重難點專題28數(shù)列求和十大題型匯總

SB

題型1倒序相加法................................................................1

題型2分組求和法................................................................7

題型3分奇偶型的分組求和法.....................................................15

題型4等差型裂項相消法.........................................................24

題型5分子不是1型裂項相消....................................................31

題型6指數(shù)型裂項相消...........................................................36

題型7“和”型裂項相消..........................................................43

題型8無理型裂項相消...........................................................50

題型9錯位相減法...............................................................53

題型10含有(-1)"并項求和法...................................................60

題型1倒序相加法

4上均#6

倒序相加法：如果一個數(shù)列｛am｝與首末兩端等"距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那

么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.

【例題1】(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=島.

Q)求證：函數(shù)/Q)的圖象關于點(IJ)對稱；

(2)求S=/(-2022)+/(-2021)+???+((0)+…+/(2022)+f(2023)的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)5=2023

【分析】(1)證明/C0圖象關于點分對稱，轉(zhuǎn)化為證明關系式f(x)+/(l-x)=l；

(2)由第(1)問結(jié)論，利用倒序相加法求和.

【詳解】(1)因為/(乃二品，所以"1—%)=金=高=為，

所以f(x)+/(1-x)=1,即函數(shù)/(X)的圖象關于點G，3對稱.

(2)由(1)知與首尾兩端等距離的兩項的和相等，使用倒序相加求和.

因為S=f(-2022)+/(-2021)+…4-/(0)+/(I)+…+f(2022)+/(2023),

所以S=/(2023)+/(2022)+…+f(l)+f(0)+???+/(-2021)+f(-2022)(倒序),

又由(1)得f0)+/(I-x)=1,

所以2s=4046,所以S=2023.

【變式1-1]1,(2023秋河北?高三校聯(lián)考期末)已知數(shù)列｛即｝各項都不為00=2g=4,

的前幾項和為土,且滿足即即+1=4szp

(1)求｛即｝的通項公式；

⑵若以=aC+a2C\+a3c+…+即一￡丁】+anC^,求數(shù)列｛富三｝的前n項和加

【答案】Qk=2n,nCN*；

(2)〃=]—(n+；2n+，

【分析】(1)利用Sn與斯的關系,得到an+1-味1=4,再利用隔項等差數(shù)列的性質(zhì),分

別求出n為奇數(shù)與n為偶數(shù)時的通項即,進而可得答案.

(2)利用倒序相加，求得以=n-2n,整理得鬻上=義-忌方T，進而利用裂項求

%如+1九2。(71+1)-2八十，

和法，得到心

【詳解X1>1N2時，a/n+1=4Snfln-ian=45口_1,兩式相減，可得a"(an+i-an_r)=4an,

由題意得與H0,可得cin+i-an-i=4,則有

當n為奇數(shù)時,alra3,a5,???,“為等差數(shù)列，斯=a1+4?(答-1)=2n,

當n為偶數(shù)時,a2,a4,a61-,即為等差數(shù)列，斯=a2+4??-D=2n,

:.an=2n(nEN)

1

(2)bn=QiC：+a2C1+…+an_1C_+anCn,

bn=dnCn+Qn-lC1+…+U2Cn+,利用倒序相加,可得

n

2bn=(%+an-i)(C：+C：H---FC：)+2anCn=2n(2—2)+4n=2n?2",

n

解彳導/7n=n-2,

%+2門+1_*2n+2n+i__J.__________1

nn+1nn+1

bnbn+1~n-2(n+l)-2-n-2(n+l)-2'

T=2____L_+_2____L_+...,_2______]1_]

n-1X22X22+2x223x23十n-2n(n+l)-2n+1-=2(n+l)-2n+1

【變式1-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知4(%22)、8區(qū)必)是函數(shù)/(%)=

2KH工

1-2『『的圖象上的任意兩點點M在直線x=,且而？=MB.

