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是△ACB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，則線段P1P2的長(zhǎng)為．【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PE＝EP1，PD＝DP2，進(jìn)而利用DE＝4cm，得出P1D的長(zhǎng)，即可得出P1P2的長(zhǎng)．【答案】解：∵點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上，∴PE＝EP1，PD＝DP2，∵PE＝2.5cm，PD＝3cm，DE＝4cm，∴P2D＝3cm，EP1＝2.5cm，即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5（cm），則線段P1P2的長(zhǎng)為：P1D+DP2＝1.5+3＝4.5（cm）．故答案為4.5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出PE＝EP1，PD＝DP2是解題關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB，AC對(duì)稱的點(diǎn)分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于M、N，分別連接DM、DN，已知△DMN的周長(zhǎng)是6cm，那么EF＝．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知，EM＝DM，F(xiàn)N＝DN，所以由△DMN的周長(zhǎng)公式得到△DMN的周長(zhǎng)＝EF．【答案】解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，EM＝DM，F(xiàn)N＝DN，∴EF＝EM+MN+FN＝DM+MN+DN＝△DMN的周長(zhǎng)＝6cm．∴△DMN的周長(zhǎng)＝EF＝6cm．故答案是：6cm．【點(diǎn)睛】考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【變式5-2】如圖，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，MN分別交OA，OB于C，D點(diǎn)，若△PCD的周長(zhǎng)為30cm，則線段MN的長(zhǎng)為cm．【分析】利用對(duì)稱性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成△PCD的周長(zhǎng)，問(wèn)題得解．【答案】解：∵點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，∴MC＝PC，ND＝PD，∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等．【變式5-3】如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在線段MN的延長(zhǎng)線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長(zhǎng)為．【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的長(zhǎng)度，然后根據(jù)QR＝QN+NR即可求得QR的長(zhǎng)度．【答案】解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案為：4.5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案】【方法點(diǎn)撥】設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點(diǎn)紙）為基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些圖形本身就是軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計(jì)出它們的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ部分。設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案時(shí)，要先確定出有幾條對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的不同，合理地設(shè)計(jì)出整體的軸對(duì)稱圖案。具體設(shè)計(jì)時(shí)，我們通常先以一條對(duì)稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對(duì)稱軸，進(jìn)一步設(shè)計(jì)美觀、完善的圖案。注意：（1）要設(shè)計(jì)的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對(duì)稱圖形，如果是軸對(duì)稱圖形，要先確定它的對(duì)稱軸；（3）設(shè)計(jì)軸對(duì)稱的美術(shù)圖案時(shí)，除圖形對(duì)稱外，有時(shí)顏色也要“對(duì)稱”?！纠?】如圖是網(wǎng)格中由五個(gè)小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）（1）圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；（2）圖②中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且只有一條對(duì)稱軸（畫出一個(gè)即可）【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的定義分析得出答案；（2）直接利用軸對(duì)稱圖形的定義分析得出答案．【答案】解：（1）如圖①所示：即為所求；（2）如圖②所示：即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．【變式6-1】如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個(gè)相間小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有4個(gè)小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個(gè)涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出四種方案．【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義分析得出答案．【答案】解：如圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．請(qǐng)分別在下列圖中畫一個(gè)位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與△ABC成軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，不同的對(duì)稱軸，可以有不同的對(duì)稱圖形，所以可以稱找出不同的對(duì)稱軸，再思考如何畫對(duì)稱圖形．【答案】畫對(duì)任意三種即可．．【點(diǎn)睛】此題考查的是利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；②利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；③按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn)【變式6-3】方格紙中每個(gè)小方格都的邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形；（2）在圖2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；（3）直接寫出圖3中△FGH的面積是．【分析】（1）找出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)即可；（2）先構(gòu)造以1和3為直角邊的直角三角形，然后以三角形的斜邊為邊構(gòu)造正方形即可；（3）構(gòu)造如圖所示的矩形，根據(jù)△GFH的面積＝矩形面積減去三角形直角三角形的面積求解即可．【答案】解：（1）如圖1所示：（2）如圖2所示：（3）如圖3所示：△FGH的面積＝矩形ABHC的面積﹣△AFG的面積﹣△BGH的面積﹣△FCH的面積＝5×6﹣﹣﹣＝9故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，將三角形GEH的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形與三個(gè)直角三角形的面積的差是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7等腰三角形的判定】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。【例7】如圖，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求證：△DGE是等腰三角形．【分析】根據(jù)已知條件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，則G為等腰△ABC底邊BC的中點(diǎn)，為此連接AG，由等腰三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)，得出結(jié)果【答案】解：連接AG，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB．