2024七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章平面圖形認(rèn)識(shí)（一）章末重難點(diǎn)題型匯編【考點(diǎn)1幾何圖形】【方法點(diǎn)撥】掌握幾何圖形相關(guān)概念是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.【例1】下面的幾何體中，屬于棱柱的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】如圖，左面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【變式1-2】圖①是由白色紙板拼成的立體圖形，將它的兩個(gè)面的外表面涂上顏色，如圖②．則下列圖形中，是圖②的表面展開(kāi)圖的是（）A． B． C． D．【變式1-3】下圖右邊四個(gè)圖形中，哪個(gè)是左邊立體圖形的展開(kāi)圖？（）A． B． C． D．【考點(diǎn)2基本概念】【方法點(diǎn)撥】知識(shí)點(diǎn)1：線段像長(zhǎng)方體的棱、長(zhǎng)方形的邊，這些圖形都是線段．線段有兩個(gè)端點(diǎn)，兩個(gè)方向均不延伸，線段的長(zhǎng)度是可以測(cè)量的．線段有兩種表示方法：(1)一條線段可以用它的兩個(gè)端點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖，以A，B為端點(diǎn)的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”；(2)一條線段可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖，線段AB也可記作“線段a”．知識(shí)點(diǎn)2：射線將線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就得到了射線．射線有一個(gè)端點(diǎn)，射線向一個(gè)方向無(wú)限延伸，射線是無(wú)法測(cè)量的．射線的表示法：兩個(gè)大寫(xiě)字母：一條射線可以用表示它的端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖中的射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)，點(diǎn)A是射線上異于端點(diǎn)的另一點(diǎn)，那么這條射線可以記作射線OA.注意：①表示射線的兩個(gè)大寫(xiě)字母，其中一個(gè)一定是端點(diǎn)，并且要把它寫(xiě)在前面．②端點(diǎn)相同的射線不一定是同一條射線，端點(diǎn)不同的射線一定不是同一條射線③兩條射線為同一射線必須具備的兩個(gè)條件：①端點(diǎn)相同；②延伸的方向相同．知識(shí)點(diǎn)3：直線將線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了直線．直線沒(méi)有端點(diǎn)，直線向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，直線是無(wú)法測(cè)量的．直線的兩種表示方法：(1)一條直線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如圖中的直線可記作：直線a.(2)一條直線也可以用在這條直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如圖中的直線可記作：直線AB或直線BA.【例2】下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①線段AB和射線AB都是直線的一部分；②直線AB和直線BA是同一條直線；③射線AB和射線BA是同一條射線；④把線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸可得到直線．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①射線AB與射線BA表示同一條射線．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，則∠2＝∠3．③一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫這個(gè)角的平分線．④連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的兩個(gè)角都是45°．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】下列說(shuō)法：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；②在數(shù)軸上與表示﹣1的點(diǎn)距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)是2；③連接兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)間的距離；④射線AB和射線BA是同一條射線；⑤若AC＝BC，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；⑥一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線是這個(gè)角的平分線，其中錯(cuò)誤的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2-3】如圖的四個(gè)圖形和每一個(gè)圖形相應(yīng)的一句描述，其中所有圖形都是畫(huà)在同一個(gè)平面上．①線段AB與射線MN不相交；②點(diǎn)C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長(zhǎng)射線AB，則會(huì)通過(guò)點(diǎn)C．其中正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)3余角與補(bǔ)角定義】【方法點(diǎn)撥】余角和補(bǔ)角：（1）若α＋β＝90°，則α與β互余．（2）若α＋β＝180°，則α與β互補(bǔ)．（3）同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等．【例3】一個(gè)角的余角是它的，則這個(gè)角的補(bǔ)角等于°．【變式3-1】如果一個(gè)角的余角與它的補(bǔ)角度數(shù)之比為2：5，則這個(gè)角等于度．【變式3-2】若一個(gè)角的3倍比這個(gè)角補(bǔ)角的2倍還少5°，則這個(gè)角等于．【變式3-3】一個(gè)角的補(bǔ)角加上10°后等于這個(gè)角的余角的3倍，則比這個(gè)角小15°32′的角的度數(shù)是．【考點(diǎn)4鐘面上的角度問(wèn)題】【例4】上午9點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)鶌A的較小的角是度．【變式4-1】時(shí)鐘表面11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是度．【變式4-2】中午12點(diǎn)30分時(shí)，鐘面上時(shí)針和分針的夾角是度．【變式4-3】上午八點(diǎn)二十五分，鐘表上時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)為．【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖】【例5】已知：∠α，∠β，線段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【變式5-1】用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段a，b，求作：線段AB，使AB＝2b﹣a．【變式5-2】作圖題：學(xué)過(guò)用尺規(guī)作線段與角后，就可以用尺規(guī)畫(huà)出一個(gè)與已知三角形一模一樣的三角形來(lái)．