2024八年級(jí)下數(shù)學(xué)專題1.1二次根式章末重難點(diǎn)題型【人教版】【考點(diǎn)1二次根式相關(guān)概念】【方法點(diǎn)撥】1．二次根式：形如（）的代數(shù)式叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．3．同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類二次根式．【例1】（2019春?浉河區(qū)校級(jí)月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式1-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡(jiǎn)二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【變式1-2】（2019春?左貢縣期中）二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【變式1-3】（2019春?海陽(yáng)市期中）若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【考點(diǎn)2二次根式有意義條件】【方法點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．分式分母不為零．【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)期中）為使有意義，x的取值范圍是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【變式2-2】（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【變式2-3】（2019秋?安岳縣校級(jí)期中）如果有意義，則x的取值范圍（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【考點(diǎn)3利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3】（2019春?海陽(yáng)市期中）把a(bǔ)根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，運(yùn)算結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【變式3-1】（2019春?漢陽(yáng)區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡(jiǎn)后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【變式3-2】（2018春?宜興市期中）（a﹣1）變形正確的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【變式3-3】（2019春?城區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【考點(diǎn)4利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【方法點(diǎn)撥】二次根式的性質(zhì)：（1）（2）【例4】（2019春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣b+3 B．a(chǎn)+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【變式4-1】（2019春?豐潤(rùn)區(qū)期中）若2＜a＜3，則＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【變式4-2】（2018秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡(jiǎn)|c+a|+﹣的正確結(jié)果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【變式4-3】（2018春?漢陽(yáng)區(qū)期中）若0＜x＜1，則﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【考點(diǎn)5二次根式的乘除運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的乘除法則（1）（2）【例5】（2019春?邗江區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）÷（2）÷3×【變式5-1】（2018秋?松江區(qū)期中）計(jì)算：?（﹣）÷（a＞0）【變式5-2】（2019秋?閘北區(qū)期中）計(jì)算：【變式5-3】（2019春?新泰市期中）化簡(jiǎn)下列式子：?3．【考點(diǎn)6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【變式6-1】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值；（1）x2+y2；（2）．【變式6-2】（2019春?長(zhǎng)白縣期中）已知﹣＝2，求的值．【變式6-3】（2018秋?通川區(qū)校級(jí)期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考點(diǎn)7二次根式的加減運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】二次根式的運(yùn)算法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)，再把同類二次根式合并．【例7】（2019春?武昌區(qū)期中）計(jì)算：（1）（2）【變式7-1】（2019春?蕭山區(qū)期中）計(jì)算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【變式7-2】（2018春?襄城區(qū)期中）計(jì)算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【變式7-3】（2018春?羅山縣期中）（1）（2）【考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算】【例8】（2019春?泰興市校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（2）3【變式8-1】（2019春?廣東期中）計(jì)算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【變式8-2】（2019春?杭錦后旗期中）計(jì)算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【變式8-3】（2019春?萊州市期中）計(jì)算：（1）（2）【考點(diǎn)9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較﹣和﹣的大小可以先將它們分子有理化如下：﹣＝﹣＝因?yàn)椹仯?，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝當(dāng)x＝2時(shí)，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解決下述兩題：（1）比較3﹣4和2的大??；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【變式9-1】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個(gè)不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的例如：化簡(jiǎn)解：材料二：化簡(jiǎn)的方法：如果能找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化簡(jiǎn)解：+1【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡(jiǎn)的結(jié)果等于；（2）計(jì)算：①；②．【變式9-2】（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：，＝3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．解決問(wèn)題：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計(jì)算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【變式9-3】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝＝；＝＝＝﹣1．以上這種化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝＝﹣1．請(qǐng)任用其中一種方法化簡(jiǎn)：①；②．【考點(diǎn)10二次根式的應(yīng)用】【例10】（2018春?嘉祥縣期中）閱讀理解：對(duì)于任意正整數(shù)a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a+b有最小值2．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，當(dāng)m為何值時(shí)，m+有最小值，最小值是多少？【變式10-1】（2019?太原一模）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p＝，則三角形的面積S＝．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則三角形的面積S＝．（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6，7，則這個(gè)三角形的面積等于．（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，求這個(gè)三角形的面積．【變式10-2】已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為12，，．（1）求此三角形的周長(zhǎng)P（結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式）；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)適當(dāng)?shù)腶的值，使P為整數(shù)，并求出此時(shí)P的值．