第第頁大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫(附答案)《高等數(shù)學(xué)》試卷1〔下〕

一.選擇題〔3分10〕1.點(diǎn)

8.冪級(jí)數(shù)

n1

*

n

的收斂域?yàn)椤病?

n

M12,3,1

到點(diǎn)

M

2

2,7,4的距離

M1M

2

A.

1,1B1,1C.1,1D.1,1

n

〔〕.

A.3B.4C.5D.6

2.向量ai2jk,b2ij

A.

*

9.冪級(jí)數(shù)

n02

，那么有〔〕.

在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是〔〕.

a

∥

b

B.

a

⊥

b

C.

a,b

A.

11*

B.

22*

C.

21*

D.

12*

3

D.

a,b

4

3.函數(shù)

y2*2

y2

1的定義域是

*2

y2

1

〔〕.A.

*,y*

2

y

2

2

B.

*,y*

2

y

2

2

C.

*,y*

2

y

2

2

D

*,y*

2

y

2

2

4.兩個(gè)向量a

與b

垂直的充要條件是〔〕.

A.

ab0

B.

ab0

C.

ab0

aD.b0

5.函數(shù)

z*3y3

3*y

的微小值是〔〕.

A.2B.2

C.1D.1

6.設(shè)

z*siny

，那么

zy

＝〔〕.

1,4

A.

22

B.

22

C.

2D.2

7.假設(shè)

p

級(jí)數(shù)

1〕.

n1

n

p

收斂，那么〔A.

p1B.p1C.p1D.p1

10.微分方程

*yylny0

的通解為〔〕.

A.

yce

*

B.

ye

*

C.

yc*e

*

D.

ye

c*

二.填空題〔4分5〕1.一平面過點(diǎn)

A0,0,3

且垂直于直線

AB

，其中點(diǎn)

B2,1,1，那么此平面方程為______________________.

2.

函

數(shù)

zsin*y

的全微分是

______________________________.

3.

設(shè)

z*3y23*y

3

*y1

，那么

2

z

*y

_____________________________.

4.

12*

的麥克勞林級(jí)數(shù)是___________________________.

5.微

分方程

y4y4y0

的通解為

_________________________________.

三.計(jì)算題〔5分6〕

1.設(shè)

zeu

sinv，而u*y,v*y

，求

z*,zy

.2.

已

知

隱

函

數(shù)

zz*,y

由

方

程

*22y2z2

4*2z50確定，求

z*,zy

.3.計(jì)算

sin

*2

y2

d

，

其

中

D

D:

2

*2y

2

4

2

.

4.如圖，求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積〔

R

為

1.

z*

e

*y

ysin*ycos*y

，

zy

e

*y

*sin*ycos*y.

2.

z*

2*z2y

,z1yz1

2

.

3.

2

d

R

3

sind6

2

.

4.

163

.

5.

ye

3*

e

2*

.

四.應(yīng)用題

5.求微分方程

1.長、寬、高均為

2m

時(shí)，用料最省.

y3ye

2*

在

y

*0

0條件下的特解.

2.

y

13

*.

2

四.應(yīng)用題〔10分2〕1.要用鐵板做一個(gè)體積為2m

3

的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各

《高數(shù)》試卷2〔下〕

一.選擇題〔3分10〕1.點(diǎn)M

取怎樣的尺寸時(shí)，才能運(yùn)用料最?。?..曲線

yf*上任何一點(diǎn)的切線斜率等于自原點(diǎn)到該切點(diǎn)的

1

，求此曲線方程3

1

4,3,1，M27,1,2的距離M1M2

B.

〔〕.

連線斜率的2倍，且曲線過點(diǎn)1,

A.

C.

D.

2.設(shè)兩平面方程分別為

.

試卷1參考答案

一.選擇題CBCADACCBD二.填空題1.

A.

*2y2z10

和

*y50，那么兩平面的夾角為〔〕.

6

B.

4

C.

