2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B必修第一冊(cè)

第三章函數(shù)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1忽略函數(shù)的定義域致錯(cuò)

1.(2021天津第二南開(kāi)學(xué)校期中)已知f(x)是定義域?yàn)?T,1)的奇函數(shù)，而且f(x)

是減函數(shù),如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

AOI)B.(-8,|)C.(l,3)D.(|,+8)

2.(2021北京八中期中)給出下列三個(gè)函數(shù):①y至手;②丫二頭;③yj逗.

x-2xz+l

其中與函數(shù)f(x)=x表示同一個(gè)函數(shù)的序號(hào)是.

3.(2020河南洛陽(yáng)一高月考)函數(shù)f(x)=V%2+x-6的單調(diào)遞增區(qū)間是.

易錯(cuò)點(diǎn)2不能正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題

4.(2021河南重點(diǎn)高中階段性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=三在區(qū)間(-1,+8)上單調(diào)遞

%+1

增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+°°)C.(-1,+°°)D.(-°°,-1)U(1,+°0)

1%>0,

5.設(shè)函數(shù)f(x)=0,%=0,g(x)=x2f(x-1),則函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間

rl,x<0,

為.

6.(2021陜西渭南尚德中學(xué)第一次月考)已知函數(shù)f(x)=-t.

1+%

(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性,并用定義證明；

⑵求該函數(shù)在區(qū)間［1,4］上的最大值與最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)3忽視參數(shù)的取值范圍致錯(cuò)

7.若函數(shù)二的定義域是R,則a的取值范圍是

y，a*+Jax+l

8.(2020河北承德一中月考)已知函數(shù)f(x)-x2+2x-3.

⑴求f(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最大值g(a);

(2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值.

思想方法練

一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

1.已知偶函數(shù)f(x)與奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-2,2),它們?cè)冢?,2］上的圖像如

圖所示,則使不等式f(x)-g(x)<0成立的x的取值范圍為()

A.(-2,-1)U(1,2)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,2)

D.(-2,-1)U(0,1)

2.若關(guān)于x的方程|x2-2x-2|-m=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的值

為.

3.已知函數(shù)f(x)=X2-2Ix-3.

(1)作出函數(shù)f(x)的圖像,并根據(jù)圖像寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間以及在各單調(diào)區(qū)

間上的增減性；

⑵求函數(shù)f(x)在x￡［-2,4］上的最值.

4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x20時(shí),

f(x)=x2-4x.

⑴畫(huà)出f(x)的圖像；

⑵求出f(x)的解析式；

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m有四個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用

5.若函數(shù)f(x)為定義域D上的單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間[a,b]cD(其中a〈b),使得

當(dāng)x￡[a,b]時(shí),f(x)的取值范圍恰為[a,b],則稱函數(shù)f(x)是D上的正函數(shù).若函

數(shù)g(x)=x2+m是(-8,0)上的正函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=x；若對(duì)任意的

xe[a,a+2],不等式f(x+a)N2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

7.已知函數(shù)f(x)支等,x—,+8).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值；

⑵若對(duì)任意x￡[1,+8),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用

8.(2。2。江西臨川一中月考)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)=xf&片,則f(3)=()

1

3艮c

29一

23一

A.99D.3-

9.(2020黑龍江哈爾濱四校期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),并

且滿足f(x+y)=f(x)+f(y),fO=L

⑴求f(0)的值；

(2)若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范圍.

四、分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

10.(多選)(2020遼寧期末)已知函數(shù)汽9=空在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增,則a、

ax+Z

b的取值可以是()

A.a=l,b>|B.0<a<l,b=2

1

C.a=T,b=2D.a=-,b=l

+x+］XVt

11.已知函數(shù)f(x)=J、二一’若f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則t的取

(t,

vX+-o.X>

值范圍為.

