第六章圓周運動上一章我們學(xué)習(xí)了曲線運動，這一章我們再學(xué)習(xí)一種特殊的曲線運動——圓周運動。圓周運動是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N運動形式，如地球環(huán)繞太陽的運動，自行車車輪的轉(zhuǎn)動，游樂場中的旋轉(zhuǎn)摩天輪等。圓周運動有什么特點？我們?nèi)绾窝芯繄A周運動的規(guī)律？這一章我們就來探究這些問題。1．圓周運動課程標(biāo)準(zhǔn)會用線速度、角速度、周期描述勻速圓周運動。素養(yǎng)目標(biāo)知識點1線速度1．圓周運動：運動軌跡為圓周或一段圓弧的機(jī)械運動。2．線速度(1)定義：物體運動的弧長Δs與時間Δt之比。(2)定義式：v＝eq\f(Δs,Δt)。(3)方向：物體做圓周運動時該點的切線方向。(4)物理意義：表示物體在該點運動的快慢。3．勻速圓周運動：線速度大小處處相等的圓周運動。因線速度的方向在時刻變化，故勻速圓周運動是一種變速運動。『判一判』(1)做勻速圓周運動的物體，相同時間內(nèi)位移相同。(×)(2)做勻速圓周運動的物體，其線速度大小不變。(√)(3)勻速圓周運動是一種勻速運動。(×)(4)做勻速圓周運動的物體，其所受合力一定不為零。(√)『選一選』(2022·四川南充市高一月考)關(guān)于圓周運動，下列說法中正確的是(C)A．圓周運動可能是勻速運動B．圓周運動可能是勻變速曲線運動C．圓周運動一定是非勻變速運動D．圓周運動加速度可能不變解析：圓周運動是曲線運動，因此合外力不等于零。圓周運動的加速度方向是在變化的，所以圓周運動一定是非勻變速運動。故選C。知識點2角速度1．物理意義：描述做圓周運動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢。2．定義：半徑轉(zhuǎn)過的角度Δθ與所用時間Δt之比。3．定義式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)。4．單位：在國際單位制中，角速度的單位是弧度每秒，符號：rad/s。5．勻速圓周運動角速度特點：角速度不變。『判一判』做勻速圓周運動的物體，其角速度不變。(√)知識點3周期1．周期(1)定義：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間。(2)符號：用T表示。(3)單位：國際單位制中，周期的單位是秒，符號：s。2．轉(zhuǎn)速(1)物理意義：描述物體做圓周運動的快慢。(2)定義：物體轉(zhuǎn)動的圈數(shù)與所用時間之比。(3)符號：用n表示。(4)單位：轉(zhuǎn)每秒(r/s)，或轉(zhuǎn)每分(r/min)。『判一判』做勻速圓周運動的物體，周期越大，角速度越小。(√)知識點4線速度與角速度的關(guān)系(1)關(guān)系推導(dǎo)：由v＝eq\f(Δs,Δt)，ω＝eq\f(Δθ,Δt)，Δθ＝eq\f(Δs,r)，可得：v＝ωr。(2)在圓周運動中，線速度的大小等于角速度的大小與半徑的乘積。『想一想』拍蒼蠅與物理有關(guān)。市場上出售的蠅拍(如圖所示)把長約30cm，拍頭長12cm、寬10cm，這種拍的使用效果往往不好，拍未到，蠅已飛。有人將拍把增長到60cm，結(jié)果是打一個準(zhǔn)一個，你能解釋其原因嗎？答案：蒼蠅的反應(yīng)很靈敏，只有拍頭的速度足夠大時才能擊中，而人轉(zhuǎn)動手腕的角速度是有限的。由v＝ωr知，當(dāng)增大轉(zhuǎn)動半徑(即拍把長)時，如由30cm增大到60cm，則拍頭速度增大為原來的2倍，此時，蒼蠅就難以逃生了。探究勻速圓周運動各物理量關(guān)系要點提煉1.勻速圓周運動的特點(1)“變”與“不變”描述勻速圓周運動的四個物理量中，角速度、周期和轉(zhuǎn)速恒定不變，線速度是變化的。(2)性質(zhì)勻速圓周運動中的“勻速”不同于勻速直線運動中的“勻速”，這里的“勻速”是“勻速率”的意思，勻速圓周運動是變速運動。2．