又∵G為BC中點(diǎn)，∴AG⊥BC．∴AG⊥DE且平分DE，∴DG＝GE．∴△DGE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的知識(shí)點(diǎn)，解題要充分利用已知條件，聯(lián)系所學(xué)結(jié)論，靈活選用解法．【變式7-1】如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．求證：△BED是等腰三角形．【分析】依據(jù)角平分線即可得到∠EBD＝∠DBC，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠EDB＝∠DBC，進(jìn)而得出∠EBD＝∠EDB，由此可得△BED是等腰三角形．【答案】證明∵BD是△ABC的角平分線，∴∠EBD＝∠DBC．∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC．∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，∴△BED是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【變式7-2】已知：如圖，O為△ABC的∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，∠1＝∠2，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】要證明三角形是等腰三角形，只需證明∠ABC＝∠ACB即可，只要∠5＝∠6，只要三角形全等即可，作出輔助線可證明三角形全等，于是答案可得．【答案】證明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE＝OF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．∵∠1＝∠2，∴OB＝OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5＝∠6．∴∠1+∠5＝∠2+∠6．即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性質(zhì)；作出輔助線構(gòu)建全等的三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC．求證：△ABC是等腰三角形．【分析】由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形．【答案】證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，以及角平分線的判定等知識(shí)．此題難度不大，注意等角對(duì)等邊與三線合一定理的應(yīng)用．【考點(diǎn)8“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）?！纠?】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．【分析】只要證明AF＝AE，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；【答案】證明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE∴∠AFE＝∠AEF，∴△AFE為等腰三角形又∵G為EF的中點(diǎn)∴AG⊥EF．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式8-1】在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．（1）如圖1，求證：AB＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）想辦法證明∠B＝∠C即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，作AG⊥BC于G．利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明BD＝CE即可解決問(wèn)題．【答案】（1）證明：如圖1中，∵AG為∠BAC的平分線，∴∠BAG＝∠CAG，∵AG為BC邊上高∴∠AGB＝∠AGC＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）如圖2中，作AG⊥BC于G．∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵AD＝AE，AG⊥BC，∴DG＝EG，∴BG﹣DG＝CG﹣EG，∴BD＝CE，∵BC＝10cm，DE＝6cm，∴BD＝2cm．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式8-2】已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．【分析】欲證BD＝DE，只需證∠DBE＝∠E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明∠DBE＝∠E＝30°．【答案】證明：∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴BD＝DE．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)．此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．【變式8-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN；（2）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN．【答案】解：（1）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．（2）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMD≌△CND是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。【例9】如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C，進(jìn)而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，從而求得BM+PB＝AB＝12cm，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出MC的長(zhǎng)．【答案】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等邊三角形；（2）根據(jù)題意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本題的關(guān)鍵．【變式9-1】如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．【分析】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問(wèn)題．（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問(wèn)題．【答案】解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長(zhǎng)＝BC＝10．【點(diǎn)睛】該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、解答．【變式9-2】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN．（1）求證：△ABE≌△DBC．（2）試判斷△BMN的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由三角形ABD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角相等都為60°，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形DBC全等；（2）三角形BMN為等邊三角形，理由為：由第一問(wèn)三角形ABE與三角形DBC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由∠ABD＝∠EBC＝60°，利用平角的定義得到∠MBE＝∠NBC＝60°，再由EB＝CB，利用ASA可得出三角形EMB與三角形CNB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到MB＝NB，再由∠MBE＝60°，利用有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN為等邊三角形．【答案】解：（1）證明：∵等邊△ABD和等邊△BCE，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）△BMN為等邊三角形，理由為：證明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB＝∠DCB，又∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠MBE＝∠NBC＝60°，在△MBE和△NBC中，∵，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM＝BN，∠MBE＝60°，則△BMN為等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)做第二問(wèn)時(shí)注意利用第一問(wèn)已證的結(jié)論．