中考數(shù)學壓軸題歸類復(fù)習(十大類型附詳細解答)優(yōu)格教育龔恒雷中考數(shù)學壓軸題輔導(dǎo)（十大類型）目錄動點型問題3幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）……………6相似與三角函數(shù)問題9三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）13與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題……………………..16初中數(shù)學中的最值問題……………..19定值的問題…………..22存在性問題（如：平行、垂直，動點，面積等）………………..25與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題………..29其它（如新定義型題、面積問題等）……………..33參考答案…………….36中考數(shù)學壓軸題輔導(dǎo)（十大類型）數(shù)學綜壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設(shè)計的，集中體現(xiàn)知識的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進行圖形的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進行計算，然后有動點（或動線段）運動，對應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式，求函數(shù)的自變量的取值范圍，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進行探索研究。一般有：在什么條件下圖形是等腰三角形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索兩個三角形滿足什么條件相似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，或探索面積之間滿足一定關(guān)系時求x的值等，或直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有x、y的方程），變形寫成y＝f（x）的形式。找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。解中考壓軸題技能：中考壓軸題大多是以坐標系為橋梁，運用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點與數(shù)即坐標之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學思想方法。一是運用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組求其解析式、研究其性質(zhì)。二是運用分類討論的思想。對問題的條件或結(jié)論的多變性進行考察和探究。三是運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學的思想。由已知向未知，由復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)換。中考壓軸題它是對考生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學思想方法也較全面。因此，可把壓軸題分離為相對獨立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究。解中考壓軸題技能技巧：一是對自身數(shù)學學習狀況做一個完整的全面的認識。根據(jù)自己的情況考試的時候重心定位準確，防止“撿芝麻丟西瓜”。所以，在心中一定要給壓軸題或幾個“難點”一個時間上的限制，如果超過你設(shè)置的上限，必須要停止，回頭認真檢查前面的題，盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。二是解數(shù)學壓軸題做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學來說，不是問題；如果第一小問不會解，切忌不可輕易放棄第二小問。過程會多少寫多少，因為數(shù)學解答題是按步驟給分的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過程會寫多少寫多少，但是不要說廢話，計算中盡量回避非必求成分；盡量多用幾何知識，少用代數(shù)計算，盡量用三角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。三是解數(shù)學壓軸題一般可以分為三個步驟。認真審題，理解題意、探究解題思路、正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計。解數(shù)學壓軸題要善于總結(jié)解數(shù)學壓軸題中所隱含的重要數(shù)學思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的思想等。認識條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題的思路和方法．當思維受阻時，要及時調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。中考壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設(shè)計的題目，其特點是知識點多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學壓軸題，一要樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，分類討論要嚴密，方程函數(shù)是工具，計算推理要嚴謹，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。一、動點型問題：例1．（基礎(chǔ)題）如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸從左至右分別交于A、B兩點，與y軸交于C點，頂點為D．（1）求與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式；（2）若線段AD上有一動點E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，當線段EF取得最大值時，求點E的坐標．變式練習：（2012?杭州模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點D平行于x軸的直線交射線OM于點C，B在x軸正半軸上，連接BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒l個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)點P運動的時間為t（s）．問：當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC=OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒l個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設(shè)它們運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值．（4）在（3）中當t為何值時，以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似？（直接寫出答案）蘇州中考題：（2015年●蘇州）如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當點P到達D點時停止移動；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動．已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2s到達B點，繼續(xù)移動3s，到達BC的中點．若點P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離；（第28題）（圖②）（圖①）（3）如圖②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：當⊙O到達⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD（第28題）（圖②）（圖①）