(1)求與+次的值及為+”的值；

⑵已知a=0,當n22時，Sn=fa+/(§+f(￡)+…+f(?)，設即=2Sn，〃數(shù)

列｛a,J的前加頁和，若存在正整數(shù)c,m，使得不等式產(chǎn)J；成立，求c和m的值；

【答案】(I)/+x2=l,yi+y2=-2

(2)存在,c=i,m=1

【分析】(1)根據(jù)點M在直線x=江，設Mg,yM),利用湎=MB,可得%+冷=1,分

類討論：①/=J亞=J②》]力：時，X2工J利用函數(shù)解析式，可求力+%的值；

(2)由(1)知，當%+x2=1時,yi+y2=-2,/Q)+/(D=-2，代入k=0,1,

2，…，n-1,利用倒序相加法可得%=l-n,從而可得數(shù)列｛6｝的通項與前〃項和，利用

產(chǎn)J:化簡即可求得結(jié)論.

/m+LCz

【詳解】(1)根據(jù)點M在直線％=|jz,設MG,VM)，則宿=(|-xnyM一%),MB=

12一打27M)/

v~AM=MB,???+%2=1?

①當M=泄，M=]%+%=f(%i)+f(%2)=TT=-2；

小小?~1口+”T12打2x2X(1-2X)+2X(1-2X)

②當與工5時，外*/月+、2=k+Ez=1(1-)2(1-22犯)1

_2(%1+%2)-8%1必_2(1-4“2)__2.

l-2(x1+x2)+4x1x2'

綜合①②得，+力=一2.

（2）由（1）知，當%1+&=1時，yi+=-2.

???/（力+/（一）=-2,fc=0,l,2,-,n-l,

幾22時，Sn=/?+/Q）+/g）+…+八？）①

Sn=f（F）+/（￥）+f（等）+T/G）②

①+②得，2Sn=-2（n-1）,則Sn=1-n.

又九=1時，Si=0滿足上式,Sn=1-n.

n

izixn-iix[i-Q）]2

a=2s"=21-n,?-?7；=1+-4--+（-）=\t=2--.

n/\Z/1---4

2

Tc27c7c

..m~,1.（m-）-（m+i-）/n

Tm+1-c22（Tm+1-c）

.（2小一小+1）vQ

c-7m+l'

i4iQ

7+1=2-萬，）.27m-Tm+1=4-而-2+9=2-m，

■■~<2-^<c<2-^<2,c,m為正整數(shù),c=1,

（2-&<1

當c=1時，42.,1<2W<3,m=1.

〔2-而>1

【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是利用倒序相加法求出現(xiàn)=l-n,再利用等比數(shù)列

的求和公式得到Tn=2-/，再代入產(chǎn)J<淞簡，最后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域即可求出c,m

的值.

【變式1-1】3.（2023?全國?高三專題練習周數(shù)“X）=1g與答數(shù)則｛即｝滿足即=/（品）+

痣）+嗚）》（誓）?

（1）求證：/（X）+八1-X）為定值，并求數(shù)列｛即｝的通項公式；

（2）記數(shù)列｛an｝的前n項和為5,數(shù)列｛盤二｝的前n項和為7；，若％W%?S“對neN+恒成

立，求力的取值范圍.

【答案】Q）證明見解析,an=2n-l

(2)1>i

【分析】(1)計算f(x)+/(I-x)為定值2,用倒序相加法求得｛即｝通項公式；

(2)由(1)得S”,裂項相消求和得Tn,求出2的取值范圍.

【詳解】(1)證明：

C,、.、120-10X,110+10X1，20-10x—10+10%、..、

/(x)+/(I-x)=lg-^+Ig-^-=X=恒10n°n=2，

則斯=嗚)+/(算+舄)+…+"智)，

為"(智)+人智)+〃智)+???+/(?

兩式相加，得2即=2(2n-1),即冊=2n-1.

由

(2)(1),an+1—an=2(n+1)-1—2n+l=2,

(H-Zn-l)n_

所以｛即｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，S=n2

n2

n2

=i+-(―-------—)z

an^n+i(2n-l)(2n+l)48v2n-l2n+l7

fn.1,31,11,11,.1,1、n(n+l)

T=——X(1--------------1--------1-…4--------1------)=-------

n48k335572n-l2n+ly4n+2

由題，喘=心所以△給

因為(九+1)1

g(n)―n(4n+2)-4(n+l)+^-j—6

設京-

h(n)=4(n+1)+6,neN+,

由對勾函數(shù)的性質(zhì)，當n=1時，九(〃)最小，即h(n)=4(n+1)+京一62/i(l)=3,

所以當n=1時,g(九)最大,即g(n)=1<5(1)=1,

4(n+l)+--6

所以義制.

