重難點專題06函數(shù)零點問題七大題型匯總

01

題型1分段函數(shù)的零點............................................................1

題型2唯一零點問題..............................................................8

題型3指對幕函數(shù)零點...........................................................12

題型4含有絕對值函數(shù)的零點.....................................................18

題型5復合函數(shù)零點.............................................................24

題型6函數(shù)中的整數(shù)問題.........................................................30

題型7三角函數(shù)的零點...........................................................37

題型1分段函數(shù)的零點

【例題11(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/'(x)=八吃儀］股：，其中

aeR,若/(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰好有4個零點，則a的取值范圍是()

【答案】C

【分析】根據(jù)參數(shù)a的范圍，討論兩段函數(shù)的零點情況，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象與

性質，結合端點滿足的條件，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/'(x)={28s”［哽：，其中aeR,

當a<0時，對任意x>0，函數(shù)f(x)=(r-a>-4在(0,+8)內(nèi)最多有1個零點不符題意，

所以a>0,

當x>a時，/'(%)=(x-a)2-4,

由(x—a)2—4=0,可得x=a+2或x=a—2,

則在x>a上,/(x)=(x-a)2-4有一個零點，

所以/'(x)=cos(nx-na)在(0,a)內(nèi)有3個零點,BPcos[n(x-a)]=。在(0,a)內(nèi)有3個零點，

因為0<x<a,所以—a<x—a<0,—Tia<TT(X—a)<0,

所以一y<-na<-^,解得|<a<l，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為《,外

故選：C.

【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方

法：

L直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定

參數(shù)的取值范圍；

2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結

合求解.

【變式1-1】1.（2023?海南海口?海南華僑中學校考一模）關于函數(shù)，/（%）=

f'°92（X：2）-a，0<35其中處占eR,給出下列四個結論：

甲：5是該函數(shù)的零點.

乙：4是該函數(shù)的零點.

丙：該函數(shù)的所有零點之積為0.

T:方程/（久）=1有兩個不等的實根.

若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤的結論是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】結合命題的矛盾性，先判斷丙、丁均正確，然后分情況討論甲乙，進行判斷解題；

【詳解】當尤G[3.5,+8）時，〃尤）=b-x為減函數(shù)，故5和4只有一個是函數(shù)的零點.

即甲、乙中有一個結論錯誤，一個結論正確，故丙、丁均正確.

由所有零點之積為0,結合分段函數(shù)的性質，知必有一個零點為0,

則f(0)=log22-a=0,可得a=1.

①若甲正確,則/⑸=6-5=0,則b=5,

由f(x)=1,可得Iog2(x+2)-1=1,0<x<3.5或5-x=l,x23.5

解得x=2或x=4,方程/'(x)=1有兩個不等的實根，

故丁正確.，若甲正確，乙錯誤；

②若乙正確，則/'(4)=0,即b-4=0,則匕=4,

dog(x+2)—1,0<x<3,5

可得/(%)=2

I4—x,x>3.5

由/(x)=1,可得log2a+2)-1=1,0<x<3.5或4-x=l,x>3.5

解得久=2,方程/'(X)=1只有一個實根，故丁錯誤，不滿足題意.

綜上，甲正確，乙錯誤,

故選：B

【變式1-112.(2023?天津濱海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？既?設/Xx)是定義

在R上的函數(shù)，若F(x)=/(x)+合是奇函數(shù).G(x)=f(x)-x是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)=

黑+8)，則下歹脫法正確的個數(shù)有()

(1)當X6[2,3]時,g(x)=-2(x-2)(%-3)

(2)9(釣=2~1(>€2)

(3)若g(m)>2,則實數(shù)m的最小值為:

(4)若/i(x)=g(x)~k(x-2)有三個零點，則實數(shù)k=o

A.ljB.2jC.3jD.4j

【答案】A

【分析】由題可得"%)=x-/，后由題目條件可得g(x)大致圖象.(1)由題目條件可得xe

[2,3]時,g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=4/(x-2)；(2)注意k=1的特殊情況；(3)由

題可得x￡(3,4)時，g(x)=-8(x-3)(x-4)ng0=2,后結合圖象可得答案；(4)問

題轉化為g(%)圖象與直線y=-2)有3個交點，等價于直線y=k[x-2)與g(x)在xe

(0,1)時的圖象相切.