3

D.

2

2*y2z60.

3.函數(shù)

zarcsin*y

22

的定義域?yàn)椤病?

2.

cos*yyd**dy

6*y9y1.

2

2

.

A.

*,y0*

*,y0*

2

2

y

2

1

3.

B.

y

2

1

4.

n0

1n

2

n1

*

n

.C.

22*,y0*y

2

5.

yC1C2*e

2*

.

D.

*,y0

*y

22

三.計(jì)算題

2

的距離為

4.點(diǎn)

P1,2,1到平面*2y2z50

A.3B.4C.5D.65.函數(shù)

z2*y3*22y

2

的極大值為〔〕.

A.0B.1C.

1D.

12

6.設(shè)

z*2

3*yy

2

，那么

z*

1,2

〔〕.

A.6B.7C.8D.9

7.假設(shè)幾何級(jí)數(shù)

ar

n

是收斂的，那么〔〕.

n0

A.

r1B.r1C.r1D.r1

8.冪級(jí)數(shù)

n1*

n

的收斂域?yàn)椤病?

n0

A.

1,1B.1,1C.1,1D.1,1

9.級(jí)數(shù)

sinna4

是〔〕.

n1

n

A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定10.微分方程

*yylny0的通解為〔〕.

A.

ye

c*

B.

yce

*

C.

ye

*

D.

yc*e

*

二.填空題〔4分5〕*3t1.直線l過點(diǎn)A2,2,1且與直線

yt平行，那么直線l

z12t的方程為__________________________.2.函數(shù)

ze

*y

的全微分為___________________________.

3.曲面

z2*24y

2

在點(diǎn)

2,1,4

處的切平面方程為

_____________________________________.4.

11*

2

的麥克勞林級(jí)數(shù)是______________________.

5.微分方程

*dy3yd*0

在

y

*1

1條件下的特解為

______________________________.三.計(jì)算題〔5分6〕

jk,b21.設(shè)ai2j3k，求ab.

2.設(shè)

zu2vuv

2

，而u*cosy,v*siny

，求

z*,zy

.3.已知隱函數(shù)

zz*,y

由

*3

3*yz2

確定，求

z*,zy

.4.如圖，求球面

*2y2z2

4a

2

與圓柱面

*2y

2

2a*〔a

0

〕所圍的幾何體的體積

.

5.求微分方程

y3y2y0的通解.

四.應(yīng)用題〔10分2〕1.試用二重積分計(jì)算由y*,y2*

和

*4

所圍圖

形的面積.

2.如圖，以初速度v0將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋，不計(jì)阻力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)

2

律

**t.〔提示：

d*dt

2

g.當(dāng)t0時(shí)，有*

*0

，

d*dt

v0〕

2.

*

12

gt

2

v0t*0

.

《高等數(shù)學(xué)》試卷3〔下〕

一、選擇題〔此題共10小題，每題3分，共30分〕1、二階行列式2〕

4

A、10B、20C、24D、22

試卷2參考答案

一.選擇題CBABACCDBA.二.填空題1.

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k3、點(diǎn)P〔-1、-2、1〕到平面*+2y-2z-5=0的距離為〔〕2、設(shè)a=i+2j-k,b=2j+3k，那么a與b的向量積為〔〕

*21

y21

z12

.

A、2B、3C、4D、5

2.

e

*y

yd*

*dy

.

4、函數(shù)z=*siny在點(diǎn)〔1，

4

〕處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為〔〕

3.8*8yz4.

A、

2222

,

22

,

B、

222

,

22

C、

22

4.

n2n

1*n0

.

3

D、

22

2

,

5.

y*

.

5、設(shè)*2+y2+z2=2R*，那么

.

A、

三.計(jì)算題

1.8i3j2k

2.

zz,*y

分別為〔〕

*R

zzzz*Ry*Ry,,3D、zz233

3*sinycosycosysiny,2*sinycoszysinycosy*sinycoszzz

*y

,

y

B、

*R

,

y

C、

3

y

.