12.(2022四川綿陽(yáng)東辰國(guó)際學(xué)校月考)已知函數(shù)f

方程f(x)=x+a在區(qū)間［-4,8］上有三個(gè)不等實(shí)根,實(shí)數(shù)a的取值范圍

為

答案與分層梯度式解析

第三章函數(shù)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)1練

l.A是定義域?yàn)?-1,1)的奇函數(shù)，

.,.-1<X<1,f(-x)=-f(x),f(m-2)+f(2m-3)>0可轉(zhuǎn)化為f(m-2)>-f(2m-3)=f(-

2m+3).

.「f(x)是減函數(shù)，

-K2m-3<1,Km<故選A.

.m-2<-2m+3,

易錯(cuò)警示

解題時(shí)如果僅考慮單調(diào)性,而忽視函數(shù)的定義域,只能得到m<|,錯(cuò)選B,導(dǎo)致

解題錯(cuò)誤.

2.答案②

解柿易知f(x)=x的定義域?yàn)镽.

①?gòu)V爭(zhēng)的定義域?yàn)槭誌xW2},定義域不同,與f(x)=x不是同一個(gè)函數(shù)；

②y=笠=x的定義域?yàn)镽,與f(x)=x表示同一個(gè)函數(shù)；

③丫=m=|x|,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,與f(x)=x不是同一^函數(shù).

易錯(cuò)警示

研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí),應(yīng)先求定義域,看定義域是否相同,若定

義域不同,則不是同一個(gè)函數(shù);若定義域相同,則再判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.忽視

對(duì)定義域的判斷,可能會(huì)導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.

3.答案［2,+8)

解析由x2+x-6^0得x22或x<-3,設(shè)t=x2+x-6,則g(t)=』(t20)在［0,+°°)

上單調(diào)遞增,t=x?+x-6在(-8,—3］上單調(diào)遞減，在［2,+8)上單調(diào)遞增,所以

f儀)=標(biāo)飛的單調(diào)遞增區(qū)間是［2,+8).

4.B要使函數(shù)—二m在區(qū)間(T，+8)上單調(diào)遞增，只需「a〈0,解得a>l,所以

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+8).

5.答案(一8,0］,(1,+8)

%2X>］

0,x=1：作出函數(shù)g(X)的圖像如圖所示,

(-x2,x<1.

故函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為(-8,0],(1,+8).

6.解析(l)f(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

證明：任取Xi,X2e(0,+8),且Xi<x2,則Xi-x2<0,l+xi>0,l+x2>0,

...f(X1)-f(X2)=Y-+-<0,即f(Xi)<f(x),

l+%2(1+久l)(l+%2)2

在(0,+8)上是增函數(shù).

(2)由⑴知f(x)在［1,4］為增函數(shù),

???函數(shù)的最大值為f⑷=-告=-|,最小值為f(1)=-備=7

易錯(cuò)警示

⑴利用圖像寫(xiě)出最值時(shí)要寫(xiě)最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo),而不是橫坐標(biāo).

⑵單調(diào)性法求最值勿忘求定義域.

⑶單調(diào)性法求最值,尤其是求閉區(qū)間上的最值,不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值

代入是最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤,求解時(shí)一定要注意.

7.答案［0,4)

解析由題意可得ax2+ax+l>0在R上恒成立.

當(dāng)a=0時(shí),1>0恒成立；

當(dāng)a#0時(shí)，需滿足器20解得0<a<4,

綜上,0<a<4.

???實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0,4).

8.解析⑴(X)=T+2X-3的圖像開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=l,

...當(dāng)a21時(shí),f(x)在區(qū)間［a,a+1］上單調(diào)遞減,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;

當(dāng)0<a<l時(shí),f(x)在區(qū)間［a,a+1］上先增后減,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;

當(dāng)a+l<l,即a<0時(shí),f(x)在區(qū)間［a,a+1］上單調(diào)遞增,g(a)=f(a+l)=-

(a+1)2+2(a+1)-3=-a?-2.

、、-a22a<0,

綜上所述,g(a)=r2,0<a<1,

-a2+2a-3,a>1.

(2)g(a)=-3,

當(dāng)g(a)=—a2-2=-3(aWO)時(shí),a=—1或a=l(舍去);

當(dāng)g(a)=—a2+2a-3=-3(aNl)時(shí),a=2或a=0(舍去);

當(dāng)g(a)=-2(0〈a〈l)時(shí),不符合題意.