【詳解】因尸(X)=f(%)+/是奇函數(shù)，則/(x)+x2+/(-x)+x2=0.因G(x)=/(x)-X是

偶函數(shù),則/(%)-x=/(-%)+x=/(-%)-/(x)-2x.

貝!]2/(x)+2x2—2x=0=>/(x)=x—x2.

又注意到xe(1,2]時，x—1€(0,1],則g(x)=2g(x-1)=2/(x-1)；xG(2,3]時,x-le

(1,2],x-2G(0,1],則g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=4/(x-2).以此類推,可得g(x)大

致圖象如下.

(1)xG[2,3]時,x-1G[1,2],x-1-1e[0,1].則g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=

4/(x-2)=-4(%-2)(x一3),故(1)錯誤；

(2)注意到當k=1時，g(等)=g0=屋)=；#2。，故(2)置吳；

(3)當x6(3,4)時，由以上分析：g(x)=8f(x-3)=-8(x-3)(%-4),則g(習=2,結

合圖象可知若當m<狎,g(m)<2,則m的最小值為:，故(3)正確；

(4)h(x)=g(x)-k(x-2)有三個零點等價于g(x)圖象與直線y=k(x-2)有3個交點.

由圖可得，當直線y=k(x-2)與g(x)在尤e(0,1)時的圖象相切時，滿足題意.注意到當xe

(0,1)時，g(x)圖象上有一點B,又丫=fc(x-2)恒過定點4(2,0),&B=—1則當y=

fc(x-2)與g(x)在xe(0,1)時的圖象相切時,

k<=-：，故(4)錯誤.綜上，只有(3)正確.

O

故選：A

【點睛】關鍵點睛：本題涉及求函數(shù)解析式及對于類周期函數(shù)性質的考查.本題由函數(shù)奇偶

性確定f(x)解析式后，結合題目條件得到了g(無)大致圖象，可以直觀且簡明地判斷(1)(2)

(3),對于(4)所涉零點問題?？赊D化為函數(shù)圖象與直線的交點問題.

【變式1-1］3.(2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學校考模擬預測)設aeR,函

數(shù)f(x)=與函數(shù)。⑺=狽在區(qū)間［0,+8)內(nèi)恰有3個零點，

I人I(XI乙)KI14.Itjf人IX

則a的取值范圍是.

【答案】{2}u(|,3).

【分析】設八(X)=/(X)-g(x),結合題意可知函數(shù)h(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)恰有3個零點，

分析a<0時不符合題意，a>0時，結合二次函數(shù)△=8a-16的正負及h(a)=-2a+5的

正負即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)=ax在區(qū)間［0,+8)內(nèi)恰有3個零點，

—2a\x—11—ax+4a—a2,x<a

設八(x)=/'(x)-g(x)=

x2—(2a+2)x+a2+5,x>a

即函數(shù)h(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)恰有3個零點，

當a<0時，函數(shù)h(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)最多有2個零點，不符合題意；

當a>0時,函數(shù)y=x2-(2a+2)x+a2+5的對稱軸為x=a+1,

A=(2a+2)2-4(a2+5)=8a-16,

所以，函數(shù)h(x)在［a,a+1)上單調遞減,在(a+1,+8)上單調遞增，且/i(a)=-2a+5,

當4=8Q-16V0,即a<2時，函數(shù)九(%)在區(qū)間［a,+8)上無零點，

所以函數(shù)八(久)=-2a\x-1|-ax+4a-M在［o,a)上有三個零點，不符合題意；

當4=8a-16=0,即a=2時，函數(shù)九(%)在區(qū)間［2,+8)上只有一個零點，

則當工￡［0z2)時,九(%)=-4\x-1|-2%4-41

令九(%)=-4|x-1|-2x+4=0,解得％=0或x=，符合題意；

當［址建二10，即a>泄，函數(shù)照)在區(qū)間［a,+8)上有1個零點,

則函數(shù)h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-°'2^在［。，a)上有2個

I—3ax+6a—az,1<%<a

零點,

2a—a2<0

則a+2a—a2>0,即2<a<3,所以|VaV3；

>—3小+6Q-a?v0

當］盂,}0,即2<。好時,函數(shù)/i(x)在區(qū)間［a,+8)上有2個零點,

則函數(shù)h(x)=-2a\x-1\-ax+4a-a2=\十上一°~在［0,a)上只有1

(-3ax+6a—az,1<x<a

個零點，

(2a-a2=02a—a2<0(2a—a2<0

則］a+2a—a2>0或a+2a—a2>0或1a4-2a—a2=0,即無解.