6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R，面密度為

*y

22

的薄板的

3.

z*32

yz*yz

2

,

zy

*z*yz

2

.

質(zhì)量為〔〕〔面積A=R

2

〕

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、

4.

12

RA

2

2

a.332

3

2*

7、級(jí)數(shù)

*

(1)

n1

n

*

n

n

的收斂半徑為〔〕

5.

yC1eC2e

.

A、2B、

12

四.應(yīng)用題1.

C、1D、3

163

.

8、cos*的麥克勞林級(jí)數(shù)為〔〕

2n

A、

(1)

n

*

2n

(1)

n

*

n0

(2n)!

B、

n1(2n)!

C、

2n

*

2n1

(1)

n

*

n

n0

(2n)!

D、

(1)

n0

(2n1)!

9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的階數(shù)是〔〕2、求曲線*=t,y=t2,z=t3在點(diǎn)〔1，1，1〕處的切線及法平面方程.A、一階B、二階C、三階D、四階10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根為〔〕A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2二、填空題〔此題共5小題，每題4分，共20分〕

1

、

直

線

L1

：

*=y=z

與

直

線

L2

：

*1

y33

、

計(jì)

算

2

1

z的夾角為

___________。

直

線

L由直線y1,*2及y*圍成

3：

*yd，

其中DD

*1y22

1

z與平面3*2y6z0之間的夾角為

.2

____________。2、〔0.98〕2.03

的近似值為________,sin100

的近似值為___________。

3

、二

重積分

d,D:*2

y

2

1的值為

___________。

D

4、冪級(jí)數(shù)

n!*

n

的收斂半徑為

__________，

4

、問級(jí)數(shù)

n0

n

(1)n

s

1i？假設(shè)收斂n，那么是條件收斂還是絕對

*

n!

的收斂半徑為

__________。

n1

n

收斂嗎n0

5、微分方程y`=*y的一般解為___________，微分方程*y`+y=y2的解為___________。

三、計(jì)算題〔此題共6小題，每題5分，共30分〕

1、用行列式解方程組2*-5y+3z=3*+7y-5z=2

5、將函數(shù)f(*)=e3*展成麥克勞林級(jí)數(shù)

收

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、應(yīng)用題〔此題共2小題，每題10分，共20分〕1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。

2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，〔已知比例系數(shù)為k〕已知t=0時(shí)，鈾的含量為M0，求在衰變過程中鈾含量M〔t〕隨時(shí)間t改變的規(guī)律。

參考答案

一、選擇題

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A二、填空題

1、ar

cos

2,arcsin

821

2、0.96，0.17365

3、л4、0，+

*

2

5、

yce

2

,c*1

1

y

三、計(jì)算題

1、解：△〔-3-53-2+〔-82-5=-138

17-57-51-5

△33+-8〕-5=-138

27-57-52-527同理：

-3-8

△△z=414

1

2-5所

以

，

方

程

組

的

解

為

*

*yz

1,y

2,z

3

2、解：由于*=t,y=t2,z=t3,所以*t=1,yt=2t,zt=3t2，所以*t|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3

故切線方程為：

*1y111

2

z3

法平面方程為：〔*-1〕+2(y-1)+3(z-1)=0

即*+2y+3z=6

3、解：由于D由直線y=1,*=2,y=*圍成，所以D：

≤y≤2

那么2〔*y+yz+z*〕=a構(gòu)造幫助函數(shù)

F〔*,y,z〕=*yz+(2*y

2

2yz2z*a)