【變式1-1】4.(2022秋?福建三明?高三三明一中?？茧A段練習)B知函數(shù)f(x)=12+1,

數(shù)列的前幾項和為上，點均在函數(shù)/(%)的圖象上.

｛Qn｝8szi)56N*)

(1)求數(shù)列｛時｝的通項公式；

(2)若函數(shù)g(x)=老，令%=g(懸)SeN*),求數(shù)列｛b“｝的前2020項和T202。.

【答案】(1)071=九；(2)72020=1010.

【分析】(1)由題意可得Sn=那+%，然后^用加=L2n?可求出數(shù)列｛說的

通項公式；

(2)由題意可得g(x)+g(l-x)=1,然后利用倒序相加法可求得結(jié)果

【詳解】(1).?點(n,Sn)均在函數(shù)f(x)的圖象上，

.,.S=-n2+-n.

n22

當nN2時，Q八=Sn-Sn_i=n；

當九=1時，%=Si=1,適合上式；.*.an=n.

(2)：g(x)=,，g(x)+g(l-x)=1.

又由(1)知即=n,：.bn=g(急).

■-T2O2O=br+b2+-+b2020=g(表)+9(嘉)+…+9(髭),①

又72020=^2020+^2019+…+瓦=Q(|^)+9+…+9(^-)，②

①+②，2T202。=2020[g(蠢)+g(翳)]=2020,

，丁2020=1010?

【變式1-1]5.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=1+也?，設的=14=/6)+

/&)+/(=)+…+/(?)SeN*,n22).

(1)計算f(x)+/(l-x)的值.

(2)求數(shù)列｛〃｝的通項公式.

(3)若瓦=9,bn=,.^nAneN*,n>2),數(shù)列｛bn｝的前n項和為S“，若土<

A(an+1+1)對一切neN*成立，求4的取值范圍.

【答案】(l)2;(2)an=｛n；'；；LX3)e，+8)?

【分析】（1）代入函數(shù)式直接計算；

(2)用倒序相加法計算時；

(3)由裂項相消法求得治,注意分類n=l,n>2,n>2時可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(數(shù)列)的最

大值.

【詳解】(1)/(x)+/(I-x)=1+In?+1+In士=2.

(2)由題知,當n>2時,4=/(；)+f(：)+f(；)+…+f(J)，

又an=f+f+--+/Q),兩式相加得

2a-砥+/(=?)]+砥+，(沿]+…+b(詈)+f?]=2(n-1),

所以an=幾一L

又的=1不符合%=n-l,

所以…篤：—

(3)由(2)知，…{/；；上,

因為瓦=1,所以S]=瓦=[a?=1,

由&<A(a2+1),得3<24,4>；,

當n>2時,an=n-1,an+1-n,

_____1_____=」_=JL一工，

bn71=

(an+l)(an+1+l)n(n+l)nn+1

Sn=b1+b2+b3+...+bn=|+(1-0+(1-；)+-+(；-^)=1-^7=^<

由％<Ma“+]+1),得含<"(n+1),a>品=比

n

因為對勾函數(shù)y=尤+:在(1,+8)上單調(diào)遞增，又n22,

所以n+拉2+六]離號，所班>|

n

綜上,由《\,得">7,

所以A的取值范圍為(：,+8).

題型2分組求和法

【例題2]（2022秋?四川廣安?高三廣安二中校考期中）已知數(shù)列｛斯｝滿足的=2,一---=

an+ian

點等比數(shù)歹帥n｝的公比為3,且瓦+以=10.