勻速圓周運動的線速度、角速度、周期、頻率、轉(zhuǎn)速的比較項目內(nèi)容大小國際單位(符號)各物理量在圖中示意聯(lián)系線速度v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\x\to(AB),Δt)米每秒(m/s)都是描述勻速圓周運動快慢的物理量，v＝eq\f(2πr,T)＝ωr＝2πrf＝2πnr角速度ω＝eq\f(Δφ,Δt)弧度每秒(rad/s)頻率f＝eq\f(1,T)赫茲(Hz)周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πr,v)秒(s)轉(zhuǎn)速n＝f＝eq\f(ω,2π)轉(zhuǎn)每秒(r/s)(1)v、ω、r間的關(guān)系為瞬時對應(yīng)關(guān)系。(2)討論v、ω、r三者關(guān)系時，先確保一個量不變，再確定另外兩個量間的正、反比關(guān)系。(3)公式v＝ωr適用于所有的圓周運動；關(guān)系式T＝eq\f(1,f)適用于所有具有周期性運動的情況。典例剖析典題1如圖所示，由于地球自轉(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨地球一起轉(zhuǎn)動，現(xiàn)有A、B兩人，A在赤道上，B在北緯60°處，A、B兩人的角速度、線速度分別是多少？(地球半徑R＝6400km)思路引導(dǎo)：確定物體的角速度和線速度的大小，首先應(yīng)確定物體做勻速圓周運動的圓心、半徑、運動的平面及軌跡，然后找到各物理量之間的相互關(guān)系。解析：A、B兩人隨地球自轉(zhuǎn)，做圓周運動的周期相同，均等于地球自轉(zhuǎn)的周期，但兩人做圓周運動的圓周、圓心的位置及軌道半徑不同。A、B兩人的角速度相等，均等于地球的自轉(zhuǎn)角速度。ωA＝ωB＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,24×3600)rad/s＝7.3×10－5rad/s由v＝rω得vA＝RAωA＝RωA＝6.4×106×7.3×10－5m/s＝467.2m/svB＝RBωB＝Rcos60°ωB＝6.4×106×cos60°×7.3×10－5m/s＝233.6m/s。答案：ωA＝ωB＝7.3×10－5rad/svA＝467.2m/s，vB＝233.6m/s對點訓(xùn)練?(多選)(2023·云南曲靖高一階段練習(xí))A、B兩個質(zhì)點分別做勻速圓周運動，在相同的時間內(nèi)它們通過的路程之比為SA∶SB＝3∶4，轉(zhuǎn)過的角度之比ΔθA∶ΔθB＝4∶3，則下列說法中正確的是(AD)A．它們運動的周期之比TA∶TB＝3∶4B．它們運動的轉(zhuǎn)速之比nA∶nB＝3∶4C．它們運動的半徑之比rA∶rB＝1：1D．它們運動的半徑之比rA∶rB＝9∶16解析：根據(jù)v＝eq\f(Δs,Δt)，兩個質(zhì)點在相同的時間內(nèi)通過的路程之比為3∶4，即通過的弧長之比為3∶4，所以vA∶vB＝3∶4，在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度之比ΔθA∶ΔθB＝4∶3，根據(jù)ω＝eq\f(Δθ,Δt)，得ωA∶ωB＝4∶3，根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)，ω＝2πn，可知TA∶TB＝3∶4，nA∶nB＝4∶3，故A正確，B錯誤；由v＝ωr，代入數(shù)據(jù)可得rA∶rB＝9∶16，C錯誤，D正確。故選AD。探究同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動問題要點提煉常見的傳動裝置及其特點同軸傳動皮帶傳動齒輪傳動裝置A、B兩點在同軸的一個圓盤上兩個輪子用皮帶連接，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣的點兩個齒輪輪齒嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點特點角速度、周期相同線速度大小相同線速度大小相同轉(zhuǎn)動方向相同相同相反規(guī)律線速度與半徑成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度與半徑成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)。