【變式9-3】圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB，NM的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【答案】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)10翻折變換】【例10】（2018春?錦江區(qū)期末）在探索三角形全等的條件時(shí)，老師給出了定長(zhǎng)線段a，b，且長(zhǎng)度為b的邊所對(duì)的角為n°（0＜n＜90°）小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個(gè)三角形重合在一起（如圖2），其中AB＝a，BD＝BC＝b，發(fā)現(xiàn)它們不全等，但他們對(duì)該圖形產(chǎn)生了濃厚興趣，并進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：（1）當(dāng)n＝45時(shí)（如圖2），小明測(cè)得∠ABC＝65°，請(qǐng)根據(jù)小明的測(cè)量結(jié)果，求∠ABD的大??；（2）當(dāng)n≠45時(shí)，將△ABD沿AB翻折，得到△ABD′（如圖3），小明和小亮發(fā)現(xiàn)∠D′BC的大小與角度n有關(guān)，請(qǐng)找出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖4，在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)B作AD′的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F，使得EF＝（AD+AC），連接BF，請(qǐng)判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠C＝70°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BDC＝70°，從而得∠CBD的度數(shù)，可得結(jié)論；（2）設(shè)∠BDC＝∠C＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)分別表示∠ABD和∠DBC，相加可得結(jié)論；（3）作垂線BT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：BE＝BT，證明Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），得AE＝AT，證明BE是AF的垂直平分線，可得結(jié)論．【答案】解：（1）如圖2，△ABC中，∠A＝n°＝45°，∠ABC＝65°，∴∠C＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝70°，∴∠DBC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠ABD＝65°﹣40°＝25°；（2）如圖3，∠D'BC＝180°﹣2n°，理由是：設(shè)∠BDC＝∠C＝α，∴∠DBC＝180°﹣2α，△ADB中，∠BDC＝∠DAB+∠ABD，即α＝n°+∠ABD，∴∠ABD＝α﹣n°，由翻折得：∠ABD'＝∠ABD＝α﹣n°，∴∠D'BC＝∠D'BD+∠DBC＝2∠ABD+∠DBC＝2（α﹣n°）+（180°﹣2α）＝180°﹣2n°；（3）△ABF是等腰三角形，且BF＝AB，理由是：如圖4，過(guò)B作BT⊥AC于T，由折疊得：∠D'BC＝∠DAB，∵BE⊥AF，∴BE＝BT，在Rt△ABE和Rt△ABT中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），∴AE＝AT，∵AD＝AD'，∴DT＝D'E＝TC，∴＝AT，∵EF＝，∴AT＝EF＝AE，∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分線，∴BF＝AB，∴△ABF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式10-1】已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）觀察：（1）如圖1，若∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，∠ACB＝°猜想：（2）如圖2，隨著點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)E，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠E的度數(shù)；如果會(huì)改變，說(shuō)明理由．拓展：（3）如圖3，在（2）基礎(chǔ)上，小明將△ABE沿MN折疊，使點(diǎn)E落在四邊形ABMN內(nèi)點(diǎn)E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理角平分線的定義計(jì)算即可．（2）利用三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建關(guān)系式解決問(wèn)題即可．（3）根據(jù)翻折不變性，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式解決問(wèn)題即可．【答案】解：觀察：（1）∵∠MON＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝45°，∴∠CBA＝180°﹣45°＝135°故答案為135．猜想：（2）∵AE是∠BAO的平分線∴∠BAE＝∠BAO，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠CBA＝∠NBA，∵∠NBA＝∠O+∠BAO，∴∠CBA＝（∠O+∠BAO）＝45°+∠BAE，∵∠CBA＝∠E+∠BAE，∴∠E+∠BAE＝45°+∠BAE，即∠E＝45°．拓展：（3）由折疊可得，∠EMN＝∠E′MN，∠ENM＝∠E′NM，∴2∠EMN+∠BME′＝180°，2∠ENM+∠ANE′＝180°，∴∠BME′＝180°﹣2∠EMN，∠ANE′＝180°﹣2∠ENM，∴∠BME′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠E，∠E＝45°，∴∠BME′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）＝360°﹣2（180°﹣∠E）＝2∠E＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式10-2】如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接EP，F(xiàn)P．過(guò)FP上的點(diǎn)M作MN∥EP，交CD于點(diǎn)N，且∠MNF＝∠AEP．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊后交EP于點(diǎn)G，GH平分∠EGF，若GH∥AB，請(qǐng)寫出∠EPF與∠GFC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后兩條射線相交于點(diǎn)Q，直接寫出當(dāng)∠EPF＝度時(shí)，EQ⊥FQ．【分析】（1）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明即可；（2）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)Q，根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)解答即可；（3）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)折疊和四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行分析解答．【答案】解：（1）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，如圖1，∵M(jìn)N∥EP，∴∠MPE＝∠NMP，∵∠MPE＝∠AEP+∠PQE，∠NMP＝∠MNF+∠MFN，∵∠MNF＝∠AEP，∴∠PQE＝∠MFN，∴AB∥CD；（2）延長(zhǎng)FP交CD于點(diǎn)Q，如圖2，∠EPF+∠GFC＝270°，理由如下：∵AB∥CD，∴∠BEP+∠FQP＝180°，∵將射線FC沿FP折疊，∴∠QFP＝∠PFG，∵GH∥AB，∴GH∥CD，∴∠FGH＝2∠CFP，∵∠EPF＝∠EQF+∠QFP，∴∠EPF＝180°﹣∠BEP+∠QFP，∵GH平分∠EGF，∴∠FGH＝∠HGE，∵GH∥CD，∴∠HGE＝∠FQP，∴∠EPF＝180°﹣∠BEP+∠FGH，∴∠EPF＝180°﹣∠BEP+（180°﹣∠BEP），∴∠EPF+∠BEP＝270°；（3）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q′，如圖3，∵AB∥CD，∴∠CFQ′＝∠PQ′E，∵將射線FC沿FP折疊，將射線EA沿EP折疊，∴∠CFP＝∠PFQ，∠QEP＝∠PEQ′，∵∠FPE＝∠PQ′E+∠PEQ′，EQ⊥FQ，′在四邊形FPEQ中，∠PFQ+∠QEP+∠FPE＝360°﹣90°＝270°，得：2∠FPE＝270°，∴∠FPE＝135°；故答案為：135．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)建平行線，利用三角形的外角和四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行解答．