【變式10-3】斐波那契（約1170﹣1250，意大利數(shù)學(xué)家）數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個(gè)正整數(shù)都可以用無(wú)理數(shù)的形式表示，如第n（n為正整數(shù)）個(gè)數(shù)an可表示為[（）n﹣（）n]．（1）計(jì)算第一個(gè)數(shù)a1；（2）計(jì)算第二個(gè)數(shù)a2；（3）證明連續(xù)三個(gè)數(shù)之間an﹣1，an，an+1存在以下關(guān)系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）寫出斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)．專題1.1二次根式章末重難點(diǎn)題型【人教版】【考點(diǎn)1二次根式相關(guān)概念】【方法點(diǎn)撥】1．二次根式：形如（）的代數(shù)式叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．3．同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類二次根式．【例1】（2019春?浉河區(qū)校級(jí)月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式進(jìn)行分析即可．【答案】解：式子，，（y≤0），（a＜0，b＜0）是二次根式，共4個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．【變式1-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡(jiǎn)二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【答案】解：③＝＝|a﹣1|，被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式；④＝＝，被開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；⑤＝＝，被開(kāi)方數(shù)含有小數(shù)（分?jǐn)?shù)），不是最簡(jiǎn)二次根式；因此只有①②符合最簡(jiǎn)二次根式的條件．故選：A．【點(diǎn)睛】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，還需將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解，然后再觀察判斷．【變式1-2】（2019春?左貢縣期中）二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【答案】解：∵，，，∴與是同類二次根式的是①和③故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．需要注意化簡(jiǎn)前，被開(kāi)方數(shù)不同也可能是同類二次根式．【變式1-3】（2019春?海陽(yáng)市期中）若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式以及同類二次根式即可求出答案．【答案】解：由題意可知：n2﹣2n＝n+4，∴解得：n＝4或n＝﹣1，當(dāng)n＝4時(shí)，n+4＝8＞0，此時(shí)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，當(dāng)n＝﹣1時(shí)，n+4＝3＞0，綜上所述，n＝﹣1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡(jiǎn)二次根式以及同類二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點(diǎn)2二次根式有意義條件】【方法點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．分式分母不為零．【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【答案】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)期中）為使有意義，x的取值范圍是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件題意可得2x+4≥0，再根據(jù)分式有意義的條件可得3x﹣6≠0，再解即可．【答案】解：由題意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，解得：x≥﹣2且x≠2，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式2-2】（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范圍，進(jìn)而得出整數(shù)x的值．【答案】解：∵代數(shù)式有意義，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，則﹣3＜x≤1，故代數(shù)式有意義的整數(shù)x有：﹣2，﹣1，0，1，共4個(gè)數(shù)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2019秋?安岳縣校級(jí)期中）如果有意義，則x的取值范圍（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【分析】根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)和分式分母不為零的條件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由題意得：3﹣x＜0，解得：x＞3，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．分式分母不為零．【考點(diǎn)3利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3】（2019春?海陽(yáng)市期中）把a(bǔ)根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，運(yùn)算結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【答案】解：a根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是﹣，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，注意化簡(jiǎn)后不能改變?cè)瓟?shù)的大?。咀兪?-1】（2019春?漢陽(yáng)區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡(jiǎn)后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)＝|a|，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2018春?宜興市期中）（a﹣1）變形正確的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【答案】解：∵有意義，∴1﹣a＞0，∴a﹣1＜0，∴（a﹣1）＝﹣＝﹣．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2019春?城區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【分析】根據(jù)已知式子得出x＜0，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號(hào)內(nèi)的因式移入根號(hào)外，最后合并即可．【答案】解：∵要使和有意義，必須x＜0，∴﹣x＝﹣x﹣x?（﹣）＝﹣x+＝（1﹣x），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)的應(yīng)用，能把各個(gè)部分根式化成最簡(jiǎn)根式是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【方法點(diǎn)撥】二次根式的性質(zhì)：（1）（2）【例4】（2019春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣b+3 B．a(chǎn)+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案．【答案】解：由數(shù)軸可知：﹣1＜a＜0＜2＜b，∴a+1＞0，b﹣2＞0，∴原式＝|a+1|﹣|b﹣2|＝a+1﹣b+2＝a﹣b+3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-1】（2019春?豐潤(rùn)區(qū)期中）若2＜a＜3，則＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．【答案】解：因?yàn)?＜a＜3，所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【變式4-2】（2018秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡(jiǎn)|c+a|+﹣的正確結(jié)果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【分析】先由數(shù)軸知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，據(jù)此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)2化簡(jiǎn)可得．【答案】解：由數(shù)軸知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，則c+a＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a﹣c，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)2：＝|a|．【變式4-3】（2018春?