（1）求數(shù)列｛%｝和｛bn｝的通項公式；

（2）記金=垢，求數(shù)列｛7｝的前n項和

【答案】（1）即=：,%=331

（2）、工+二

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義即可求出數(shù)列通項；

（2）根據(jù)分組求和與裂項求和法以及等比數(shù)列的求和公式即可求出

【詳解】（1）數(shù)列｛即｝滿足%=2,二一一三=\

an+ian/

｛?｝是以;為首項，3為公差的等差數(shù)列，

（）

--vn-17=-,an=-,

an222'n'

等比數(shù)列｛匕｝的公比為3,且瓦+%=10,

???bi+9bl=10,???b]=1,bn=3'T

（2）Cn=3+bn=-+3"y』3f

11111一

：?T=（1--+---+-+-------）+（1+3+3?9+…+3nT）

n223nn74T-1

y1,l-3n11,3n

=1——+--------=——十—

n+l1-32n+l2

【變式2-1]1.（2023秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學?？茧A段練習）已知數(shù)列5｝為

非零數(shù)列，且滿足（Y）（1+J《+J=（歲”

（1）求數(shù)列S"的通項公式；

⑵求數(shù)列W+n|的前幾項和sn.

【答案】⑴冊=』

（2后=*1一2）+中

【分析】（1）根據(jù)遞推公式，分當n=1時和n>2時，進行求解即可.

⑵由（1）得到通項公式，再根據(jù)分組求和，即可求解.

【詳解】（1）當幾=1時，1+2=]解得％=V,

當〃22時，由（1+J（1+?…（1+J=（泄…）,

得（"J（"J…（1+￡）=（*"

兩式相除得：1+*=G）2n=G）n,即g=鼻，當n=1時，的=-他滿足，

所以即=/.

（2）由（1）可知，a2-1,所以高+n=2+幾一1，

所以5“=伐+0）+（專+1）+信+2）+-+（2+『1）

=（（+++以+…+±）+（1+2+3+―+5-1））

_割一（泗.（l+n-l）（n-l）

一寸+-2—'

=-.

【變式2-1]2.（2023秋?廣東廣州?高三廣州市第一中學校考階段練習）在數(shù)列｛冊｝中，

已知即+1+an=3?2",%=1.

⑴求證：｛冊-2"｝是等比數(shù)列.

（2）求數(shù)列｛a”｝的前n項和Sn.

【答案】（1）證明詳見解析

+1

（2）Sn=2"+^ip

【分析】（1）通過湊配法證得｛斯-2。｝是等比數(shù)列.

（2）利用分組求和法求得立.

71n+1nn+1

【詳解】（1）由即+1+即=3?2,得冊+1-2+an=3-2-2=2",

即冊+i_2叱1=-(an-2"),

所以｛6-2"｝是首項為由-21=-1,公比為-1的等比數(shù)列.

1nnn

(2)由(1)得即一2"=(-I)X(-1)"-=(-l),an=2+(-l).

所3n=2+22+…+2"+(-1)1+(-1)2+???+(-l)n

()n+1)n5

2(S)+-【1-(-1用=2n+12+—--=2"+~.

1-21-(-1)

【變式2-1]3.(2023?吉林長春?東北師大附中?？家荒?已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿

足：%=2,a"]=an(an+1+2an).

(1)求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(2)若勾=1+冊?sin^SeN-),記數(shù)列｛%｝的前幾項和為〃，求72024.

【答案】(1)2"

(2)72024=2024-四詈二

【分析】(1)根據(jù)W+i=an(an+1+2an),兩邊同除W從而得到皿=2,則得到其通項；

an

(2)根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，再進行分組求和，最后利用等比數(shù)列前n項和公式即可.

【詳解】(1)因為｛%)｝各項為正數(shù)，W+1=an3n+i+2an)，

所以上式兩邊同時除以若，得(膏丫=警+2,

令皿=x(x>0),則/=x+2,即/——2=0,解得x=2(負值舍去),

所以皿=2,又如=2,

an

所以｛6｝是以%=2,q=2的等比數(shù)列，

故斯=2x2"T=2n.

n

(2)&n=1+2-sin^(neN*),

當n=1時，sin1=1,當n=2時，sin?=0,當n=3時，sin^=-1,

當n=4時，sin票=0,根據(jù)三角函數(shù)周期性知sina的周期為4.