【變式10-3】發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)；拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，進(jìn)而求出∠A＝（∠1+∠2），即可得出答案．【答案】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，整理得2∠A＝∠1+∠2；（2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+×50°＝115°；（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，∠FHG+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A，∴∠A＝（∠1+∠2），∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻著變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．專題05全等三角形中的常見(jiàn)輔助線【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題；【例1】如圖，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求證：∠BFP+∠BEP＝180°．【變式1-1】（2019秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是．（2）請(qǐng)你證明（1）得出的結(jié)論．【變式1-2】（2019?北京校級(jí)期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，請(qǐng)你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-3】（2019秋?東區(qū)校級(jí)月考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不需證明）（2）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)2截取法構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】利用對(duì)稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；【例2】（2019秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知：在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AB+DC．【變式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式2-2】（2019秋?邵陽(yáng)期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，求證：AB＝AC+CD小明同學(xué)經(jīng)過(guò)思考，得到如下解題思路：在AB上截取AE＝AC，連接DE，得到△ADE≌△ADC，從而易證AB＝AC+CD（1）請(qǐng)你根據(jù)以上解思路寫出證明過(guò)程；（2）如圖②，若AD為△ABC的外角∠CAE平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠D＝25°，其他條件不變，求∠B的度數(shù)．【變式2-3】（2019?長(zhǎng)汀縣校級(jí)模擬）觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，求證：AB＝AC+CD；（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．【考點(diǎn)3延長(zhǎng)垂線段構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；【例3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F）．【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求證：AC﹣AB＝2BE．【變式3-2】（2019秋?通州區(qū)期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E．求證：BD＝2CE．【變式3-3】（2019?成都校級(jí)期中）如圖，△ABC中，過(guò)點(diǎn)A分別作∠ABC，∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE．D，E為垂足，求證：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【考點(diǎn)4倍長(zhǎng)中線法構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形.【例4】（2019秋?津南區(qū)校級(jí)期中）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．【變式4-1】（2019秋?閔行區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，D是BC邊上點(diǎn)，且DE＝CE，點(diǎn)F在AE上，聯(lián)結(jié)DF，滿足DF＝AC，求證：DF∥AB．【變式4-2】（2019春?富陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．求證：BE+CF＞EF．【變式4-3】（2019秋?啟東市校級(jí)月考）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【考點(diǎn)5作平行線構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形．或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形．【例5】若兩個(gè)三角形的一邊及其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，并有一對(duì)角互補(bǔ)（不是直角），則這兩個(gè)三角形為友好三角形．如圖1，點(diǎn)D在AB邊上，CD＝CB，則△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）兩個(gè)友好三角形全等．（從下面選擇一個(gè)正確的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上，連結(jié)DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求證：DF＝EF．（3）如圖3，CE是△ABC的中線，點(diǎn)D在AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，CF＝AE，DF＝DC，圖中與△ACE成友好三角形的是．【變式5-1】（2019秋?建湖縣期末）如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．【變式5-2】（2019春?河口區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥AB交BC于G．試判斷CE，CF，GB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP＝BQ+AQ．（有多種輔助線作法）【考點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)法構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。．【例6】（2019秋?清河區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD中，E、F為BC，CD的上點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF．【變式6-1】如圖，已知AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五邊形ABCDE的面積．【變式6-2】（2019春?泰安校級(jí)月考）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN．（1）求證：MN＝BM+NC；（2）求△AMN的周長(zhǎng)為多少？【變式6-3】已知，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，連接AF、EF．（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，且∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF；（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD，試問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．八上專題5全等三角形中的常見(jiàn)輔助線【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題；【例1】如圖，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求證：∠BFP+∠BEP＝180°．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD＝PH，利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△BHP全等，