漢陽(yáng)區(qū)期中）若0＜x＜1，則﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【分析】首先利用完全平方公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)求出即可．【答案】解：﹣＝﹣＝﹣＝|x+|﹣|x﹣|∵0＜x＜1，∴x﹣＜0，∴原式＝x++x﹣＝2x．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)5二次根式的乘除運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的乘除法則（1）（2）【例5】（2019春?邗江區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）÷（2）÷3×【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把除式變形，根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算；（2）根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．【答案】解：（1）÷＝×＝＝；（2）÷3×＝××＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2018秋?松江區(qū)期中）計(jì)算：?（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案．【答案】解：?（﹣）÷（a＞0）＝﹣?a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2019秋?閘北區(qū)期中）計(jì)算：【分析】利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)轉(zhuǎn)化后利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【答案】解：原式＝（2×6）＝12＝4【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是能夠了解法則并能熟練的將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行運(yùn)算．【變式5-3】（2019春?新泰市期中）化簡(jiǎn)下列式子：?3．【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）＝﹣12ab?a2＝﹣12a3b．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）先分解因式，然后將a、b的值代入求值；（2）先變形，然后將a、b的值代入求值；（3）直接代入求值．【答案】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝（）＝1×2；（2）a2﹣30b+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣30b＝2﹣﹣30＝（2）2﹣2﹣30+60＝78﹣30；（3）（a﹣2）（b﹣2）＝（）（）＝（）＝5﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了根式的化簡(jiǎn)求值，適當(dāng)對(duì)整式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值；（1）x2+y2；（2）．【分析】（1）先將x、y進(jìn)行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y與xy的值，然后根據(jù)完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整體代入即可；（2）將所求式子變形為，再整體代入即可．【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式以及整體思想，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式6-2】（2019春?長(zhǎng)白縣期中）已知﹣＝2，求的值．【分析】利用已知結(jié)合完全平方公式求出x2+＝34，進(jìn)而代入求出即可．【答案】解：∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴x+＝6，∴（x+）2＝36，∴x2+＝34，∴＝＝4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2018秋?通川區(qū)校級(jí)期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先將x和y的值分母有理化后，計(jì)算xy和x+y的值，再分別代入（1）和（2）問(wèn)代入計(jì)算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，在解答時(shí)應(yīng)先化簡(jiǎn)x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式將所求式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．【考點(diǎn)7二次根式的加減運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】二次根式的運(yùn)算法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)，再把同類二次根式合并．【例7】（2019春?武昌區(qū)期中）計(jì)算：（1）（2）【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝2+3﹣＝0；（2）原式＝×3+6×﹣5＝2+3﹣5＝0．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2019春?蕭山區(qū)期中）計(jì)算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同類二次根式；（2）首先化簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同類二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減，關(guān)鍵是掌握二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【變式7-2】（2018春?襄城區(qū)期中）計(jì)算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）首先化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（2）原式＝﹣﹣+10＝9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2018春?羅山縣期中）（1）（2）【分析】（1）先進(jìn)行二次根式、三次根式的化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行加減合并．（2）先去絕對(duì)值符號(hào)，然后化簡(jiǎn)二次根式，最后進(jìn)行合并運(yùn)算．【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，要先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行合并運(yùn)算．【考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算】【例8】（2019春?泰興市校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（2）3【分析】（1）先化簡(jiǎn)各二次根式，再進(jìn)一步計(jì)算可得；（2）先化簡(jiǎn)各二次根式、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再進(jìn)一步計(jì)算可得．【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）＝2﹣﹣﹣3＝﹣﹣；（2）原式＝??（﹣）＝﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式8-1】（2019春?廣東期中）計(jì)算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【分析】（1）先化簡(jiǎn)各二次根式，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加減，最后計(jì)算除法即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算可得．【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3；（2）原式＝19﹣6﹣3+4＝20﹣6．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及完全平方公式、平方差公式．【變式8-2】（2019春?杭錦后旗期中）計(jì)算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算；（2）根據(jù)積的乘方和零指數(shù)冪的意義計(jì)算．【答案】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018?（2+）﹣2×﹣1＝（4﹣3）2018?（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式8-3】（2019春?萊州市期中）計(jì)算：（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法和除法可以解答本題；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．【考點(diǎn)9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較﹣和﹣的大小可以先將它們分子有理化如下：﹣＝﹣＝因?yàn)椹仯?，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝當(dāng)x＝2時(shí)，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解決下述兩題：（1）比較3﹣4和2的大??