比如給定一個(gè)△ABC，可以這樣來(lái)畫(huà)：先作一條與AB相等的線段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作線段A′C′＝AC，最后連結(jié)B′C′，這樣△A′B′C′就和已知的△ABC一模一樣了．請(qǐng)你根據(jù)上面的作法畫(huà)一個(gè)與給定的三角形一模一樣的三角形來(lái)．（請(qǐng)保留作圖痕跡）【變式5-3】如圖，在同一平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D．（1）請(qǐng)按要求作出圖形（注：此題作圖不需寫(xiě)出畫(huà)法和結(jié)論）：①作射線AC②作直線BD，交射線AC于點(diǎn)O③分別連接AB，AD．（2）觀察所作圖形，我們能得到：AO+OC＝；DB﹣OB＝（空格處填寫(xiě)圖中線段）【考點(diǎn)6與中點(diǎn)有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】線段的中點(diǎn)如圖，點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)．中點(diǎn)定義的推理步驟：(1)∵AC＝CB(已知)，∴點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義)．(2)∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(已知)，∴AC＝BC或AC＝eq\f(1,2)AB或BC＝eq\f(1,2)AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點(diǎn)的定義)．【例6】已知：點(diǎn)C在直線AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．【變式6-1】如圖，線段AB，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求線段MN的長(zhǎng)；（2）若BC＝a，試用含a的式子表示線段MN的長(zhǎng)．【變式6-2】如圖，點(diǎn)C是線段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長(zhǎng)．（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，不用計(jì)算你猜出MN的長(zhǎng)度嗎？（3）若C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC﹣BC＝acm，M，N仍分別為AC，BC的中點(diǎn)，你還能猜出線段MN的長(zhǎng)度嗎？（4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？【變式6-3】已知：點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．（3）若點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AC＝acm，CB＝bcm，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并且用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)7與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】角平分線：（1）把一個(gè)角平分成二等分的射線，稱為角平分線．（2）若OC平分∠AOB，則有=1\*GB3①∠AOC＝∠BOC．=2\*GB3②∠AOC＝∠AOB．=3\*GB3③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．【例7】如圖，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．求：（1）∠AOC的度數(shù)；（2）∠MON的度數(shù)．【變式7-1】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足為O，求：（1）求∠BOE的度數(shù)．（2）求∠EOF的度數(shù)．【變式7-2】如圖所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大?。咀兪?-3】已知∠AOB＝α，過(guò)O作射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖，若α＝120°，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，求∠MON的度數(shù)；（2）當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)圖形，求∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．【考點(diǎn)8與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的角度計(jì)算】【例8】O為直線AD上一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．（1）如圖①，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為，∠COF和∠DOE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；（2）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，請(qǐng)寫(xiě)出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，射線OF依然平分∠AOE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠COF和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．【變式8-1】已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）．（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；（2）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）時(shí)，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）時(shí)，滿足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，則n＝．【變式8-2】如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝110°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（∠OMN＝30°），一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度數(shù)．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式8-3】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)O按如圖方式疊放在一起．（1）如圖（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度數(shù)，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度數(shù)．（2）如圖（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度數(shù)．（3）猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖（1）說(shuō)明理由．（4）三角尺AOB不動(dòng)，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度時(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫(xiě)出∠AOD角度所有可能的值，不用說(shuō)明理由．