(-3Q2+6a—a2>0\—3a24-6a—a2>0t—3a2+6a—a2<0

綜上所述，a的取值范圍是{2}U(|,3).

故答案為：{2}U(|,3).

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點，函數(shù)與方程等知識點，屬于較難題判斷函數(shù)y=/(%)

零點個數(shù)的常用方法：

(1)直接法：令八%)=0,則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；

⑵零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間回切上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)"(b)<0,再結

合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)

形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就

是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零

點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理,

有時可結合函數(shù)的圖象輔助解題.

【變式1-1J4.(2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)/?(")=[j，當a=1

時，/(X)的零點個數(shù)為；若f(x)恰有4個零點，則a的取值范圍

是.

【答案】1G胡u圖

2

【分析】第一空：當Q=1時COS7T%=0xx>1時/(久)=0可得答案；第二空：y=X-4ax+

8(x>a)至多有2個零點故y=COSTET在(0,a)上至少有2個零點所以Q>|分1<a

|<a<a>:討論結合圖象可得答案.

【詳解】第一空：當a=1時，當0<x<1時，f(x)=cosnx=0,解得x=1；

當x>1時，“X)=%2-4%+8=(x-2)2+4>0,無零點，

故此時f(x)的零點個數(shù)是1；

第二空：顯然，y=/-4ax+8(x>a)至多有2個零點，故y-coswx在(0,a)上至少有2

個零點，所以a>|；

①

若y=cos7rx(0<x<a)恰有2個零點，則|<aW|,此時y=x2-4ax+8(x>a)恰有兩

(2a>a

個零點，所以△=16a2-32>0,解得e<aW4,

(f(a)=-3a2+8>0

此時|<aW半;

②

若y=COS7TX(0<x<a)恰有3個零點，則|<a號,此時f(a)=8-3a2<0,

所以y=x2-4ax+8(x>a)恰有1個零點,符合要求；

③當a>:時，/'(a)=8-3a?<0,所以y=x2-4ax+8(x>a)恰有1個零點，

而y=cosrtx^x<a)至少有4個零點，

此時f(x)至少有5個零點，不符合要求，舍去.

綜上,|<aW乎或|<a<|,

故答案為工(I，胡u(|4

【點睛】方法點睛：求零點的常用方法：①解方程；②數(shù)形結合；③零點存在定理；④單調

+存在求零點個數(shù)，復雜的函數(shù)求零點，先將復雜零點轉化為較簡單函數(shù)零點問題.

題型2唯一零點問題

【例題2](2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)在數(shù)列｛a"中，的=1,且函數(shù)/(X)=必+

an+1sinx-(2an+3)x+3的導函數(shù)有唯一零點,則的值為().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【答案】A

【分析】對應函數(shù)求導，利用奇偶性定義判斷f'(x)為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點知/(0)=0,

構造法有即+1+3=2(an+3),應用等比數(shù)列定義寫出通項公式并求對應項.

4

【詳解】由尸(X)=5X+(Zn+iCOSX一(20n+3)在R上有唯一零點,

44

而((―x)=5(—x)+an+1cos(—x)—(2an+3)=5x+an+1cosx—(2an+3)=f'(x),

所以尸(x)為偶函數(shù)，則/(0)=an+1-2an-3=0，故a^+i+3=2(an+3)，且%+3=4,

+1

所以5+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,則0n+3=4-2”T=2?,

則￡19=210-3=1021.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：判斷導函數(shù)尸(%)為偶函數(shù)，進而得到尸(0)=0為關鍵.

【變式2-1]1.(2023?全國?高三專題練習)已知函蜘(x),h(x)分別是定義在R上的偶

函數(shù)和奇函數(shù)，且g(x)+/i(x)=ex+x,若函數(shù)f(x)=e|z-11+Ag(x-1)-2M有唯一零

點，則正實數(shù)4的值為()

A.-32B.-C.1D.2

【答案】C

【分析】首先利用方程組法求函數(shù)g(x)的解析式，由解析式判斷/l(X)的對稱性，利用導數(shù)分

析f(x)的單調性及極值點，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點知極小值f(l)=0,即可求正實數(shù)2值.

【詳解】由題設，｛+般?)+42[：)￡).h(x)l可得：M=手，

由/'(X)=elx-H+Xg[x-1)-2A2,易知：/(x)關于X=1對稱.

