§3.1

函數(shù)的單調(diào)性與極值

§3.2

極值的幾何應(yīng)用

§3.3

邊際與彈性

學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)建議

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

§3.4

極值的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

§3.5

曲線凹凸與拐點(diǎn)

一.函數(shù)的單調(diào)性

二.函數(shù)的極值§3.1函數(shù)的單調(diào)性與極值

一.函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)于中的任意兩點(diǎn)和,當(dāng)時(shí)，總有則稱在上單調(diào)增加.

(1)若,由知,傾角為銳角,在處,曲線是上升的,函數(shù)隨增加而增加.在§1.1中

在§2.1中,導(dǎo)數(shù)的幾何意義

復(fù)習(xí)單調(diào)性的定義在§1.1中

在§2.1中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)于中的任意兩點(diǎn)和,當(dāng)時(shí)，總有則稱在上單調(diào)減少.

(2)若,由知,傾角為鈍角,在處,曲線是下降的,函數(shù)隨增加而減少.

函數(shù)單調(diào)性的判定法則由單調(diào)性的判定法則

定理3.1在函數(shù)可導(dǎo)的區(qū)間內(nèi):(1)若,則函數(shù)單調(diào)增加;(2)若,則函數(shù)單調(diào)減少.解練習(xí)1確定函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的定義域是因可知在內(nèi),故函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的.說明在函數(shù)可導(dǎo)的區(qū)間內(nèi),是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(減少)的充分條件,而非必要條件.例如,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的,而

此例說明,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(減少)時(shí),在個(gè)別點(diǎn)處,可以有結(jié)論

在函數(shù)

的可導(dǎo)區(qū)間

內(nèi),若或

,而等號(hào)僅在一些點(diǎn)處成立,則函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)減少.(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)由確定函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)將定義域分成部分區(qū)間;討論函數(shù)的增減區(qū)間的程序(3)判定函數(shù)的增減區(qū)間:考察導(dǎo)數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)的正負(fù)號(hào),便知函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)的增減性.解(1)函數(shù)的定義域是(2)求導(dǎo)數(shù)并確定函數(shù)的駐點(diǎn):

(3)判定函數(shù)的增減區(qū)間:駐點(diǎn)將函數(shù)的定由得義域分成三個(gè)部分區(qū)間:在區(qū)間內(nèi),

,函數(shù)單調(diào)增加;練習(xí)2討論函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間.在區(qū)間內(nèi),

,函數(shù)單調(diào)減少;在區(qū)間內(nèi),

,函數(shù)單調(diào)增加.

二.函數(shù)的極值

極值的定義定義3.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其左右鄰近有定義,

是其中的任一點(diǎn),但(1)若有

則稱是函數(shù)的極大值點(diǎn),極大值點(diǎn)

極小值點(diǎn)

極大值點(diǎn)

不是極值點(diǎn)

函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn);函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.是函數(shù)的極大值;稱是函數(shù)的極小值.稱均為駐點(diǎn)

(2)若有

則稱是函數(shù)的極小值點(diǎn),

極值存在的必要條件若函數(shù)在可導(dǎo),且有極值,則一定有

注意:函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是其極值點(diǎn).有,即是該函數(shù)的駐點(diǎn),但卻不是其極值點(diǎn).

即對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言,它的極值點(diǎn)一定是其駐點(diǎn).如,對(duì)函數(shù)也只是駐點(diǎn),但非極值點(diǎn).上頁圖中的那么,究竟哪些點(diǎn)一定是極值點(diǎn)呢?

極值存在的充分條件定理3.2設(shè)函數(shù)在及其左右鄰近可導(dǎo):

則是函數(shù)的極大值點(diǎn).而在的右側(cè)鄰近,而在的右側(cè)鄰近,則是函數(shù)的極小值點(diǎn).(2)若在的左側(cè)鄰近,(1)若在的左側(cè)鄰近,(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)由確定函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)將定義域分成部分區(qū)間;求函數(shù)的極值的程序(3)判定:考察駐點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào):若由正變負(fù),則是極大值點(diǎn);若由負(fù)變正,則是極小值點(diǎn);若不變號(hào),則不是極值點(diǎn).(4)求出極值:若函數(shù)有極值點(diǎn),求出相應(yīng)的函數(shù)值,這就是函數(shù)的極值.

對(duì)可導(dǎo)函數(shù)解(1)函數(shù)的定義域是(2)求導(dǎo)數(shù)并確定函數(shù)的駐點(diǎn):

由得(3)判定:駐點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成三個(gè)部分區(qū)間:練習(xí)3求函數(shù)的極值.極大值

極小值

解