二、幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）例2．（遼寧省鐵嶺市）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．（1）求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．22OABCxy113PQ變式練習：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x＋m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線經(jīng)過點B，且與直線l另一個交點為C（4，n）．（1）求n的值和拋物線的解析式；（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的橫坐標．蘇州中考題：（2014-2015學年第一學期期末●高新區(qū)）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x＋m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0，－1)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C(4，n)．(1)求n的值和拋物線的解析式；(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t(0<t<4)．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2)．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；(3)將△AOB在平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到△A1O1B1，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的橫坐標為．三、相似與三角函數(shù)問題例3．（四川省遂寧市）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0，)，且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA＋PD最小，求出點P的坐標；CDOBAyx（3）在拋物線上是否存在點Q，使△CDOBAyx變式練習：如圖1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的長為；（2）D是OA上一點，以BD為直徑作⊙M，⊙M交AB于點Q．當⊙M與y軸相切時，sin∠BOQ=；（3）如圖2，動點P以每秒1個單位長度的速度，從點O沿線段OA向點A運動；同時動點D以相同的速度，從點B沿折線B﹣C﹣O向點O運動．當點P到達點A時，兩點同時停止運動．過點P作直線PE∥OC，與折線O﹣B﹣A交于點E．設(shè)點P運動的時間為t（秒）．求當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標．

蘇州中考題：（2013年●28題）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm／s，點G的運動速度為1.5cm／s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）．(1)當t＝s時，四邊形EBFB'為正方形；(2)若以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；(3)是否存在實數(shù)t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．面積與相似：（2012蘇州，29）如圖，已知拋物線y=14x2-14b+1x+b4b⑴點B的坐標為，點C的坐標為（用含b的代數(shù)式表示）；⑵請?zhí)剿髟诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；⑶請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

四、三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）例4．（廣東省湛江市）已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系；點P是OA邊上的動點（與點OA不重合），現(xiàn)將△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB邊上選取適當?shù)狞cD，將△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直線PE、PF重合．（1）若點E落在BC邊上，如圖①，求點P、C、D的坐標，并求過此三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部，如圖②，設(shè)OP＝x，AD＝y(tǒng)，當x為何值時，y取得最大值？（3）在（1）的情況下，過點P、C、D三點的拋物線上是否存在點Q，使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．圖①圖①PDECOABFxy圖②PDCOABFxyEF變式．（廣東省深圳市）已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點C落在y軸正半軸上（如圖1）．（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式．（2）如圖2，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點E．①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標．②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由．ABxABxyOPDE圖2CABxy蘇州中考題：（2013年●29題）如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1，0)．(1)b＝，點B的橫坐標為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；(2)連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線y＝x2＋bx＋c交于點E．點D是x軸上一點，其坐標為(2，0)，當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有個．五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題例5．（內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，Rt△ABC的頂點坐標分別為A（0，），B（－），C（1，0），∠ABC＝90°，BC與y軸的交點為D，D點坐標為（0，），以點D為頂點、y軸為對稱軸的拋物線過點B．（1）求該拋物線的解析式；（2）將△ABC沿AC折疊后得到點B的對應(yīng)點B′，求證：四邊形AOCB′是矩形，并判斷點B′是否在（1）的拋物線上；CB′D（3）延長BA交拋物線于點E，在線段BE上取一點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于點F，是否存在這樣的點P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點CB′D變式練習：（2011年蘇州28題）(1)如圖①，當PA的長度等于時，∠PAB＝60°；當PA的長度等于時，△PAD是等腰三角形；(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3．坐標為（a，b），試求2S1S3－S22的最大值，并求出此時a，b的值．

蘇州中考題：（2011年●29題）

六、初中數(shù)學中的最值問題例6．（2014?海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．（1）求此拋物線的解析式；（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標；（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．變式練習．（四川省眉山市）如圖，已知直線y＝x＋1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋1交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)．（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM－MC|的值最大，求出點M的坐標．yyxCBADOEy蘇州中考題：（2012江蘇蘇州，27，8分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x2<當x=52時，求弦PA當x為何值時，PD?