當X21時，/(x)=eXT+式e》T+e】-x)-2A2,貝！J/(x)=+*e——e-，)>0,

所以f(x)單調遞增，故x<1時f(x)單調遞減，且當x趨向于正負無窮大時/"(X)都趨向于正無

窮大，

所以f(x)僅有一個極小值點1,則要使函數(shù)只有一個零點，即/"(1)=0,解得4=1.

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：奇偶性求函數(shù)解析式，導數(shù)分析函數(shù)的單調性、極值，根據(jù)零點的個

數(shù)及對稱性、單調性求參數(shù)值.

【變式2-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/⑺="/+?os%-1(a6R),

若函數(shù)f(x)有唯一零點，則a的取值范圍為()

A.(—00,0)B.(—00,0)U[1,4-00)

C.(—8,0]U[1,+8)D.(—8,—1]U[1,+8)

【答案】B

x2X

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性變換得到a=(手)，設k=手，利用其幾何意義根據(jù)圖象得

到范圍.

【詳解】/(x)=1ax2+cosx-1,易知函數(shù)為偶函數(shù)，且/(0)=0,故考慮%>。的情況即

可，

當x>0時，/*(x)=1ax2+cosx—1=0,即a=,

設上=乎，表示函數(shù)y=2sin：上的點到原點的斜率，根據(jù)圖象知：

y'=cos|,當X=0時，y，max=1，故k<1，故°W<1，

a=2(：；際)_無解，故aG(-00,0)U[1,4-co).

【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題，將題目轉化為函數(shù)y=2sin；上的點到

原點的斜率是解題的關鍵.

2x2

【變式2-1]3,(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)"X)=2/T_齊&-2+2~)-a

有唯一零點，則負實數(shù)駐________

A.-2B.C.-1D.-，或-1

【答案】A

【詳解】函數(shù)/Xx)=2dx-2|一!以2》-2+22-x)_有唯一零點,

設x-2=t,

則函數(shù)y=2e|c|-1a(2t+2-t)-標有唯一零點，

貝-1a(2f+2-t)=a2

設g(t)=2e|￡|-1a(2c+2-，),???g(-t)=2el-t|-1a(2-t+2f)=g(t),，g(t)為偶函數(shù),

.?函數(shù)f(t)有唯一零點，

■-y-g(t)與y-a?有唯一的交點，

,此交點的橫坐標為0,2-a=,解得。=—2或a=1(舍去)，

故選A.

【變式2-1J4.(2021春?洛陽期末)存在實數(shù)a使得函數(shù)f⑺=2X+2T-ma2+a-3<

唯一零點，則實數(shù)小的取值范圍是().

A.(-8,：]B.(-00,0]c.[o,i]D.{o,：}

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)y=2,+2T的性質確定唯一零點，然后由二次方程判別式得結論.

【詳解】令t=2》(t>0)是增函數(shù)，y=t+]由對勾函數(shù)性質y=t+：在(0,1)上遞減，

在(1,+8)上遞增，

所以1=1時/ymin=2,此時％=0,因此/(%)有唯一零點,則零點為％=0,

/(0)=-ma24-0-1=0,771=0時，a=1有解,m*0時，貝必=1-4m>0,m<一且

mH0.

綜上加<;.

4

故選：A.

題型3指對幕函數(shù)零點

【例題3](2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習)定義在R上的

偶函數(shù)/'(x)滿足/'(2-x)=f(x+2)偶%G[0,2]時,/(x)=(在尸，若在區(qū)間xG[0,10]內(nèi),

函數(shù)g(x)=/(x)-mx-1,(m>0)有5個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A?舟，等)B.(吟9

5(詈，詈戶(。號]

【答案】D

【分析】等價于y=/'(x)與y=mx+l(m>0)的圖象在xG[0,10]有5個交點，利用已知可

得/'(X)是周期為4的函數(shù)，且圖象關于x=2對稱，畫出了(%)的圖象結合圖象可得答案.

