第四章不定積分4.1不定積分的概念及性質(zhì)目錄二、基本積分公式三、不定積分的性質(zhì)一、不定積分的概念一、不定積分的概念定義1:

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).則稱F(x)為f(x)例如：，即是cosx的一個(gè)原函數(shù).，即是lnx的一個(gè)原函數(shù)f(x)有原函數(shù)F(x),其原函數(shù)不唯一.顯然，若一個(gè)函數(shù)一、不定積分的概念定義2:可以表示f(x)的任一個(gè)原函數(shù),函數(shù)f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式是F(x)+C在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,記作任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量原函數(shù)一、不定積分的概念例1:求解:因?yàn)樗匀魟t(C為任意常數(shù))解例2求一、不定積分的概念從不定積分定義可知:或或結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.二、基本積分公式(k

為常數(shù))或二、基本積分公式(k

為常數(shù))或二、基本積分公式或二、基本積分公式三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則三、不定積分的性質(zhì)例3:

求多項(xiàng)式的積分解:

原式=

=三、不定積分的性質(zhì)例4:

求積分解:

原式三、不定積分的性質(zhì)例5:求積分解:三、不定積分的性質(zhì)例6:

求積分解:

原式作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習(xí)：求積分:主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習(xí)：求積分:主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習(xí)：求積分:主觀題10分

第四章不定積分4.2換元積分法(一)目錄二、第二類換元法一、第一類換元法一、第一類換元積分法定理1.則有換元公式(也稱即湊微分法)說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.一、第一類換元積分法解（二）解（三）例1求解（一）一、第一類換元積分法例2：求解:

因?yàn)楸环e函數(shù)可作代換，若f(u)的原函數(shù)是F(u),則所以一般地，對于積分一、第一類換元積分法解：設(shè),則再將變量代入上式得例3：求一、第一類換元積分法例4：求解:因?yàn)樗粤?，因此對換元積分法熟練以后可以不寫出所設(shè)變量作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

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主觀題10分一、第一類換元積分法例5:

求解:令則想到公式一、第一類換元積分法解:∴原式

=注意：分子拆項(xiàng)是常用的技巧例6:

求一、第一類換元積分法想到解:例7:

求一、第一類換元積分法例8:

求解:類似（使用了三角函數(shù)恒等變形）一、第一類換元積分法常用的幾種配元形式:萬能湊冪法一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法由例4可得原式解：方法一例9:求一、第一類換元積分法法二:一、第一類換元積分法例10:

求解:例11:求解:一、第一類換元積分法例12：求解:說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.一、第一類換元積分法常用的幾種湊微分形式:作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

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主觀題10分

第四章不定積分4.2換元積分法(二)目錄二、第二類換元法一、第一類換元法二、第二類換元積分法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，二、第二類換元積分法定理2:

設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),則有換元公式二、第二類換元積分法解:

令,則∴原式例1:

求二、第二類換元積分法解:

令∴原式例2:

求,則二、第二類換元積分法解:

令∴原式例3:

求,則作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分二、第二類換元積分法例4:

求解:

令則∴原式二、第二類換元積分法例5:

求解:

令則二、第二類換元積分法例6:

求解:令則二、第二類換元積分法說明:三角代換的目的是化掉根式．當(dāng)被積函數(shù)中含有以上幾例所使用的均為三角代換，二、第二類換元積分法

常用基本積分公式的補(bǔ)充(a>0)二、第二類換元積分法思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便?提示：令解令二、第二類換元積分法2、求解:

原式二、第二類換元積分法3、求解:

原式=作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

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主觀題10分二、第二類換元積分法內(nèi)容小結(jié)換元積分法第一類換元法：第二類換元法：(uv)

u

v

uv

uv

u

vdx

uv

dx

uv

dx

uv

u

v

dx

ud

v

uv

v

d

u找導(dǎo)數(shù)乘積法則的逆運(yùn)算

xcosxdx.

x

arctan

xdx.

x2

u

arctanx,xdx

d

2

dv

x

arctan

xdxx2

x2

arctanx

d(arctan

x)2 21x22

x

2

dx2 1

xarctanx

212

x

1arctan

x

(1

2)dx2 2 1

x2 2arctan

x

(

x

arctan

x)

C

.2

x 1

x3lnxdx.4x4

dv,u

ln

x, x3dx

d

x3ln

xdx

1

x4

ln

x

1

x3dx4 4

1x4ln

x

1 x4

C

.4 16

e

x

sin

x

dx.21

ex

(sin

x

cos

x)

C

e

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sin

xdx

sin

xde

x

ex

sin

x

ex

cos

x

dx

ex

sin

x

cos

xdex

ex

sin

x

e

x

cos

x

e

x

sin

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dx7

exsinxdx

ex

sin

x

ex

cos

xdx

ex

sin

x

cos

xdex

ex

sin

x

ex

cos

x

ex

d

cos

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=ex

sin

x

ex

cos

x

ex

sin

xdx7x

t

,x

t

2

,dx

2

t

d

t

2

t

etdtx

(

2

e x

1)

C

2(t

et

et

)

C2x

1

t

e2

x

1dx

.2x

1(t2

1)dx

t

dt

tet

dt

et

(t

1)

C

e 2x

1

1)

C

.2

x

1

(:

x

ln

x

dx.u

ln

x

, v

xu

1

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