周期與半徑成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)角速度與半徑成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)。周期與半徑成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)典例剖析典題2如圖所示的皮帶傳動裝置，主動輪O1上兩輪的半徑分別為3r和r，從動輪O2的半徑為2r，A、B、C分別為輪邊緣上的三點，設(shè)皮帶不打滑，求：(1)A、B、C三點的線速度大小之比vA∶vB∶vC＝_3∶1∶1__。(2)A、B、C三點的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝_2∶2∶1__。思路引導(dǎo)：分析傳動問題的關(guān)鍵分析傳動問題時，關(guān)鍵是要明確什么量相等，什么量不相等，在通常情況下，應(yīng)抓住以下兩個關(guān)鍵點：(1)繞同一軸轉(zhuǎn)動的各點角速度ω、轉(zhuǎn)速n和周期T相等，而各點的線速度v＝ωr，與半徑r成正比。(2)鏈條和鏈條連接的輪子邊緣線速度的大小相等，不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等，而角速度ω＝eq\f(v,r)，與半徑r成反比。解析：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(皮帶,不打滑))\f(接觸點,v相等)\x(\a\al(vB∶vC＝,1∶1)),\x(\a\al(A、B兩,點同軸))\f(其線速,度v∝r)\x(\a\al(vA∶vB＝,3∶1))))?eq\x(\a\al(vA∶vB∶vC＝,3∶1∶1))(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(皮帶,不打滑))\f(B、C角速,度ω∝\f(1,r))\x(\a\al(ωB∶ωC＝,2∶1)),\x(\a\al(A、B兩,點同軸))\f(角速度相同,)\x(\a\al(ωA∶ωB＝,1∶1))))?eq\x(\a\al(ωA∶ωB∶ωC,＝2∶2∶1))對點訓(xùn)練?(多選)如圖所示為一種齒輪傳動裝置，忽略齒輪嚙合部分的厚度，甲、乙兩個輪子的半徑之比為1∶3，則在傳動的過程中(AD)A．甲、乙兩輪的角速度之比為3∶1B．甲、乙兩輪的周期之比為3∶1C．甲、乙兩輪邊緣處的線速度之比為3∶1D．甲、乙兩輪邊緣上的點相等時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長之比為1∶1解析：這種齒輪傳動，與不打滑的皮帶傳動規(guī)律相同，即兩輪邊緣的線速度大小相等，故C錯誤；根據(jù)線速度的定義v＝eq\f(Δs,Δt)可知，弧長Δs＝vΔt，故D正確；根據(jù)v＝ωr可知ω＝eq\f(v,r)，又甲、乙兩個輪子的半徑之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙兩輪的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正確；周期T＝eq\f(2π,ω)，所以甲、乙兩輪的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B錯誤。易錯點：忽視勻速圓周運動的周期性而致錯案例如圖所示，用薄紙做成的圓筒，直徑為D，水平放置，繞圓筒軸線OO′以角速度ω0逆時針勻速轉(zhuǎn)動。一玩具手槍發(fā)出的子彈，沿水平方向勻速飛來(不計子彈重力影響)，沿圓筒的直徑方向擊穿圓筒后飛出(設(shè)薄紙對子彈的運動速度無影響且認(rèn)為紙筒沒有發(fā)生形變)，結(jié)果在圓筒上只留下子彈的一個洞痕，求子彈的速度。易錯分析：認(rèn)為圓筒只轉(zhuǎn)過π弧度，根據(jù)t＝eq\f(π,ω0)，v＝eq\f(D,t)得子彈速度v＝eq\f(Dω0,π)，這是忽視勻速圓周運動的周期性導(dǎo)致的錯誤。正確解答：由于子彈在圓筒上只留下了一個洞痕，考慮勻速圓周運動的周期性，故有π＋2nπ＝ω0t(n＝0,1,2,3，…)解得t＝eq\f((2n＋1)π,ω0)(n＝0,1,2,3，…)所以v＝eq\f(D,t)＝eq\f(Dω0,(2n＋1)π)(n＝0,1,2,3，…)。