第2講空間中的平行與垂直自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1．(2012·浙江)設(shè)l是直線(xiàn)，α、β是兩個(gè)不同的平面A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析利用線(xiàn)與面、面與面的關(guān)系定理判定，用特例法．設(shè)α∩β＝a，若直線(xiàn)l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯(cuò)誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線(xiàn)l′∥l，又因?yàn)閘⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)l，則l⊥α，此時(shí)l在平面β內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯(cuò)誤．答案B2．(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線(xiàn)A1F∥平面ADE證明(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B所以CC1⊥A1F又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F考題分析空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與證明是高考的必考考點(diǎn)，多以選擇題與解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，解答高考題時(shí)，推理過(guò)程不完整是失分的重要原因，需引起特別注意．網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的平行與垂直【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面CDE；(2)求證：GH∥平面CDE；(3)求三棱錐D－CEF的體積．[審題導(dǎo)引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；(3)變換頂點(diǎn)，求VC－DEF.[規(guī)范解答](1)證明∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明∵G是DF的中點(diǎn)，又易知H是FC的中點(diǎn)，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設(shè)Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，∴BC＝2，BD＝eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)，即點(diǎn)C到平面DEF的距離是eq\f(\r(3),2)，∴VD－CEF＝VC－DEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).【規(guī)律總結(jié)】線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系證法歸納(1)證線(xiàn)線(xiàn)平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線(xiàn)同時(shí)和第三條直線(xiàn)平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線(xiàn)定理證線(xiàn)線(xiàn)平行；四是利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換．(2)證線(xiàn)面平行常用的兩種方法：一是利用線(xiàn)面平行的判定定理，把證線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)平行；二是利用面面平行的性質(zhì)，把證線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．(3)證線(xiàn)面垂直常用的方法：一是利用線(xiàn)面垂直的判定定理，把證線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直；另外還要注意利用教材中的一些結(jié)論，如：兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面等．【變式訓(xùn)練】1．(2012·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一診)如圖，在幾何體ABCDEP中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝2BE＝4eq\r(2).(1)證明：BD∥平面PEC；(2)若G為BC上的動(dòng)點(diǎn)，求證：AE⊥PG.證明(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，取PC的中點(diǎn)F，連接OF，EF，∵EB∥PA，且EB＝eq\f(1,2)PA，又OF∥PA，且OF＝eq\f(1,2)PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四邊形EBOF為平行四邊形，∴EF∥BD.又∵EF?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC.(2)連接BP，∵eq\f(EB,AB)＝eq\f(BA,PA)＝eq\f(1,\r(2))，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，PA?平面APEB，∴平面ABCD⊥平面APEB，∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB＝AB，∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∵G為BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴PG?平面PBC，∴AE⊥PG.考點(diǎn)二：面面平行與垂直【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－BCM的體積．[審題導(dǎo)引](1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可證；(2)證明AP⊥BC；(3)根據(jù)錐體體積公式進(jìn)行計(jì)算．[規(guī)范解答](1)證明由已知，得MD是△ABP的中位線(xiàn)，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明因?yàn)椤鱌MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，所以VM－DBC＝eq\f(1,3)×S△BCD×MD＝eq\f(1,3)×2eq\r(21)×5eq\r(3)＝10eq\r(7).【規(guī)律總結(jié)】面面平行與垂直的證明技巧在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，無(wú)論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線(xiàn)，而線(xiàn)線(xiàn)平行是平行關(guān)系的根本．在垂直關(guān)系的證明中，線(xiàn)線(xiàn)垂直是問(wèn)題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過(guò)計(jì)算的方式證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面垂直，結(jié)論是線(xiàn)面垂直．