七、定值的問題例7．（湖南省株洲市）如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C在x軸上，點B的坐標為(3，m)(m＞0)，線段AB與y軸相交于點D，以P(1，0)為頂點的拋物線過點B、D．（1）求點A的坐標（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結(jié)PQ并延長交BC于點E，連結(jié)BQ并延長交AC于點F，試證明：FC(AC＋EC)為定值．yyxFAODBPCEQ變式練習：（2012江蘇蘇州，28，9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明⑶當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

蘇州中考題：（2014年?蘇州）如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為F，探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

八、存在性問題（如：平行、垂直，動點，面積等）例8、(2008年浙江省紹興市)將一矩形紙片放在平面直角坐標系中，，，．動點從點出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿向終點運動，運動秒時，動點從點出發(fā)以相等的速度沿向終點運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)點的運動時間為（秒）．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當時，如圖1，將沿翻折，點恰好落在邊上的點處，求點的坐標；連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2．問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由．變式練習：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為P，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求直線DC的解析式；（3）拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

蘇州中考題：（2015年蘇州●本題滿分10分）如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度數(shù)為°；（2）求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（第27題）（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ（第27題）模擬試題：在如圖的直角坐標系中，已知點A（1，0）、B（0，﹣2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，若拋物線y=﹣x2+bx+2經(jīng)過點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，﹣2）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，問在y軸的正半軸上是否存在一點P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．（3）在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心，以為半徑的圓與直線BC相切？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題：例9.如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其頂點為D，且直線DC的解析式為y=x+3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標；（3）若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值．變式練習：如圖，已知拋物線y=a（x﹣2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），連接AC、BC．（1）求此拋物線的解析式；（2）若P為拋物線的對稱軸上的一個動點，連接PA、PB、PC，設(shè)點P的縱坐標表示為m．試探究：①當m為何值時，|PA﹣PC|的值最大？并求出這個最大值．②在P點的運動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由．

中考題訓(xùn)練：（2014?黔南州）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式；（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．蘇州中考題：（2015年●27題）如圖，已知二次函數(shù)（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度數(shù)為▲°；（2）求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（第27題）（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ（第27題）

十、其它（如新定義型題、面積問題等）：例10.定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=x+b經(jīng)過點M（0，），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1=d（0＜d＜1），當d為（）時，這組拋物線中存在美麗拋物線．A．或 B．或 C．或 D．變式練習：1.在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，（點A在點B左側(cè)）．與y軸交于點C，頂點為D，直線CD與x軸交于點E．（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標；（2）將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點F（不與A、B兩點重合），請你求出F點坐標；（3）在點B、點F之間的拋物線上有一點P，使△PBF的面積最大，求此時P點坐標及△PBF的最大面積；（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑．（第1題）（第2題）2.練習：（2015河池）我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是（）A．6B．8C．10D．12。蘇州中考題：（2015年●26題）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED．（1）求證：ED∥AC；（第26題）（2）若BD=2CD，設(shè)△EBD的面積為，△ADC的面積為，且，求△ABC的面積．（第26題）模擬試題：如圖所示，在平面直角坐標系中，⊙M過點O且與y軸、x軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，點C與點M關(guān)于x軸對稱，已知點M的坐標為（2，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線OC與⊙M的位置關(guān)系，并證明；（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線OC上的動點，判斷是否存在以點P、Q、A、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案：例1．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)x等于零時，可得C點坐標，根據(jù)y等于零時，可得A、B的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，根據(jù)平行線的斜率相等，可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個交點，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對相等的實數(shù)根，可得判別式等于零；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AD的解析式，根據(jù)E點在線段AB上，可設(shè)出E點坐標，根據(jù)EF∥y軸，F(xiàn)在拋物線上，可得F點的坐標，根據(jù)兩點間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0）．