；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比較3+4和2+的大小即可得到3﹣4與2﹣的大??；（2）利用二次根式有意義的條件得到0≤x≤1，而y＝+，利用當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用當(dāng)x＝1時(shí)，有最小值﹣1，有最下值0得到y(tǒng)的最小值．【答案】解：（1）3﹣4＝＝，2﹣＝＝，而3＞2，4＞，∴3+4＞2+，∴3﹣4＜2﹣；（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，y＝+，當(dāng)x＝0時(shí)，+有最小值，則有最大值1，此時(shí)有最大值1，所以y的最大值為2；當(dāng)x＝1時(shí)，+有最大值，則有最小值﹣1，此時(shí)有最下值0，所以y的最小值為﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式9-1】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個(gè)不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的例如：化簡(jiǎn)解：材料二：化簡(jiǎn)的方法：如果能找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化簡(jiǎn)解：+1【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡(jiǎn)的結(jié)果等于；（2）計(jì)算：①；②．【分析】（1）根據(jù)分母有理化法則計(jì)算；（2）①根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)；②先把原式分母有理化，再合并同類二次根式即可．【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，故答案為：4+；（2）①＝＝＝﹣；②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查的是分母有理化、二次根式的化簡(jiǎn)，掌握分母有理化法則、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：，＝3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．解決問(wèn)題：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計(jì)算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．②原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果．【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝，故答案為：4+，；（2）①當(dāng)x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣時(shí)，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝16﹣2×1＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化，正確選擇兩個(gè)二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝＝；＝＝＝﹣1．以上這種化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝＝﹣1．請(qǐng)任用其中一種方法化簡(jiǎn)：①；②．【分析】①根據(jù)平方差公式分母有理化即可求解；②把分子5變?yōu)?2﹣7，再根據(jù)平方差公式分解因式，再約分計(jì)算即可求解．【答案】解：①＝＝；②＝＝＝2﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)有理化因式．【考點(diǎn)10二次根式的應(yīng)用】【例10】（2018春?嘉祥縣期中）閱讀理解：對(duì)于任意正整數(shù)a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a+b有最小值2．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，當(dāng)m為何值時(shí)，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根據(jù)a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)），進(jìn)而得出即可；（2）根據(jù)a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)），進(jìn)而得出即可．【答案】解：（1）∵a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)），∴a+b＝9，則a+b≥2，即≤；故答案為：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，當(dāng)m＝時(shí)，m＝1（負(fù)數(shù)舍去），故m+有最小值，最小值是2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合a+b≥2（a、b均為正實(shí)數(shù)）求出是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2019?太原一模）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p＝，則三角形的面積S＝．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則三角形的面積S＝．（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6，7，則這個(gè)三角形的面積等于．（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，求這個(gè)三角形的面積．【分析】（1）把a(bǔ)、b、c的長(zhǎng)代入求出S2，再開(kāi)方計(jì)算即可得解；（2）把a(bǔ)、b、c的長(zhǎng)代入求出S2，再開(kāi)方計(jì)算即可得解．【答案】解：（1）p＝＝＝9，S＝＝＝6．答：這個(gè)三角形的面積等于6．（2）S＝＝＝＝＝．答：這個(gè)三角形的面積是．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，難點(diǎn)在于對(duì)各項(xiàng)整理利用算術(shù)平方根的定義計(jì)算．【變式10-2】已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為12，，．（1）求此三角形的周長(zhǎng)P（結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式）；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)適當(dāng)?shù)腶的值，使P為整數(shù)，并求出此時(shí)P的值．【分析】（1）列出算式，先化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步合并命即可；（2）給出一個(gè)能使根號(hào)下開(kāi)得盡方a的值即可．【答案】解：（1）P＝12++＝4+4+＝．（2）要使P為整數(shù)，選a＝12，則P＝51．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的實(shí)際運(yùn)用，注意先化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【變式10-3】斐波那契（約1170﹣1250，意大利數(shù)學(xué)家）數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個(gè)正整數(shù)都可以用無(wú)理數(shù)的形式表示，如第n（n為正整數(shù)）個(gè)數(shù)an可表示為[（）n﹣（）n]．（1）計(jì)算第一個(gè)數(shù)a1；（2）計(jì)算第二個(gè)數(shù)a2；（3）證明連續(xù)三個(gè)數(shù)之間an﹣1，an，an+1存在以下關(guān)系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）寫出斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)．【分析】（1）（2）代入計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)乘法分配律即可證明：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）根據(jù)（3）的關(guān)系可求斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)．【答案】解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；（3）證明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；（4）斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)是1，1，2，3，5，8，13，21．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟悉斐波那契數(shù)列的規(guī)律．專題1.2勾股定理章末重難點(diǎn)題型【人教版】【考點(diǎn)1利用勾股定理求面積】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在中，，，，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是A．5 B．25 C．7 D．10【變式1-1】（2019春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【變式1-2】（2019春?