答案：eq\f(Dω0,(2n＋1)π)(n＝0,1,2,3，…)名師點評：子彈穿過圓筒，只留下一個洞痕，圓筒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)必然為eq\f(1,2)的奇數(shù)倍，明確這一點是列出“通式”的關(guān)鍵。本題的解題思路是分別研究兩個運動對象，尋找相關(guān)量，不要讓兩個物體的運動互相干擾，導(dǎo)致出現(xiàn)解題失誤。素養(yǎng)警示解答有關(guān)圓周運動的問題時，常出現(xiàn)的錯誤是沒有考慮到圓周運動的周期性而漏解。因此，在解答此類問題時，要特別注意可能會出現(xiàn)的符合題意的多種情況。一、線速度1．(多選)關(guān)于勻速圓周運動，下列說法正確的是(ABD)A．勻速圓周運動是變速運動B．勻速圓周運動的速率不變C．任意相等時間內(nèi)通過的位移相同D．任意相等時間內(nèi)通過的路程相等解析：由勻速圓周運動的定義知，做勻速圓周運動的物體速度的大小不變，也就是速率不變，但速度方向時刻改變，故A、B兩項正確；做勻速圓周運動的物體在任意相等時間內(nèi)通過的弧長即路程相等，但通過的位移不一定相同，故D項正確，C項錯誤。二、角速度2．如圖所示為車牌自動識別系統(tǒng)的直桿道閘示意圖，離地面高為1m的細(xì)直桿可繞O點在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。汽車從自動識別線ab處到達(dá)直桿處的時間為3.3s，自動識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長方體，其左側(cè)面底邊在直線aa′上，且O點到汽車左側(cè)面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉(zhuǎn)動的角速度至少為(D)A.eq\f(π,4)rad/s B．eq\f(3π,4)rad/sC.eq\f(π,6)rad/s D．eq\f(π,12)rad/s解析：設(shè)汽車到達(dá)直桿處恰好通過道閘，此時直桿轉(zhuǎn)過的角度為θ，由幾何知識得tanθ＝eq\f(1.6－1,0.6)＝1，解得θ＝eq\f(π,4)。直桿轉(zhuǎn)動的時間t＝t汽車－t反應(yīng)＝(3.3－0.3)s＝3s，直桿轉(zhuǎn)動的角速度ω＝eq\f(θ,t)＝eq\f(π,12)rad/s，故A、B、C錯誤，D正確。三、周期3．火車以20m/s的速率轉(zhuǎn)過一段彎道，某乘客發(fā)現(xiàn)放在桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過了約10°。在此10s時間內(nèi)，下列對火車的說法正確的是(D)A．運動路程為300m B．加速度為零C．角速度約為1rad/s D．周期約為360s解析：火車以20m/s的速率轉(zhuǎn)彎，可看成做勻速圓周運動，則在10s內(nèi)的路程為s＝vt＝200m，A錯誤；火車做曲線運動，速度在不斷變化，因此加速度一定不為零，B錯誤；指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過了約10°，又10°＝eq\f(10,360)×2πrad＝eq\f(π,18)rad，根據(jù)角速度的定義可得角速度約為ω＝eq\f(\f(π,18),10)rad/s＝eq\f(π,180)rad/s，C錯誤；根據(jù)角速度與周期的關(guān)系可得周期約為T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(π,180))s＝360s，D正確。四、線速度與角速度關(guān)系4．(2023·廣東佛山高一期中)圖甲是一款感應(yīng)垃圾桶。手或垃圾靠近其感應(yīng)區(qū)，桶蓋會自動繞O點水平打開，如圖乙所示。桶蓋打開過程中其上A、B兩點的角速度分別為ωA、ωB，線速度分別為vA、vB，則(D)A．ωA＞ωB B．ωA＜ωBC．vA＞vB D．vA＜vB解析：桶蓋上的AB兩點同時繞著O點轉(zhuǎn)動，則角速度相等，即ωA＝ωB，根據(jù)v＝ωr，又有rB>rA，則