當x=0時，y=﹣3，即C（0，﹣3）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，直線BC經(jīng)過點B，點C，得：，解得，設(shè)平行于BC且與拋物線只有一個交點的直線解析式為y=x+b，由題意，得：，②﹣①，得：x2﹣3x﹣3﹣b=0，只有一個交點，得：△=（﹣3）2﹣4×（﹣b﹣3）=0，解得b=﹣，與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式y(tǒng)=x﹣；（2）y=x2﹣2x﹣3，當x=﹣=﹣=1時，y===﹣4，即D（1，﹣4），設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，AD的圖象過點A、D，得，解得，直線AD的解析式是y=﹣2x﹣2，線段AD上有一動點E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，設(shè)E點坐標是（x，﹣2x﹣2），F(xiàn)點坐標是（x，x2﹣2x﹣3），﹣1≤x≤1，EF的長是：y=（﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+1。當x=0時，EF最大=1，即點E的坐標是（0，﹣2），當線段EF取得最大值時，點E的坐標是（0，﹣2）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的判別式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強．變式練習：【考點】二次函數(shù)綜合題。【專題】壓軸題．【分析】（1）將A的坐標代入拋物線y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；（2）易得D的坐標，過D作DN⊥OB于N；進而可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長．（4）分別利用當△AOD∽△OQP與當△AOD∽△OPQ，得出對應(yīng)邊比值相等，進而求出即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=a（x﹣1）2+3（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0），∴0=9a+3，∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣1）2+3；（2））①∵D為拋物線的頂點，∴D（1，3），過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°．∵OM∥AD，①當AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，∴OP=6，∴t=6．②當DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形，過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）∴OP=DH=5，t=5，③當PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，易證：△AOH≌△CDP，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4．綜上所述：當t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；（3）∵D為拋物線的頂點坐標為：D（1，3），過D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°，∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形．則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）過P作PE⊥OQ于E，則，∴SBCPQ=×6×3﹣×（6﹣2t）×t，=，當時，SBCPQ的面積最小值為，（4）當△AOD∽△OQP，則=，∵AO=2，AD=6，QO=6﹣2t，OP=t，∴=，解得：t=，當△AOD∽△OPQ，則=，即=，解得：t=，故t=或時以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題是考查重點．蘇州中考題：解：（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）∵圓心O移動的距離為2（a﹣4）cm，由題意，得：a+2b=2（a﹣4）①，∵點P移動2秒到達B，即點P2s移動了bcm，點P繼續(xù)移動3s到達BC的中點，即點P3秒移動了acm．∴=②由①②解得，∵點P移動的速度為與⊙O移動速度相同，∴⊙O移動的速度為==4cm（cm/s）．這5秒時間內(nèi)⊙O移動的距離為5×4=20（cm）；（3）存在這種情況，設(shè)點P移動速度為v1cm/s，⊙O2移動的速度為v2cm/===，如圖：設(shè)直線OO1與AB交于E點，與CD交于F點，⊙O1與AD相切于G點，若PD與⊙O1相切，切點為H，則O1G=O1H易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDP=∠CBD，∴BP=DP．設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20﹣x）2+102=x2，解得x=，此時點P移動的距離為10+=（cm），∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD，∴=，即=，EO1=16cm，OO1=14cm．①當⊙O首次到達⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14cm此時點P與⊙O移動的速度比為=，∵≠，∴此時PD與⊙O1不能相切；②當⊙O在返回途中到達⊙O1位置時，⊙O移動的距離為2（20﹣4）﹣14=18cm∴此時點P與⊙O移動的速度比為==，此時PD與⊙O1恰好相切．點評：本題考查了圓的綜合題，（1）利用了有理數(shù)的加法，（2）利用了P與⊙O的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度乘以時間得出結(jié)果；（3）利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵．例2.【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點型．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，把已知坐標代入求出拋物線的解析式．（2）求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在．【解答】解：（1）方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）．把A（1，1），B（3，1）代入上式得：，解得．∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x．方法二：∵A（1，1），B（3，1），∴拋物線的對稱軸是直線x=2．設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+h（a≠0）把O（0，0），A（1，1）代入得，解得，∴所求拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+．（2）分三種情況：①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，∵A（1，1），∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，∴PQ=OQ=tcos45°=t．S=t2，②當2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點G，作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP．∴AG=FH=t﹣2，∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．③當3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點M，交BC于點N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．∵B（3，1），OP=t，∴PC=CN=t﹣3，∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2，S=﹣t2+4t﹣．（3）存在．當O點在拋物線上時，將O（t，t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去），t=1；當Q點在拋物線上時，Q（t，t）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2．故t=1或2．【點評】本題是一道典型的綜合題，重點考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及考生理解圖形的能力，難度較大．