則712024=瓦+與+…+壇024=2024+21-23+-+22021-22023

=2024+21-23+??■+22021-22°23

1572023

=2024+(2+2+???+22°21)_(23+2+…+2)

2(1-16506)8(1-16506)

1-16

2(16§。61)8(165°61)2x16506-2

=20244-=2024-

【變式2-1]4.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預測)記S”為等差數(shù)列｛5｝的前n項和，已知a?+

a3=8,S5=25.

(1)求｛即｝的通項公式；

(2)記％=(—l)"Sn,求數(shù)列｛bn｝的前30項的和Co.

【答案】Q)an=2n-1

(2)465

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列式求出四和d,可得通項公式；

(2)先求出Sn,再利用并項求和法與等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

【詳解】(1)設公差為d,則產(chǎn)1:8，解得的=1,d=2,

(DQ]TJ-Utt—

所以an=14-(n-1)-2=2n-1.

(2)5n=n(i1|nzI)=n

nn

所以%=(-l)5n=(-l)-n

所以730=-l2+22-32+42+292+302

=(2-1)-(1+2)+(4-3)-(3+4)+???+(30-29)■(29+30)

=1+2+3+4+…+29+30

【變式2-1】5.(2022秋?廣東深圳?高三北師大南山附屬學校?？茧A段練習)已知數(shù)列｛aj

的前n項和為Sn,且滿足的=1,2Sn=nan+1,nEN*.

Q)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛b｝滿足瓦=1,3=2,bn+2=2bn,n€N；按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列｛.｝：

%,b2,a3,b4,a5lb6,a7,b8,■■■,求數(shù)列｛cn｝的前2n項和.

【答案】(1)0=n.neN*

(2)2n+1+n2-2

【分析】(1)根據(jù)%,即的關系即可得遞推關系靄=^(n>2),進而可求解，

(2)根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.

【詳解】(1)當幾-1時,由%-1且2S；,=nc1n+i得a?-2

當n22時，由2Sn-i=(九一1)即得2即=nan+1-(n-l)aM,所以鬻=^(n>2).

所以攀=y=1,故a“=n(n>2),

又當n=1時，%=1,適合上式.

所以an=n.nGN*

(2)因為坊=2,誓=2(nCN*),

°n

所以數(shù)列｛bn｝的偶數(shù)項構(gòu)成以與=2為首項、2為公比的等比數(shù)列.

a

故數(shù)列｛7｝的前2n項的和72n=(如+4---卜2n-l)+(壇++--+b2n),

T2n=n0+2nT)+2(1-2")=2n+l+n2_2

“n21-2

所以數(shù)列｛%｝的前2n項和為非+1+n2-2.

【變式2-1]6.(2023秋?天津?qū)幒?高三天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學?？计谀?已知數(shù)列｛a.｝

是公差為1的等差數(shù)列目的+a2=a3，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列且瓦?為=b3,a4=4b.-b2.

⑴求｛an｝和也｝的通項公式；

⑵令dn=(h,求證：di+C(2+C(3+…+dn<2；

(1_____力—2k_1

⑶記”=%7。2n+3'-其中kGN*,求數(shù)列｛7｝的前2n項和S2〃.

l(2an—1)-hnin=2k

n

【答案】(1)冊=n,(nGN*),bn=2,(nGN*)

(2)證明見解析

(3)S2n=—+型二x4n+1+-,(neN*)

【分析】(1)結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及題目條件，用基本量表達條件中的式

子，即可求得兩數(shù)列的首項與公差公比，代入通項公式即可；

(2)根據(jù)第一問寫出時表達式,再用裂項相消法化簡式子，最后放縮即可證明；

(3)將前2n項和分成奇數(shù)項之和加上偶數(shù)項之和，分別求解奇數(shù)項和偶數(shù)項再相加即可.

【詳解】(1)?.數(shù)列5｝是公差為1的等差數(shù)列，且的+a?=，

+(a1+1)=a1+2,解得%=1,

.'.an=ar+(n-l)d—n,

??.數(shù)列｛an｝的通項公式為：％=n,56N)

數(shù)列｛與｝是等比數(shù)列，且瓦?b2=b3,a4=4br-b2,

設數(shù)列｛%｝的公比為q，

[瓦,(瓦q)=瓦q2

I4=4bl-biq,解得瓦=q=2,

-'-bn-biq"T-2n,

數(shù)列｛%｝的通項公式為：bn=2n,(neN-).