【詳解】f[2一(x+2)]=/(-X)=f[(x+2)+2]=/(x+4),

又/(%)是偶函數(shù),所以/'(-X)=/(X),則+4)=/(x),

所以/'(X)的周期為4,由/'(2-x)=f[x+2)得/'(x)的圖象關于x=2對稱,

當x€[0,2]時，f(x)=(Ve)x,可得f(x)的大致圖象如下，

若在區(qū)間xG[0,10]內(nèi)，函數(shù)g(x)=/(x)-mx-l(m>0)有5個零點，

等價于y=/'(x)與y=mx+l(m>0)的圖象在xG[0,10j有5個交點，

結合圖象,當x-10時y-/(x)與y=mx+l(m>0)的圖象恰好有5個交點,

當m=0時y=f(x)與y=mx+l(m>0)的圖象有3個交點，不符合題意,

可得4(10,e),此時e=10m+1,可得m=胃,

則實數(shù)小的取值范圍是(0,鬻].

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題的解題的關鍵點是等價于y=/'(X)與y=mx+l(m>0)的圖象

在Xe[0,10]有5個交點，利用已知條件畫出它們的圖象，考查了學生的思維能力、運算能

力.

【變式3-1]1.(2021秋?紹興期末)已知a,b,c€R,a+b+c=0,若3a/+2bx+c=

0(a40)的兩個實根是右，x,則+的最小值是()

2|。1一1||02一11

A.-B.-C.V3D.2V3

63

【答案】D

【解析】根據(jù)—+—F>2I2：+X)+11以及韋達定理可解得結果?

|2X2-1|yj\4X1X2-2{X1+X2)+1\

【詳解】因為3aI+2bx+c=0(aH0)的兩個實根是右,x2,

所以Xi+x2=,xrx2=.,

-

所以I(2%1-l)(2x2-l)|\4XtX2—2(X1+X2)+l\

=2AS5==254c+；：4a-al，

因為a+b+c=0,

所以2白泊i=2福即—+Wii22肉當且僅當|2巧-11=吐-11時，等

號成立.

所以―+—刀的最小值是2百.

|2必-1||2X2-1|

故選：D

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大

值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式3-1]2.(2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測)已知4>0,若關于

x的方程?一衣+Aln(Ax)=0存在正零點，則實數(shù)2的取值范圍為()

A.(-00,1]B.[1,4-00)C.(-8,3]D.[3,4-00)

【答案】B

【分析】化簡號-X+ln(Ax)=exTn(a-i一比一in(&)]=0,令t=X-ln(&),轉化為

et-1-1=。有解，設h(t)=et-1-1,利用導數(shù)求得函數(shù)九⑴的單調性，結合h⑴=0,得

到h(t)存在唯一零點t=1,轉化為1+liU=x-Inx在(0,+8)有解，令p(x)=X-Inx,利

用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，得到1+InA>p(l)=1,即可求解.

【詳解】由題意得，《~x+In(Ax)=-x+ln(Ax)=ex-ln(Az)-1-[x-ln(Ax)]=0,

令t=x-ln(4x),問題轉化為e^T-t=。有解，

設八(t)=e^-t,則，(t)=e￡-1-1,

當te(—8,1)時，h，(t)<o,h(。單調遞減；當te(1,+8)時,T(t)>o,h(t)單調遞增，

又由八(1)=0,所以/i(t)存在唯一零點t=1,即1=x-ln(Zx)在(0,+8)有解，

即1+InA=x—Inx,令p(x)=x—Inx,則p，(x)=1—^=?,

當xG(0,1)時，p'(x)<0；當xe(1,+8)時，p'(x)>0,

所以函數(shù)p(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以1+InA>p(l)=1,解得4>1,

故實數(shù)4的取值范圍為口+8).

故選：B.

【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

L通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

【變式3-1]3.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學校考模擬預測)已知函數(shù)/?(>)=e'-

alnx有兩個大于1的零點，則a的取值范圍可以是()

A.(0,1]B.(1同

C.(即D.[ee+1,e2e)

【答案】D

【分析】由函數(shù)人乃有兩個大于1的零點,得/Xx)在(L+8)不單調，然后利用導數(shù)研究函

數(shù)f(x)的單調性即可求解.

【詳解】因為函數(shù)"X)=e'-alnx有兩個大于1的零點，所以f(x)在(1,+8)不單調.

由/(x)=ex—alnx得廠(x)=ex—^(%>0),

當aW0時，尸(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上單調遞增,不符合題意；

當a>0時，顯然/(x)=十一(在(0,+8)上單調遞增，而r(1)=e-a,

當0<a4e時，當xe(1,+8)時，尸⑺>尸⑴>0,所以<乃在(i,+8)上單調遞增,不

符合題意，此時可排除ABC；

當a>e時，因為尸(1)=e-a<o,fr(a)=ea-1>0,

所以存在X。e(l,a),使得/(X。)=ex。一巴=0,即。=XoM。，

XO

當xe(1,%0)時，((x)<0，/'(%)單調遞減，

當xGg,+8)時，尸(X)>o,f(x)單調遞增，

所以f(X)在X=X。處取得極小值，也是最小值.