變式練習：解：（1）∵直線l：y=x+m經(jīng)過點B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直線l的解析式為y=x﹣1，∵直線l：y=x﹣1經(jīng)過點C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C（4，2）和點B（0，﹣1），∴，解得，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，則x﹣1=0，解得x=，∴點A的坐標為（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y軸，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE?=DE，DF=DE?sin∠DEF=DE?=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵點D的橫坐標為t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴當t=2時，p有最大值；（3）∵△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，設(shè)點A1的橫坐標為x，①如圖1，點O1、B1在拋物線上時，點O1的橫坐標為x，點B1的橫坐標為x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如圖2，點A1、B1在拋物線上時，點B1的橫坐標為x+1，點A1的縱坐標比點B1的縱坐標大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，綜上所述，點A1的橫坐標為或﹣．蘇州中考題：（略）例3.【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）已知了頂點的橫坐標，可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a（x﹣4）2+k，根據(jù)二次函數(shù)過點（0，），可得出=16a+k；由于A、B關(guān)于x=4對稱，且AB=6，不難得出A、B的坐標為（1，0），（7，0），可將它們的坐標代入解析式中即可求出a、k的值．（2）本題的關(guān)鍵是確定P的位置，由于對稱軸垂直平分AB，因此P不論在對稱軸的什么位置都有PA=PB，連接DB，如果P是交點時，PA+PD的長就是BD的長，兩點之間線段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點．可根據(jù)B、D的坐標求出BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點．即可得出P點的坐標．（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角形．要分兩種情況進行討論：①當Q在x軸下方時，Q，C重合，Q點的坐標就是C點的坐標．②當Q在x軸上方時，應(yīng)該有兩個符合條件的點，拋物線的對稱軸左右兩側(cè)各一個，且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸相對稱．因此只需求出一點的坐標即可．以AQ=AB為例：可過Q作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)BQ即AB的長以及∠QBx的度數(shù)來求出Q的坐標．然后根據(jù)對稱性求出另外一點Q的坐標．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x﹣h）2+k∵頂點C的橫坐標為4，且過點（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6，∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②。由①②解得a=，k=﹣，∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x﹣4）2﹣（2）∵點A、B關(guān)于直線x=4對稱，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB?！喈旤cP在線段DB上時PA+PD取得最小值，∴DB與對稱軸的交點即為所求點P。設(shè)直線x=4與x軸交于點M?！逷M∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴，∴，∴點P的坐標為（4，）（3）由（1）知點C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=，∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°①當點Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，則∠QBN=60°，∴QN=3，BN=3，ON=10，此時點Q（10，），如果AB=AQ，由對稱性知Q（﹣2，）②當點Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，此時點Q的坐標是（4，），經(jīng)檢驗，點（10，）與（﹣2，）都在拋物線上。綜上所述，存在這樣的點Q，使△QAB∽△ABC，點Q的坐標為（10，）或（﹣2，）或（4，）．【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點．要注意（2）中確定P點位置的方法．在（3）中不確定Q位置的情況下要分類進行討論，不要漏解．變式練習：【考點】圓的綜合題；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】綜合題；分類討論．【分析】（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1（1），易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH，只需在△AHB中運用三角函數(shù)求出BH即可．（2）過點B作BH⊥OA于H，過點G作GF⊥OA于F，過點B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2），則有OH=2，BH=4，MN⊥OC．設(shè)圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中運用勾股定理可求出r=2，從而得到點D與點H重合．易證△AFG∽△ADB，從而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．設(shè)OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，進而可求出BR，在Rt△ORB中運用三角函數(shù)就可解決問題．（3）由于△BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立關(guān)于t的方程就可解決問題．【解答】解：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1（1），則有∠BHA=90°=∠COA．∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四邊形OCBH是矩形．∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH==1．∴BH=HA=4．∴OC=BH=4．故答案為：4．（2）過點B作BH⊥OA于H，過點G作GF⊥OA于F，過點B作BR⊥OG于R，連接MN、DG，如圖1（2）．由（1）得OH=2，BH=4．∵OC與⊙M相切于N，∴MN⊥OC．設(shè)圓的半徑為r，則MN=MB=MD=r．∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．∵BM=DM，∴CN=ON．∴MN=（BC+OD）．∴OD=2r﹣2．∴DH==．在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2．∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．解得：r=2．∴DH=0，即點D與點H重合．∴BD⊥0A，BD=AD．∵BD是⊙M的直徑，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB．∴BG=AG．∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD．∴△AFG∽△ADB．∴===．∴AF=AD=2，GF=BD=2．∴OF=4．∴OG===2．同理可得：OB=2，AB=4．∴BG=AB=2．設(shè)OR=x，則RG=2﹣x．∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°．∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2．∴（2）2﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2．解得：x=．∴BR2=OB2﹣OR2=（2）2﹣（）2=．∴BR=．在Rt△ORB中，sin∠BOR===．故答案為：．（3）①當∠BDE=90°時，點D在直線PE上，如圖2．