【考點(diǎn)9與幾何有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題】【例9】閱讀表：線段AB上的點(diǎn)數(shù)n（包括A，B兩點(diǎn)）圖例線段總條數(shù)N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)表中規(guī)律猜測(cè)線段總數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段兩個(gè)端點(diǎn)）有什么關(guān)系？（2）根據(jù)上述關(guān)系解決如下實(shí)際問(wèn)題：有一輛客車(chē)往返于A，B兩地，中途停靠三個(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站間的票價(jià)都不同，問(wèn)：①有種不同的票價(jià)？②要準(zhǔn)備種車(chē)票？（直接寫(xiě)答案）【變式9-1】（1）試驗(yàn)探索：如果過(guò)每?jī)牲c(diǎn)可以畫(huà)一條直線，那么請(qǐng)下面三組圖中分別畫(huà)線，并回答問(wèn)題：第（1）組最多可以畫(huà)條直線；第（2）組最多可以畫(huà)條直線；第（3）組最多可以畫(huà)條直線．（2）歸納結(jié)論：如果平面上有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫(huà)出直線條．（作用含n的代數(shù)式表示）（3）解決問(wèn)題：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋找淮问謫?wèn)好，則共握次手；最后，每?jī)蓚€(gè)人要互贈(zèng)禮物留念，則共需件禮物．【變式9-2】為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手．（1）一條直線把平面分成2部分；（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：直線條數(shù)把平面分成部分?jǐn)?shù)寫(xiě)成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成部分，寫(xiě)成和的形式；（2）當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成部分；（3）當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成部分．（不必說(shuō)明理由）【變式9-3】觀察下圖，回答下列問(wèn)題：（1）在圖①中有幾個(gè)角？（2）在圖②中有幾個(gè)角？（3）在圖③中有幾個(gè)角？（4）以此類推，如圖④所示，若一個(gè)角內(nèi)有n條射線，此時(shí)共有多少個(gè)角？【考點(diǎn)10線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例10】如圖，線段AB＝12cm，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC＝AB，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)．（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）求DE的長(zhǎng)；（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝3cm？【變式10-1】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且滿足（a﹣6）2+|b+4|＝0．（1）寫(xiě)出a、b及AB的距離：a＝b＝AB＝（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向左勻速運(yùn)動(dòng)．①若P、Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒追上點(diǎn)Q？②若M為AP的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長(zhǎng)．【變式10-2】如圖，線段AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明2BM﹣BP為定值．（3）當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長(zhǎng)度不變；②MN+PN的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．【變式10-3】如圖，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，AB＝15，且OA：OB＝2．（1）A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、；（2）點(diǎn)A、B分別以4個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度相向而行，則幾秒后A、B相距1個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）點(diǎn)A、B以（2）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得4AP+3OB﹣mOP為定值，若存在請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題10七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1利用數(shù)軸判斷符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需由數(shù)軸得知字母所表示的數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、絕對(duì)值的意義以及數(shù)軸上右邊點(diǎn)的數(shù)總比左邊的數(shù)大判斷即可.【例1】（2018秋?宿松縣期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的表示如圖所示，則下列結(jié)論中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（2018秋?西城區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a和b，對(duì)于以下四個(gè)式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值為負(fù)數(shù)的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式1-2】（2018秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)a、b，則下列結(jié)論：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2018秋?黃陂區(qū)期中）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，如圖所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)2有理數(shù)混合運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需熟變式掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里，值得注意有些題可能會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.【例2】（2019春?黃州區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（2）【變式2-1】（2018秋?寶應(yīng)縣期末）計(jì)算：（1）（2）【變式2-2】（2019春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）．