而f(1)=e>0,當x趨向正無窮時，f(x)趨向正無窮，

所以當函數(shù)八%)有兩個大于1的零點時，只要/(%o)<。即可，

xxXox

f(x0)=e°—alnx0=e0—x0elnx0=e0(l—xolnxo),

設y=xex(x>1),則『=(x+l)ex>0,所以y=xex(x>1)單調遞增；

設g(x)=1—xlnx,則g'(x)=-Inx-1,當x>相寸，g'(x)=~^nx-1<0,g(x)單調遞

減；

對于D,當a€[ee+i,e2e)時,由a=與爐。知X。>e,

x

當通>e時,1-xolnxo<1-e<0,所以/(與)=e°(l-xoinxo)<0,滿足題意;

故選：D.

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種轉化方法：

一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結合

思想的應用；

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.

【變式3-1]4.(多選X2023?廣東廣州?華南師大附中?？既?已知/⑺=等+-

k也eR)有三個不相等的零點與，右，與，且與<%2<x3,則下列命題正確的是()

A.存在實數(shù)k,使得》=1

B.勺>e

C.ke(1,|)

D?(詈+歲(詈+3(詈+?為定值

【答案】BCD

【分析】化簡方程，令罷=t，得到t2+(1一k)t-k+1=0.構造函數(shù)g(x)=詈，則

g，(x)=e?臂，利用函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的圖象，要使關于x的方程三個不相等的實

數(shù)解%,不，，且與<X2<X3,結合圖象可得關于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定

有兩個實根G,<0<t2<1),結合韋達定理，推出所求表達式的關系式，然后對選

項一一判斷即可得出答案.

【詳解】由方程學+小一人=。，可得萼+&-卜=。?

X

令平=t,則有t+a一k=0,即產(chǎn)+(1-fc)t-fc+1=0.

令函數(shù)g(x)=萼,則“(x)=e-L蓍,

令“(x)>0,解得0<x<e,令<0,解得x>e,

所以g(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

所以g(x)max=g(e)=等=1,

作出圖象如圖所示，要使關于%的方程等+忌7-k=0有三個不相等的實數(shù)解X】，g,%3，

且Xi<x2<x3，結合圖象可得關于t的方程t2+(1--k+1=0一定有兩個實根q,

且均<0,0<t2<1或1=1,0<t2<1,

令(gt)=+(1—k)t—/c+1,

：5(0)<0

若G<0,0<t2<1,貝彳

ig⑴〉o，故1<k<|.

1A=卜2+2k-3>0

Ig⑴=0

右=1,0<[2<1，則j5(0)>0,無解，

=fc2+2fc-3>0

綜上故C正確；

由圖結合單調性可知句>e，故B正確；

若/⑴=1-k=0,則k=l,又kG,故A不正確；

故選：BCD.

【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，解答本題的關鍵是：令g(x)=萼,判斷出函數(shù)g(x)的

單調性，結合圖象將照+-k=0,表示為關于珀勺函數(shù)即可求解.

xeinx+x

題型4含有絕對值函數(shù)的零點

【例題4】(2023?全國?高三專題練習)若函數(shù)f(x)=ax2-2x-\x2-ax+1|有且僅有兩

個零點，則a的取值范圍為.

【答案】(—00,0)U(0,1)U(1,4-00)

【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點,再根據(jù)根存在的條件即可判斷a的取

值范圍.

【詳解】(1)當/-ax+1>0時,/(%)=0=(a-l)x2+(a-2)x-1=0,

即[(a—l)x—l](x+1)=0,

若a=1時，％=-1,此時%2-ax+1>0成立；

若aH1時，x=1或x=-1,

若方程有一根為％=-1,則1+a4-1>0,即a>一2且aH1；

若方程有一根為X==，貝！1(^)2一aXW+120，解得：aW2且a羊1；

若x==-1時，a=0,此時1+a+l>。成立.