2

求其對*,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0，得：

y≤2故

：

yz+2(y+z)=0*z+2(*+z)=0(*+y)=0

與2(*y+yz+z*)-a2=0聯(lián)立，由于*,y,z均不等于零可得*=y=z

4、解：這是交織級(jí)數(shù)，由于

D

*yd

2

1

[*yd*]dy

y

2

2

1

(2y

y

3

2

)dy1

18

Vnsin

1n1n

0，所以，Vn1Vn,且limsin

1n

代入2(*y+yz+z*)-a2=0得*=y=z=

6a

0，所以該級(jí)數(shù)為萊布尼茲sin

1n

1

6型級(jí)數(shù)，故收斂。

所以，表面積為a2而體積最大的長方體的體積為

3

1，6anV*yz

36

又sin

n1

當(dāng)*趨于0時(shí)，sin*~*，所以，lim

發(fā)散，從而

n1

sin

1n

發(fā)散。

n

1n

所以，原級(jí)數(shù)條件收斂

5

、

解

。

：

因

為

e

w

1*

12!

*

2

13!

*

3

1n!

*

n

*(,)

用2*代*，得：

e

2*

1(2*)

2

2

2

12!

(2*)2

3

3

2

13!

(2*)2

n

n

3

1n!

(2*)2、解：據(jù)題意

n

12*

2!

*

3!

*

n!

*

*(,)

6、解：特征方程為r2+4r+4=0所以，〔r+2〕2=0

得重根r1=r2=-2，其對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)解為y1=e,y2=*e所以，方程的一般解為y=(c1+c2*)e四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為*，y，z

-2*

-2*

-2*

dMdt

M

７．對于ｎ元線性方程組，當(dāng)r(A)r(A)r時(shí),它有無窮多組解,那么．

〔Ａ〕ｒ＝ｎ〔Ｂ〕ｒ＜ｎ〔Ｃ〕ｒ＞ｎ〔Ｄ〕無法確定

~

其中0為常數(shù)初始條件M對于dMM

dMdt

Mt0

８．以下級(jí)數(shù)收斂的是．

M式

〔Ａ〕(1)

n1

n1

nn1

〔Ｂ〕

3n

n

n12

〔Ｃ〕

n1

(1)n1

n

〔Ｄ〕

dt

lnMtlnCce

t00

t

n1

1n

兩端積分得所以，M又由于M所以，M所以，M

９．正項(xiàng)級(jí)數(shù)

un

n1

和

vn

n1

滿意關(guān)系式unvn，

M

那么．

CM0e

t

〔Ａ〕假設(shè)un收斂，那么

n1

n1

vn收斂〔Ｂ〕假設(shè)

n1

vn收斂，那么

un

n1

由此可知，鈾的衰變規(guī)律為

收斂

：鈾的含量隨時(shí)間的增加

而按指數(shù)規(guī)律衰減

。

〔Ｃ〕假設(shè)vn發(fā)散，那么

n1

un

n1

發(fā)散〔Ｄ〕假設(shè)

un

n1

收斂，那么

vn

n1

發(fā)散

《高數(shù)》試卷4〔下〕

１０．已知：

11*

1**2，那么

11*2

的冪級(jí)數(shù)開展

一．選擇題：31030

１．以下平面中過點(diǎn)〔１,１,1〕的平面是．

〔Ａ〕ｘ＋ｙ＋ｚ＝０〔Ｂ〕ｘ＋ｙ＋ｚ＝１〔Ｃ〕ｘ＝１〔Ｄ〕

式為．

〔Ａ〕1*2*4〔Ｂ〕1*2*4〔Ｃ〕

ｘ＝３

1*2*4〔Ｄ〕1*2*4

二．填空題：4

520

２．在空間直角坐標(biāo)系中，方程*2y22表示．〔Ａ〕圓〔Ｂ〕圓域〔Ｃ〕球面〔Ｄ〕圓柱面

１．?dāng)?shù)z*2y21ln(2*2y2)的定義域

為．２．假設(shè)f(*,y)*y，那么f(３

．

已

知

３．二元函數(shù)z(1*)2(1y)2的駐點(diǎn)是．〔Ａ〕〔０,０〕〔Ｂ〕〔０,１〕〔Ｃ〕〔１,０〕〔Ｄ〕〔１,１〕

y*

,1)．f(*,y)