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為A．16 B．8 C．4 D．2【變式1-3】（2019春?蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40【考點(diǎn)2判斷直角三角形】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段，，的長(zhǎng)三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【變式2-1】（2018春?淮南期中）、、為三邊，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【變式2-2】（2018秋?金牛區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法中，正確的有①如果，那么是直角三角形；②如果，則是直角三角形；③如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；④如果三角形三邊長(zhǎng)分別是、、，則是直角三角形；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-3】（2019春?壽光市期中）如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) B．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) C．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) D．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)【考點(diǎn)3利用勾股定理求最短路徑】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需先將立體圖形進(jìn)行展開(kāi)，在平面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，一圓柱高為，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長(zhǎng)為A． B． C． D．【變式3-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【變式3-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．【變式3-3】（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【考點(diǎn)4勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例4】（2018秋?新密市校級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【變式4-1】（2019春?閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個(gè)關(guān)于，，的方程，顯然這個(gè)方程有無(wú)數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，，通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長(zhǎng)邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，，是勾股數(shù)，則（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【變式4-2】（2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：．【變式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：，4，，，12，，，24，，，40，可發(fā)現(xiàn)，，，請(qǐng)寫出第5個(gè)數(shù)組：．【考點(diǎn)5利用勾股定理求長(zhǎng)度】【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，求，的長(zhǎng)．【變式5-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【變式5-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．【變式5-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)6利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位．（1）請(qǐng)你在圖1中畫一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，面積為6個(gè)平方單位的等腰三角形；（2）請(qǐng)你在圖2中畫一條以格點(diǎn)為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線段；（3）請(qǐng)你在圖3中畫一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊的直角三角形．【變式6-1】（2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出一個(gè)周長(zhǎng)為的，并求它的面積．【變式6-2】（2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，（1）在圖①中，畫一個(gè)面積為10的正方形；（2）在圖②、圖③中，分別畫兩個(gè)不全等的直角三角形，使它們的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)．【變式6-3】（2018秋?高新區(qū)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫三角形：（1）在圖①中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3，，的三角形，一共可畫這樣的三角形個(gè)．【考點(diǎn)7勾股定理的證明】【方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來(lái)證明.【例7】（2019春?洛陽(yáng)期中）下列兩圖均由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請(qǐng)選擇一個(gè)你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理．你選擇的是圖，寫出你的驗(yàn)證過(guò)程．【變式7-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個(gè)基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實(shí)有很多種證明方法．下圖是1876年美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點(diǎn)在一條直線上．（1）求證：；（2）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理（即證明：．【變式7-2】（2018秋?東臺(tái)市期中）如圖，將繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，則有，且四邊形是一個(gè)正方形．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：．【變式7-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．【考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例8】（2018春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【變式8-1】（2019春?長(zhǎng)白縣期中）如圖，在四邊形中，已知，，，且，．求四邊形的面積．【變式8-2】（2018春?豐臺(tái)區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．【變式8-3】（2019春?鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形中，，，、分別是和邊上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，問(wèn)是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)9勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春?東湖區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們?cè)跍y(cè)量學(xué)校旗桿的高度時(shí)發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開(kāi)8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？【變式9-1】（2019春?內(nèi)黃縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【變式9-2】（2019春?道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開(kāi)發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距的、兩站之間點(diǎn)修建一個(gè)土特產(chǎn)加工基地，使點(diǎn)到、兩村的距離相等，如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，求土特產(chǎn)加工基地應(yīng)建在距離站多少的地方？【變式9-3】（2019春?商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用．請(qǐng)你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問(wèn)題：一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：【考點(diǎn)10利用勾股定理解折疊問(wèn)題】【例10】（2019春?