此時DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t．則有2t=2．解得：t=1．則OP=CD=DB=1．∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO．∴==．∴DE=2．∴EP=2．∴點E的坐標為（1，2）．②當∠BED=90°時，如圖3．∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC．∴=．∴=．∴BE=t．∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO．∴=．∴=．∴OE=t．∵OE+BE=OB=2，∴t+t=2．解得：t=．∴OP=，OE=．∴PE==．∴點E的坐標為（，）．③當∠DBE=90°時，如圖4．此時PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．則有OD=PE，EA==（6﹣t）=6﹣t．∴BE=BA﹣EA=4﹣（6﹣t）=t﹣2．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四邊形ODEP是矩形．∴DE=OP=t，DE∥OP．∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED==．∴DE=BE．∴t=（t﹣2）=2t﹣4．解得：t=4．∴OP=4，PE=6﹣4=2．∴點E的坐標為（4，2）．綜上所述：當以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標為（1，2）、（，）、（4，2）．【點評】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性．蘇州中考題：(1)2.5； (2)t＝或－14＋2； (3)不存在。面積與相似：解：⑴B（b，0），C（0，b4⑵假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形。設(shè)點P坐標（x，y），連接OP，則S四邊形PCOB=S△PCO+S△POB=12?b4?x+12?b?y=2b，∴x+4y=16∴∠EPD=90°.∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.∴∠EPC=∠BPD.∴△PEC≌△PDB.∴PE=PD，即x=y.由x=yx+4y=16，解得：x=165y=165.由△PEC≌△PDB得EC=DB，即165⑶假設(shè)存在這樣的點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x軸.∵b＞2，∴AB＞OA.∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此時∠OQB=90°.由QA⊥x軸知QA∥y軸，∴∠COQ=∠OQA.∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.（Ⅰ）當∠OCQ=90°時，△QOA≌△OQC.∴AQ=CO=b4.由AQ=AQ2=OA?AB得：b42=∴點Q坐標為（1，2+3）（Ⅱ）當∠OQC=90°時，△QOA≌△OCQ.∴OQCO=AQQO，即OQ2=AQ?CO.又OQ2=OA?OB.∴AQ?CO=OA?OB，即b4?AQ=1?b.解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意.∴點Q坐標為（1，例4.【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點型；開放型．【分析】（1）根據(jù)矩形的寬為3即可得出C的坐標為（0，3）．當E落在BC邊時，四邊形OPEC和四邊形PADF均為正方形的性質(zhì)，那么OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1．因此P的坐標為（3，0），D的坐標為（4，1）．然后根據(jù)P，C，D三點的坐標，用待定系數(shù)法求出過P、C、D三點的拋物線的解析式．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出∠CPO=∠CPE，∠FPD=∠APD．由此可得出∠CPD=90°，由此不難得出Rt△POC∽Rt△DAP，可根據(jù)線段OC、OP、PA、AD的比例關(guān)系，得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)關(guān)系式即可得出y的最大值以及對應(yīng)的x的值．（3）可分兩種情況進行討論：①當PQ是另一條直角邊，即∠DPQ=90°時，由于∠DPC=90°，且C在拋物線上，因此C與Q重合，Q點的坐標即為C點的坐標．②當DQ是另一條直角邊，即∠PDQ=90°時，那么此時DQ∥PC．如果將PC所在的直線向上平移兩個單位，即可得出此時DQ所在直線的解析式．然后聯(lián)立直線DQ的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無解，則說明不存在這樣的Q點，如果方程組有解，那么方程組的解即為Q的坐標．綜合上述兩種情況即可得出符合條件的Q的坐標．解：（1）由題意知，△POC，△PAD為等腰直角三角形，得P（3，0），C（0，3），D（4，1），設(shè)過此三點的拋物線為y=ax2+bx+c（a≠0），則，∴，∴過P、C、D三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣x+3．（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，則∠CPD=90°，∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，∴∠OPC=∠ADP．∴Rt△POC∽Rt△DAP．∴即?！遹=x（4﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+（0＜x＜4）∴當x=2時，y有最大值．（3）假設(shè)存在，分兩種情況討論：①當∠DPQ=90°時，由題意可知∠DPC=90°，且點C在拋物線上，故點C與點Q重合，所求的點Q為（0，3）②當∠QDP=90°時，過點D作平行于PC的直線DQ，假設(shè)直線DQ交拋物線于另﹣點Q，∵點P（3，0），C（0，3），∴直線PC的方程為y=﹣x+3，將直線PC向上平移2個單位與直線DQ重合，∴直線DQ的方程為y=﹣x+5．由，得或．又點D（4，1），∴Q（﹣1，6），故該拋物線上存在兩點Q（0，3），（﹣1，6）滿足條件．【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．變式練習：【考點】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；兩點間的距離；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OA?OB，設(shè)OA的長為x，則OB=5﹣x，代入可求OA，OB的長，確定A，B，C三點坐標，求拋物線解析式；（2）根據(jù)△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點坐標；（3）作輔助線，將求△CDP的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖1，連接OP，根據(jù)S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD，表示△CDP的面積；方法二：過點P作PE⊥x軸于點F，則S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP，表示△CDP的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標．【解答】解：（1）設(shè)OA的長為x，則OB=5﹣x；∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA?OB∴22=x（5﹣x）解得：x1=1，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；∴點A、B、C的坐標分別是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（用射影定理的不扣分）方法一：設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+2，將A、B、C三點的坐標代入得，解得：a=，b=，c=2所以這個二次函數(shù)的表達式為：。方法二：設(shè)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=a（x+1）（x﹣4）將C點的坐標代入得：a=，所以這個二次函數(shù)的表達式為：。（表達式用三種形式中的任一種都不扣分）（2）①當△BDE是等腰三角形時，點E的坐標分別是：，，．（注：符合條件的E點共有三個，其坐標，寫對一個給1分）②如圖1，連接OP，S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD==m+n﹣2==∴當m=時，△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（，），S△CDP的最大值是．