的

駐

點(diǎn)

，

假設(shè)

(*0,y0)

是

４．二重積分的積分區(qū)域Ｄ是1*2y24，那么

(*0,,y0)3,fyy(*0,y0)12,f*y(*0,y0)a那么f**

當(dāng)時(shí)，(*0,y0)肯定是微小點(diǎn)．４．矩陣Ａ為三階方陣，那么行列式3

A

d*dy

D

．

〔Ａ〕〔Ｂ〕4〔Ｃ〕3〔Ｄ〕15

1

*

５．級(jí)數(shù)un收斂的須要條件是．

５．交換積分次序后

1

1y

0d*0

f(*,y)dy．

n1

三．計(jì)算題(一)：6530

〔Ａ〕

0

y0

dyf(*,y)d*

dy0

〔Ｂ〕0

*

10

11

f(*,y)d*

〔Ｃ〕

１．已知：z*y，求：

z*

，

zy

．

0

1

dyf(*,y)d*

〔Ｄ〕0

dyf(*,y)d*

２．計(jì)算二重積分

D

4*2d

，其中

６．ｎ階行列式中全部元素都是１，其值是．〔Ａ〕ｎ〔Ｂ〕０〔Ｃ〕ｎ！〔Ｄ〕１

D{(*,y)|0y

．

4*2,0*2}

３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝121

1

272

1，Ｂ＝

3．解：B1

02012,AB1

1

4

15.

1

23

00

1

2012

，求未知矩陣Ｘ．

00

1

４．解：R1,當(dāng)|*|〈1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)*=1時(shí)，得

(1)n1

n1

n

收斂，

n1

４．求冪級(jí)數(shù)

(1)n1

*nn1

n

的收斂區(qū)間．當(dāng)*1時(shí)，得

(1)2n1

n

1n1

n

發(fā)散，所以收斂區(qū)間為

(1,1].

５．解：.由于e

*

*n),所以

５．求f(*)e*的麥克勞林開展式〔需指出收斂區(qū)間〕．

n0

n!

*(,

e

*

(1)nn*(,).

(*)n

n0

n!

n0

n!

*

ijk

四．計(jì)算題(二)：10220

四．1．解：.求直線的方向向量:１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交線的標(biāo)準(zhǔn)

s

1

21i3

j5k,

方程．21

1

求點(diǎn):令z=0,得y=0,*=2,即交點(diǎn)為(2,0.0),所以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為:.

*21

y3

z5

*yz1２．設(shè)方程組

2．解：

*yz1，試問：分別為何值時(shí)，方程

*yz1~1111

11

1

A

1組無解、有唯一解、有無窮多組解．1

1

111

10

1

11

1

11

1

1

01

12

(1)當(dāng)2時(shí),r(A)2,(A~

)3,無解;

(2)當(dāng)1,2時(shí),r(A)(A~

)3,有唯一

解:

*yz

12

;

參考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；(3)當(dāng)1時(shí),r(A)(A~

)1,有無窮多組解:

８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

*1c二．１．(*,y)|1*2y22

２．

y1c３．6a6

2

*

yc1

(c1,c2為任意常數(shù))

zc

2４．２７５．limun0

n

四．1．解：z1

z*

y*

yy

*ylny

《高數(shù)》試卷5〔下〕

2．解：

一、2選擇題〔3分/題〕

4*2

d

2

2

2

2

0d*4*2

4*dy0(4*)d**30

4*D

1、已知30ij，bk，那么ab

〔〕

1

0

1

A0B

ij

C

ij

D

ij

2、空間直角坐標(biāo)系中

*2y

2

1表示〔〕

A圓B圓面C圓柱面D球面3、二元函數(shù)