番禺區(qū)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將紙片沿折疊，直角邊恰好落在斜邊上，且與重合，求的面積．【變式10-1】（2018秋?建鄴區(qū)期末）如圖，把長(zhǎng)為的紙條沿，同時(shí)折疊，、兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，，求的長(zhǎng)．【變式10-2】（2019秋?杭州期中）如圖，把長(zhǎng)方形沿折疊，落在處，交于點(diǎn)，已知，．（長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都為直角）（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)；（3）求重疊部分的面積．【變式10-3】（2018春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在處，折痕為．（1）求線段長(zhǎng)．（2）連接，并求的長(zhǎng)．專題1.2勾股定理章末重難點(diǎn)題型【人教版】【考點(diǎn)1利用勾股定理求面積】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在中，，，，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是A．5 B．25 C．7 D．10【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【答案】解：在中，，，，，四邊形是正方形，正方形的面積，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2019春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．【答案】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；即四個(gè)正方形，，，的面積之和為100；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式1-2】（2019春?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為A．16 B．8 C．4 D．2【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，，，解得，，則，解得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．【變式1-3】（2019春?蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進(jìn)而得到，即可解決問(wèn)題．【答案】解：如圖，由題意得：，，，．故選：．【點(diǎn)睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)．【考點(diǎn)2判斷直角三角形】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段，，的長(zhǎng)三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【答案】解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；、設(shè)三角形三邊為，，，，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【變式2-1】（2018春?淮南期中）、、為三邊，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【分析】利用勾股定理的逆定理判斷、、選項(xiàng)，用直角三角形各角之間的關(guān)系判斷選項(xiàng)．【答案】解：、，設(shè)，則，，，即，解得，，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，，故本選項(xiàng)正確；、，，故本選項(xiàng)正確；、，，故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，若已知三角形的三邊判定其形狀時(shí)要根據(jù)勾股定理判斷；若已知三角形各角之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)或求出兩較小角的和再進(jìn)行判斷．【變式2-2】（2018秋?金牛區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法中，正確的有①如果，那么是直角三角形；②如果，則是直角三角形；③如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；④如果三角形三邊長(zhǎng)分別是、、，則是直角三角形；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)直角三角形的判定進(jìn)行分析，從而得到答案．【答案】解：①正確，由三角形內(nèi)角和定理可求出為90度；②不正確，因?yàn)楦鶕?jù)三角形的內(nèi)角和得不到的角；③正確，設(shè)三邊分別為，，，則有；④正確，因?yàn)椋哉_的有三個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角為來(lái)判定．【變式2-3】（2019春?壽光市期中）如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) B．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) C．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) D．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)【分析】根據(jù)勾股定理分別求得每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離的平方，再進(jìn)一步利用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析．【答案】解：、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；、，，，，可以構(gòu)成直角三角形、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3利用勾股定理求最短路徑】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需先將立體圖形進(jìn)行展開(kāi)，在平面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，一圓柱高為，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出即可．【答案】解：如圖展開(kāi)，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，則，，，，，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題，題目比較典型，是一道比較好的題目．【變式3-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【答案】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．【變式3-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【答案】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接、，則，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，本題就是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)“化立體為平面”，用勾股定理解決．【變式3-3】（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小蟲從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進(jìn)入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開(kāi)，，最短路程為．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．【考點(diǎn)4勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例4】（2018秋?新密市校級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進(jìn)行計(jì)算可得答案．【答案】解：因?yàn)?；?，8，10，7，24，25都是正整數(shù)勾股數(shù)有2組，故答案為2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形．【變式4-1】（2019春?閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個(gè)關(guān)于，，的方程，顯然這個(gè)方程有無(wú)數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，，通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長(zhǎng)邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，，是勾股數(shù)，則（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【答案】解：，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理解答是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：．【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是，第二個(gè)是：，第三個(gè)數(shù)是：．