（2）．【變式2-3】（2018秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）有理數(shù)的計(jì)算：（1）（2）【考點(diǎn)3有關(guān)數(shù)軸的探究題】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵.【例3】（2018秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個(gè)公共點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，小圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒π個(gè)單位，大圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2π個(gè)單位，（1）若小圓不動(dòng)，大圓沿?cái)?shù)軸來(lái)回滾動(dòng)，規(guī)定大圓向右滾動(dòng)的時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動(dòng)時(shí)間即為負(fù)數(shù)，依次滾動(dòng)的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）（2）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9π，求此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．【變式3-1】（2018秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別﹣4，8．有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)第一次向左運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度；然后在新的位置第二次運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度；在此位置第三次運(yùn)動(dòng)，向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，…按照如此規(guī)律不斷地左右運(yùn)動(dòng)（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到第2018次時(shí)，求點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)．（2）點(diǎn)P會(huì)不會(huì)在某次運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好到達(dá)某一個(gè)位置，使點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的3倍？若可能請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的位置，若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（2018秋?淮陰區(qū)期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖1），折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣4表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；（2）若﹣2表示的點(diǎn)與8表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：①16表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；②如圖2，若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2018（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是、．（3）如圖3，若m和n表示的點(diǎn)C和點(diǎn)D經(jīng)折疊后重合，（m＞n＞0），現(xiàn)數(shù)軸上P、Q兩點(diǎn)之間的距離為a（P在Q的左側(cè)），且P、Q兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求P、Q兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是多少？（用含m，n，a的代數(shù)式表示）【變式3-3】（2018秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）下面材料：已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，（1）如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的距離|AB|＝|a﹣b|回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A、B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是．【考點(diǎn)4整式加減化簡(jiǎn)求值】【方法點(diǎn)撥】整式加減化簡(jiǎn)求值的一般步驟：①去括號(hào)、合并同類項(xiàng).；②代入求值.【例4】（2018秋?蒙陰縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【變式4-1】（2018秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：已知，求的值．【變式4-2】（2018秋?金堂縣期中）已知，，先求，并求當(dāng)，時(shí)，的值．【變式4-3】（2018秋?杭州期中）化簡(jiǎn)求值：已知整式與整式的差不含和項(xiàng)，試求的值．【考點(diǎn)5代數(shù)式求值—整體代入法】【方法點(diǎn)撥】整體代入的思想是把聯(lián)系緊密的幾個(gè)量作為一個(gè)整體來(lái)看的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這種方法，有時(shí)可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.【例5】（2019秋?錫山區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)與求值：（1）若，則代數(shù)式的值為；（2）若，則代數(shù)式的值為；（3）若，請(qǐng)仿照以上求代數(shù)式值的方法求出的值．【變式5-1】（2019秋?余姚市期末）已知：，求的值．【變式5-2】（2019秋?崇川區(qū)期末）已知當(dāng)，時(shí)，，求當(dāng)，時(shí)，式子的值．【變式5-3】（2018秋?慈利縣期中）先閱讀下面例題的解答過(guò)程，再解答后面的問(wèn)題．例：已知代數(shù)式的值為2，求的值．解：由得，所以．問(wèn)題：（1）已知代數(shù)式的值為6，求的值；（2）已知代數(shù)式的值為，求的值．【考點(diǎn)6列代數(shù)式】【例6】（2018秋?淮陰區(qū)期中）如圖所示（1）用代數(shù)式表示長(zhǎng)方形中陰影部分的面積；（2）當(dāng)，時(shí)，求其陰影部分的面積．（其中取【變式6-1】（2018秋?甘井子區(qū)期中）如圖（圖中單位長(zhǎng)度：求：（1）陰影部分面積（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)求陰影部分的面積取3.14，結(jié)果精確到．【變式6-2】（2018秋?南安市期末）福建省教育廳日前發(fā)布文件，從2019年開(kāi)始，體育成績(jī)將按一定的原始分計(jì)入中考總分．某校為適應(yīng)新的中考要求，決定為體育組添置一批體育器材．