(2)由(1)知%=2n,

_%+i_2n+1_2x2n_ZxQn+j71)

nn+1nn+1

一(bn-l)(bn+1-l)-(2-l)(2-l)-(2-l)(2-l)-(2J)(2、+J)

2x[(2n2nT)]

-(2n-l)(2n+1-l)-2(亞-

.?4+d2+d3+-+dn=2(^-吉)+2(六-六)+-+2(七-

=2(-3)

■：neN*,

???2(1-月)<2

「4+d2+盛+…+dn<2

n

(3)由(1)可知an=n,a2?_i=2n-1,a2n+3=2n+3,bn=2,

________22=2k_1

.?.Cn=｛(2n-l)(2n+3)，-，(AEN*),

(2n-l)-2n,n=2k

c

，S2n=(q+C2+C3+C4+…+C2n-1+c2n)=(q+C3+…+2n-l)+(。2++…+Qn)，

令4n=J+C3+…+C2n-1/%=C2+C4+…+C2n,

'4=---+---+..?+-------------

?'711X55x9(4n-3)(4n+l)

11111111111

=?(1-5)+5(5-9)+",+4(4^7-4^3)+4(4^3-4^1)

=〃1一二一)=」一,

4'4n+ly4n+l

242n222n,

Brt=3x2+7x2+-+(4n-5)x2-+(4n-1)x

2462n+2

：.2Bn=3x2+7x2+-+(4n-5)x22n+(4n_1)x2,

2462n2n+2

.---3Bn=3X2+4x2+4x2+-+4x2-(4n-1)x2

=-22+[4x22+4x24+4x26+-4-4x22n]-(4n-1)x22n+2

=-22+4X[22+24+26+…+22n]-(4n-1)X22n+2

4(4n-1)

=-4+4x---一(4n-1)-22n+2

4—1

=1-x4.n_+i_27—(4n—y1、)x4n+1---2-8-=-7--—-1-2-R-x4.n+11----2-8.

3'，333

_12n_7.i128

??Bn=-7-x4"M+】+不，

+1

，S2n=+B”=」-+也;x4?+竺，

nn4n+l99'

n+1

二數(shù)列｛cn｝的前2n項和S2n=An+Bn=焉+等X4+y,(neN*).

【變式2-l]7.(2023秋?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習)已知數(shù)列｛即｝滿足的=

]當幾22時，M=警*

(1)求數(shù)列｛時｝的通項公式；

(2)證明：&+也+…+皿＜n+三.

【答案】Q)an=合

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意化簡得到(n+l)an-1-=l(n>2),得到數(shù)列｛(n+l)aj為等

差數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；

(2)由時=忘，得到哈=1+：&—9)，結(jié)合裂項求和及.+京>0,即可得證?

ll-iX4\f€fli4/*IIX11?4

【詳解】(1)解：由即=吧;胃',可得5+I)%=nan_1+1,即(n+l)an-nan_t=

l(n>2),

則數(shù)列｛5+D時｝是公差為1的等差數(shù)列，

又由心=|,可得(1+1)%=2%=1,則(n+l)an=n,可得冊=含,

所以數(shù)列｛即｝的通項公式是即=三

(2)解：由…羔，則警=需弋:苛=1+3(：京)

所以?!+言+…+皆=71+3(1_：)+(?；)+O+…+(±_.)+(；—圭)]

=n+-fl+--?展)=n+沁島++)

22

因為W++>°，所以”++展)<"+/

即空+色+.“+皿<”+三.

ala2an4

題型3分奇偶型的分組求和法

、?，*

力劃重點

1.如果一個數(shù)列可寫成的=即士匕的形式，而數(shù)列｛冊｝,｛%｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化

為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.

a匐n為奇數(shù)

2.如果一個數(shù)列可寫成“=f｛的形式，在求和時可以使用分組求和法?分組轉(zhuǎn)

(匕,n為偶數(shù)

化法:

【例題3](2023秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習)已知數(shù)列｛a“｝滿足的=20,即+1=

-1,幾為奇數(shù)，

[a“-2,n為偶數(shù).