(2)當，—ax4-1<0時,/(%)=0<=>(a+I)%2—(a+2)x+1=0,

即[(a+1)%-l](x-1)=0,

若a=-1時,x=1,顯然/一Q%+1v0不成立；

若aH-1時，x=1或x=-47,

若方程有一根為％=1,則1一a+1<0,即Q>2；

2

若方程有一根為％=W，貝KW)—QX充+1v0,解得：Qv—2；

若x=—=1時a=0,顯然/一QX+1<0不成立;

a+lf

綜上，

當a<-2時,零點為,—-；

a+la-1

當一2Wa<0時，零點為白，-1；

當a=。時，只有一個零點-1；

當0<a<1時，零點為工,-1；

a—1

當a=1時，只有一個零點-1；

當1<aW2時，零點為七,-1；

a—1

當a>2時，零點為1,一1.

所以，當函數(shù)有兩個零點時，a*0且aH1.

故答案為：(-8,0)u(0,1)U(l,+oo).

【點睛】本題的解題關鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出

對應的范圍，然后根據(jù)范圍討論根(或零點)的個數(shù)，從而解出.

【變式4-1]1.(2021春?寧夏校級月考)已知函數(shù)/⑺=|%2+3x1,X6R.若方程f⑺-

a|x-l|=。恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(0,1)U(9,+8).

【詳解】試題分析：(方法一)在同一坐標系中畫/(%)=|%2+3%|和。(%)=a\x-1|的圖象

(如圖)，問題轉化為

/(%)與g(x)圖象恰有四個交點.當y=a(x-1)與y=/+3x(或y=-a(x-1)與y=

-%2-3x)相切時,/(%)與g(%)圖象恰有三個交點把y=a(x-1)代入y=%2+3x，得，+

2

3x=a(x—1),即/+(3—a)x+Q=0,由4=0,得(3—a)—4Q=0,解得Q—1或a=

9.又當a=。時，/(%)與g(x)僅兩個交點,-0<a<1或a>9.

(方法二)顯然％H1,..a=||.令t=》一1,則Q=卜+彳+

,?工+；W(-00,-4]U[4,4-oo)r：.t+；+5￡(-co,1]U[9,4-oo).結合圖象可得0<QV1或

a>9.

考點：方程的根與函數(shù)的零點.

【變式4-1]2.(2021秋?浦東新區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(%)=

x

產(chǎn)+(4a-3)x+3a,<?(a>o^a*1)在/?上單調遞減，且關于x的方程|/(x)|=2-

久恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

【答案】腦啕

【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f(x)為減函

數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍.

【詳解】函數(shù)小)=匕：黑；*+1U(。>。且…),

在R上單調遞減，則：J0<?<1

2

lO+(4a-3)-0+3a>loga(0+1)+1

解得(Q4：?

34

由圖象可知，在[0,+8)上=2-x有且僅有一個解，

故在(-8,0)上=2-X同樣有且僅有一個解，

當3a>2即a>|時，聯(lián)立+(4a—3)x+3a|=2—x,

則A=(4a-2A一4(3a-2)=0,解得a=：或1(舍去)，

當1W3aW2時,由圖象可知，符合條件，

綜上：a的取值范圍為樂|]u{%

故答案為圖ug).

【點睛】本題考查函數(shù)的單調性和方程的零點,對于分段函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，除了每一

段都是減函數(shù)以外,還要注意右段在左段的下方，經(jīng)常會被忽略,是一個易錯點；復雜方程的解

通常轉化為函數(shù)的零點，或兩函數(shù)的交點,體現(xiàn)了數(shù)學結合思想，屬于難題.

【變式4-1】3.(2021秋?瑤海區(qū)校級期末)已知函數(shù)/'(X),g(x)分別是定義在R上的偶函

數(shù)和奇函數(shù)，且滿足f(x)+g(x)=2、-x,則f(0)的值為；若關于%的方程

2

2w2。211_2/(x-2021)-2A=0有唯一的實數(shù)解，則實數(shù)4的值為.

【答案】1海-1

【分析】構造函數(shù)方程并根據(jù)奇偶性可求得函數(shù)f(x)的解析式；轉化為

2舊一A《2(/+2-t)-2A2=。有唯一解，構造偶函數(shù)m(t)=2由一+2^)-2萬，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性列式可求得結果.