學(xué)校準(zhǔn)備在網(wǎng)上訂購(gòu)一批某品牌足球和跳繩，在查閱天貓網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)足球每個(gè)定價(jià)150元，跳繩每條定價(jià)30元．現(xiàn)有、兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案．網(wǎng)店：買(mǎi)一個(gè)足球送一條跳繩；網(wǎng)店：足球和跳繩都按定價(jià)的付款．已知要購(gòu)買(mǎi)足球40個(gè)，跳繩條（1）若在網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含的代數(shù)式表示）．若在網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含的代數(shù)式表示）．（2）若時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)在哪家網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)較為合算？（3）當(dāng)時(shí)，你能給出一種更為省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案嗎？試寫(xiě)出你的購(gòu)買(mǎi)方法，并計(jì)算需付款多少元？【變式6-3】（2018秋?鄭州期中）鄭東新區(qū)九年制實(shí)驗(yàn)學(xué)校體育組準(zhǔn)備在網(wǎng)上為學(xué)校訂購(gòu)一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查閱京東網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)羽毛球拍一副定價(jià)40元，羽毛球每個(gè)定價(jià)5元．“雙十一”期間、兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案．網(wǎng)店：買(mǎi)一副球拍送1個(gè)羽毛球；網(wǎng)店：羽毛球拍和羽毛球都按定價(jià)的付款．已知要購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍30副，羽毛球個(gè)（1）若在網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含的代數(shù)式表示）；若在網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元．（用含的代數(shù)式表示）；（2）若時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)在哪家網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)較為合算？（3）當(dāng)時(shí)，你能給出一種更為省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案嗎？試寫(xiě)出你的購(gòu)買(mǎi)方案，并計(jì)算出需付款多少元？【考點(diǎn)7解一元一次方程】【方法點(diǎn)撥】一元一次方程解法的一般步驟：化簡(jiǎn)方程----------分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)去分母----------同乘（不漏乘）最簡(jiǎn)公分母去括號(hào)----------注意符號(hào)變化移項(xiàng)----------變號(hào)（留下靠前）合并同類項(xiàng)--------合并后符號(hào)系數(shù)化為1---------除前面【例7】（2019秋?安慶期中）解方程（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；（2）＝1．【變式7-1】（2018秋?渭濱區(qū)期末）解方程（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）（2）1﹣＝【變式7-2】（2018秋?榆次區(qū)期末）解方程：（1）x﹣＝3（2）【變式7-3】（2019春?新泰市期中）解方程：（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x（2）y﹣＝3+【考點(diǎn)8一元一次方程的應(yīng)用】【例8】（2018春?山西期中）某種商品A的零售價(jià)為每件1000元，為了適應(yīng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，商店先按零售價(jià)的九折優(yōu)惠，再讓利20元銷售，每件商品A仍可獲利10%．（1）商品A的進(jìn)價(jià)為多少元？（2）現(xiàn)有另一種商品B，其進(jìn)價(jià)為每件500元，每件商品B也可獲利8%，商品A和商品B共進(jìn)貨100件，若要使這100件商品共獲利6320元，則商品A，B需分別進(jìn)貨多少件？【變式8-1】（2018秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）某廠接到長(zhǎng)沙市一所中學(xué)的冬季校服訂做任務(wù)，計(jì)劃用A、B兩臺(tái)大型設(shè)備進(jìn)行加工．如果單獨(dú)用A型設(shè)備需要90天做完，如果單獨(dú)用B型設(shè)各需要60天做完，為了同學(xué)們能及時(shí)領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)趕制．（1）兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需多少天才能完成？（2）若兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工30天后，B型設(shè)備出了故障，暫時(shí)不能工作，此時(shí)離發(fā)冬季校服時(shí)間還有13天．如果由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，會(huì)不會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【變式8-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）A、B兩地相距480km，C地在A、B兩地之間．一輛轎車(chē)以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛，前往B地．同時(shí)，一輛貨車(chē)以80km/h的速度從B地岀發(fā)，勻速行駛，前往A地．（1）當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，求轎車(chē)行駛的時(shí)間；（2）當(dāng)兩車(chē)相距120km時(shí)，求轎車(chē)行駛的時(shí)間；（3）若轎車(chē)到達(dá)B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次經(jīng)過(guò)C地，兩次經(jīng)過(guò)C地的時(shí)間間隔為2.2h，求C地距離A地路程．【變式8-3】（2019春?松江區(qū)期中）某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元．（1）若家電商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)A、B兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，求商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的電視機(jī)各多少臺(tái)？（2）若商場(chǎng)銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元．該家電商場(chǎng)用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，為了使銷售時(shí)獲利最多，該家電商場(chǎng)應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)哪兩種型號(hào)的電視機(jī)？