【變式訓(xùn)練】2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.證明(1)在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線(xiàn)EF∥平面PCD.(2)如圖，連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF?平面ABCD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.考點(diǎn)三：平面圖形的折疊問(wèn)題【例3】(2012·南京模擬)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，E、F為線(xiàn)段AC的三等分點(diǎn)(如圖1)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連接B′C(如圖2)．圖1圖2(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′－ADC的體積；(2)記線(xiàn)段B′C的中點(diǎn)為H，平面B′ED與平面HFD的交線(xiàn)為l，求證HF∥l；(3)求證：AD⊥B′E.[審題導(dǎo)引](1)解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊前后的線(xiàn)面位置關(guān)系求得B′到平面ADC的距離，可利用線(xiàn)面垂直求得；(2)線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行；(3)線(xiàn)面垂直?線(xiàn)線(xiàn)垂直．[規(guī)范解答](1)在直角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點(diǎn)O，連接B′O，所以B′O⊥AD.因?yàn)槠矫鍭B′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O?平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為BC的中點(diǎn)，所以AC＝eq\r(3)，B′O＝eq\f(\r(3),2).所以S△ADC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4).所以三棱錐B′－ADC的體積為V＝eq\f(1,3)×S△ADC×B′O＝eq\f(1,8).(2)證明因?yàn)镠為B′C的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以HF∥B′E.又HF?平面B′ED，B′E?平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因?yàn)镠F?平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.(3)證明由(1)知，B′O⊥AD.因?yàn)锳E＝eq\f(\r(3),3)，AO＝eq\f(1,2)，∠DAC＝30°，所以EO＝eq\r(AE2＋AO2－2AE·AOcos30°)＝eq\f(\r(3),6).所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.又B′O?平面B′EO，EO?平面B′EO，B′O∩EO＝O，所以AD⊥平面B′EO.又B′E?平面B′EO，所以AD⊥B′E.【規(guī)律總結(jié)】解決翻折問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)解決與翻折有關(guān)的幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些量改變、哪些量不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問(wèn)題的突破口．(2)把平面圖形翻折后，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)連線(xiàn)就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中去解決．【變式訓(xùn)練】3．如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E、F分別為AD和BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀，使AD＝AE.(1)求證：BC∥平面DAE；(2)求四棱錐D－AEFB的體積．解析(1)證明∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E，∴平面CBF∥平面DAE.又BC?平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中點(diǎn)H，連接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH?平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝eq\r(3).∴DH⊥平面AEFB.則四棱錐D－AEFB的體積V＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2×2＝eq\f(4\r(3),3).名師押題高考【押題1】已知直線(xiàn)a、b與平面α、β，且b⊥α，則下列命題中正確的是①若a∥α，則a⊥b；②若a⊥b，則a∥α；③若b∥β，則α⊥β；④若α⊥β，則b∥β.A．①③ B．②④C．①④ D．②③解析命題①，若a∥α，過(guò)直線(xiàn)a作一平面γ，使得α∩γ＝c，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，又因?yàn)閎⊥α，c?α，所以b⊥c，故有a⊥b，所以該命題為真；命題②，若a⊥b，b⊥α，則直線(xiàn)α與平面α的位置關(guān)系有兩種：a?α或a∥α，故該命題為假；命題③，若b∥β，則過(guò)直線(xiàn)b作一平面δ，使得δ∩β＝d，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得b∥d，又b⊥α，所以d⊥α，因?yàn)閐?β，所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故該命題為真；命題④，若α⊥β，b⊥α，則直線(xiàn)b與平面β的位置關(guān)系有兩種：b?β或b∥β，故該命題為假．綜上，①③為真命題，故選A.答案A[押題依據(jù)]線(xiàn)面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，在高考試題中通常會(huì)有一道解答題和一道選擇題或填空題，主要考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大．【押題2】如圖，在三棱錐A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，BC＝eq\r(2)，D、E分別為AB、OB的中點(diǎn)．(1)求證：CO⊥平面AOB.(2)在線(xiàn)段CB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面DEF∥平面AOC？若存在，試確定F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析(1)證明因?yàn)锳O⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC與△AOB為直角三角形．又因?yàn)椤螼AB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，所以O(shè)B＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形．所以CO⊥BO，又因?yàn)锳O∩BO＝O，所以CO⊥平面