綜上可得,a的值為-1或2.

易錯(cuò)警示

象含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值,關(guān)鍵是要對(duì)圖像的對(duì)稱軸與

所給區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，解題時(shí)防止忽視對(duì)參數(shù)的討論導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

思想方法練

1.C由題圖可知，當(dāng)O〈X〈1時(shí)，f(x)>O,g(x)>O,f(x)-g(x)>0;當(dāng)l〈x<2

時(shí),f(x)>0,g(x)<0,f(x)?g(x)<0.故當(dāng)x>0時(shí),f(x)?g(x)<0的解集為

{x|Kx<2}.Vy=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù)，

Af(x)?g(x)是奇函數(shù),由奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得當(dāng)x<0時(shí),f(x)?g(x)<0的

解集為3-16〈01.綜上,不等式1?(*),g(x)<0的解集是{x1T〈x<0或Kx<2},

故選C.

由函數(shù)的奇偶性和圖像特征求不等式的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

2.答案3

解布令f(x)=x2-2x-2,由題意可得函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn).

畫(huà)出函數(shù)f(x)=X2-2X-2的圖像如圖所示，

結(jié)合圖像可得,m=3.

將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

3：解析作出函數(shù)囹像如圖.由囹像得手ST在3上單調(diào)遞減在

(T,0),(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵結(jié)合圖像可知f(X)在［-2,4］上的最小值為f(l)=f(-D=-4,最大值為f(4)=5.

畫(huà)出函數(shù)圖像，通過(guò)分析圖像性質(zhì)得出最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

“解析(T)?(X)的囹像如ii.

由x20時(shí)f(x)的解析式作出函數(shù)f(x)在y軸右側(cè)的圖像再由f(x)的圖像關(guān)于

娟由對(duì)何可得出KJtl3的囪像體總數(shù)開(kāi)韁合思凰

(2)當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,f(-x)=X2+4X,

?二函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,Jf(x)為偶函數(shù)，

/.f(x)=f(-x)=x2+4x,

...f(X)4x；4x,x20,

{x2+4x,x<0.

(3)y=f(x)的最小值為f(-2)=f(2)=-4,

由⑴中圖像可知函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m有四個(gè)交點(diǎn)時(shí),-4〈m〈0.

思想方法

在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合,利用函數(shù)圖像直觀地研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì),

可避免復(fù)雜的計(jì)算和推理,實(shí)現(xiàn)解題快速準(zhǔn)確.

5.C因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=x2+m是(-8,0)上的正函數(shù)，所以a<b<0,

所以當(dāng)xe[a,b]時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減，

貝Ug(a)=b,g(b)=a,即a2+m=b,b2+m=a,

兩式相減得a2-b2=b-a,即b=-(a+1),

代入a2+m=b得a2+a+m+l=0,

因?yàn)閍<b<0,且b=-(a+l),

所以a<-(a+l)<0,

即《<—(Z-lj”一天解得-1代〈意

2

故關(guān)于a的方程a+a+m+l=0在區(qū)間(-1,劣內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

由函數(shù)g(x)=x2+ni是(-8,0)上的正函數(shù)得g(a)=b,g(b)=a,建立方程組，消去b,

求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程a2+a+ni+l=0在區(qū)間(Q一

行求解:

，([)2]?jyj?0

記hlaha'a+m+l,則h(-l)>0,h(-1)<0,即(苧i+m+1<0

解得即T〈m〈-|.

6.答案[企,+8)

解析由題意知f(x)=F？U

<0,

則2f(x)=f(V2x),

所以f(x+a)22f(x)恒成立等價(jià)于f(x+a)(迎x)恒成立.

由題意得f(x)在R上是增函數(shù)，

所以x+aN&x恒成立，

利用函數(shù)單調(diào)性將f(x+a)W2f(X)恒成立轉(zhuǎn)化為x+a6&x恒成立.

即aN(奩-l)x恒成立.