分別購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)？【考點(diǎn)9一元一次方程之?dāng)?shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例9】（2019秋?江漢區(qū)期中）如圖在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是3，點(diǎn)B在原點(diǎn)的左側(cè)，且AB＝6AO（我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母一起標(biāo)記，比如，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB）．（1）B點(diǎn)表示的數(shù)是；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后PA＝3PB？并求出此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）若動(dòng)點(diǎn)M、P、N分別同時(shí)從A、O、B出發(fā)，勻速向右運(yùn)動(dòng)，其速度分別為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)直接寫(xiě)出PM、PN、MN中任意兩個(gè)相等時(shí)的時(shí)間．【變式9-1】（2019秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)軸上的A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)字a、b，且a、b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0（1）直接寫(xiě)出a、b的值；（2）P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PA＝3PB時(shí)，求P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和P表示的數(shù)；（3）數(shù)軸上還有一點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為36，若點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C立即返回再沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)當(dāng)PQ＝10時(shí)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．【變式9-2】（2019秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+8|+（b﹣6）2＝0．（1）A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a＝b＝（2）若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合．則原點(diǎn)O與數(shù)表示的點(diǎn)重合：（3）若點(diǎn)A，B分別以4個(gè)單位/秒和2個(gè)單位/秒的速度相向面行，則幾秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長(zhǎng)度？（4）若點(diǎn)A，B以（3）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)問(wèn)：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP+2OB﹣OP的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)用t表示這個(gè)值：若不變．請(qǐng)求出這個(gè)定值．【變式9-3】（2018秋?永新縣期末）【新定義】：A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到A的距離是點(diǎn)C到B的距離的3倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3．表示2的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)．①【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)表示的數(shù)是；A．﹣1；B.0；C.1；D.2②試說(shuō)明A是【C，E】的幸運(yùn)點(diǎn)．（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)N所表示的數(shù)為4，則【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)表示的數(shù)為．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止．當(dāng)t為何值時(shí)，P、A和B三個(gè)點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的幸運(yùn)點(diǎn)？【考點(diǎn)10與中點(diǎn)有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】線段的中點(diǎn)如圖，點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)．中點(diǎn)定義的推理步驟：(1)∵AC＝CB(已知)，∴點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義)．(2)∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(已知)，∴AC＝BC或AC＝eq\f(1,2)AB或BC＝eq\f(1,2)AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點(diǎn)的定義)．【例10】（2019秋?洛寧縣期末）已知：點(diǎn)C在直線AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．【變式10-1】（2019秋?郯城縣期末）如圖，線段AB，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求線段MN的長(zhǎng)；（2）若BC＝a，試用含a的式子表示線段MN的長(zhǎng)．【變式10-2】（2019秋?永新縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長(zhǎng)．（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其他條件不變，不用計(jì)算你猜出MN的長(zhǎng)度嗎？（3）若C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC﹣BC＝acm，M，N仍分別為AC，BC的中點(diǎn)，你還能猜出線段MN的長(zhǎng)度嗎？（4）由此題你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？【變式10-3】（2019秋?榆社縣期末）已知：點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．（3）若點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AC＝acm，CB＝bcm，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并且用含有a，b的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)11與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】角平