另解：如圖2、圖3，過點P作PF⊥x軸于點F，則S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP==m+n﹣2==…（9分）∴當m=時，△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（，），S△CDP的最大值是．（注：只回答有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點P的坐標，或最大面積計算錯誤的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情給分．）【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中斜邊上的高分得的兩個三角形相似，利用相似比求A、B兩點坐標，確定拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求E點坐標，利用作輔助線的方法表示△CDP的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積的最大值．蘇州中考題：(1)＋c，－2c；(2)y＝x2－x－2．(3)①0<S<5；②11．例5.【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式，因點B在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；（2）△ABC沿AC折疊，要用到點的對稱，得到B′的坐標然后驗證是否在拋物線上；（3）假設(shè)存在，設(shè)直線BA的解析式，根據(jù)B、A坐標解出直線BA的解析式，用m表示出P點坐標，因為PF=AD可以得到P點坐標．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+，∵B（，）在拋物線上，∴把B（，）代入y=ax2+，得a=．∴拋物線解析式為y=x2+．（2）∵點B（，），C（1，0），∴CB=，∴CB'=CB=OA．又CA==2，∴AB==1，∴AB'=AB=OC．∴四邊形AOCB'是矩形．∵CB'=，OC=1，∴B'點的坐標為（1，）．∵當x=1時，代入y=x2+得y=，∴B'（1，）在拋物線上．（3）存在．理由是：設(shè)BA的解析式為y=kx+b，∴∴∵P，F(xiàn)分別在直線BA和拋物線上，且PF∥AD，∴設(shè)P（m，m+），F(xiàn)（m，m2+）PF=（m+）﹣（m2+），AD=﹣=。如果PF=AD，則有：（m+）﹣（m2+）=，解得m1=0（不符合題意舍去），m2=．∴當m=時，PF=AD，存在四邊形ADFP是平行四邊形．當m=時，m+=，∴P點的坐標是（，）．【點評】考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨特，考查的知識點很全面，是一道綜合性題型．變式練習：【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合；方程思想．【分析】（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用三角函數(shù)即可求得PA的長；當PA=PB時，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．（2）過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長FP交BC于點G，則PG⊥BC，P點坐標為（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形面積關(guān)系與二次函數(shù)的知識即可求得答案．【解答】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，∵AB是直徑，∴∠APB=90°，則在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2，∴當PA的長度等于2時，∠PAD=60°；若△PAD是等腰三角形，當PA=PD時，此時P位于四邊形ABCD的中心，過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，則四邊形EAMP是正方形，∴PM=PE=AB=2，∵PM2=AM?BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=2，當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．連PD，令A(yù)B中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，則△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，∴==，∴AG=2OG，設(shè)AG為2x，OG為x，∴（2x）2+x2=4，∴x=∴AG=2x=，∴AP=.∴當PA的長度等于2或時，△PAD是等腰三角形；（2）過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長FP交BC于點G，則PG⊥BC，∵P點坐標為（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，在△PAD，△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，∵AB為直徑，∴∠APB=90°，∴PE2=AE?BE，即b2=a（4﹣a），∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，∴當a=2時，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．蘇州中考題：【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）本題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸，再根據(jù)∠OAC=60°得出OC，從而求出a．（2）本題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關(guān)于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．【解答】解：（1）令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a，∴點A、B、C的坐標分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），該拋物線對稱軸為直線x=3，∴OA=2，如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點為M，則AM=1，由題意得：O′A=OA=2，∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC=60°，∴OC=2，即8a=2，∴a=；（2）若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結(jié)論同樣成立，①如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點，連接PM，∵點E（4，4）、F（4，3）與點B（4，0）在一直線上，點C在y軸上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，②設(shè)P是邊FG上的任意一點（不與點G重合），∵點F的坐標是（4，3），點G的坐標是（5，3），∴FB=3，GB=，∴3≤PB，∵PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形；（3）存在一個正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，如圖③，∵點A、B是拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上，∴PA=PB，∴當PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，∵點C的坐標是（0，8a），點D的坐標是（3，﹣a），點P的坐標是（3，t），∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，整理得：7a2﹣2ta+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴a==，∴a=或a=，∵t＞3，∴顯然a=或a=，滿足題意，∴當t是一個大于3的常數(shù)時，存在兩個正數(shù)a=或a=，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意運用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．例6.