z

sin*y*

在〔0，0〕點(diǎn)處的極限是〔〕

A1B0C

D不存在

1

1

4、交換積分次序后

d*

*

f(*,y)dy

=〔〕

1

1A

dy

f(*,y)d*

B0

1

dy

1

f(*,y)d*

*

1

C

dy

1y

f(*,y)d*

D0

1

dy

y0

f(*,y)d*

5、二重積分的積分區(qū)域D是

*y1，那么d*dy〔〕

D

A2B1C0D46、n階行列式中全部元素都是1，其值為〔〕

A0B1CnDn!7、假設(shè)有矩陣

A32，B23，C33

，下

〕

A

AC

B

CB

C

ABC

D

ABAC

8、n元線性方程組，當(dāng)r(A)r(~

A)r

時(shí)有無窮多組解，

那么〔〕

Ar=nBrnCrnD無法確定9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式〔〕

A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不會(huì)都不等于零

10、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

u

n

和

v

n

滿意關(guān)系式unvn，那么〔〕

n1

n1

A假設(shè)

u

n

收斂，那么

v

n

收斂B假設(shè)

v

n

收斂，n1

n1

n1

那么

u

n

收斂

n1

C假設(shè)

v

n

發(fā)散，那么

u

n

發(fā)散D假設(shè)

u

n

收

n1

n1

n1

斂，那么

v

n

發(fā)散

n1

二、填空題〔4分/題〕1、空間點(diǎn)p〔-1，2，-3〕到

*oy

平面的距離為

2、函數(shù)

f(*,y)*2

4y2

6*8y2

在點(diǎn)處取得微小值，微小值為

3、

A

為三階方陣，

A3，那么A

0*y4、三階行列式

*0z

y

z

5、級(jí)數(shù)

u

n

收斂的須要條件是

n1

三、計(jì)算題〔6分/題〕

1、已知二元函數(shù)

zy

2*

，求偏導(dǎo)數(shù)

z*

，

zy

2、求兩平面：*

2yz2與2*yz4交線的

標(biāo)準(zhǔn)式方程。

3、計(jì)算二重積分

*2，其中

D

由直線

*2

，

D

y

2

y*

和雙曲線

*y1所圍成的區(qū)域。

2

2

34、

求方陣A1

10的逆矩陣。

1

2

1

5、求冪級(jí)數(shù)

n1

(*1)5

n

n

的收斂半徑和收斂區(qū)間。

A0，方程組有唯一解；

當(dāng)解；

四、應(yīng)用題〔10分/題〕

n1

2

時(shí)，r(A)

~

3r(A)2

，方程組無

1、判斷級(jí)數(shù)

n1

(1)

1n

p

的收斂性，假如收斂，請指出絕

當(dāng)多組解。

~

1時(shí)，r(A)r(A)13

，方程組有無窮

對收斂還是條件收斂。2、試

根

據(jù)

的取值，爭論方程組

*1*2*31

*1*2*31是否有解，指出解的狀況。***1

231

參考答案

一、選擇題〔3分/題〕

DCBDAACBCB二、填空題〔4分/題〕

1、32、〔3，-1〕-113、-34、05、

n

limun0

三、計(jì)算題〔6分/題〕

1、

z*

2y

2*

lny，

zy

2*y

2*1

2、

*2194

y03

z05

3、

4、

A

1

111

456

334

5、收斂半徑R=3，收斂區(qū)間為〔-4，6〕四、應(yīng)用題〔10分/題〕

1、當(dāng)

p0時(shí)，發(fā)散；

0p1時(shí)條件收斂；p1時(shí)絕對收斂

2、當(dāng)

1

且

2

時(shí)，

~

r(A)r(A)3

，

《高等數(shù)學(xué)》試卷1〔下〕

一.選擇題〔3分10〕1.點(diǎn)

8.冪級(jí)數(shù)

n1

*

n

的收斂域?yàn)椤病?

n

M12,3,1

到點(diǎn)

M

2

2,7,4的距離

M1M

2

A.

1,1B1,1C.1,1D.1,1

n

〔