根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可解答．【答案】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是；第二個(gè)是：；第三個(gè)數(shù)是：．所以第⑦組勾股數(shù)：16，63，65．故答案為：16，63，65．【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察已知的幾組數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：，4，，，12，，，24，，，40，可發(fā)現(xiàn)，，，請(qǐng)寫出第5個(gè)數(shù)組：．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【答案】解：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，故答案為：11，60，61．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5利用勾股定理求長(zhǎng)度】【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，求，的長(zhǎng)．【分析】首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊，再根據(jù)直角三角形的面積公式求得斜邊上的高，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【答案】解：，，，．根據(jù)直角三角形的面積公式，得．在中，．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、此題要熟練運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的面積公式，直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．【變式5-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可以求得的度數(shù)；（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長(zhǎng)．【答案】解：（1）在等腰中，，，，，，，，；（2），，，，，設(shè)，則，，，，解得，，即．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．【分析】先設(shè)，則，再運(yùn)用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可．【答案】解：設(shè)，則．在中，，，在中，，，，即，解得，，．故的長(zhǎng)為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)的長(zhǎng)度不變列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得．然后利用勾股定理求得；則利用面積法來(lái)求的長(zhǎng)度．【答案】解：正方形的面積為，，，，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．解答該題時(shí)，需要熟記正方形的面積公式．【考點(diǎn)6利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位．（1）請(qǐng)你在圖1中畫一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，面積為6個(gè)平方單位的等腰三角形；（2）請(qǐng)你在圖2中畫一條以格點(diǎn)為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線段；（3）請(qǐng)你在圖3中畫一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊的直角三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式畫出圖形即可；（2）畫出以1和2為長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)即可；（3）先畫出邊長(zhǎng)為的線段，再畫出直角三角形即可．【答案】解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；（3）如圖3所示．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出一個(gè)周長(zhǎng)為的，并求它的面積．【分析】根據(jù)勾股定理在方格中作出三角形的三條邊，根據(jù)直角三角形的面積公式、矩形的面積公式計(jì)算即可．【答案】解：是一個(gè)周長(zhǎng)為三角形，的面積．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理作出三角形的三條邊是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，（1）在圖①中，畫一個(gè)面積為10的正方形；（2）在圖②、圖③中，分別畫兩個(gè)不全等的直角三角形，使它們的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積為10可得正方形邊長(zhǎng)為，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形即可；（2）①畫一個(gè)邊長(zhǎng)為，，的直角三角形即可；②畫一個(gè)邊長(zhǎng)為，，的直角三角形即可；【答案】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②③所示．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用勾股定理畫圖，關(guān)鍵是計(jì)算出所畫圖形的邊長(zhǎng)是直角邊長(zhǎng)為多少的直角三角形的斜邊長(zhǎng)．【變式6-3】（2018秋?高新區(qū)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫三角形：（1）在圖①中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3，，的三角形，一共可畫這樣的三角形個(gè)．【分析】（1）畫一個(gè)邊長(zhǎng)3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出結(jié)果．【答案】解：（1），即為所求，如圖1所示：（2）如圖2所示：，，，，，都是符合條件的三角形，一共可畫這樣的三角形16個(gè)；故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；熟記勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7勾股定理的證明】【方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來(lái)證明.【例7】（2019春?洛陽(yáng)期中）下列兩圖均由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請(qǐng)選擇一個(gè)你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理．你選擇的是圖，寫出你的驗(yàn)證過(guò)程．【分析】直接利用圖形面積得出等式，進(jìn)而整理得出答案．【答案】解：選擇的是圖2，證明：，，，整理，得，．故答案為：2，【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個(gè)基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實(shí)有很多種證明方法．下圖是1876年美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點(diǎn)在一條直線上．（1）求證：；（2）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理（即證明：．【分析】（1）由全等三角形的判定于性質(zhì)解答；（2）用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理．【答案】解：（1），．，，．（2）由（1）知是一個(gè)等腰直角三角形，．又，，，即．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的證明，此題主要利用了三角形的面積公式：底高，和梯形的面積公式：（上底下底）高證明勾股定理．【變式7-2】（2018秋?東臺(tái)市期中）如圖，將繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，則有，且四邊形是一個(gè)正方形．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，即可得出的形狀；（2）利用四邊形的面積等于正方形面積，即可得出答案；（3）利用四邊形面積等于和的面積之和進(jìn)而證明即可．【答案】（1）是等腰直角三角形，證明：繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到在，，，又，是等腰直角三角形；（2）四邊形的面積等于正方形面積，四邊形的面積等于：．（3）即：，整理：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形面積求法和勾股定理的證明等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．【分析】連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，根據(jù)即可求解．【答案】證明：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，則．．又【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．【考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例8】（2018春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即