【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小．【解答】解：（1）∵對稱軸為直線x=2，∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）當a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+∴當x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，把x=時，y=﹣（﹣2）2+9=．此時點P坐標為（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，∴點P的縱坐標為3．令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．當y=0時，解得x=．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．∴a=時，四邊形PMEF周長最?。军c評】本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣最短路線的性質(zhì)．試題計算量偏大，注意認真計算．變式練習：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入得解得∴拋物線的解折式為。（2）設(shè)點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為即E點的坐標（，）又∵點E在直線上∴解得（舍去），，∴E的坐標為（4，3）（Ⅰ）當A為直角頂點時，過A作AP1⊥DE交x軸于P1點，設(shè)P1（a,0），易知D點坐標為（－2，0），由Rt△AOD∽Rt△POA得：即，∴a＝，∴P1（，0）（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，P2點坐標為（，0）（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE。由得解得，∴此時的點P3的坐標為（1，0）或（3，0）綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（3）拋物線的對稱軸為…（9分）∵B、C關(guān)于x＝對稱∴MC＝MB要使最大，即是使最大。由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時的值最大．易知直線AB的解折式為∴由得∴M（，－）蘇州中考題：解：⑴∵⊙O與直線l相切于點A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l。又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB。∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.∴PCAP=PAAB，即PA2=PC?AB.∵PC=52，AB=4⑵過O作OE⊥PD，垂足為E.∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2.∴CD=∴PD?CD=2x-2?4-x=-2x例7．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點型．【分析】（1）AO=AC﹣OC=m﹣3，用線段的長度表示點A的坐標；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）為拋物線頂點，可設(shè)頂點式，求解析式；（3）設(shè)Q（x，x2﹣2x+1），過Q點分別作x軸，y軸的垂線，運用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．【解答】（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴點A的坐標是（3﹣m，0）．（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，則點D的坐標是（0，m﹣3）．又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2，得：解得∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1；（3）證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，設(shè)點Q的坐標是（x，x2﹣2x+1），則QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，∴，即，得EC=2（x﹣1）∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴，即，得又∵AC=4，∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8即FC（AC+EC）為定值8．【點評】本題考查了點的坐標，拋物線解析式的求法，綜合運用相似三角形的比求線段的長度，本題也可以先求直線PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的長．變式練習：解：⑴∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，則tan∠CGD=tan∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x.∴13-x=y4-x，即y=4-x3-x.∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為⑵∵S1=1∴S1-S⑶延長PD交AC于點Q.∵正方形ABCD中，AC為對角線，∴∠CAD=45°.∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°.∴∠GDP=∠ADQ=45°.∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP.∴3-x=4-x3-x，化簡得：x2-5在Rt△DGP中，PD=蘇州中考題：（1）解：將C（0，﹣3）代入二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2），則﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）證明：如圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，則A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴點D的坐標為（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．設(shè)E坐標為（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即為定值．（3）解：如圖2，記二次函數(shù)圖象頂點為F，則F的坐標為（m，﹣4），過點F作FH⊥x軸于點H．連接FC并延長，與x軸負半軸交于一點，此點即為所求的點G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時G點的橫坐標為﹣3m．本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及利用直角三角形性質(zhì)求解邊長等知識，總體來說本題雖難度稍難，但問題之間的提示性較明顯，所以是一道質(zhì)量較高的題目．例8．【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】壓軸題．【分析】（1）點Q運動的時間比點P多秒，則運動的路程也多出了．（2）利用翻折得到的線段長，再利用勾股定理可求得點D的橫坐標，縱坐標和點C的縱坐標相等．（3）當平行的時候，所截得的線段對應(yīng)成比例，即可求得時間值．當垂直的時候也要找到一組平行線，得到對應(yīng)線段成比例看是否在相應(yīng)的范圍內(nèi)．【解答】解：（1）OP=6﹣t，OQ=t+．（2）當t=1時，過D點作DD1⊥OA，交OA于D1，如圖1，則DQ=QO=，QC=，∴CD=1，∴D（1，3）．（3）①PQ能與AC平行．若PQ∥AC，如圖2，則，即，∴，而，∴．②PE不能與AC垂直．若PE⊥AC，延長QE交OA于F，如圖3，則=，=，∴．∴EF=QF﹣QE=QF﹣OQ===（﹣1）（t+），又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，∴，∴，∴t≈3.45，而，∴t不存在．【點評】注意使用翻折得到的對應(yīng)線段相等；當兩條直線平行的時候，所截得的對應(yīng)線段是成比例的．變式練習：【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）把點A（1，0），B（﹣3，0）兩點，代入求出a和b的值，二次函數(shù)解析式即可求出；（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長度，得出Q點的坐標，再求出直線QC的