又因?yàn)閤e[a,a+2],所以當(dāng)x=a+2時(shí),y=(V2-1)x取得最大值(近T)(a+2),

所以a2(夜T)(a+2),解得a三

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[傳+8).

7.解析⑴當(dāng)a三時(shí)，f(x)=x+a+2,x￡[1,+8).任取xi,X2$[1,+8),且xi〈X2,

則f(x2)-f(X1)=(x2+3++上+2)

二(%2-%1)(2%1%2?1)

2%I%2■

,.TWXI〈X2S.?.X2—Xi〉0,且XiX2〉l,

...2X1X2-1>0,

f(x2)-f(X!)>0,即f(x2)>f(X1),

；.f(x)在[l,+8)上是增函數(shù)

f(x)在[1,+8)上的最小值是f(l)=|.

⑵：對(duì)任意f[1,+8),f(x)>0恒成立，

.,.x2+2x+a>0恒成立.

設(shè)g(x)=x2+2x+a,

Vg(x)=x2+2x+a=(x+1)2+(aT)在[1,+8)上是增函數(shù)，

???當(dāng)x=l時(shí),g(x)min=3+a>0,解得a>-3,

實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,+8).

將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.

思想方法

「”在函數(shù)中，利用函數(shù)、方程、不等式三者的聯(lián)系，通過(guò)解方程(組)等解決函

數(shù)中的相關(guān)問(wèn)題,是解決函數(shù)問(wèn)題最基本的方法.

8.13在2f(x)=xfG)+抻,分別令x=3和x=［得2f⑶=3f朋①,

2f(i)=1f⑶+3②，

對(duì)變量進(jìn)行賦值,構(gòu)成方程(組)，通過(guò)解方程(組)得到問(wèn)題的解.

聯(lián)立①②消去fg),解得f⑶卷故選B.

9.解析⑴令x=y=O,得f(0)=f(0)+f(0),

對(duì)變量進(jìn)行賦值，構(gòu)成方程,通過(guò)解方程得到問(wèn)題的解.

即f(0)=0.

(2)由題意知f(x)+f(2+x)=f(2x+2),fg)+fg)=f(|)=2,所以由f(x)+f(2+x)<2,可

得f(2x+2)〈f(|),

又f(x)在R上單調(diào)遞增，

2x+2<|,

x<-|,

??.X的取值范圍是S一I).

思想方法

八'在函數(shù)中，利用函數(shù)、方程、不等式三者的聯(lián)系，通過(guò)解方程(組)等解決函

數(shù)中的相關(guān)問(wèn)題,是解決函數(shù)問(wèn)題最基本的方法.

10.ABP由題意知,不等式ax+2#0對(duì)任意的XQ(-2,+8)恒成立.

①當(dāng)a=0時(shí),f(x)卷+|在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增,則?0,解得b>0;

②當(dāng)a>0時(shí),由ax+2W0,可得xW-|,則-2,解得0〈aWl,

則f(x)—bx+3_：(ax+2)+3-?！?->+8

入ax+2ax+2ax+2a'

v該函數(shù)在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增，

a2

當(dāng)a=l時(shí),b>|a=|符合題意；

當(dāng)0〈aWl時(shí),b=2>|a恒成立,符合題意；

當(dāng)時(shí),b=l>|a恒成立,符合題意；

③當(dāng)a<0時(shí),一20,函數(shù)y=f(x)在x=-1沒(méi)有定義,C選項(xiàng)不符合題意.

故選ABD.

ii.答案(一8,臼

解析因?yàn)楫?dāng)x>t時(shí),y=x+：為增函數(shù)，

所以當(dāng)xWt時(shí),y=tx2+x+l也為增函數(shù).

由于y=tx2+x+l(xWt)中的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，因此需對(duì)參數(shù)分類討論.

當(dāng)t=0時(shí),y=tx2+x+l=x+l為增函數(shù)，但0+1=1>^,不符合題意；

當(dāng)two時(shí),函數(shù)y=tx2+x+l圖像的對(duì)稱軸為直線x=W，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，有

((tr<ot,7

［t3+t+i<t+-,

解得

12.