(1)記b=a2n,求出瓦,為及數(shù)列｛與｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛an｝的前200項和.

【答案】(1)d=19,b2=16,bn=22—3n

(2)-25800

【分析】(1)通過代入數(shù)列｛冊｝的通項公式求出數(shù)列｛九｝后一項與前一項的關系，從而判斷

其數(shù)列性質(zhì)，得出通項公式；

(2)由｛%｝的通項公式，得a2n=22-3n和ci2n_i=23—3n,利用分組求和求數(shù)列｛a"的

前200項和.

an-l,n為奇數(shù)

【詳解】(1)因為的=20,0n+i=

an-2,n為偶數(shù)

所以。2=%-1=19,=。2—2=17,—1=16,

所以瓦=。2=19,&2==16.

aaa

因為b"—bn-i~a2"-a2n-2=2n-l11—2n-2~2n-2—2—1—a2n-2=-3,(n>2),

所以數(shù)列｛3｝是以19為首項，-3為公差的等差數(shù)列，

所以bn=19-3(n-1)=22-3n.

(2)由(1)可得a2n=22-3n,

貝!Ja2n-i=a2n-2-2=22-3(n—1)-2=23-3n,n>2,

當n=1時，%=20符合上式，所以a2n-i=23-3n,

所以數(shù)列｛即｝的奇數(shù)項構(gòu)成首項為20,公差為-3的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為19公差

為-3的等差數(shù)列，

aa

則數(shù)列｛an｝的前200項和為%+a2T---卜2QQ=（l+@3+…+Q199）+（◎2+。4+…+

@200）

=20x100+x（-3）+19x100+x（-3）=-25800.

【變式3-1]1.（2023秋?山東德州?高三德州市第一中學校考階段練習）數(shù)列｛冊｝滿足

anan+l=16rl,Qi=2（n6N*）.

⑴求?。耐椆剑?/p>

（。九,九為奇數(shù)

⑵設以=,求數(shù)列｛匕｝的前271項和S2n.

+幾九為偶數(shù)

【答案】⑴Qn=221

叫?+.5+1）

【分析】（1）根據(jù)遞推公式作商得皿=16,再分類討論結(jié)合累乘法計算即可；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，及分組求和法計算即可.

n

【詳解】(1)'-'anan+1=16,?!=2,則a?=8,

■-aa=16n+1,兩式相除得：皿=16,

n+1n+2an

當n=2k—1時，也x色x%x…x誓=16八1,

ala3aSa2k-3

-'ta2k-i=2x16"T=24k~3,即=22n-1,

當n=2k時，幺x%x但x-x4=16%T,

a2a4a6a2k-2

4k-12n-1

：.a2k=8x16"T=2,即a”=2,

綜上所述，｛冊｝的通項公式為：即=22"-1；

(22"T,n為奇數(shù)

(2)由題設及(1)可知：為=,

(b-1+&71為偶數(shù)

s2n=瓦++b4T---卜b2n-i+b2n

=(瓦+b3+b5-i---(■b2n-!)+(i>2+/■+---Fb2n)

—(瓦+%+b5T---F62n-i)+(瓦+2+仇+4+b+6+…+b2n-i+2n)

=2(&+63+%+…+^2n-i)+(2+4+6+…+2n)

=2(21+25+29+…+24n-3)+(2+4+6+…+2n)

2(1-16n)n(2n+2)4(16n-1)

2X----------------F-------------=---------+---n--(--n+1)

1-16215

【變式3-1】2.(2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習)已知｛5｝為等差數(shù)列，｛%｝

為等比數(shù)列，&=2%=2,a5=5(a4-?3)?%=4(九一么)(數(shù)列｛5｝滿足cn=

為奇數(shù)

Janan+2

Ib“,n為偶數(shù)

(1)求｛即｝和｛e｝的通項公式；

(2)證明：￡魯生2號.

n

【答案】(1)廝=n；bn=2

(2)證明見解析

【分析】(1)設等差數(shù)列｛即｝的公差為d，等比數(shù)列｛3｝的公比為q,根據(jù)題意列式求d,q,

進而可得結(jié)果；

(2)利用分組求和以及裂項相消法求得〃=-進而根據(jù)數(shù)列單調(diào)性分析證

明.

