拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.了解拋物線的幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2.能用拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．學(xué)習(xí)目標(biāo)

在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置

圖

形

x軸的正半軸上

x軸的負(fù)半軸上

y軸的正半軸上

y軸的負(fù)半軸上y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)定義：復(fù)習(xí)由拋物線

y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為總結(jié)：拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線y2=2px(p>0)的有哪些幾何性質(zhì)：探究1：拋物線性質(zhì)（一）lFKMNyxo范圍拋物線在第一象限的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：_______x↗y___↗≥關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,∴拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，lFKMNyxo對(duì)稱性定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。lFKMNyxo頂點(diǎn)定義：拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=___.下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì).lFKMNyxo離心率1歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x軸y軸1總結(jié)特點(diǎn)并說(shuō)說(shuō)與其他兩種圓錐曲線的區(qū)別1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊lFKMNyxo探究2：拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)1設(shè)直線與二次曲線交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，直線AB的斜率為k．弦長(zhǎng)公式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)是否適用弦長(zhǎng)公式？有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法？xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)|AF|＝______|AF|＝______|AB|＝_________＝______M(x0,

y0)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式xOyABF當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1=x2=x0=___|AB|＝_________＝______通徑長(zhǎng)焦點(diǎn)弦AB稱之為通徑探究2：拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)2xOyABFDE(x1,

y1)(x2,

y2)α解完后回味一下,這是一個(gè)很好的解題習(xí)慣,利于提高!探究2：拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)2xOyABFDE(x1,

y1)(x2,

y2)α幾何法公式法(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θxOyABFθ證明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦點(diǎn)弦何時(shí)最短？過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短注意:過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短；這一結(jié)論在一般圓錐曲線中也成立的!探究3：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)1xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)x1x2=

;y1y2=

;p2/4-p2證明：思路分析：韋達(dá)定理xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p=(2)通徑長(zhǎng)為

(3)x1x2=;y1y2=;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(6)焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為。xOyABFθ2x0+p2pp2/4-p290oF

[解析]如圖，設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，題型二拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用[例2]

已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、自變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|.若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)．探究2：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)（二）練習(xí)．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則kOA·kOB的值為(

)A．4B．－4C．p2D．－p2變式:xyOy2=2pxABlP(2p,0)(1)法1xyOy2=2pxABlP(2p,0)法2同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；即y02=px0-2p2，∴中點(diǎn)M軌跡方程y2=px-2p2(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時(shí)，等號(hào)成立.例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；(5)法一：設(shè)M(x3,y3),則例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，

整理得：x32+y32-2px3=0，∴點(diǎn)M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).∴M在以O(shè)T為直徑的圓上

∴點(diǎn)M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

評(píng)注：此類(lèi)問(wèn)題要充分利用(2)的結(jié)論.∴

∠OMT=90

,又OT為定線段法二：∵

AB過(guò)定點(diǎn)T(2p,0).例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.lFAxyBB1pp1(6)焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為

。90oXyFAOBA1B112345