【詳解】V/(%),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，

g(o)-o,y(o)+g(o)=2°-o=i,y(o)-1

,-,/(-x)=f(x),g(-x)=_g(x)

又T/(x)+g(x)=2"-x①，

/(-x)+g(-x)=/(x)-gM=2r+%②

Xxx

①+②：2f(x)=2+2-,Af(x)=*2*+2-),

令=23-20211_2/(x_2021)-2"

又???h(x)=2IX-20211_2/(X_2021)-2A2=2>x-20211-g(2X-2021+2~x+2021)A-2M

換元設x-2021=t

又???關于x的方程2lA202i|/(x_2021)-2A2=0有唯一的實數(shù)解，

igm(t)=2舊一gal2t+2-t)-2A2,

mQ)為偶函數(shù)，，當且僅當t=0時為唯一零點，二1一A-2萬=0,解得4=(或2=-1.

故答案為：0；(或-1

【點睛】關鍵點睛：構造函數(shù)方程并根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式、利用偶函數(shù)的對稱性求解是

解題關鍵.

【變式4-1]4.(2023?青海西寧統(tǒng)考二模)函數(shù)f(x)=4sin=x-|x-1|的所有零點之和

為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/'(x)=0兩個解為零點，將零點問題轉換成=4sin^x,h(x)=|x-1|兩個

函數(shù)的交點問題，作圖即可求出零點，且g(x)和/i(x)的圖象關于x=1對稱，零點也關于x=1,

即可求出所有零點之和.

【詳解】令f(x)=0，得4singx=|x-1|,解得x=-3或x=5,即為零點，

令g(x)=4sin^x,/i(x)=|x-1|,

g(x)的周期7=等=4,對稱軸x=1+4/c,fceZ,且/i(x)的對稱軸x=1,

2

做出g(x)=4sin]x和/i(x)=|x-1|的圖象如圖所示:

顯然，f(功在(0,1)和(L2)上各存在一個零點，

"g⑸-4siny=4=/i(5)=|5-1|,h(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上兩函數(shù)必存在一個

交點，

???(0)在(4,5］上有兩個零點，同理〃久)在［-3,-2)上存在兩個零點，

所以f(x)在［-3,5］上存在6個零點，

因為g(x)和無(久)關于尤=1對稱，則/(x)零點關于x=1對稱，

所以f(x)的所有零點之和為6xl=6.

故選：C

【變式4-1】5.(2021?義烏市月考)已知/(%)=(因+(12-1).呵％+0,滿足/(%)20

在定義域上恒成立，貝必的值為

【答案】0.

【分析】要使/'(X)>。在定義域上恒成立，則函數(shù)/i(x)=|x|+-1與函數(shù)y=ln\x+a|必

有相同零點,進而得解.

【詳解】令伉|x+a|=0,解得x=1-a或x=-1-a,

依題意，函數(shù)h(x)=閉+a?-1的零點也為x=1-a或x=-1-a,(因為y=ln\x+a|的

值域為R,若函數(shù)h(x)=\x\+a2-1的零點不為久=1-a或％=-1-a,則/'(x)<0必有

解，則與題設矛盾.)

即10，解得a：。

U—1一Q|+-1=0

經(jīng)檢驗，a=。符合題意.

故答案為：0.

【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，函數(shù)的零點，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

題型5復合函數(shù)零點

【例題5](2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)g(x)=(e為自然對

數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)f(x)=g[gM]-：g(x)-1的零點個數(shù)為()

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【分析】令g(x)=u,則方程g[g(x)]-(g(x)-1=0變?yōu)榱薵Q)=：“+1,在同一直角坐

標系中分別畫出y=gQ)和y=+1的圖象得到相應的a范圍，再畫出g(x)的圖象，結合

圖像即可得解.

【詳解】首先由g(x)定義知道&=g(x)>0，又由y=g(u)的定義域知道aH0，所以有u>0.

然后在同一直角坐標系中先分別畫出y=g(a)和y=Ju+1的圖象，如下圖所示：

設方程gQ)=|lnu|=iy+1的三個根從大到小依次排列為小,％，

則由圖可知0<%<1<的<的?

現(xiàn)在在同一直角坐標系中先分別畫出g(x),y=,y=u2,y=%的圖象如下圖：

由圖可知g(x)分別與y=%,y=“2，y=%的圖象分別交于4B,C,D,E,F,G一共七個點,

所以方程g[g(x)]-[。⑺-1=0有7個根，

則函數(shù)/(幻=g[gM]-：g(x)-1的零點個數(shù)為7.

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：解題關鍵是首先將原問題轉化為求方程g[g(x)]-：g(x)-1=0的根之

后，利