【詳解】(1)設等差數(shù)列5｝的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

a

由的=1,a5=5(a4-3)>可得1+4d=5d,解得d=1

所以｛即｝的通項公式為“=l+n-l=n；

32

因為瓦=2,優(yōu)=4(b4-b3),則2q4=4(2q-2q),

因為q豐0,可得q2_4q+4=0,解得q=2,

所以｛%｝的通項公式為%=2X2"-1=2n.

(2)由(1)可得：當n為奇數(shù)時，—=/=定一擊)，

anan+2n(.n+2j2\nn+2/

n

當n為偶數(shù)時，cn=g=2,

設「2n=XF=1G=G+C2+C3+C4+…+c2n-i+c2n

=(Q+?3+C5+-----F)+(c+c+cd--------F

C2n-1246c2n)

11111111

1-3+3-5+5-7+，，，+2n-1-2n4-1+(22+24+26+-+2Zn)

2

4（1一4與1?4n+1_5

=2-4+1-44n+2十36

即〃=_焉+三I

因為y=—?在（6+8）上單調(diào)遞增，則y=——7—+—--?在9+8）上單調(diào)

4X+Z6o4X+Z36

遞增，

可得72n關于血eN*）單調(diào)遞增,所以%=￡設1ct>T2=學

【變式3-1]3.（2023秋?天津北辰?高三天津市第四十七中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)

列｛斯｝與等比數(shù)列｛%｝滿足的=1,。3=5/2=4,且既是的+瓦和劣-的等差中項，

又是其等比中項.

（1）求數(shù)列｛即｝和｛b｝的通項公式；

1

TJ—2k1

⑵記0=anan+2),其中k6N*,求數(shù)列｛0｝的前2n項和S2“；

0n?bn,n=2k

⑶記d=|守二,其前n項和為7；，若4<7；-*WB對neN*恒成立，求B-A的最小

nNDn-iln

值.

n

【答案】⑴即=2n-1,bn=2；

(12n-7)-4n+1+28

(2)S2n

9+品

⑶H

【分析】（1）由已知條件，列方程組求出等差數(shù)列5｝的公差和等比數(shù)列也｝的公比，可得

數(shù)列的通項;

（2）根據(jù)數(shù)列的特征，運用分組求和法求前2n項和；

（3）利用函數(shù)思想，求出A的最大值和B的最小值，可得8-A的最小值.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛即｝的公差為d,等比數(shù)列｛九｝的公比為q,

a1=1,Qg—5,所以a】+CI3—2a2=6,彳辱a?=3,d=a?—a1=2,

。2既是的+瓦和久-。3的等差中項，又是其等比中項，

彳mpa?=(%+瓦)+(/?3-。3)［10=瓦+壇

g

1l?2=(%+瓦)?(久一a3)'(9=(1+瓦)?(b3-5)

解得I］，曬若=2,

n-1n-1n

所以an=%+(九一l)d=1+2(n-1)=2n—1zbn=br-q=2?2=2.

._、(--——,n=2k—1(-------3-------,n=2k-1

(2),=jaa=<(2n-l)(2n+3),

-Cnnn+2

n

Ian-bn,n=2k((2n-1)-2,n=2k

??S2n=(C1+C3+C5H----F+(C2+C4+C64------F

C2n-1)C2n)?

又+C3+Cs+…+C2"_1=*+壺+高+.“+("3；4n+1)

=乂(1_3+(*)+(2_*)+—+3_焉)1=焉，

.Q+C4+。6+…+c2n=3?2?+7?24+11,2‘+…+(4n-1),22n①

22n+2

.,.2(C2+C4+C6+…+Qn)=3?24+7?26+11?28+…+(4n—1)?2②

2+C4+C6+…+24682n

①減②得：-3(。c2n)=3-2+4?2+4?2+4?2-+4-2-

(4n-1)-22n+2

4-24(1-22n-2),、源上,(一12n+7)?22n+2_28

=3-229+------；--z——--(4n-1)?22n+2=--------------―.....................

1-2273

_(1271-7>4"1+28

??C2+C4++…+C

2n9